最新数学分析上册练习题及答案第三章函数极限

第三章函数极限

1． 函数极限概念

1． 按定义证明下列极限：

（1）65lim 6x x x

→+∞+=；（2）2

2lim(610)2x x x →-+=；（3）225lim 11x x x →∞-=-;（4）2lim 0x -→=； （5）0

0lim cos cos x x x x →=.

证明（1）任意给定0ε>，取5

M ε

=

，则当x M >时有

6555

6x x x M

ε+-=<=.按函数极限定义有65

lim

6x x x

→+∞+=.

（2）当2x ≠时有，2(610)2(2)(4)24x x x x x x -+-=--=--.

若限制021x <-<，则43x -<.于是，对任给的0ε>，只要取min{1,}3

ε

δ=，则当

02x δ<-<时，有2(610)2x x ε-+-<.故有定义得22

lim(610)2x x x →-+=.

(3)由于22254111

x x x --=--.

若限制1x >，则2211x x -=-，对任给的0ε>，取max M ??=???，则当x M >时有22

22544

111

1x x M x ε--=<=---，所以225lim 11x x x →∞-=-.

(4)

0==若此时限制021x <-<，

==<=0ε>，

取2

min{1,

}4

εδ=，当02x δ<-<022

ε

ε<≤?=，

故由定义得2

lim 0x -

→=.

（5）因为sin ,x x x R ≤∈，则

00000

00cos cos 2sin

sin 2sin sin 222222

x x x x x x x x x x x x x x -+-+--=-=≤?=-.

对任给的0ε>，只要取δε=，当00x x δ<-<时，就有00cos cos x x x x δε-≤-<=，所以按定义有0

0lim cos cos x x x x →=.

2． 叙述0

lim ()x x f x A →≠。

解：0

lim ()x x f x A →=陈述为：设函数f 在点0x 的某个空心邻域0

0(,)U x δ'内有定义，A 为定

数，若对任给的0ε>，存在0δ>，使得当00x x δ<-<时有()f x A ε-<，则称函数

f 当x 趋于0x 时以A 为极限，记作0

lim ()x x f x A →=。

其否定陈述为：设函数()f x 在点0x 的某个空心邻域0

0(,)U x δ'内有定义，A 为一个确定的

常数，若存在某个00ε>，使得对任意的正数()δδ'<，总存在x 满足00x x δ<-<，使得0()f x A ε-≥，则称当0x x →时，()f x 不以A 为极限，记为0

lim ()x x f x A →≠。

3． 设0

lim ()x x f x A →=，证明00

lim ()h f x h A →+=。

证明：因为0

lim ()x x f x A →=，由定义有对任给0ε>，存在0δ>，当00x x δ<-<时，

()f x A ε-<，从而当00h h δ<=-<时，有000()x h x δ<+-<，于是0()f x h A ε+-<，故00

lim ()h f x h A →+=。

4． 证明：若0

lim ()x x f x A →=，则0

lim ()x x f x A →=。

证明：因为0

lim ()x x f x A →=。由εδ-定义有对任给0ε>，存在0δ>，当00x x δ<-<时，

()f x A ε-<，于是有()()f x A f x A ε-≤-<，故0

lim ()x x f x A →=。

当0A =时，若0

lim ()0x x f x →=，则对任给0ε>，存在0δ>，当00x x δ<-<时，

()0()()f x f x f x ε-==<，因此，对已给定的0ε>，当00x x δ<-<时，

()0()f x f x ε-=<，即0

lim ()0x x f x →=。说明当0A =时，上述命题的逆命题也成立。但

当0A ≠时，其逆命题不真。例如对101()112x f x x ≤

有()1,02f x x ≡≤≤。

显然1

lim ()1x f x A →==，但1

lim ()x f x →不存在。

事实上，1

1

lim ()1lim ()1x x f x f x -+→→==-，，可见1

1

lim ()lim ()x x f x f x -+

→→≠，故1

lim ()x f x →不存在。

故当且仅当0A =时，本题反之也成立。

5． 证明定理：0

lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x A f x f x A +-

→→→=?==。 必要性 设0

lim ()x x f x A →=，由极限的

εδ-定义知对任给0ε>，存在0δ>，当

00x x δ<-<时，()f x A ε-<。则当00x x x δ<<+时，有()f x A ε-<，故

lim ()x x f x A +→=。当00x x x δ-<<时，有()f x A ε-<，故0

lim ()x x f x A -

→=。从而0

lim ()lim ()x x x x f x f x A +-

→→==。 充分性 0

lim ()x x f x A +

→=，则对任意给定0ε>，存在10δ>，使得当001x x x δ<<+时，有()f x A ε-<。

lim ()x x f x A -→=，则对任意给定0ε>，存在20δ>，使得当020x x x δ-<<时，有

()f x A ε-<。所以对已给定的0ε>，取12min{,}δδδ=，使得当00x x δ<-<时，有()f x A ε-<，故0

lim ()x x f x A →=。

6． 讨论下列函数在0x →时的极限或左右极限：

（1）()x f x x =；（2）()[]f x x =；（3）22,0

()0,

01,0

x x f x x x x ?>?

==??+

。 解：（1）因为当0x >时，()1x

f x x

=

=，故有00lim ()lim11x x f x ++

→→==。当0x <时，()1x

f x x

==-，故00lim ()lim(1)1x x f x --→→=-=-。因此0lim ()x f x →不存在。

（2）当01x <<时，()[]0f x x ==，故0

lim ()0x f x +

→=。当10x -<<时，()[]1f x x ==-，故0

lim ()1x f x -→=-。所以0

lim ()lim ()x x f x f x +-

→→≠，因此0

lim ()x f x →不存在。 （3）对任给的

0ε>，先考虑0x -→，

取δ=，则当0x δ-<<时，

222()1(1)1f x x x δε-=+-=<<，于是0

lim ()1x f x -

→=。 再

考

虑

0x +

→，取

2log (1)

δε=+，则当

0x δ

<<时，

()1212121x x f x δε-=-=-<-=，所以0

lim ()1x f x +

→=。所以0

lim ()1x f x →=。

7．设lim ()x f x A →+∞

=，证明0

1

lim ()x f A x

+

→=。 证明：因lim ()x f x A →+∞

=，则对任给0ε>，存在0M >，当x M >时，()f x A ε-<，取

10M δ=

>，则当0x δ<<时，11M x δ>=，故有1()f A x ε-<，所以01

lim ()x f A x

+→=。

8． 证明：对黎曼函数()R x 有0

0lim ()0,[0,1]x x R x x →=∈（当00x =或1时，考虑单侧极限）。证明：因为[0,1]上的黎曼函数定义为：

1

,(,,()0,0,1(0,1)p p x p q N q

q q R x x +

?=∈?=??=?

当为既约真分数)当或内的无理数。 任取0[0,1]x ∈时，任给0ε>，满足不等式1

q ε

≤

的正整数q 至多有有限个。而p q <，从

而正整数p 也至多有有限个。于是在(0,1)内至多只有有限个既约真分数

p

q

，使得1

()p R q q

ε=≥。因此可取0δ>，使得00(,)U x δ内不含这有限个既约分数，于是只要00x x δ<-<（对00x =，

只要0x δ<<；对于01x =，只要01x δ<-<），不论x 是01，或无理数，都有()0()0R x R x ε-==<成立，故0

0lim ()0,[0,1]x x R x x →=∈。

2． 函数极限的性质

1． 求下列极限：

（1）2

2

lim 2(sin cos )x x x x π→

--；（2）2201lim 21x x x x →---；

（3）2211lim 21x x x x →---；（4）3230(1)(13)

lim 2x x x x x

→-+-+； （5）01lim 1n m x x x →--（,n m 为正整数）；（6

）4x →

（7

）0lim (0)x a a x →>；（8）7020

90(36)(85)lim (51)

x x x x →+∞+--。 解：（1）因为2limsin sin

12

x x π

π

→

==，2

lim cos cos

02

x x π

π

→

==，再根据极限的四则运算法则，

得22

2

2

2

2

lim 2(sin cos )lim 2sin lim 2cos lim 2x x x x x x x x x x π

π

π

π

→

→

→

→

--=--

2

2

2

2

2

2

lim 2sin 2lim cos 2lim 21202()222x x x x x x ππππ

π→→→

=--=?-?-?=-

。 （2）22

2200

lim 1

101lim

1212lim lim 1001

x x x x x x x x x x →→→→---===------。

（3）由于221(1)(1)1

21(1)(21)21

x x x x x x x x x --++==---++，

所以212

111

lim 111112

lim lim 21212lim 12113

x x x x x x x x x x x →→→→+-++====--++?+。 （4）3323222323232

(1)(13)331133(3)3

222(12)12x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

-+--+-+----====+++++， 所以30

23000

lim 3(1)(13)303lim lim 321212lim 120

x x x x x x x x x x x x →→→→--+---====-++++?。 （5）由于121212

121(1)(1)1

1(1)(1)1

n n n n n m m m m m x x x x x x x x x x x x ----------++++++==--++++++L L L L ， 所以12120011111lim lim 11111n n n m

m m x x x x x n

x x x m

----→→-++++++===-++++++L L L L 。 （6

==

=

=

，

所以4

2(22)4

333x x →→+===+。 （7

）由于a x ===，

所以01

2x x a x a

→→===。

（8）7020

70

20

90

9065(3)(8)(36)(85)1(51)(5)x x x x x x +-+-=--， 所以70207020

702070209090909065(3)(8)(36)(85)(30)(80)38lim lim 1(51)(50)5(5)

x x x x x x x x

→+∞→+∞+-+-+-===---g 。 2． 利用迫敛性求极限： （1）cos lim

x x x x →-∞-；（2）2sin lim 4

x x x

x →+∞-。

解：（1）因为1cos 1,x x -≤≤趋于负无穷，所以当0x <时，

1(1)cos 1111x x x x x x x x x ----+

=≤≤=-，而11lim 1lim 11x x x x →-∞→-∞????+=-= ? ?????，由迫敛性

定理得cos lim

x x x

x

→-∞-。

（2）因为1sin 1,x x -≤≤趋于正无穷，所以当2x >时，

222sin 444

x x x x

x x x -≤≤---。而221lim lim 0441x x x x x x →+∞→+∞-

-==--，22

1

lim lim 04

41x x x x x x

→+∞→+∞==--。由迫敛性定理得2sin lim

4x x x

x →+∞-。

3． 设0

lim ()x x f x A →=，0

lim ()x x g x B →=，证明：

（1）0

lim[()()]x x f x g x A B →±=±；

（2）0

lim[()()]x x f x g x AB →=；

（3）0

()lim

(0)()x x f x A

B g x B

→=≠。 证明：（1）因为0

lim ()x x f x A →=，则对任给的0ε>，存在10δ>，当010x x δ<-<时，

()f x A ε-<。0

lim ()x x g x B →=，则对任给的0ε>，存在20δ>，当020x x δ<-<时，

()g x B ε-<。对已给定的0ε>，取12min{,}δδδ=，当00x x δ<-<时，()f x A ε-<

与()g x B ε-<同时成立。当00x x δ<-<时，

()()()[()][()]()()2f x g x A B f x A g x B f x A g x B εεε±-±=-±-≤-+-≤+=，

所以0

lim[()()]x x f x g x A B →±=±。

（2）由0

lim ()x x f x A →=及有界性知，存在0M >及30δ>，使得当030x x δ<-<时，

()f x M ≤。对已给定的0ε>，取123min{,,}δδδδ=，当00x x δ<-<时，有()()()()()()(())()(())f x g x AB f x g x Bf x Bf x AB B f x A f x g x B -=-+-=-+- ()()()()B f x A f x g x B B M B M εεε≤-+-<+=+，所以0

lim[()()]x x f x g x AB →=。

（3）因为0

lim ()0x x g x B →=≠，据函数极限的局部保号性，存在40δ>，使得当04

0x x δ<-<时，有1

()2

g x B >

。取124min{,,}δδδδ=，当00x x δ<-<时有 ()()()()()

()()()

f x A Bf x A

g x Bf x AB AB Ag x g x B Bg x Bg x --+--==

2

()()1()

2

B f x A A g x B

B A B A

B g x B B B εεε-+-+?+?

≤

<

= ???

?。由ε的任意性知， 0

()lim

()x x f x A

g x B

→=。 4． 设1011001011(),0,0,m m m m

n n n n a x a x a x a f x a b m n b x b x b x b ----++++=≠≠≤++++L L 。试求lim ()x f x →+∞。 解：1101101111011011m m m n m n n m m m n n n n

n n n n a x a x a x a a x a x a x b x b x b x b b b x b x b x ------------+++++++=

++++++++L L L L ， 当m n <时，1lim lim lim 0m n

m n n x x x x

x x ----→+∞

→+∞

→+∞

====L ，

12lim lim lim 0n x x x x x x ---→+∞

→+∞

→+∞

====L 。所以0000

lim ()000

x f x b →+∞

+++=

=+++L L 。

当m n =时，1lim 1,lim lim 0m n

m n n x x x x

x x ----→+∞

→+∞

→+∞

====L 。

所以00

00

00lim ()00x a a f x b b →+∞

+++=

=+++L L 。

5． 设()0f x >，0

lim ()x x f x A →=

。证明0

lim

x x →=2n ≥为正整数。

证明：由于()0f x >，由局部保号性知0

lim ()0x x f x A →=≥。

当0A =时，由0

lim ()0x x f x A →==知，对任给的0ε>，存在0δ>，当00x x δ<-<时，

()()f x A f x ε-=<

0=

lim 0x x →==

当0A >时，由0

lim ()x x f x A →=。由极限的εδ-定义知，对任给的0ε>，存在0δ>，当

00x x δ<-<时，()f x A ε-<，从而有

=

<

<由ε

的任意性知0

lim

x x →=

6． 证明0

lim 1(01)x

x a a →=<<。

证明：任给10ε>>，为了使1x a ε-<，即11x

a εε-<<+。

对其取对数函数并由对数函数log (01)a x a <<的严格递减性，只要

log (1)log (1)a a x εε->>+，于是取min{log (1),log (1)}a a δεε=-+，则当0x δ

<<时，有1x a ε-<成立，从而证得结论。 7． 设0

lim ()x x f x A →=，0

lim ()x x g x B →=。

（1）若在某0

0()U x 内有()()f x g x <，问是否必有A B <？为什么？ （2）证明：若A B >，则在某0

0()U x 内有()()f x g x >。

解：（1）不一定有A B <。

因0

lim ()x x f x A →=。由极限的εδ-定义知，对任给的0ε>，存在0δ>，当00x x δ

<-<时，()A f x A εε-<<+。

又0

lim ()x x g x B →=。由极限的εδ-定义知，对任给的0ε>，存在0δ>，当00x x δ

<-<时，()B f x B εε-<<+。

虽然有()()f x g x <，但不一定有A B εε-<-或A B εε+<+但A B =有可能。

例如2

()0,()f x g x x ==，则在任一0

(0)U 内有()()f x g x <，但00

lim ()lim ()0x x f x g x →→==。

（2）证明：由于A B >，0lim ()x x f x A →=，对02A B

ε-=

>，存在10δ>，使得当

010x x δ<-<时，有

3()22A B A B

A f x A εε--=-<<+=。 0lim ()x x g x

B →=，对02A B

ε-=

>，存在20δ>，使得当020x x δ<-<时，有3()22

B A A B

B g x B εε-+=-<<+=

，于是取12min{,}δδδ=，则当0330()()222

B A A B A B x x g x f x δ-+-<-<<<<<

，，即在0

0()U x δ，内有()()f x g x >。

8． 求下列极限（其中n 皆为正整数）：

（1）01lim 1n x x x x -→+；（2）01

lim 1n

x x x x

+→+； （3）21lim 1

n x x x x n

x →+++--L ；（4

）01lim x x →；

（5）[]

lim

x x x

→∞。

解：（1）0

00001111

lim lim lim lim lim (1)111110

n n n x x x x x x x x x x x x x x -

----

→→→→→-===-?=-++++。 （2）0

00001111lim lim lim lim lim 1111110

n n n x x x x x x x x x x x x x x +

++++→→→→→===?=++++。

（3）由于223(1)(1)(1)(1)

11n n x x x n x x x x x x +++--+-+-++-=--L L

2121(1)(1)(1)n n x x x x x --=++++++++++L L 。由极限的四则运算法则，有

221211lim lim[1(1)(1)(1)]1

n n n x x x x x n

x x x x x x --→→+++-=++++++++++-L L L (1)

1232

n n n +=++++=

L 。 （4

）由于

1x =，

0111

lim

111x x x n

→→===+++L 。 （5）由于1[]x x x -<≤，当0x ≠时，

1[]1x x x x -<≤或[]1

1x x x x

-≤<

。对于两种形式，均有11lim

lim(1)101x x x x x

→∞→∞-=-=-=，由迫敛性定理得[]

lim 1x x x →∞=。

9． （1）证明：若3

lim ()x f x →存在，则3

lim ()lim ()x x f x f x →→=。 （2）若2

lim ()x f x →存在，试问是否成立2

lim ()lim ()x x f x f x →→=？

解：（1）证明因为30

lim ()x f x →存在，设3

lim ()x f x A →=，则任给0ε>，存在10δ>，使得当

10x δ<<时，有3()f x A ε-<。此时取310δδ=>，则当0x δ<<

时，10δ<

<，

从而有3

()]f x A f A ε-=-<，故有3

00

lim ()lim ()x x f x A f x →→==。

（2）若若2

lim ()x f x →存在，2

lim ()lim ()x x f x f x →→=并不一定成立。

例如22

10

10()sgn()00,()sgn 0010

x x f x x x f x x x x >?≠??=====??=??-

这里2

lim ()1x f x →=存在，但0lim ()x f x →不存在，但是0lim ()x f x A →=则2

lim ()x f x A →=。

3． 函数极限存在的条件

1． 叙述函数极限lim ()x f x →+∞

的归结原则，并应用它证明lim cos x x →+∞

不存在。

解 归结原则：设函数()f x 为定义在[,)a +∞上的函数，则lim ()x f x →+∞

存在的充要条件是：

对任何含于[,)a +∞且趋于正无穷的数列{}n x ，极限lim ()n n f x →+∞

都存在且相等。

证明 由于cos x 在[0,)+∞上有定义，设2,2(1,2,)2

n

n x n x n n π

ππ'''==+=L ，则显然有

{}[0,),{}[0,)n n x x '''?+∞?+∞且lim lim n n

n n x x →+∞

→+∞

'''=+∞=+∞，， 但lim cos lim 11,lim cos lim 00n

n n n n n x x →+∞

→+∞

→+∞

→+∞

'''====，有归结原则知lim cos x x →+∞

不存在。 2．设f 为定义在[,)a +∞上的增（减）函数。证明：lim ()x f x →+∞

存在的充要条件是f 在[,)

a +∞上有上（下）界。

证明 只证一种情况即可。

必要条件 由题设lim ()x f x →+∞

存在，设lim ()x f x A →+∞

=，取1ε=，存在0M >，当x M >时，

有1()1A f x A -<<+，又()f x 为[,)a +∞上的增函数，对任意的[,]x a M ∈时，有()()f x f M ≤。

取max{(),1}M f M A '=+。则[,)x a ∈+∞时，()f x M '≤，所以()f x 在[,)a +∞上有上界。

充分条件 因为()f x 在[,)a +∞上有上界，则由确界原理可知，()f x 在[,)a +∞上有上确界，设[,)

sup ()x a A f x ∈+∞=，则对任意的[,)x a ∈+∞，有()f x A ≤，对任给0ε>，按上确界定义，

存在

[,)x a '∈+∞，使得()f x A ε

'>-，对一切

[,)x x '∈+∞，有

()()A f x f x A A εε'-<≤≤<+，即当x x '>时，()f x A ε-<，故lim ()x f x A →+∞

=。

3． （1）叙述极限lim ()x f x →-∞

的柯西准则；

（2）根据柯西准则叙述lim ()x f x →-∞

不存在的充要条件，并应用它证明lim sin x x →-∞

不存在。

解 （1）设()f x 在(,]a -∞上有定义，极限lim ()x f x →-∞

存在的充要条件是：任给0ε>，存

在正整数()M M a ->，使得对任何,x M x M '''<-<-，有()()f x f x ε'''-<。 （2）设()f x 在(,]a -∞上有定义，极限lim ()x f x →-∞

不存在的充要条件是：对某一00ε>，

对任何0M >，总存在,x M x M '''<-<-，使得0()()f x f x ε'''-≥。 以下用此充要条件来证明lim sin x x →-∞

不存在。

取

01

2ε=

，对任给0M >，记[]1n M M =+>，存在1(),2x n M x n M ππ'''=-+<-=-<-，使得01

sin sin 12

x x ε'''-=>=，故lim sin x x →-∞不

存在。

4． 设f 在00()U x 内有定义。证明：若对任何数列0

0{}()n x U x ?且0lim n x x x →∞

=，极限

lim ()n n f x →+∞

都存在，则所有这些极限都相等。

证明 任何两个数列{},{}n n x y ，且有0

0{}()n x U x ?，00{}()n y U x ?，0lim lim n n n n x x y →∞

→∞

==，

由题知lim ()n n f x →∞

，lim ()n n f y →∞都存在，设lim ()n n f x A →∞=，lim ()n n f y B →∞

=，下证A B =。

考虑数列1122{},,,,,,,n n n z x y x y x y L L ：。

易见0

0{}()n z U x ?且0lim n n z x →∞=，由题设知lim ()n n f z →+∞

存在。于是作为{()}n f z 的两个子

关于大学高等数学函数极限和连续

关于大学高等数学函数极 限和连续 Last revision on 21 December 2020

第一章 函数、极限和连续 § 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ? ? ?∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2),

则称f(x)在D内严格单调增加( )； 若f(x1)＞f(x2), 则称f(x)在D内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x∈(-∞，+∞) 周期：T——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x∈(a,b) ㈢基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c为常数) 2.幂函数： y=x n , (n为实数) 3.指数函数： y=a x , (a＞0、a≠1) 4.对数函数： y=log x ,(a＞0、a≠1) a 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x∈X 2.初等函数:

高等数学函数的极限与连续习题及答案

1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴ ()12 ++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与() x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1) 1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2 x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．

《数学分析》10第三章-函数极限

《数学分析》10第三章-函数极限

第三章 函数极限 引言 在《数学分析》中，所讨论的极限基本上分两 部分，第一部分是“数列的极限”，第二部分是“函数的极限”。二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限的特例。 通过数列极限的学习。应有一种基本的观念：“极 限是研究变量的变化趋势的”或说：“极限是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果”。例如，数列{}n a 这种变量即是研究当n →+∞时，{}n a 的变化趋势。 我们知道，从函数角度看，数列{}n a 可视为一种特殊的函数f ，其定义域为N +，值域是{}n a ，即 :() n f N R n a +→→; 或 (),n f n a n N +=∈或()n f n a =. 研究数列{}n a 的极限，即是研究当自变量n →+∞时， 函数()f n 变化趋势。 此处函数()f n 的自变量n 只能取正整数！因此自变 量的可能变化趋势只有一种，即n →+∞。但是，如果代之正整数变量n 而考虑一般的变量为x R ∈，那么情况又如何呢？具体地说，此时自变量x 可能的变化趋势是否了仅限于x →+∞一种呢？ 为此，考虑下列函数:

1,0;()0,0.x f x x ≠?=?=? 类似于数列，可考虑自变量x →+∞时，()f x 的变化趋 势；除此而外，也可考虑自变量x →-∞时，()f x 的变化趋势；还可考虑自变量x →∞时，()f x 的变化趋势；还可考虑自变量x a →时，()f x 的变化趋势, L 由此可见，函数的极限较之数列的极限要复杂得 多，其根源在于自变量性质的变化。但同时我们将看到，这种复杂仅仅表现在极限定义的叙述有所不同。而在各类极限的性质、运算、证明方法上都类似于数列的极限。 下面，我们就依次讨论这些极限。 §1 函数极限的概念 一、x →+∞时函数的极限 １． 引言 设函数定义在[,)a +∞上，类似于数列情形，我们研 究当自变量x →+∞时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数Ａ。这种情形能否出现呢？回答是可能出现，但不是对所有的函数都具此性质。 例如 1(),f x x x =无限增大时，()f x 无限地接近于 ０；(),g x arctgx x =无限增大时，()f x 无限地接近于2 π；(),h x x x =无限增大时，()f x 与任何数都不能无限地接近。正因为如此，所以才有必要考虑x →+∞时，()f x 的变化趋势。

数学分析习作-数列极限与函数极限的异同

云南大学 数学分析习作课（1）读书报告 题目：数列极限与函数极限的异同 （定义，存在条件，性质，运算四方面的对比）学院：物理科学技术学院 专业：数理基础科学 姓名、学号： 任课教师： 时间： 2009-12-26 摘要 极限是数学中极其重要的概念之一，极限的思想是人们认知数学世界解决数学问题的 重要武器，是高等数学这个庞大的数学体系得以建立的基础和基石； 极限在数学中处于基础的地位，它是解决微积分等一系列重要数学问题的前提和基 础； 极限是一种思维，在学习高数时最好理解透彻了，在线代中没什么用.但是概率中用 的比较多，另外物理中许多都用到了极限的思维，它也能帮助更好的理解一些物理知 识；

在高等数学中，极限是一个重要的概念，极限可分为数列极限与函数极限，下面是关于两种极限的简要联系与说明。 关键词：数列极限与函数极限的定义，存在条件，性质，运算 一数列极限与函数极限的定义 1、数列与函数： a、数列的定义：数列是指按自然数编了号的一串数：x1，x2，x3，…，x n，…. 通常记作{x n}，也可将其看作定义在自然数集N上的函数x n=N (， ), n n f∈故也称之为整标函数。 b、函数的定义：如果对某个范围X内的每一个实数x，可以按照确定的规律f， 得到Y内唯一一个实数y和这个x对应，我们就称f是X上的函数，它在x的数值（称为函数值）是y，记为) f y=。 (x (x f，即) 称x是自变量，y是因变量，又称X是函数的定义域，当x遍取X内的所有实数时，在f的作用下有意义，并且相应的函数值) f的全体所组成的范围叫作 (x

函数f 的值域，要注意的是：值域不一定就是Y ，它当然不会比Y 大，但它可能比Y 小。 2、 （一） 数列极限的定义： 对数列}{x n ，若存在常数A ，对N n N >?∈?>?,N ,0ε，有 ε<-A x n ，则称 数列收敛且收敛于A ，并称数列}{x n 的极限为A ，记为x n n lim ∞ →=A. 例1.试用定义验证：01 lim =∞→n n . 证明：分析过程，欲使,1 01ε<=-n n 只需ε 1 >n 即可，故 εεε<->?+?? ? ???=?>?01:,11,0n N n N . 例2.试用定义验证：).11(lim <<-=∞ →q n 证明：分析过程.欲使[]ε <=-n n q q 0， 只需q n lg lg ε > （注意0lg ??? ????????????????=?n q N n q N 对于比较复杂的表达式n n A x α=-，一般地，我们通过运算,适当放大，将n α变形简化到n β，既使得对于0>?ε由不等式εβ时，恒成立不等式εβn n n n n n n n n n n 1 95) 423(310 531423222 222. 故，

高等数学函数极限练习题

设 f ( x ) 2 x ， 求 f ( x ) 的 定 义 域 及 值 域 。 1 x 设 f ( x) 对一切实数 x 1， x 2 成立 f ( x 1 x 2 ) f ( x 1 ) f ( x 2 )，且 f (0 ) 0， f (1) a ， 求 f (0 )及 f ( n)．(n 为正整数 ) 定 义 函 数 I ( x) 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 叫 做 x 的 取 整 函 数 ，若 f ( x) 表 示 将 x 之 值 保 留 二 位小数，小数第 3 位起以后所有数全部舍去，试用 表 示 f ( x) 。 I ( x) 定 义 函 数 I ( x) 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 叫 做 x 的 取 整 函 数 ，若 g ( x) 表 示 将 x 依 4 舍 5 入 法 则 保 留 2 位 小 数 ， 试 用 I ( x) 表 示 g ( x) 。 在某零售报摊上每份报纸的进价为 0.25 元，而零售价为 0.40 元，并且如果报纸当天未售 出 不 能 退 给 报 社 ，只 好 亏 本 。若 每 天 进 报 纸 t 份 ，而 销 售 量 为 x 份 ，试 将 报 摊 的 利 润 y 表 示 为 x 的函数。 定义函数 I ( x)表示不超过 x 的最大整数叫做 x 的取整函数，试判定 ( x) x I ( x )的周期性。 判定函数 x x ln( 1 x x )的奇偶性。 f ( x ) ( e 1) 设 f ( x ) e x sin x ， 问 在 0 ， 上 f ( x ) 是 否 有 界 ？ 函 数 y f ( x ) 的 图 形 是 图 中 所 示 的 折 线 O BA ， 写 出 y f ( x) 的 表 达 式 。 x 2 ， 0 x ； x ， x ； 设 f ( x) 2 ( x) 0 4 求 f ( x ) 及f ( x ) ． x x 4 x x ， ． ， ． 2 2 2 4 6 设 f ( x ) 1， x 0 ； ( x ) 2 x 1， 求 f ( x ) 及 f ( x) ． 1 ， x 0 ． e x ， x ； 0 ， x 0 ； 设 f ( x ) 求 f ( x )的反函数 g ( x ) 及 f ( x ) ． x x ( x) x 2， x 0 ， ． ． 1 x ) ， ( x ) x ， x 0 ； 求 f ( x ) ． 设 f ( x )( x x 2 ， x 2 0 ． 2 x ， x 0 ； 求 f f ( x ) 设 f ( x ) x 0． ． 2 ， 0 ， x ； x ， x ； ( x ) 求 f ( x) ( x )． 设 f ( x ) x ， x 0 ． x ， x ． 1

高等数学(同济五版)第一章 函数与极限知识点

第一章函数与极限 一、对于函数概念要注意以下几点： (1) 函数概念的本质特征是确定函数的两个要素：定义域和对应法则。定义域是自变量和因变量能相互联系构成函数关系的条件，无此条件，函数就没意义。对应法则是正确理解函数概念的关键。函数关系不同于一般的依赖关系，“y是x的函数”并不意味着y随x的变化而变化。函数关系也不同于因果关系。例如一昼夜的气温变化与时间变化是函数关系，但时间变化并不是气温变化的实际原因。y=f(x)中的“f”表示从x到y的对应法则，“f”是一个记号，不是一个数，不能把f(x)看作f乘以x。如果函数是用公式给出的，则“f”表示公式里的全部运算。 (2) 函数与函数表达式不同。函数表达式是表示函数的一种形式，表示函数还可以用其他的形式，不要以为函数就是式子。 (3) f(x)与f(a)是有区别的。f(x)是函数的记号，f(a)是函数值的记号，是f(x)当x=a时的函数值。 (4)两个函数，当其定义域相同，对应法则一样时，此二函数才是相同的。 二、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性： 对函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性的学习应注意以下几点： (1) 并不是函数都具有这些特性，而是在研究函数时，常要研究函数是否具有这些特性。 (2) 函数是否“有界”或“单调”，与所论区间有关系。 (3) 具有奇、偶性的函数，其定义域是关于原点对称的。如果f(x)是奇函数，则f(0)=0。存在着既是奇函数，又是偶函数的函数，例f(x)=0。f(x)+f(-x)=0是判别f(x)是否为奇函数的有效方法。 (4) 周期函数的周期通常是指其最小正周期，但不是任何周期函数都有最小周期。

数学分析习作-数列极限及函数极限的异同

XX大学 数学分析习作课（1）读书报告 题目：数列极限与函数极限的异同 （定义，存在条件，性质，运算四方面的对比）学院：物理科学技术学院 专业：数理基础科学 、学号： 任课教师： 时间：2009-12-26摘要 极限是数学中极其重要的概念之一，极限的思想是人们认知数学世界解决数学问题的

重要武器，是高等数学这个庞大的数学体系得以建立的基础和基石； 极限在数学中处于基础的地位，它是解决微积分等一系列重要数学问题的前提和基础； 极限是一种思维，在学习高数时最好理解透彻了，在线代中没什么用.但是概率中用的比较多，另外物理中许多都用到了极限的思维，它也能帮助更好的理解一些物理知识；在高等数学中，极限是一个重要的概念，极限可分为数列极限与函数极限，下面是关于两种极限的简要联系与说明。 关键词：数列极限与函数极限的定义，存在条件，性质，运算 一数列极限与函数极限的定义 1、数列与函数：

a 、数列的定义：数列是指按自然数编了号的一串数：x 1，x 2，x 3，…，x n ，…. 通常记作{x n }，也可将其看作定义在自然数集N 上的函数x n =N n n f ∈),(， 故也称之为整标函数。 b 、函数的定义：如果对某个围X 的每一个实数x ，可以按照确定的规律f ，得到Y 唯 一一个实数y 和这个x 对应，我们就称f 是X 上的函数，它在x 的数值（称为函数值）是y ，记为)(x f ，即)(x f y =。 称x 是自变量，y 是因变量，又称X 是函数的定义域，当x 遍取X 的所有实数 时，在f 的作用下有意义，并且相应的函数值)(x f 的全体所组成的围叫作函数f 的值域，要注意的是：值域不一定就是Y ，它当然不会比Y 大，但它可能比Y 小。 2、 （一）数列极限的定义： 对数列}{x n ，若存在常数A ，对N n N >?∈?>?,N ,0ε，有 ε<-A x n ，则称 数列收敛且收敛于A ，并称数列}{x n 的极限为A ，记为x n n lim ∞ →=A. 例1.试用定义验证：01 lim =∞→n n . 证明：分析过程，欲使,1 01ε<=-n n 只需ε 1 > n 即可，故 εεε<->?+?? ? ???=?>?01:,11,0n N n N . 例2.试用定义验证：).11(lim <<-=∞ →q n 证明：分析过程.欲使[]ε <=-n n q q 0， 只需q n lg lg ε > （注意0lg ??? ????????????????=?n q N n q N 对于比较复杂的表达式n n A x α=-，一般地，我们通过运算,适当放大，将n α变形简化到n β，既使得对于0>?ε由不等式εβ时，恒成立不等式εβ

高等数学1.3-函数的极限

第三节 函数的极限（一） 教学目的：（1）理解函数极限和左、右极限的概念； （2）理解无穷小概念，掌握其性质 教学重点：函数极限的概念，无穷小概念 教学难点：函数极限的概念的理解与应用 教学方法：讲授法 教学时数：2课时 本节我们将数列极限的概念推广到一元实值函数，然后研究函数极限的性质及其运算法则. 一、函数极限的概念 1.自变量x 趋于无穷大时函数的极限 1）+∞→x 时的极限： +∞→x 读作“x 趋于正无穷大”，表示x 无限增加，0x > ． 例：对于x x f 1)(= ，当自变量+∞→x 时，x x f 1 )(=与常数0无限接近 ． 复习数列极限的定义：数列{}n x 以a 为极限即a x n n =∞ →lim ? 0>?ε，N ?，N n >时,ε<-a x n ． 令()n f x n =，则()?=∞ →a n f n lim 0>?ε，N ?，当N n >时，()ε<-a n f ．将n 换成连续变量x ，将a 改记为A ，就可以得到x →+∞时，()A x f →的极限的定义及其数学上的精确描述 ． 定义3.1：设函数)(x f 在),(+∞a 内有定义，,A ∈若0>?ε，0X ?>，当x X >时，有()ε<-A x f ，则称数A 为函数()x f 当x →+∞时的极限，记作()lim x f x A →+∞ =， 或()A x f →，（x →+∞） ． 几何意义：对任意给定的0ε>，在轴上存在一点X ，使得函数的图象 {(,)|(),(,)}x y y f x x a =∈+∞在X 右边的部分位于平面带形),(),(εε+-?+∞A A X 内 ． 2）x →-∞时的极限： x →-∞读作“x 趋于负无穷大”，表示x 无限增加，0x < ． 定义：设函数)(x f 在),(a -∞内有定义，,A ∈若0>?ε，0X ?>，当x X <-时，有()ε<-A x f ，则称数A 为函数()x f 当x →-∞时的极限，记作()lim x f x A →-∞ =

数学分析之函数极限

第三章 函数极限 教学目的： 1.使学生牢固地建立起函数极限的一般概念，掌握函数极限的基本性质； 2.理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性； 3.掌握两个重要极限 和 ，并能熟练运用； 4.理解无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数的极限。 教学重（难）点： 本章的重点是函数极限的概念、性质及其计算；难点是海涅定理与柯西准则的应用。 教学时数：14学时 § 1 函数极限概念 （2学时） 教学目的：使学生建立起函数极限的准确概念；会用函数极限的定义证明函数极限等有关命题。 教学要求：使学生逐步建立起函数极限的δε-定义的清晰概念。会应用函数极限的δε-定义证明函数的有关命题，并能运用δε-语言正确表述函数不以某实数为极限等相应陈述。 教学重点：函数极限的概念。 教学难点：函数极限的δε-定义及其应用。 一、 复习：数列极限的概念、性质等 二、 讲授新课： （一） 时函数的极限：

以时和为例引入. 的直观意义. 介绍符号: 的意义, 定义 ( 和 . ) 几何意义介绍邻域 其中为充分大的正数．然后用这些邻域语言介绍几何意义． 例1 验证 例2 验证 例3 验证 证…… 时函数的极限： （二） 由考虑时的极限引入. 定义函数极限的“”定义. 几何意义. 用定义验证函数极限的基本思路.

例4 验证 例5验证 例6 验证 证由= 为使需有 为使需有 于是, 倘限制 , 就有 例7 验证 例8 验证 ( 类似有 （三）单侧极限: 1．定义：单侧极限的定义及记法. 几何意义: 介绍半邻域

然后介绍等的几何意义. 例9 验证 证考虑使的 2.单侧极限与双侧极限的关系: Th 类似有: 例10 证明: 极限不存在. 例11 设函数 在点的某邻域内单调. 若存在, 则有 = §2 函数极限的性质（2学时） 教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。 教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。 教学重点：函数极限的性质及其计算。 教学难点：函数极限性质证明及其应用。 教学方法：讲练结合。 一、组织教学：

考研数学高数公式：函数与极限解读

考研数学高数公式:函数与极限 第一章:函数与极限 第一节:函数 函数属于初等数学的预备知识,在高数的学习中起到铺垫作用,直接考察的内容比较少,但是如果这章节有所缺陷对以后的学习都会有所影响。 基础阶段: 1.理解函数的概念,能在实际问题的背景下建立函数关系; 2.掌握并会计算函数的定义域、值域和解析式; 3.了解并会判断函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性等性质; 4.理解复合函数和反函数的概念,并会应用它们解决相关的问题; 强化阶段: 1.了解函数的不同表现形式:显式表示,隐式表示,参数式,分段表示; 2.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念。 冲刺阶段: 1.综合应用函数解决相关的问题; 2.掌握特殊形式的函数(含极限的函数,导函数,变上限积分,并会讨论它们的相关性质。 第二节:极限

极限可以说是高等数学的基础,极限的计算也是高等数学中最基本的运算。在考试大纲中明确要求考生熟练掌握的基本技能之一。虽在考试中站的分值不大。但是在其他的试题中得到广泛应用。因此这部分学习直接营销到整个学科的复习结果 基础阶段 1.了解极限的概念及其主要的性质。 2.会计算一些简单的极限。 3.了解无穷大量与无穷小量的关系,了解无穷小量的比较方法,记住常见的等价无穷小量。 强化阶段: 1.理解极限的概念,理解函数左右极限的概念及其与极限的关系(数一数二/了解数列 极限和函数极限的概念(数三; ▲2.掌握计算极限的常用方法及理论(极限的性质,极限的四则运算法则,极限存在的两个准则,两个重要极限,等价无穷小替换,洛必达法则,泰勒公式; 3.会解决与极限的计算相关的问题(确定极限中的参数; 4.理解无穷大量和无穷小量的概念及相互关系,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用(数一数二/理解无穷小量的概念,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用,了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系(数三。 冲刺阶段: 深入理解极限理论在微积分中的中心地位,理解高等数学中其它运算(求导,求积分与极限之间的关系,建立完整的理论体系。

函数极限概念

引言 在数学分析中，极限的概念占有主要的低位并以各种形式出现而贯穿全部内容,同时极限概念与方法是近代微积分的基础. 因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环.本文主要对一元函数极限定义和它的求解方法进行了归纳总结,并在具体求解方法中就其中要注意的细节和技巧做了说明, 以便于我们了解函数的各种极限以及对各种极限进行计算.求函数极限的方法较多,但每种方法都有其局限性, 都不是万能的, 对某个具体求极限的问题,我们应该选择合适的方法. 一、函数极限概念 定义1[]1 设f 为定义在[)+∞,a 上的函数，A 为定数.若对任给的ε>0，存在 正数M （a ≥），使得当M x >时有 ()f x A ε-<， 则称函数f 当x 趋于+∞时以A 为极限，记作 lim ()x f x A →+∞ = 或()().f x A x →→+∞ 定义2[]1 （函数极限的ε-δ定义）设函数f 在点 0x 的某个空心邻域0 U （0x ；'δ）内有定义，A 为定数。若对任给的ε>0，存在正数δ（<'δ），使得当0<0x x δ-<时有 ()f x A ε-<， 则称函数f 当x 趋于0x 时以A 为极限，记作 lim ()x f x A →∞ =或0()()f x A x x →→. 定理1[]1 设函数f 在0'0(,)U x δ+（或00(;')U x δ-）内有定义，A 为实数。若 对任给的0ε>，存在正数'()δδ<，使得当00x x x δ<<+（或00x x x δ-<<）时有 ()f x A ε-<， 则称数A 为函数f 当x 趋于0x +（或0x -）时的右（左）极限，记作

高等数学函数极限练习试题

设x x x f += 12)(，求)(x f 的定义域及值域。 ，，，且成立，对一切实数设a f f x f x f x x f x x x f =≠=+)1(0)0()()()()(212121)()()0(为正整数．及求n n f f 定义函数)(x I 表示不超过x 的最大整数叫做x 的取整函数，若)(x f 表示将x 之值保留二位小数，小数第3位起以后所有数全部舍去，试用)(x I 表示)(x f 。 定义函数)(x I 表示不超过x 的最大整数叫做x 的取整函数，若)(x g 表示将x 依4舍5入法则保留2位小数，试用)(x I 表示)(x g 。 在某零售报摊上每份报纸的进价为0.25元，而零售价为0.40元，并且如果报纸当天未售出不能退给报社，只好亏本。若每天进报纸t 份，而销售量为x 份，试将报摊的利润y 表示为x 的函数。 的取整函数，试判定的最大整数叫做表示不超过定义函数x x x I )(的周期性。)()(x I x x -=? 的奇偶性。 判定函数)1ln()1()(x x e x f x x -+?-=+ [ )设，问在，上是否有界？f x e x f x x ()sin ()=+∞0 函数的图形是图中所示的折线，写出的表达式。y f x OBA y f x ==()() ???≤≤-<≤=????≤≤+<≤=．， ； ，．，；，　设64240)(42220)(2 x x x x x x x x x x f [][]．及求)()(x f x f ?? [][]设，； ，． ，求及．f x x x x x f x f x ()()()()=-≤>???=-101021??? ???>-≤=????>≤-=． ，； ，．，　；，设000)(00)(2 x x x x x x x e x f x []．及的反函数求)()()(x f x g x f ? []设，，；，．求．f x x x x x x x x f x ()()()()=+=<≥???1 2002?? []设，； ，　．求．f x x x x f f x ()()=+<≥???2020 ．求．，； ，．，；，设)()( 111)(000)(x x f x x x x x x x x x f ?+? ??≥<+=????≥<=

数学分析中求极限的方法总结

数学分析中求极限的方法 总结 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020

数学分析中求极限的方法总结 1 利用极限的四则运算法则和简单技巧 极限的四则运算法则叙述如下： 定理：如果0 x x lim f x =,lim g x =x x →→A B （）（） （1）[]0 lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±=A ±B （2）[]0 x x lim f x g x =lim f x)lim ()x x x x g x →→→??=A?B （）（）（ （3）若B ≠0 （4）0 x lim c ()lim ()x x x f x c f x c →→?=?=A （5）[]00lim ()lim ()n n n x x x x f x f x →→??==A ????（n 为自然数） 上述性质对于,,x x x →∞→+∞→-∞也同样成立i 由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。 例1. 求225 lim 3x x x →+-的极限 解：由定理中的第三式可以知道 例2. 求3 x →的极限

式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可 例3. 已知 ()1111223 1n x n n = +++ ??-?，求lim n n x →∞ 解： 观察 11=112 2-? 111=2323- ?因此得到 ()1111223 1n x n n = +++ ??-? 所以 1lim lim 11n n n x n →∞→∞ ?? =-= ??? 2 利用导数的定义求极限 导数的定义：函数f(x)在0x 附近有定义，χ??，则 如果 存在， 则此极限值就称函数f(x)在点0x 的导数记为 () 0'f x 。 即 在这种方法的运用过程中，首先要选好f(x)。然后把所求极限都表示成f(x)在定点 x 的导数。

高等数学函数与极限试的题目

高等数学第一章函数与极限试题 一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 （A ） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数,1 1)(1 -= -x x e x f 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点 （C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 3．设f (x)=x x 1 -，x ≠0,1,则f [)(1 x f ]= ( ) A ） 1－x B ） x -11 C ） X 1 D ） x 4．下列各式正确的是 ( ) A ） lim + →x )x 1 +1(x =1 B ） lim + →x )x 1 +1(x =e C ） lim ∞ →x )x 1 1－(x =-e D ） lim ∞ →x )x 1 +1(x -=e 5．已知9)( lim =-+∞→x x a x a x ，则=a ( )。 A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。 6．极限：=+-∞→x x x x )1 1( lim ( ) A.1； B.∞； C.2 -e ； D.2 e 7．极限：∞ →x lim 3 32x x +=（ ） A.1； B.∞； C.0； D.2． 8．极限：x x x 11lim 0-+→=（ ） A.0； B.∞； C 2 1； D.2．

高数数学极限总结

函数极限总结 一．极限的产生 极限理论是研究关于极限的严格定义、基本性质和判别准则等问题的基础理论。 极限思想的萌芽可以追溯到古希腊时期和中国战国时期，但极限概念真正意义上的首次出现于沃利斯的《无穷算数》中，牛顿在其《自然哲学的数学原理》一书中明确使用了极限这个词并作了阐述。但迟至18世纪下半叶，达朗贝尔等人才认识到，把微积分建立在极限概念的基础之上，微积分才是完善的，柯西最先给出了极限的描述性定义，之后，魏尔斯特拉斯给出了极限的严格定义（ε-δ和ε-N 定义）。 从此，各种极限问题才有了切实可行的判别准则，使极限理论成为了微积分的工具和基础。[1] 二．极限知识点总结 1. 极限定义 函数极限：设函数f(x)在点的x 0某一去心邻域内有定义，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数 ，使得当x 满足不等式 时，对应的函数值 都满足不等式： 那么常数A 就叫做函数f(x)?当x →x 0时的极限，记作。[2] 单侧极限：?.左极限：或 ?.右极限：或 定理： 函数当时极限存在的充分必要条件是左、右极限各自存在且相 δ<<|x -x |00ε <-|)(|A x f A x f x x =→)(lim 0 A x f x x =- →)(lim )()(左→→x A x f A x f x x =+ →)(lim )()(右→→x A x f A x f x f A x f x x ==? =+-→)()()(lim 0 )(x f 0x x →

等 即。 2. 极限概念 函数极限可以分成以的极限为例，f(x) 在点x 0以A 为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x 满足不等式 时，对应的函数值f(x)都满足不 等式：|f(x)-A|<ε，那么常数A 就叫做函数f(x)当 x →x 。时的极限。 函数极限具有唯一性、局部有限性、局部保号性[2] 3. 存在准则 有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。 准则Ⅰ.如果数列，及满足以下条件： （1）从某项起，即，当时，有； （2）；， 那么数列的极限存在，且 准则Ⅰ＇如果（1）当（或）时， （2） ，， 那么存在，且等于。 夹逼定理：（1）当时，有??成立 （2） ?,那么，极限存在，且等于A 【准则Ⅰ，准则Ⅰ′合称夹逼定理】 )()()(lim 0 00x f x f x f x x →+-==0,,,x x x x x →-∞→+∞→∞→0x x →{}n x {}n y {}n z +∈?N n 00n n >n n n z x y ≤≤a y n x =∞→lim a z n x =∞ →lim {}n x a x n x =∞ →lim ),(0r x U x ο ∈M x >||)()()(x h x f x g ≤≤A x g x x x =∞→→)(lim ) (0 A x h x x x o =∞→→)(lim ) ()(lim ) (0 x f x x x ∞→→A ),(x 0r x U ο ?()0x f

大学高等数学函数极限和连续

第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ?? ?∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2),

则称f(x)在D 内严格单调增加( )； 若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x ∈X 2.初等函数:

数学分析下——二元函数的极限课后习题

第二节二元函数的极限 1、试求下列极限（包括非正常极限）： （1）；（2）； （3）；（4）； （5）；（6）(x+y)sin； （7）x2+y2. 2、讨论下列函数在点(0,0)的重极限与累次极限： （1）f(x,y)=；（2）f(x,y)=(x+y)sinsin； （3）f(x,y)=；（4）f(x,y)= ； （5）f(x,y)=ysin；（6）f(x,y)=； （7）f(x,y)=. 。f(x,y)存在且等于A；2。y在b的某邻域内，有f(x,y)= 3、证明：若1 (y)则 f(x,y)=A. 4、试应用ε—δ定义证明 =0. 5、叙述并证明：二元函数极限的唯一性定理、局部有界性定理与局部保号性定理. 6、试写出下列类型极限的精确定义： （1） f(x,y)=A；（2）f(x,y)=A. 7、试求下列极限： （1）；（2）(x2+y2)e-(x+y)； （3）(1+)xsiny；（4）. 8、试作一函数f(x,y)使当x+,y+时， （1）两个累次极限存在而重极限不存在； （2）两个累次极限不存在而重极限存在； （3）重极限与累次极限都不存在； （4）重极限与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在. 9、证明定理16.5及其推论3. 10、设f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域U。()上有定义，且满足： （i）在U。()上，对每个y≠y0，存在极限f(x,y)=ψ(y)； （ii）在U。()上，关于x一致地存在极限f(x,y)=(x)(即对任意ε>0，存在δ>0，当0<|y-y0|<δ时，对所有的x，只要(x,y)∈U。()，都有|f(x,y)-(x)|<成立). 试证明 f(x,y)=f(x,y).

数学分析求极限的方法

求极限的方法 具体方法 ⒈利用函数极限的四则运算法则来求极限 定理1①：若极限)(lim 0 x f x x →和)(lim x g x x →都存在，则函数)(x f ±)(x g ，)()(x g x f ? 当0x x →时也存在且 ①[])()()()(lim lim lim 0 .00 x g x f x g x f x x x x x →→→± = ± ②[])()()()(lim lim lim 0 x g x f x g x f x x x x x x →→→?= ? 又若0)(lim 0 ≠→x g x x ，则 ) ()(x g x f 在0x x →时也存在，且有 ) ()() ()(lim lim lim x g x f x g x f x x x x x x →→→= 利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如 ∞ ∞、 0等情况，都不能直接用四则运算法则， 必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。 例1：求2 42 2 lim --- →x x x 解：原式=()() ()022 22lim lim 2 2 =+= -+-- - →→x x x x x x ⒉用两个重要的极限来求函数的极限 ①利用1sin lim =→x x x 来求极限 1sin lim =→x x x 的扩展形为： 令()0→x g ，当0x x →或∞→x 时，则有 ()() 1sin lim =→x g x g x x 或()() 1sin lim =∞ →x g x g x

高等数学(函数及极限)

目录 一、函数与极限 (2) 1、集合的概念 (2) 2、常量与变量 (3) 2、函数 (4) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (5) 5、复合函数 (6) 6、初等函数 (6) 7、双曲函数及反双曲函数 (7) 8、数列的极限 (8) 9、函数的极限 (10) 10、函数极限的运算规则 (11)

一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说 A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B 的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。 ②补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U 的补集。简称为集合A的补集，记作C U A。