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高一数学集合经典题型归纳汇总

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高一数学必修1各章知识点总结

第一章集合与函数概念

一、集合有关概念

1.集合的含义

2.集合的中元素的三个特性：

(1)元素的确定性如：世界上最高的山

(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合

{H,A,P,Y}

(3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合总结：元素的互异性是参考点，常常在求出值的时候必须代回集合察看是否满足该集合中元素是否有重复现象，从而决定值的取舍。

元素与集合之间的关系：属于-- 不属于--

常有集合N Z R Q 加星号或者+号表示对应集合的正的集合

3.集合的表示：{ …} 如：{我校的篮球队员}，{太平

洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队

员},B={1,2,3,4,5}

(2)集合的表示方法：列举法与描述法。

注意：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集）记作：N

正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R

1）列举法：{a,b,c……}

2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x R| x-3>2} ,{x|

x-3>2}

3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

4）Venn图:通常元素是很具体的值的时候，或者在考察抽象集合之间的关系的时候，我们常常考虑用

venn图来表示。

4、集合的分类：

(1)有限集含有有限个元素的集合

(2)无限集含有无限个元素的集合

(3)空集不含任何元素的集合，空集在集合这个章节

中非常重要，特别是在集合之间的关系的题中经

常出现，很容易考虑掉空集。例：{x|x2=－5｝

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

注意：B

A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）

A与B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,

记作A?/B或B?/A

2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)

实例：设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则

两集合相等”

即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A

②真子集:如果A?B,且A≠ B那就说集合A是集合B的

真子集，记作A B(或B A)

③如果A?B, B?C ,那么A?C

④如果A?B 同时B?A 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合

的真子集。

有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集，非空真子集个数2n-1

三、集合的运算

运算

类型

交集并集补集

定义由所有属于A且属

于B的元素所组成

的集合,叫做A,B的

交集．记作A I B

（读作‘A交B’），

即A I B=｛x|x∈A，

且x∈B｝．

由所有属于集合A或

属于集合B的元素所

组成的集合，叫做A,B

的并集．记作：A Y B

（读作‘A并B’），

即A Y B ={x|x∈A，

或x∈B})．

设S是一个集合，A

是S的一个子集，由S

中所有不属于A的元

素组成的集合，叫做S

中子集A的补集（或

余集）

记作A

，即

C S A=},|{A x S x x ?∈且

韦恩图示

A B

图1

图2

性质

A I A=A A I Φ=Φ A I B=

B I A A I B ?A A I B ?B

A Y A=A A Y Φ=A A Y B=

B Y A A Y B ?Ａ A Y B ?B

(C u A) I (C u B)

= C u (A Y B) (C u A) Y (C u B)

= C u (A I B) A Y (C u A)=U A I (C u A)= Φ．

例题：

1.下列四组对象，能构成集合的是（） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数

2.集合{a ，b ，c }的真子集共有个

3.若集合M={y|y=x 2-2x+1,x ∈R},N={x|x ≥0}，则M 与N 的关系是 .

4.设集合A=}

{12x x <<，B=}

{

x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是

5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验

做得正确得有31人，

两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有人。

6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M= .

7.已知集合A={x| x 2+2x-8=0}, B={x| x 2-5x+6=0}, C={x| x 2-mx+m 2-19=0}, 若B ∩

C ≠Φ，A ∩C=Φ，求m 的值

第一节集合

一元素互异性的考察

1由实数x ，－x ，｜x ｜所组成的集合，其元素最多有______个．

2集合{3，x ，x 2－2x }中，x 应满足的条件是______．

3、已知集合S={}c b a ,,中的三个元素分别是ABC ?的三边长，那么ABC ?一定不是（） A. 锐角三角形 B.直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形

4由实数x,-x,|x|,2x ,-33x 所组成的集合，最多含有元素的个数为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

5、设a 、b 、c 为非零实数，则x=abc abc c c b b a a +++的所有值组成的集合为（）

A.{}4

B. {}4-

C. {}0

D. {}4,4,0-

二元素与集合之间的关系的考察

1对于集合A ＝{2，4，6}，若a ∈A ，则6－a ∈A ，那么a 的值是______

2．设A 表示集合{2，3，a 2＋2a －3}，B 表示集合{a ＋3，2}，若已知5∈A ，且5?B ，求实数a 的值．

3设a 、b ∈Z ，E ＝{(x ,y )|(x －a )2＋3b ≤6y }，点(2，1)∈E ，但(1，0)?E ，(3，2)?E 。

求a 、b 的值。

4给出下列关系：

（１）

;R =1

（２）2;Q ? （３）3;N +-? （４）3.Q -∈

其中正确的个数为（）

Ａ．１个Ｂ．２个

Ｃ．３个

Ｄ．４个

5若，求实数的值。

三一元二次方程与集合

1已知集合A ＝{x ｜ax 2－3x ＋2＝0}，其中a 为常数，且a ∈R

①若A 是空集，求a 的范围；

②若A 中只有一个元素，求a 的值；

③若A 中至多只有一个元素，求a 的范围．

2已知集合A ＝{p ｜x 2＋2(p －1)x ＋1＝0，x ∈R }，求集合B ＝{y ｜y ＝2x －1，x ∈A }．

3若方程x 2＋mx ＋n ＝0(m ，n ∈R )的解集为{－2，－1}，则m ＝______，n ＝______．

4、集合{}02|2=+-m x x x 含有两个元素，则实数m 满足的条件为＿＿

5若集合A ＝{x ｜x 2＋(a －1)x ＋b ＝0}中，仅有一个元素a ，则a ＝______，b ＝______．

6设一元二次方程ax 2+bx+c=0(a<0)的根的判别式042=-=?ac b ，则不等式ax 2+bx+c ≥0的解集为（）

A 、R

B 、φ

C 、{a b x x 2-

≠} D 、{a

2-}

7、若方程8x 2+(k+1)x+k-7=0有两个负根，则k 的取值范围是

8、已知方程x 2-(k 2-9)+k 2-5k+6=0的一根小于1，另一根大于2，求实数k 的取值范围。

9已知集合A={}

.,0232R a x ax R x ∈=+-∈

1）若A 是空集，求a 的取值范围；

2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来； 3）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围

10若集合只有一个元素，则实数的值为

11M ={x |x 2＋2x －a =0，x ∈R}≠φ，则实数a 的取值范围是 ……………………………………（）

(A)a ≤－1 (B ) a ≤1 (C ) a ≥－1 (D ) a ≥1.

12已知集合A ={x |x 2－p x ＋15=0}，B ={x |x 2－5x ＋q =0}，如果A ∩B ={3}，那么p ＋q = .

四提示元素的考察，我们看集合的时候注意提示元素，提示元素决定了集合的元素 1用列举法把下列集合表示出来：

①A =};99

|{N N ∈-∈x

x ②B =};|99

{

N N ∈∈-x x

③C ＝{y ｜y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N }；

④D ＝{(x ，y )｜y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N }； ⑤E ＝?∈∈=+=*},,5,|{N N q p q p x q

2 A=(){}**,,4|,N y N x y x y x ∈∈=+;B=?

???∈∈+Z x Z x |16

3设集合B=?

???∈+∈N x N x 26|

（1）试判断实数1、实数2与集合B 的关系；（2）用列举法表示集合B 。

2、方程组

﹛

=+=-y x y x 的解集是（）

A. {}1,2-==y x

B. {}1,2-

C.(){}1,2-

D.()2,1-

3方程组

﹛

010

22=--=-+y x y x 的解集是①{

}0,1; ②{}0y 1==或x ; ③(){}0,1 ④(){}0y 1|y x ==且，x .其中正确表示的是（）

A. ①②

B. ①③

C. ②③

D. ③④

4方程x 2

-5x+6=0的解集可表示为

方程组的解集可表示为?

??=-=+02313

32y x y x

5已知全集?

???∈∈-=Z a N a a M 且56|,则M=( )

A 、{2，3}

B 、{1，2，3，4}

C 、{1，2，3，6}

D 、{-1，2，3，4}

五对应下列的类型题最好取对应的一系列的值

1．已知M ＝{m ｜m ＝2k ，k ∈Z }，X ＝{x ｜x ＝2k ＋1，k ∈Z }，Y ＝{y ｜y ＝4k ＋1，k ∈Z }，则( )

A ．x ＋y ∈M

B ．x ＋y ∈X

C ．x ＋y ∈Y

D ．x ＋y ?M

2集合A={x Z k k x ∈=,2} B={Z k k x x ∈+=,12} C={Z k k x x ∈+=,14}

又,,B b A a ∈∈则有（）

A 、（a+b ）∈ A

B 、 (a+b) ∈B

C 、(a+b) ∈ C

D 、 (a+b) ∈ A 、B 、C 任一个

一、子集、真子集、非空真子集个数的考察

1集合{1，2，3}的真子集共有（） A 、5个 B 、6个 C 、7个 D 、8个

2集合{a,b,c}的所有子集是真子集是；非空真子集是

3满足条件{1,2,3}?≠M ?≠{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是

（）

A 、8

B 、7

C 、6

D 、5

4若｛1，2，3｝A ?｛1，2，3，4｝，则A ＝______

二、集合与集合的关系，特殊的条件：

1设集合A={23≤≤-x x },B={x 1212+≤≤-k x k },且A ?B ，则实数k 的取值范围是。

2已知集合P M ,满足M P M =Y ，则一定有（）

A 、P M =

B 、P M ?

C 、 M P M =I

D 、P M ? 3已知A ＝｛x ｜x ＜3}，B ＝｛x ｜x ＜a }

(1)若B ?A ，则a 的取值范围是______ (2)若A B ，则a 的取值范围是______

4设A ＝｛x ｜x 2－8x ＋15＝0｝，B ＝｛x ｜ax －1＝0｝，若B ?A ，求实数a 组成的集合 5已知M={x | x 2

-2x-3=0},N={x | x 2

+ax+1=0,a ∈R},且N ?

≠M,求a 的取值范围、 6集合},02{2R x a x x x M ∈=-+=，且φ

M ，则实数a 的范围是（） A 、1-≤a B 、1≤a C 、1-≥a

D 、1≥a

7（本小题满分12分）已知集合

，

，且

，求实数

的取值范围。

8已知集合A ＝｛x ∈R ｜x 2+2ax+2a 2-4a+4＝0｝，若φA ，则实数a 的取值是 9设

，

，若

，则实数的取值范围是（）（A ）

（B ）

（C ）

（D ）