2007年高考.山东卷.理科数学试题及解答

2007年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）

理科数学

一 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项。

1 若cos sin z i θθ=+（i 为虚数单位），则21z =-的θ值可能是

（A ）6π （B ） 4π （C ）3π （D ） 2

π

2 已知集合{}1,1M =-，1124,2x N x x Z +??

=<<∈????

，则M N ?=

（A ）{}1,1- （B ） {}1- （C ）{}0 （D ） {}1,0-

3下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是

（A ）(1),(2) （B ） (1),(3) （C ）(1),(4) （D ） (2),(4)

4 设11,1,,32a ??∈-???

?，则使函数y x α=的定义域为R 且为奇函数的所有α值为

（A ）1,3 （B ） 1,1- （C ）1,3- （D ） 1,1,3-

5 函数sin(2)cos(2)63

y x x ππ

=+

++的最小正周期和最大值分别为 （A ）,1π （B ）

π（C ）2,1π （D ）

2π

6 给出下列三个等式：()()()f xy f x f y =+，()()()f x y f x f y +=，

()()

()1()()

f x f y f x y f x f y ++=

-。下列函数中不满足其中任何一个等式的是

（A ）()3x

f x = （B ） ()sin f x x = （C ）2()lo

g f x x = （D ） ()tan f x x =

7 命题“对任意的x R ∈，32

10x x -+≤”的否定是

（A ）不存在x R ∈，3

2

10x x -+≤ （B ）存在x R ∈，3

2

10x x -+≤

（C ）存在x R ∈，3210x x -+> （D ）对任意的x R ∈，32

10x x -+>

8 某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组， 成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等

于18秒且小于19秒。右图是按上述分组方法得到的频率分

布直方图。设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分 比为x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y ， 则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为 （A ）0.9,35 （B ） 0.9,45 （C ）0.1,35 （D ） 0.1,45

秒

9 下列各小题中，p 是q 的充要条件的是

（1）:2p m <或6m >；2

:3q y x mx m =+++有两个不同的零点。

（2）()

:

1;()

f x p f x -= :()q y f x =是函数。 （3）:cos cos ;p αβ= :tan tan q αβ=。 （4）:;p A B A ?= :U U q C B C A ?。

（A ）(1),(2) （B ） (2),(3) （C ）(3),(4) （D ） (1),(4)

10 阅读右边的程序框图，若输入的n 是100，则输出的

变量S 和T 的值依次是

（A ）2500,2500 （B ） 2550,2550 （C ）2500,2550 （D ） 2550,2500

11.在直角ABC ?中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式

不成立的是

（A ）2AC AC AB =?u u u r u u u r u u u r （B ） 2BC BA BC =?u u u r u u u r u u u r

（C ）2AB AC CD =?u u u r u u u r u u u r （D ） 22

()()AC AB BA BC CD AB

???=u u u r u u u r u u u r u u u r

u u u r u u u r

12 位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是

1

2

.质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率为 （A ）51()2 （B ） 2551()2C （C ）33

51()2

C （

D ） 235551()2C C

第Ⅱ卷（共90分）

注意事项：

1.用黑色或蓝色钢笔、圆珠笔直接答在试题卷上. . 得 分 评卷人

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案须填在题中横线上.

(13)设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2

=2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60°,则OA 为 .

(14)设D 是不等式组????

???≥≤≤≥+≤+1

,40,32102y x y x y x ，表示的平面区域，则D 中的点P （x ,y ）到直线x +y =10距离的最

大值是 .

(15)与直线x +y -2=0和曲线x 2+y 2

-12x -12y +54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是 .

(16)函数y =log a (x +3)-1(a >0,a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx +ny +1=0上，其中mn >0,则

n

m 2

1+的最小值为 .

6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)设数列{}n a 满足a 1+3a 2+32

a 3+…+3n -1

a n =

N*,3

∈n n

. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项； （Ⅱ）设b n =

n

a n

，求数列{}n b 的前

n 项和S n . （18）（本小题满分12分）

设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程2

0x bx c ++=实根的个数（重根按一个计）．

（Ⅰ）求方程2

0x bx c ++=有实根的概率； （Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望；

（Ⅲ）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程2

0x bx c

++=有实根的概率． （19）（本小题满分12分）

如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知122DC DD AD AB ===，AD DC ⊥，AB DC ∥． （Ⅰ）设E 是DC 的中点，求证：1D E ∥平面11A BD ； （Ⅱ）求二面角11A BD C --的余弦值．

B

C

D A

1A

1D

1C

1B

E

得 分 评卷人

(20)(本小题满分12分)如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达A 1处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 1处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？ 得 分 评卷人 分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3；最小值为1； （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）若直线l 1y =kx +m 与椭圆C 相交于A ,B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标. 得 分 评卷人

分)设函数f (x )=x 2

+b ln(x +1),其中b ≠0. (Ⅰ)当b >

2

1

时，判断函数f (x )在定义域上的单调性； （Ⅱ）求函数f (x )的极值点；

（Ⅲ）证明对任意的正整数n ,不等式ln(3211)11(n

n n

->+)都成立.

参考答案：

DBDAAB ，CADDCB 13．【答案】:

21

p 14．【答案】:4 2.

15．【答案】:. 2

2

(2)(2)2x y -+-= 16．【答案】: 8。

17【答案】: (I)2

1

12333 (3)

,3n n n a a a a -+++=

2212311

33...3(2),3

n n n a a a a n ---+++=≥

111

3(2).333n n n n a n --=-=≥

1

(2).3

n n a n =≥

验证1n =时也满足上式，*

1().3

n n a n N =∈

(II) 3n

n b n =?，

23132333...3n n S n =?+?+?+?

231233333n n n S n +-=+++-?

1

1332313

n n n S n ++--=

-?-， 1113

33244

n n n n S ++=?-?+?

18【答案】:（I ）基本事件总数为6636?=，

若使方程有实根，则2

40b c ?=-≥

，即b ≥。 当1c =时，2,3,4,5,6b =； 当2c =时，3,4,5,6b =； 当3c =时，4,5,6b =； 当4c =时，4,5,6b =； 当5c =时，5,6b =； 当6c =时，5,6b =,

目标事件个数为54332219,+++++=

因此方程2

0x bx c ++= 有实根的概率为19.36

(II)由题意知，0,1,2ξ=，则

17(0)36P ξ==，21(1),3618P ξ===17

(2)36

P ξ==，

故ξ的分布列为

ξ的数学期望012 1.361836

E ξ=?

+?+?= (III)记“先后两次出现的点数中有5”为事件M ，“方程2

0ax bx c ++= 有实根” 为事件N ，则

11()36P M =

，7

()36

P MN =， 23413132333...3n n S n +==?+?+?+?

()7

()()11

P MN P N M P M =

=.

19【答案】:(I)连结BE ，则四边形DABE 为正方形， 11BE AD A D ∴==，且11BE AD A D P P ， 11A D EB ∴四边形为平行四边形， 11D E A B ∴P .

1111D E A BD A B A BD ??Q 平面，平面， 11.D E A BD ∴P 平面

(II) 以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，不妨设

1DA =，则11(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,2),(1,0,2).D A B C A 1(1,0,2),(1,1,0).DA DB ∴==u u u u r u u u r

设(,,)n x y z =r

为平面1A BD 的一个法向量， 由1,n DA n DB ⊥⊥r u u u u r r u u u r 得200x y x y +=??+=?

， 取1z =，则(2,2,1)n =--r

.

设111(,,)m x y z =u r

为平面1C BD 的一个法向量， 由,m DC m DB ⊥⊥u r u u u r u r u u u r 得11112200

y z x y +=??+=?，

取11z =,则(1,1,1)m =-u r

.

cos ,m n m n m n

?<>==

=u r r

u r r u r r 由于该二面角11A BD C --为锐角， 所以所求的二面角11A BD C --

20【答案】解如图，连结12A B

，22A B =

1220

60

A A =

?= 122A A B ?是等边三角形，1121056045B A B ∠=?-?=?，

在121A B B ?中，由余弦定理得

22212111211122

2

2cos 4520220200

2

B B A B A B A B A B =+-??

=+-??=，

12B B =

因此乙船的速度的大小为

6020

=

答：乙船每小时航行海里.

21【答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为22

221(0)x y a b a b

+=>>

3,1a c a c +=-=，22,1,3a c b ===

22 1.43

x y ∴+= (II)设1122(,),(,)A x y B x y ，由2214

3y kx m

x y =+??

?+=??得

222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，

22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +->.

2121222

84(3)

,.3434mk m x x x x k k

-+=-?=++ 222

2

121212122

3(4)

()()().34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+++=+

Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 1AD BD k k ?=-，

1212122

y y

x x ∴?=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 2222223(4)4(3)1640343434m k m mk

k k k --+++=+++，

2271640m mk k ++=，解得

1222,7

k

m k m =-=-，且满足22340k m +->.

当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；

当27k m =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2

(,0).7

综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2

(,0).7

22【答案】(I) 函数2

()ln(1)f x x b x =++的定义域为()1,-+∞.

222'()211

b x x b

f x x x x ++=+=++，

令2

()22g x x x b =++，则()g x 在1,2??-+∞ ???上递增，在11,2??-- ??

?上递减，

min 11

()()22

g x g b =-=-+.

当12b >时，min 1

()02

g x b =-+>，

2()220g x x x b =++>在()1,-+∞上恒成立.

'()0,f x ∴>

即当1

2

b >时,函数()f x 在定义域()1,-+∞上单调递增。

（II ）分以下几种情形讨论： （1）由（I ）知当1

2

b >

时函数()f x 无极值点.

（2）当12b =时，2

12()2'()1x f x x +=+， 11,2x ?

?∴∈-- ??

?时，'()0,f x >

1,2x ??

∈-+∞ ???时，'()0,f x >

1

2

b ∴=时，函数()f x 在()1,-+∞上无极值点。

（3）当12

b <时，解'

()0f x =

得两个不同解1x =

2x =.

当0b <

时，11x =

<-

，21x =>-， ()()121,,1,,x x ∴?-+∞∈-+∞

此时()f x 在()1,-+∞

上有唯一的极小值点2x =.

当1

02

b <<

时，()12,1,,x x ∈-+∞ '()f x 在()()121,,,x x -+∞都大于0 ，'()f x 在12(,)x x 上小于0 ，

此时()f x

有一个极大值点112x --=

和一个极小值点212

x -+=.

综上可知，0b <时，()f x 在()1,-+∞

上有唯一的极小值点212

x -+=；

1

02

b <<时，()f x

有一个极大值点112x -=

和一个极小值点212x -+=； 1

2

b ≥时，函数()f x 在()1,-+∞上无极值点。

（III ） 当1b =-时，2

()ln(1).f x x x =-+

令3

3

2

()()ln(1),h x x f x x x x =-=-++则

32

'

3(1)()1

x x h x x +-=+在[)0,+∞上恒正，

()h x ∴在[)0,+∞上单调递增，当()0,x ∈+∞时，恒有()(0)0h x h >=.

即当()0,x ∈+∞时，有3

2

ln(1)0,x x x -++>2

3

ln(1)x x x +>-，

对任意正整数n ，取1x n =得23111ln(1)n n n

+>-