高等数学作业(高升专)答案
高等数学作业答案
（高起专）
第一章函数作业（练习一）参考答案
一、填空题
1．函数x x x f -+-=
5)
2ln(1
)(的定义域是]5,3()3,2(
2.函数3
9
2--=
x x y 的定义域为),3(]3,(+∞?--∞。
3．已知1)1(2+=-x e f x ，则)(x f 的定义域为()+∞-,1 4．函数1
1
42-+
-=
x x y 的定义域是),2[]2,(∞+--∞ 。 5．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f 62
-x 二、单项选择题
1. 若函数)(x f y =的定义域是[0，1]，则)(ln x f 的定义域是( C ) .
A . ),0(∞+
B . ),1[∞+
C . ]e ,1[
D . ]1,0[ 2. 函数x y πsin ln =的值域是( D ).
A . ]1,1[-
B . ]1,0[
C . )0,(-∞
D . ]0,(-∞ 3．设函数f x ()的定义域是全体实数，则函数)()(x f x f -?是（C ）． A.单调减函数； B.有界函数；
C.偶函数；
D.周期函数
4．函数)1,0(1
1
)(≠>+-=a a a a x x f x
x （ B ） A.是奇函数； B. 是偶函数；
C.既奇函数又是偶函数；
D.是非奇非偶函数。 5．若函数221
)1(x
x x x f +=+
，则=)(x f （B ） A.2
x ； B. 22
-x ； C.2
)1(-x ； D. 12
-x 。
6．设1)(+=x x f ，则)1)((+x f f =（ D ）．
A ． x
B ．x + 1
C ．x + 2
D ．x + 3
7． 下列函数中，（B ）不是基本初等函数．
A ． x
y )e
1
(= B ． 2ln x y = C ． x
x
y cos sin =
D ． 35x y = 8．设函数???>≤=0,
00,cos )(x x x x f ，则)4(π
-f =（C
）．
A ．)4(π
-
f =)4
(π
f B ．)2()0(πf f =
C ．)2()0(π-=f f
D ．)4
(π
f =
2
2
9. 若函数1)e (+=x f x ，则)(x f = ( C ) .
A . 1e +x
B . 1+x
C . 1ln +x
D . )1ln(+x
10. 下列函数中=y （B ）是偶函数.
A . )(x f
B . )(x f
C . )(2x f
D . )()(x f x f --
第二章极限与连续作业（练习二）参考答案
一、填空题
1．________________sin lim
=-∞
→x
x
x x 答案：1
2.已知22
lim 2
22=--++→x x b
ax x x ，则=a 2, =b -8。 3.已知∞=---→)
1)((lim 0x a x b
e x x ，则1,0≠=∴b a
4．函数?????≥+<=0
1
01sin
)(x x x x
x x f 的间断点是x = 0 。
5．极限=→x
x x 1
sin
lim 0
0 ． 6．当1≠k 时，???<+≥+=0
01
)(2
x k
x x x x f 在0=x 处仅仅是左连续．
7．要使x
x
x f cos 1)(-=
在0=x 处连续，应该补充定义=)(o f 0 二、单项选择题
1．已知0)1
(
lim 2
=--+∞→b ax x x x ，其中a ,b 是常数，则（C ） (A) 1,1==b a , (B) 1,1=-=b a (C) 1,1-==b a (D) 1,1-=-=b a 2．下列函数在指定的变化过程中，（B ）是无穷小量。 A.e 1
x
x ,
()→∞； B.
sin ,()x
x
x →∞； C. ln(),()11+→x x ； D.
x x x +-→11
0,()
3．下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是（C ）
(A))(1
sin
∞→=x x
x y ; (B)())(1∞→=-n n y n ; (C))0(ln +→=x x y ； (D))0(1
cos 1→=x x
x y
4.)(0,arctan 121)(11
x f x x e
e x
f x
x
是则=+-=
的（ A ）.
（A ）可去间断点 （B ）跳跃间断点 （C ）无穷间断点 （D ）振荡间断点
5.若)
1()(--=x x a
e x
f x ，0=x 为无穷间断点，1=x 为可去间断点，则=a （ C ）.
（A ）1 （B ）0 （C ）e （D ）e -1
第三章 微分学基本理论作业（练习三）参考答案
一、填空题
1.设)3sin()cos 1()(21
x x x x f x -+=+，则=')0(f -6 .
2．000)
()(lim
x x x xf x f x x x --→＝()[]()()()()0000
0000)(lim 0x f x f x x x x x x f x f x f x x x -'----=→
3.已知
31[()]d f x dx x =，则()f x '=1
3x
。 4. 设()()()n x x x x y -??--= 21, 则()
=+1n y
(1)!n +
5．2
)(x x f =，则__________)1)((=+'x f f 2)12(+x 或1442
++x x
6．函数)
1ln(4222
y x y x z ---=的定义域为{10|),(22<+ 7． 已知22),(xy y x y x y x f +=-+,则22(,)()4 x f x y x y =- 8．设2 2),(y x x xy y x f ++=,则=')1,0(x f 2 。=')1,0(y f 0 9.由方程2222=+++z y x xyz 确定的函数z=z （x,y ）,在点（1，0，-1 ）处的全微分 dz dx = 10． 设,,cos ,sin 32t y t x y x z ==+=则22sin 3cos dz x t t y dt =-+ 二、选择题 1．下列命题正确的是（ D ） (A)00()[()]f x f x ''=; (B)()()x f x f x x '='+ →+0 lim 0; (C)0 ()() lim ()x f x x f x f x x ?→-?-'=? (D)0()0f x '=表示曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线与x 轴平行 2．设????? ≤>=0 ,0 ,1sin )(x x x x x x f ，则)(x f 在0=x 处（B ） A ．连续且可导 B ．连续但不可导 C ．不连续但可导 D ．既不连续又不可导 3．曲线x x y -=3 在点（1，0）处的切线是（A ）． A ． 22-=x y B ． 22+-=x y C ． 22+=x y D ． 22--=x y 4．已知4 4 1x y = ，则y ''=（ B ）． A . 3x B . 2 3x C . x 6 D . 6 5．若x x f =)1 (，则=')(x f （ D ）。 A ． x 1 B ．21x C ．x 1- D ．21x - 6． 2 2ln y x z -=的定义域为（D ）． A ．122≥-y x B ．022≥-y x C ．122>-y x D ． 022>-y x 7.下列极限存在的是（ D ） （A ）y x x y x +→→00lim （B ）y x y x +→→1lim 0 0 （C ）y x x y x +→→200lim （D ）y x x y x +→→1sin lim 00 8．),(y x f 在(x 0,y 0)处x f ??，y f ??均存在是),(y x f 在),(00y x 处连续的（ D ）条件。 （A ）充分 （B ）必要 （C ） 充分必要 （D ）既不充分也不必要 9.设)(),( t f xy y x xyf u +=可微，且满足),(22y x uG y u y x u x =??-??则G(x,y)=（ B ）． (A)y x + (B)y x - (C)22y x - (D)2)(y x + 10.肯定不是某个二元函数的全微分的为（ B ） （A ）xdy ydx + (B) xdy ydx - （C ）ydx xdx + （D ）ydx xdx - 第四章微分学应用作业（练习四）参考答案 一、填空题 1．函数y x =-312 ()的驻点是x =1，单调增加区间是(,)1+∞，单调减少区间是(,)-∞1极值点是x =1，它是极 小 值点. 2．函数x y =在=x 0 处达到最小值，y 的驻点 不存在 . 3. 若f x ()在(,)a b 内满足' 4.函数y x xy xy y x f 2 2),(--=的可能极值点为 和 。（13，13 ） 5.设||)1(sin ),(22xy x y x y x f -+=则_____________)0,1('=y f 1 二、选择题 1．设)(x f 在),0[+∞内可导,0)0(,0)('<>f x f ,则)(x f 在),0(+∞内（ ）. (A ) 只有一点1x ,使0)(1=x f ； (B ) 至少一点1x ,使0)(1=x f ； (C) 没有一点1x ,使0)(1=x f ； (D ) 不能确定是否有1x ,使0)(1=x f . 解：选(D ). 2．当x > 0 时，曲线x x y 1 sin =（ ）. (A ) 有且仅有水平渐近线； (B ) 有且仅有铅直渐近线； (C ) 既有水平渐近线也有铅直渐近线； (D ) 既无水平渐近线也无铅直渐近线. 解：选(A ). 3.设0)(=x x f 在的某个邻域内连续，且0)0(=f ，12 sin 2)(lim 2 =→x x f x ，则在点0=x 处) (x f 选(D ).. （A ）不可导 （B ）可导，且0)0(≠'f （C ）取得极大值 （D ）取得极小值 4.若))(()(+∞<<-∞=-x x f x f ，在),0(,0)(,0)()0,(+∞<''>'-∞则在内x f x f 内（ C ）. （A ）0)(,0)(<''>'x f x f （B ）0)(,0)(>''>'x f x f （C ）0)(,0)(<''<'x f x f （D ）0)(,0)(>''<'x f x f 5．设)(x f 为奇函数，且0>x 时0)(>'x f ，则)(x f 在]1,10[--上的最大值为（ ） A ．)10(-f B ．)1(-f C ．)10(f D ．)1(f 解：（B ） 6．函数2 2 )(4),,(y x y x z y x f ---= (A ) (A)、有极大值8 （B ）、有极小值8 （C ）无极值 （D ）有无极值不确定 7．函数0(),(2 2>-=a ay x y x f 为常数）在（0，0）处（A ） （A ）不取极值 （B ）取极小值（C ）取极大值 （D ）是否取极值与a 有关 8．当12 2=+y x 时，函数) (2222 )(),(y x e y x y x f +-+=（B ） （A ）不取极值 （B ）取极大值1 -e (C) 取极小值1 -e （D ）取极大值e 9．如果点),(00y x 有定义且),(y x f 在),(00y x 的某邻域内有连续二阶偏导，?=B 2-AC ， A=)(0,0y x f xx ''，B=)(0,0y x f xy ''，C=)(0,0y x f YY ''，则当（C ），),(y x f 在),(00y x 取 极 大值。 （A ）?>0,A>0 (B)?<0,A>0 （C ）?<0,A<0 （D ）?>0,A<0 10.函数x y x y x z 9332233-++-=的极值点有（C ） （A ）（1，0）和（1，2） （B ）（1，0）和（1，4） （C ）（1，0）和（-3，2） （D ）（-3，0）和（-3，2） 第五章 积分学基本理论及应用作业（练习五）参考答案 一、填空题 1. =??dx x f d d dx d )( .)()(x f dx x f d d dx d =??. 2.?? ? ??-≠++-=++=++?.2 ,)cos (sin 21, 2 ,cos sin ln 2cos )cos (sin 2 n x x n n C x x xdx x x n n 3.设)(x f 是连续函数，且 x dt t f x =? -1 3)(，则12 131 )7(2 2 = = =x x f . 4．若 2 1 d e 0 = ? ∞+-x kx ，则2=k 5.设D 由x 轴、y 轴及直线1x y +=围成，则()22 ln D x y d σ+??≥()3 ln D x y d σ+??（选填“≥”或“≤”）. 6.交换 ? ? -1 10 ),(x dy y x f dx 的次序为 . 解 交换积分次序，D ：（Y —型）01 01y x y ≤≤?? ≤≤-? ?? -=10 10 ),(y dx y x f dy I 7.设D 为422≤+y x ，则 σd e D y x ??+2 2 的极坐标形式的二次积分为2 2200d d r I e r r πθ=??? 8．设均匀薄片所占区域D 为：0,12222≥≤+y b y a x 则其重心坐标为故0x =4 3x M b y M π?== 9． 设函数f(x,y)连续，且满足?? +=D y d y x f x y x f 2),(),(σ，其中,:222a y x D ≤+则 .4 ),(4 2 x a y y x f π+ = 10．求曲线2 ,42 2 ay x ax y = =所围成图形的面积为22 3a ，（a>0） 二、选择题 1. ? =-)(x e xd ( B )。 A. c xe x +- B. c e xe x x ++-- C. c xe x +-- D. c e xe x x +--- 2. 下列定积分中积分值为0的是(A )。 A. ?---112 dx e e x x B. ?--+1 12dx e e x x C. ?- +π πdx x x )cos (3 D. ?- +π πdx x x )sin (2 3．下列无穷积分收敛的是（ D ） A 。 x x d sin 0 ? ∞ - B 。x x d e 0 ?∞ -- C 。x x d 1 1 ?+∞ D 。x x d 112?+∞ 4.设的值则为周期的连续函数是以? +=T a a dx x f I T x f )(,)(（D ）. （A ）依赖于T a , （B ）依赖于x T a 和, （C ）依赖于x T ,，不依赖于a （D ）依赖于T ，不依赖于a 5.曲线)0( sin 2 3 π≤≤=x x y 与x 轴围成的图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为（B ）. （A ） 34 （B ）π34 （C ）23 2π （D ）π32 6.设?-+=2 2 42cos 1sin ππxdx x x M ，?- +=2 2 43)cos (sin π πdx x x N ， ?--=2 2 432)cos sin (π πdx x x x P ，则有（D ）. （A ）M P N << （B ）N P M << （C ）P M N << （D ）N M P << 7．下列不定积分中，常用分部积分法的是（ B ）。 A ．x x x d sin 2 ? B ．x x x d )12sin(? + C ． x x x d ln ? D ．x x x d 1?+ 8．设dxdy y x I y x 3 1 24 2 )1(2 2 --= ??≤+，则必有（D ） （A ）I>0 (B)I<0 (C)I=0 （D ）I ≠0的符号位不能确定 9．设f(t)是可微函数，且f(0)=1，则极限（dxdy y x f t t y x t )( 1 lim 2 22223 ??≤+→++ π）( C ) （A ）等于0 （B ）等于)0('3 2 f (C) 等于+∞ （D ）不存在且非∞ 10．设??????+=+=+= D D D d y x I d y x I d y x I 33214,4,4σσσ其中 32122,,,2)1()1(:I I I y x D 则≤-+-的大小关系时（A ） （A ）321I I I <<（B ）123I I I << （C ）312I I I << （D ）231I I I << 第六章 无穷级数作业（练习六）参考答案 一、填空题： 1. ∑∞ =--1 2 2212n n n x n ； )2,2(-. 2.函数x x f += 11)(在00=x 处的幂级数为x +11 ＝)1,1(-∈x 3.函数21)(+=x x f 展开成)1(-x 幂级数，则展开式中3 )1(-x 的系数是8113 )1(43-=-. 4.若级数 ∑∞ =1 n n u 的前n 项部分和是：) 12(21 21+-= n S n ，则=n u . 解：) 12)(12(1 ])12(2121[])12(2121[1+-=---+- =-=-n n n n S S u n n n . 5.极限 ! lim n n p n ∞→（p 为任意常数）的值等于 0 . 二、选择题： 1.下列说法正确的是 (D ). （A ）若级数 ∑∞ =1n n u 收敛，且n n v u ≥，则 ∑∞ =1 n n v 也收敛 （B ）若 ||1 n n n v u ∑∞ =收敛，则∑∞ =1 2 n n u 和∑∞ =1 2 n n v 都收敛 （C ）若正项级数 ∑∞ =1 n n u 发散，则n u n 1≥ （D ）若 ∑∞ =1 2n n u 和 ∑∞ =12n n v 都收敛，则 21 )(n n n v u +∑∞ =收敛 2.设幂级数∑∞ =1n n n x a 与∑∞ =1n n n x b 的收敛半经分别为31 35与，则幂级数∑∞ =122n n n n x b a 的收敛半经 为（ A ）. （A ）5 （B ） 3 5 （C ）31 （D ）51 3.常数0>λ，且级数 ∑∞=1 2 n n a 收敛，则级数∑∞ =+-1 2 ||)1(n n n n a λ (C ). （A ）发散 （B ）条件收敛 （C ）绝对收敛 （D ）收敛性与λ有关 4.设函数项级数 ∑∞ =1 )(n n x u ，下列结论中正确的是( B ). （A ）若函数列{})(x u n 定义在区间I 上，则区间I 为此级数的收敛区间 （B ）若)(x S 为此级数的和函数，则余项)()()(x S x S x r n n -=，0)(lim =∞ →x r n n （C ）若I x ∈0使 ∑∞ =1 0)(n n x u 收敛，则||||0x x <所有x 都使∑∞ =1 )(n n x u 收敛 （D ）若)(x S 为此级数的和函数，则 ∑∞ =1 0)(n n x u 必收敛于)(0x S 5.设0>a 为常数，则级数)cos 1()1(1 n a n n --∑∞ =（A ）. （A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）敛散性与a 有关 6.若级数∑∞ =--1 )()1(n n n n a x 在0>x 时发散，在0=x 处收敛，则常数=a （ B ）. （A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）2 第七章 微分方程作业（练习七）参考答案 一、填空： 1. 若()()x y x y 21,都是方程()()x q y x p y =+'的特解，且()()x y x y 21,线性无关，则通解可表示为()121y y y c y +-=或().y y y c y 221+-= 2．1cos +='''x y 的通解为32213 6 sin c x c x c x x y ++++-= 3．()02 ='-''y y 的满足初始条件()()411,1211='=y y 的特解为3 21121?? ? ??-=x y . 4．微分方程03='-''y y 的通解为x e c c y 321+=. 5．微分方程0136=+'+''y y y 的通解为()x c x c e y x 2sin 2cos 213+=-. 6．微分方程02)4(=''+'''-y y y 的通解为()x e x c c x c c y 4321+++=. 7．微分方程()x e x y y y 3196+=+'-''的特解形式为()x e b ax x y 32*+=. 8．微分方程x y y y sin 23=+'+''的特解形式为x b x a y sin cos *+=. 9. 设()x y y =满足()()20,20,044='==+'+''y y y y y ，则()=?+∞ dx x y 2 。 10. 方程x e y y y -=+'+''2的通解为x e c x c x -?? ? ??++21221 二、选择题 1.x e y y y x 2cos 52-=+'+''的特解可设为（ ） （A ）;2cos * x A e y x -= （B ）;2cos *x A xe y x -= （C ）();2sin 2cos *x B x A xe y x +=- （D ）().2sin 2cos *x B x A e y x +=- 2.微分方程的阶数是指（ B ） （A ）方程中未知函数的最高阶数； （B ）方程中未知函数导数或微分的最高阶数； （C ）方程中未知函数的最高次数； （D ）方程中函数的次数. 3.下面函数( C )可以看作某个二阶微分方程的通解. （A ）;2 2 c y x =+ （B ）;3221c x c x c y ++= （C ）;cos sin 2 22 1x c x c y += （D ）()().cos ln ln 21x c x c y += 4.下面函数中（B ）是微分方程y y '=''满足初始条件2|0==x y 的特解. （A ）;x ce y = （B ）;2x e y = （C ）;x e y = （D ）.2+=x e y 5．微分方程y y ='的通解是=y （ B ）． A . c x +25.0 B . x c e C . x c -e D . c y x +=e 第八章 行列式与矩阵作业（练习八）参考答案 一、填空题 1.设n 阶方阵A 满足|A|=3，则=|1-*7-2A A |=() 3 11n - 2. 00010 02 00100000 n n =- (1)2 (1)!n n n -- 3.1 1 1 1 11 11 x ---是关于x 的一次多项式，则该多项式的一次项系数是 2 . 4. f (x )=312514x x x 是 二 次多项式，其一次项的系数是 4 。 5. 设A 为n 阶矩阵，且|A |=3，则|||||||||| ||A A A A A A A n n n n ----==? ==1 1111 3。 6. A 为n n ?阶矩阵,且2 32A A E O -+=,则1A -= 31 22 E A - 7．设矩阵 A =??????????--913210063，???? ? ?????-=801962B 则矩阵A 与B 的乘积AB 的第3行第1列的元素的值是 3 ． 8．设方程XA －B =X ，如果A －I 可逆，则X =B (A －I )－ 1 9．设A =00120 0013300210 0?? ? ?? ??? ，则A –1= -3 ，(A *)–1=-=- ------?? ? ? ?? ??? ??13 00132300013110023 13 00A 。 10. 1100n ?? ???=1100?? ? ?? (n 为正整数). 二、单选题 1.0=1 1-1021 2=k k D 的充分条件是（ C ） （A ）k=2； （B ）k=0; （C ）k=3; （D ）k=-3. 2. 若D =a a a a a a a a a 11 121321 222331 32 33=m ≠0，则D 1=45245245211111213 21212223313132 33 a a a a a a a a a a a a ---=[ C ]。 (A ) –40m (B ) 40m (C ) –8m (D ) 20m 3. D =94216501 14 02 332510 7 00 --=[ A ]。 (A ) –294 (B ) 294 (C ) 61 (D ) –61 4．若A ，B 是两个ｎ阶方阵，则下列说法正确是（ D ）． A ．000＝或＝，则＝若 B A AB B ．2222)+(B B A A B A +?+＝ C ．若秩,0)(≠A 秩,0)(≠B 则秩0)(≠AB D ．若秩,)(n A = 秩, )(n B =则秩n AB =)( 5．设)21(-=A ，)13(=B ，I 是单位矩阵，则I B A -T ＝（ A ）． A ．???? ??--1614 B ．??????--2613 C ．??????--2163 D ．?? ? ???--1164 6． 设A 是m ?n 矩阵,B 是s ?n 矩阵, 则运算有意义的是( A )． A ．T AB B ．AB C ．B A T D ．T T B A 7.A 、B 均为n 阶可逆矩阵，则A 、B 的伴随矩阵*)(AB =（ D ）. （A ）**B A ； （B ）1-1-B A AB ||； （ C ）1-1-A B （ D ）**A B ； 8． 矩阵1 32100 1100001000 100 0-???? ???? ?? ??的秩是( C ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 设A 、B 均为n 阶方阵，则必有[C ]。 (A ) |A +B |=|A |+|B | (B ) AB =BA (C ) |AB |=|BA | (D ) (A +B )–1=A –1+B –1 10.A,B 都是n 阶矩阵,则下列各式成立的是 （ B ） （A ）()T T T B A AB = （B ）()T T T B A B A +=+ （C ）() 111 ---=B A AB （D ）()111 ---+=+B A B A 第十二章随机事件与概率作业（练习十二）参考答案 一、填空题 1. A 、B 、C 代表三事件，事件“A 、B 、C 至少有二个发生”可表示为 AB +BC +AC . 2. 事件A 、B 相互独立，且知()()0.2,0.5P A P B ==则()P A B = 0.6 . 3. A ，B 二个事件互不相容，()()0.8,0.1,P A P B ==则()P A B -= 0.8 . 4. 对同一目标进行三次独立地射击，第一、二、三次射击的命中率分别为0.4,0.5,0.7,则在三次射击中恰有一次击中目标的概率为 0.36 . 5. 已知事件 A 、B 的概率分别为P （A ）＝0.7,P （B ）＝0.6,且P （AB ）＝0.4，则P （A B ）＝ 0.9 ；P （A B －）＝ 0.3 ；P （A B ）＝ 0.6 ；P （A B ）＝ 0.7 ；P （AB ）＝ 0.2 ；P （A AB ）＝ 0.9 . 6. 若随机事件A 和B 都不发生的概率为p ，则A 和B 至少有一个发生的概率为 1-P . 二、选择题 1．对任意二事件A B ,，等式（D ）成立． A .P A B P A P B ()()()= B .P A B P A P B ()()()+=+ C .P A B P A P B ()() (())=≠0 D .P AB P A P B A P A ()()()(())=≠0 2．设A 、B 为两个相互独立的随机事件，且P （A ）＞0，P （B ）＞0，则（A ） （A ）A 、B 不可能互不相容 （B ）A 、B 互斥 （C ）AB ＝φ （D ）P （AB ）＝0 3．掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为3”的概率是（ B ）. A . 36 1 B . 181 C . 121 D . 111 4. 在某学校学生中任选一名学生，设事件A 表示“选出的学生是男生”，B 表示“选出的学生是三年级学生”，C 表示“选出的学生是篮球运动员”，则ABC 的含义是（ B ） （A ）选出的学生是三年级男生； （B ）选出的学生是三年级男子篮球运动员； （C ）选出的学生是男子篮球运动员；（D ）选出的学生是三年级篮球运动员； 5. 在随机事件A ，B ，C 中，A 和B 两事件至少有一个发生而C 事件不发生的随机事件可表示为（ A ） （A ）AC BC （B ）ABC （C ）ABC AB C ABC （D ）A B C 6. 袋中有5个黑球，3个白球，大小相同，一次随机地摸出4个球，其中恰有3个白球的概率为（ D ） （A ）38 （B ）53188?? ??? （C ）3 4831C 88?? ??? （D ）48 5C 7. 已知()0P 1,B ＜＜()10P 1,A ＜＜()20P A 1＜＜，且()() 12P A |A B ()1A |P B =()2|P A B +,则下列选项成立的是（ C ） （A ）()()()()1 2 1 2 P A |A ||A B P B P A B =+ ; （B ）()() ()()1212P A |A A B P P A =+ （C ）()()()()()121122P A A |A |B A B P P B P A P B A =+ （D ）()()()()()1122P A |A |B P P B P A P B A =+ 8. 设A 、B 互为对立事件，且()()0,0,P A P B >>则下列各式中错误的是（A ） （A ）() |0P B A = （B ）()|0P A B = （C ）()0P AB = （D ）()1P A B = 9．已知P （A ）＝0.5，P （B ）＝0.4，P （A ?B ）＝0.6，则P （A ｜B ）＝(D ) （A ）0.2 （B ）0.45 （C ）0.6 （D ）0.75 兰州大学高等数学课程作业题及答案一单选题 1. 图片3-5 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (D) 标准答案： (D) 2. 图片443 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (D) 标准答案： (B) 3. 图片363 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (D) 标准答案： (D) 4. 图片2-9 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (C) 标准答案： (C) 5. 图片1-4 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (B) 标准答案： (B) 6. 图片3-14 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (B) 7. 图片4-5 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (B) 标准答案： (A) 8. 图片2-1 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (A) 标准答案： (A) 9. 图片4-9 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (C) 标准答案： (D) 10. 图片238 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (C) 标准答案： (D) 11. 图片241 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 第一章函数 极限 连续 §1函数 1． 解：（1） 要使24sin x -有意义，必须.2,042≤≥-x x 即使所以定义域为[-2，2]. （2）当时，且1 3≠≠x x 3 41 2+-x x 有意义;而要使2+x 有意义，必须,2-≥x 故函数 的定义域为：).,3()3,1()1,2[+∞-、、 （3）,1010.101110ln 110ln arccos e x e e x e x x ≤≤∴≤≤≤≤-，即有意义，则使要使即 定义域为].10,10 [ e e （4）要使)1(+x tg 有意义，则必有.,2,1,0,2 1 ±±=+≠ +k k x ππ ;即函数定义域为 .,2,1,0,12? ?? ?? ?±±=-+≠∈ k k x R x x ππ且 （5）当有意义，时有意义；又当时x arctg x x x 1 033≠-≤故函数的定义域为： ].3,0()0(、，-∞ （6）x k k x k sin )2,1,0()12(2时当 ±±=+≤≤ππ有意义；有要使216x -有意义， 必须有.44≤≤-x 所以函数的定义域为：].,0[],4[ππ、 -- 2． .2)2 1(,2)21 (,2)0(,1)2(,2)3(2 1-=-====f f f f f 3． 解：3134,34)]([22≤≤-+--+-= x x x x x x g f 有意义；必须因此要使， 即[])(x g f 的定义域为[1，3]。 4．解? ?? ??>-=<=???? ???>-=<=; 0,1,0,0,0, 1,1, 1,1, 0, 1,1)]([x x x e e e x g f x x x ?????????>=<==, 1,1,1,1,1,)]([) (x e x x e e x f g x f 。 5．有意义，时当)(sin 1sin 0x f x ≤≤故其定义域为).2,1,0]()12(,2[ ±±=+k k k ππ。 6．???-<++-≥+=+?? ?<+-≥-=-; 1,52, 1,32)1(;1,52, 1,12)1(2 2 x x x x x x f x x x x x x f 第八章 习题答案 8．1 多元函数基本概念 1．解：=),(y x f )225(9 1 22y x xy --。 2．解：).sin sin())(,(),sin sin(sin )],([x x x x f x g y x y x y x g f =?= 3．解：（1）0。（2）a e 。（3）1。（4）0。（利用有界量乘以无穷小量仍为无穷小量。） （5）y x y x y x y x y x 1102222+≤++≤++≤ ，且.0)11(lim =+∞ →∞→y x y x 从而.0lim 22=++∞ →∞→y x y x y x （6）22)21()( 022x x y x xy ≤+≤ ，且0)21(lim 2=+∞→x x ，所以原式0=。 4．解：不存在。因沿不同路径趋近时极限值不同。 5．解：⑴),(y x f 的定义域为0≠+y x 。 )(a 当0≠+y x ，1≠+y x 时),(y x f 的表达式为初等函数，故连续。 )(b 当100=+y x 时，=-++-+=→+→+211 )11ln(11lim ),(lim y x y x y x f y x y x =+→20)1ln(1 lim t t t ),(200y x f =，即),(y x f 在 100=+y x 时也连续。故),(y x f 的间断线为0=+y x 。 ⑵)(a 当02 2 ≠+y x 时),(y x f 的表达式为初等函数，故连续。 )(b 当02 2 =+y x 时，2222001)1(lim ),(lim k k x k kx y x f x kx y x +=+=→=→，显然k 取不同值时得不同极限，即),(lim 0 0y x f y x →→不存在，故),(y x f 在)0,0(点不连续。 ⑶)(a 当022≠+y x 时),(y x f 连续。)(b 当02 2=+y x 时，因y x y x f +≤),(，故 0),(lim 00 =→→y x f y x ，从而)0,0(0),(lim 0 f y x f y x ==→→，即),(y x f 处处连续。 8．2 偏导数与全微分 1.解：（1） )2cos(4),2cos()2sin(2222222y x ye y z y x e y x xe x z x x x +=??+++=??。 高等数学基础第一次作业点评1 第1章 函数 第2章 极限与连续 (一)单项选择题 ⒈下列各函数对中,(C )中的两个函数相等. A 、 2 )()(x x f =,x x g =)( B 、 2)(x x f = ,x x g =)( C 、 3 ln )(x x f =,x x g ln 3)(= D 、 1)(+=x x f ,1 1)(2--=x x x g ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞,则函数)()(x f x f -+的图形关于( C )对称. A 、 坐标原点 B 、 x 轴 C 、 y 轴 D 、 x y = ⒊下列函数中为奇函数就是( B ). A 、 )1ln(2 x y += B 、 x x y cos = C 、 2 x x a a y -+= D 、 )1ln(x y += ⒋下列函数中为基本初等函数就是( C ). A 、 1+=x y B 、 x y -= C 、 2 x y = D 、 ? ??≥<-=0,10 ,1x x y ⒌下列极限存计算不正确的就是( D ). A 、 12lim 2 2 =+∞→x x x B 、 0)1ln(lim 0 =+→x x C 、 0sin lim =∞→x x x D 、 01 sin lim =∞→x x x ⒍当0→x 时,变量( C )就是无穷小量. A 、 x x sin B 、 x 1 C 、 x x 1 sin D 、 2)ln(+x 点评:无穷小量乘以有界变量为无穷小量 ⒎若函数)(x f 在点0x 满足( A ),则)(x f 在点0x 连续。 A 、 )()(lim 00 x f x f x x =→ B 、 )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义 C 、 )()(lim 00 x f x f x x =+→ D 、 )(lim )(lim 0 x f x f x x x x -+→→= 二、填空题 ⒈函数)1ln(3 9 )(2x x x x f ++--= 的定义域就是 .}33{>-≤x x x 或 ⒉已知函数x x x f +=+2)1(,则=)(x f .x x -2 ⒊=+ ∞→x x x )211(lim .21 e 《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -? 42 / 9 第五章 定积分 第一节 定积分的概念与性质 一、填空题： 在 ? +10 3 1dx x 与? +1 41dx x 中值比较大的是 ． 二、选择题(单选)： 1．积分中值定理 ? -=b a a b f dx x f ))(()(ξ，其中： (A) ξ是[]b a ,上任一点； (B) ξ是[]b a ,上必定存在的某一点； (C) ξ是[]b a ,唯一的某点； (D) ξ是[]b a ,的中点． 答：( ) 2．曲线x e y =与该曲线过原点的切线及y 轴所围成图形的面积值为： (A) ?-10)(dx ex e x ； (B) ?-e dy y y y 1 )ln (ln ； (C) ? -e x x dx xe e 1 )(； (D) ?-1 )ln (ln dy y y y ． 答：( ) 第二节 微积分基本公式 一、填空题： 1．=-? -212 12 11dx x ． 2． 0)32(0 2=-? k dx x x )0(>k ，则=k ． 二、选择题(单选)： 若)(x f 为可导函数，且已知0)0(=f ，2)0(='f ，则 2 )(lim x dt t f x x ?→ (A)0； (B)1； (C)2； (D)不存在． 答：( ) 三、试解下列各题： 1．设??? ??>≤+=1,2 11 ,1)(32x x x x x f ，求?20 )(dx x f ． 43 / 9 2．设?? ???><≤≤=ππ x x x x x f ,0,00,sin 21 )(，求?=x dt t f x 0 )()(?在),(∞+-∞上的表达式． 四、设)(x f 在],[b a 上连续，且0)(>x f ，? ? += x a x b t f dt dt t f x F ) ()()(．证明： (1)2)('≥x F ； (2)方程0)(=x f 在),(b a 内有且仅有一个根． 第三节 定积分的换元法和分部积分法 数，故 /, = Jj( x2 + y1)3d(j = 2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)： 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ?3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，，A 为两个 I) b\ lh 尤公共内点的W K域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n" jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A 高数练习题 一、选择题。 4、1 1lim 1 --→x x x （ ）。 a 、1-= b 、1= c 、=0 d 、不存在 5、当0→x 时，下列变量中是无穷小量的有（ ）。 a 、x 1sin b 、x x sin c 、12--x d 、x ln 7、()=--→1 1sin lim 21x x x （ ）。 a 、1 b 、2 c 、0 d 、2 1 9、下列等式中成立的是（ ）。 a 、e n n n =??? ??+∞ →21lim b 、e n n n =? ?? ??++∞→2 11lim c 、e n n n =??? ??+∞→211lim d 、e n n n =?? ? ??+∞ →211lim 10、当0→x 时，x cos 1-与x x sin 相比较（ ）。 a 、是低阶无穷小量 b 、是同阶无穷小量 c 、是等阶无穷小量 d 、是高阶无穷小量 11、函数()x f 在点0x 处有定义，是()x f 在该点处连续的（ ）。 a 、充要条件 b 、充分条件 c 、必要条件 d 、无关的条件 12、 数列｛y n ｝有界是数列收敛的 ( ) . （A ）必要条件 (B) 充分条件 (C) 充要条件 (D)无关条件 13、当x —>0 时，( )是与sin x 等价的无穷小量. (A) tan2 x (B) x (C)1 ln(12) 2x + (D) x (x +2) 14、若函数()f x 在某点0x 极限存在，则（ ）. （A ）()f x 在0x 的函数值必存在且等于极限值 （B ）()f x 在0x 的函数值必存在，但不一定等于极限值 （C ）()f x 在0x 的函数值可以不存在 （D ）如果0()f x 存在则必等于极限值 15、如果0 lim ()x x f x →+ 与0 lim ()x x f x →- 存在，则（ ）. （A ）0 lim ()x x f x →存在且00 lim ()()x x f x f x →= （B ）0 lim ()x x f x →存在但不一定有00 lim ()()x x f x f x →= （C ）0 lim ()x x f x →不一定存在 （D ）0 lim ()x x f x →一定不存在 16、下列变量中（ ）是无穷小量。 0) (x e .A x 1-→ 0) (x x 1 sin .B → )3 (x 9x 3x .C 2→-- )1x (x ln .D → 17、=∞→x x x 2sin lim （ ） 2 18、下列极限计算正确的是（ ） e x 11lim .A x 0x =??? ??+→ 1x 1sin x lim .B x =∞→ 1x 1sin x lim .C 0x =→ 1x x sin lim .D x =∞→ 19、下列极限计算正确的是（ ） 1x x sin lim .A x =∞→ e x 11lim .B x 0x =??? ??+→ 5126x x 8x lim .C 232x =-+-→ 1x x lim .D 0x =→ A. f(x)在x=0处连续 B. f(x)在x=0处不连续，但有极限 C. f(x)在x=0处无极限 D. f(x)在x=0处连续，但无极限 23、1 lim sin x x x →∞ =（ ）. （A ）∞ （B ）不存在 （C ）1 （D ）0 24、221sin (1) lim (1)(2) x x x x →-=++（ ）. （A ）13 （B ）13- （C ）0 （D ）23 ) ( , 0 x 1 x 2 0 x 1 x ) x ( f . 20、 则下列结论正确的是 设 第十一章 习题答案 1． 1常数项级数的概念及基本性质 1．解：（1） +?+?+ ?+?+ ?6515 414 31321211 （2） -+ -+ -5 14 13 12 11 (3) +++ ++5 4 3 2 5 !54 ! 43 !32 !21!1 (4) +????????+ ??????+ ????+??+ 10 8642975318 64275316 425314 2312 1 2． 解：（1）1 21-= n u n （2）1 2+-= n n u n （3）) 2(6422 n x u n n ??= （4）1 2) 1(1 1 +-=++n a u n n n 3． 解：（1）013 1lim lim ≠==∞→∞ →n n n n u ，∴级数发散（不满足级数收敛的必要条件） 。 （2）原级数可写为 )4 13 12 11(3 1 +++ + 。∵括号内级数为调和级数发散，∴原级数发散。 （3）原级数为公比等于2 3的几何级数，∵ 123>，∴原级数发散。 （4）原级数为发散的调和级数 +++++ 5 14 13 12 11去掉前三项，∴原级数发散。 （5）原级数为公比等于9 8-的几何级数，19 8<- ，∴原级数收敛。 （6）∵级数 ++ + 3 2 2 12 12 1收敛（公比 12 1<的几何级数） ，级数 ++ + 3 2 3 13 13 1收敛 （公比 13 1<的几何级数） ，∴原级数收敛（收敛级数可以逐项相加减）。 4． 解：（1）a a a a a a a a a a S n n n n -= - ++- +- +-=+-+1 21 2125 73 53)()()()( ， a a a S n n n n -=-=+∞ →∞ →1)(lim lim 12，∴此级数收敛。 （2）]) 2)(1(1) 1(1 [ 21 ) 2)(1(1 ++- += ++= n n n n n n n u n +?- ?+ ?- ?+ ?- ?= ∴)5 414 31 (21 )4 31321 ( 21)3 212 11 ( 21 n S ])2)(1(1 ) 1(1 [ 21 ++- ++ n n n n =]) 2)(1(1 21[21++-n n ， 4 1 ])2)(1(121[21lim =++-= ∞ →n n S n n ，∴此级数收敛。 习题六 1. 指出下列各微分方程的阶数： (1)一阶 (2)二阶 (3)三阶 (4)一阶 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： 2(1)2,5xy y y x '==; 解：由2 5y x =得10y x '=代入方程得 22102510x x x x ?=?= 故是方程的解. (2)0,3sin 4cos y y y x x ''+==-; 解：3cos 4sin ;3sin 4cos y x x y x x '''=+=-+ 代入方程得 3sin 4cos 3sin 4cos 0x x x x -++-=. 故是方程的解. 2(3)20,e x y y y y x '''-+== ; 解：2222e e (2)e ,(24)e x x x x y x x x x y x x '''=+=+=++ 代入方程得 2e 0x ≠. 故不是方程的解. 12121212(4)()0,e e .x x y y y y C C λλλλλλ'''-++==+ 解：12122211221122e e ,e e x x x x y C C y C C λλλλλλλλ'''=+=+ 代入方程得 1212122211221211221212e e ()(e e )(e e )0.x x x x x x C C C C C C λλλλλλλλλλλλλλ+-++++= 故是方程的解. 3. 在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解： 22(1)(2)2,;x y y x y x xy y C '-=--+= 证：方程 22x xy y C -+=两端对x 求导： 220x y xy yy ''--+= 得 22x y y x y -'= - 代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解. 2(2)()20,ln().xy x y xy yy y y xy '''''-++-== 证：方程ln()y xy =两端对x 求导： 11y y x y '' = + (*) 得 (1)y y x y '= -. (*)式两端对x 再求导得 第9章（之1） （总第44次） 教学内容:§微分方程基本概念 *1． 微分方程7 359)(2xy y y y =''''-''的阶数是 （ ） （A ）3； （B ）4； （C ）6； （D ）7． 答案（A ） 解 微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶的阶数． *2． 下列函数中的C 、α、λ及k 都是任意常数，这些函数中是微分方程04=+''y y 的通解的函数是 （ ） （ （A ）x C x C y 2sin )2912(2cos 3-+=； （B ）)2sin 1(2cos x x C y λ+=； （C ）x C k x kC y 2sin 12cos 22++=； （D ）)2cos(α+=x C y ． 答案 （D ） 解 二阶微分方程的通解中应该有两个独立的任意常数． （A ）中的函数只有一个任意常数C ； （B ）中的函数虽然有两个独立的任意常数，但经验算它不是方程的解； （C ）中的函数从表面上看来也有两个任意常数C 及k ，但当令kC C =时，函数就变成了 x C x C y 2sin 12cos 2 ++=，实质上只有一个任意常数； （D ）中的函数确实有两个独立的任意常数，而且经验算它也确实是方程的解． *3．在曲线族 x x e c e c y -+=21中，求出与直线x y =相切于坐标原点的曲线． : 解 根据题意条件可归结出条件1)0(,0)0(='=y y ， 由x x e c e c y -+=21， x x e c e c y --='21，可得1,02121=-=+c c c c ， 故21,2121-==c c ，这样就得到所求曲线为)(2 1 x x e e y --=，即x y sinh =． *4．证明：函数y e x x =-233321 2 sin 是初值问题??? ????===++==1d d ,00d d d d 0022x x x y y y x y x y 的解． 大学答案 --- 中学答案 --- 考研答案 --- 考试答案最全最多的课后习题参 考答案，尽在课后答案网（）！ Khdaw团队一直秉承用心为大家服务的宗旨， 以关注学生的学习生活为出发点，旨在为广大学生朋友的自主学习提供一个分享和交流的平台。爱校园（）课后答案网（）淘答案（） 习题 101 1. 设在 xOy 面内有一分布着质量的曲线弧 L, 在点(x, y)处它的线密度为 μ(x, y), 用对弧长的曲线积分分别表达: (1) 这曲线弧对x轴、对y轴的转动惯量Ix, Iy; (2)这曲线弧的重心坐标 x , y . 解在曲线弧 L 上任取一长度很短的小弧段 ds(它的长度也记做 ds), 设(x, y) 曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的转动惯量元素分别为 dIx=y2μ(x, y)ds, dIy=x2μ(x, y)ds . 曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的转动惯量分别为 I x = ∫ y 2μ ( x, y)ds , I y = ∫ x2μ ( x, y)ds . L L ww w. kh d ∫L ∫L 和L2, 则 2. 利用对弧长的曲线积分的定义证明: 如果曲线弧L分为两段光滑曲线L1 ∫L f (x, y)ds =∫L n 课 x= M y ∫L xμ ( x, y)ds M ∫ yμ (x, y)ds = , y= x = L . M M μ ( x, y)ds μ(x, y)ds 后 曲线 L 的重心坐标为 1 f ( x, y)ds + ∫ f ( x, y)ds . L2 证明划分L, 使得L1和L2的连接点永远作为一个分点, 则 ∑ f (ξi,ηi )Δsi = ∑ f (ξi,ηi )Δsi + i =1 i =1 n n1 n1 答 dMx=yμ(x, y)ds, dMy=xμ(x, y)ds . 令λ=max{Δsi}→0, 上式两边同时取极限 λ→0 λ→0 lim ∑ f (ξi ,ηi )Δsi = lim ∑ f (ξi ,ηi )Δsi + lim i =1 i =1 即得 ∫L f (x, y)ds =∫L 1 f ( x, y)ds + ∫ f ( x, y)ds . L2 3. 计算下列对弧长的曲线积分: aw i = n1 +1 曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的静矩元素分别为 案 ∑ f (ξi,ηi )Δsi . ∑ f (ξi,ηi )Δsi , n 高等数学基础 形成性考核册 专业：建筑 学号： 姓名：牛萌 河北广播电视大学开放教育学院 （请按照顺序打印，并左侧装订） 高等数学基础形考作业1： 第1章 函数 第2章 极限与连续 （一）单项选择题 ⒈下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等． A. 2 )()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f = ，x x g =)( C. 3 ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1 1 )(2--=x x x g ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（ C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = ⒊下列函数中为奇函数是（ B ）． A. )1ln(2 x y += B. x x y cos = C. 2 x x a a y -+= D. )1ln(x y += ⒋下列函数中为基本初等函数是（ C ）． A. 1+=x y B. x y -= C. 2 x y = D. ?? ?≥<-=0, 10 ,1x x y ⒌下列极限存计算不正确的是（ D ）． A. 12lim 2 2 =+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0 =+→x x C. 0sin lim =∞→x x x D. 01 sin lim =∞→x x x ⒍当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量． A. x x sin B. x 1 C. x x 1 sin D. 2)ln(+x ⒎若函数)(x f 在点0x 满足（ A ），则)(x f 在点0x 连续。 A. )()(lim 00 x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义 C. )()(lim 00 x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 0 x f x f x x x x -+→→= 《高等数学》习题册参考答案 说明 本参考答案与现在的习题册中的题目有个别的不同，使用时请认真比对，以防弄错. 第一册参考答案 第一章 §1.1 1.??? ????+≤≤--<≤<≤+=--. ),(2, , , 0 , 211010101T t T T t a v T t v t at v v a v a v v a v v 图形为： 2.B. 3.)]()([)]()([)(2 121x f x f x f x f x f --+-+=， 其中)]()([)(21x f x f x F -+=为偶函数，而)]()([)(2 1x f x f x G --=为奇函数. 4.??? ????=<≤-<≤-<≤=.6 ,0, 64 ,)4(, 42 ,)2(, 20 ,)(22 2x x x x x x x x f 5.???.)]([,)2()]([,)1(单调减单调性相反，则单调增；单调性相同，则x g f g f x g f g f 6.无界. 7.（1）否，定义域不同；（2）否，对应法则不同；（3）否，定义域不同. §1.2 1.（1）)1 ,0()0 ,1(?-=D ；（2）} , ,{2 Z ∈+≠=k k k x x D πππ；（3）)1 ,0(=D . 2.1 ,4-==b a . 3.?????>-=<=,0 ,1,0 ,0 , 0 ,1 )]([x x x x g f ???? ???>=<=-. 1 ,,1 ,1 ,1 , )]([1x e x x e x f g 4.（1）]2 ,0[,)1arcsin(2 =-=D x y ； （2）Y ∞ =+=+=0 2 2),( , )(tan log 1k a k k D x y πππ. 5.（1）x x x f f 1 )]([-= ； （2）x x f f 1 )(1][=. 6.+∞<<=-h r V r h h r 2 ,2312 2π. 7.（1）a x =)(?； （2）h x x +=2)(?； （3）h a a h x x ) 1()(-= ?. §1.9 1.1-=e a . 2.（1）1=x 和2=x 都是无穷间断点（属第Ⅱ类）； （2）1 ,0==x x 和1-=x 是间断点，其中：1是可去间断点（极限为21）（属第Ⅰ类）； 0是跳跃间断点（左极限1-，右极限1）（属第Ⅰ类）；-1 是无穷间断点（属第Ⅱ类）； （3）0=x 为无穷间断点（属第Ⅱ类），1=x 为跳跃间断点（属第Ⅰ类） （注意：+∞==∞ +-→- e e x x x 11 lim ，而0lim 11 ==∞--→+ e e x x x ）； 高等数学（下） 习题七 1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置： A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4); D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0). 解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限； 点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上. 2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？ 答: 在xOy面上的点，z=0; 在yOz面上的点，x=0; 在zOx面上的点，y=0. 3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？ 答：x轴上的点，y=z=0; y轴上的点，x=z=0; z轴上的点，x=y=0. 4. 求下列各对点之间的距离： （1）（0，0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）； （3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4）（4，-2，3），（-2，1，3）. 解：（1）s= (2) s== (3) s== (4) s== 5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离. 解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）. 故 s== s== x s== y s==. 5 z 6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为M（0，0，z），则 222222 (4)1(7)35(2) z z -++-=++-- 解得14 9 z= 即所求点为M（0，0， 14 9 ）. 7. 试证：以三点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB|=|AC|=7.且有 |AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2. 故△ABC为等腰直角三角形. 8. 验证：()() ++=++ a b c a b c. 证明：利用三角形法则得证.见图7-1 图7-1 9. 设2,3. u v =-+=-+- a b c a b c试用a , b, c表示23. u v - 解： 232(2)3(3) 224393 5117 u v -=-+--+- =-++-+ =-+ a b c a b c a b c a b c a b c 10. 把△ABC的BC边分成五等份，设分点依次为D 1，D2，D3，D4，再把各分点与A连接， 试以AB=c，BC=a表示向量 1 D A, 2 D A, 3 D A和 4 D A. 解： 11 1 5 D A BA BD =-=-- c a 22 2 5 D A BA BD =-=-- c a 33 3 5 D A BA BD =-=-- c a 44 4 . 5 D A BA BD =-=-- c a 11. 设向量OM的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影. 解：设M的投影为M'，则 1 Pr j cos604 2. 2 u OM OM =?=?= 12. 一向量的终点为点B（2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量 习题6?2 1? 求图6?21 中各画斜线部分的面积? (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 6 1]2132[)(10 22310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A ? 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1? e ]? 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e ? (3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 3 32]2)3[(1 32=--=?-dx x x A ? (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为 3 32 |)313()32(31323 12= -+=-+=--?x x x dx x x A ? 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? (1) 22 1x y =与x 2?y 2?8(两部分都要计算)? 解? 3 423 8cos 16402+=-=?ππ tdt ? 3 46)22(122-=-=ππS A ? (2)x y 1=与直线y ?x 及x ?2? 解? 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A ? (3) y ?e x ? y ?e ?x 与直线x ?1? 解? 所求的面积为 ?-+=-=-1 021)(e e dx e e A x x ? (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 3? 求抛物线y ??x 2?4x ?3及其在点(0? ?3)和(3? 0)处的切线所围成的图形的面积? 解? y ???2 x ?4? 高等数学（下）练习册 专业班级：___________________________________________ 姓名：___________________________________________ 学号：___________________________________________ 西南科技大学城市学院数学教研室编 第七、八章 向量、空间解析几何、多元微分法 一、填空题 1、从点)7,1,2(-A 沿向量k j i a 1298-+=的方向取一段长34||=，则点B （_______）. 2、已知两个力)3,2,1(1=，)4,3,2(2--=F ，则合力的大小||F =________，合力的方向为___________________． 3、设向量+=2，b a k B +=，其中1||=，2||=，且⊥，若⊥，则k =_____． 4、已知3+=，3+=，则ABC ?得面积是________． 5、已知平面π过点)21,3(-且过直线1 2354z y x =+=-，则平面π的方程为_____________． 二、选择题 1、方程0242222=++-++z y x z y x 表示的曲面是（ ） A 、球面 B 、椭球面 C 、柱面 D 、锥面 2、若直线l ：3 7423z y x =-+=-+，平面π：3224=--z y x ，则l 与π（ ） A 、平行 B 、垂直 C 、相交而不垂直 D 、l 在平面π内 3、设直线l 为?? ?=+--=+++0 31020 123z y x z y x 平面π为0224=-+-z y x ，则（ ） A 、l ∥π B 、l ?π C 、l ⊥π D 、l π但l 与π不垂直 4、已知向量)1,1,2(-=a ，)1,3,1(-=，求，b 所确定的平面方程为（ ） A 、02=+-z y x B 、03=-+z y x C 、01632=---z y x D 、a ，b 不共面无法确定平面 5、球面92 22=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xoy 面上的投影方程是（ ） A 、082222=--+x y x B 、082222=--+z z y C 、92 2 =+y x D 、? ??==--+00 82222z x y x 三、设)4,1,1(=a ，)2,2,1(-=b ，求b 在方向上的投影向量． 第 11 章（之1）（总第59次） 教材内容：§11.1多元函数 1．解下列各题： **（1）. 函数连续区域是 ??????? ． 答： **（2）. 函数 ， 则（ ） (A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续 答：（A ） **2. 画出下列二元函数的定义域： （1）= u y x -； 解：定义域为：{ } x y y x ≤) ,(，见图示阴影部分： （2）)1ln(),(xy y x f +=； 解：{} 1),(->xy y x ，第二象限双曲线1-=xy 的上方，第四象限双曲线1-=xy 的下方（不包括边界，双曲线1-=xy 用虚线表示）． （3）y x y x z +-= ． 解：()()? ? ?-≠≥????≠+≥+-?≥+-y x y x y x y x y x y x y x 000． ***3. 求出满足2 2, y x x y y x f -=?? ? ??+的函数()y x f ,. 解：令?? ? ??=+=x y t y x s ， ∴?? ???+=+=t st y t s x 11 ∴()() ()t t s t t s s t s f +-=+-=111,22 222， 即 ()()y y x y x f +-=11,2． ***4. 求极限： ()() 2 2 0,0,11lim y x xy y x +-+→． 解：()( )( ) ( )( ) 2 222 2 22 2 112111110y x xy y x y x xy xy y x xy ++++≤ +++= +-+≤ () 01 122 2→+++= xy y x （()()0,0,→y x ） ∴ ()() 011lim 2 2 0,0,=+-+→y x xy y x ． **5. 说明极限()()2 22 20,0, lim y x y x y x +-→不存在． 解：我们证明()y x ,沿不同的路径趋于()0,0时，极限不同． 首先，0=x 时，极限为()()1lim 22 22220,0,0-=-=+-→=y y y x y x y x x ， 其次，0=y 时，极限为()()1lim 22 22220,0,0==+-→=x x y x y x y x y ， 故极限()()2 22 20,0,y y lim +-→x x y x 不存在． **6. 设1 12sin ),(-+= xy x y y x f ，试问极限 ),(lim ) 0,0(),(y x f y x →是否存在？为什么？ 解：不存在，因为不符合极限存在的前提，在)0,0(点的任一去心邻域内函数 1 12sin ),(-+= xy x y y x f 并不总有定义的，x 轴与y 轴上的点处函数),(y x f 就没有定义．兰州大学高等数学课程作业题及答案
高等数学作业上-1 (答案)
高等数学作业下-2 (答案)
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