罗默《高级宏观经济学》(第3版)课后习题详解(第2章 无限期界与世代交叠模型)

罗默《高级宏观经济学》（第3版）第2章 无限期界与世代交叠模型

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2.1 考虑N 个厂商，每个厂商具有规模报酬不变的生产函数()Y F K AL =，，或者（利用密集形式）()Y ALf k =。设()·0f '>，()()*

**

1c s f k =-。设所有厂商以工资wA 雇用工人，以成本r 租借资本，并且拥有相同的A 值。

（a ）考虑一位厂商试图以最小成本生产Y 单位产出的问题。证明k 的成本最小化水平

()

()()**1001t t t f c c k cs f k n g k L n L αδ*+??"==-=++=+ ???

＜唯一地被确定并独立于Y ，所有厂商因此选择相同的k 值。 （b ）证明N 个成本最小化厂商的总产出等于具有相同生产函数的一个单个厂商利用N 个厂商所拥有的全部劳动与资本所生产的产出。

证明：（a ）题目的要求是厂商选择资本K 和有效劳动AL 以最小化成本rK wAL +，同时厂商受到生产函数()Y ALf k =的约束。这是一个典型的最优化问题。

()

.mi . n s t w Y ALf k AL rK = +

本题使用拉格朗日方法求解，构造拉格朗日函数： 求一阶条件：

用第一个结果除以第二个结果：

上式潜在地决定了最佳资本k 的选择。很明显，k 的选择独立于Y 。 上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。

（b ）因为每个厂商拥有同样的k 和A ，下面是N 个成本最小化厂商的总产量关系式：

单一厂商拥有同样的A 并且选择相同数量的k ，k 的决定独立于Y 的选择。因此，如果单一厂商拥有L 的劳动人数，则它也会生产()Y AL f k =的产量。这恰好是N 个厂商成本最小化的总产量。

2.2 相对风险厌恶不变的效用条件下的替代弹性。考虑一个寿命为两个时期且效用由教材中方程（2.43）给定的个人。

（2.43）

设1P 与2P 表示两个时期的消费价格，W 表示个人终生收入值，因此预算约束为1122PC P C W +=。

（a ）给定1P 、2P 与W ，效用最大化个人的1C 与2C 的选择是什么？

（b ）两个时期的消费的替代弹性是()()()()12121212//////P P C C C C P P -??????????，或者

()()2211ln //ln /C C P P -??。证明在效用函数为教材中方程（2.43）的条件下，1C 与2C 之间

的替代弹性是

1

θ

。

答：（a ）这是一个效用最大化的优化问题。

（1）

1122..s t PC P C W += （2）

求解约束条件：

2112//C W P C P P =- （3）

将方程（3）代入（1）中，可得：

（4） 这样便将一个受约束的最优化问题转变为一个无约束问题。在方程（4）两边对1C 求一阶条件可得：

再简化为：

()

()

1/1/12121/C P P C θ

θ

ρ=+ （5）

将方程（5）代入（3），则有：

()

()

()()

()

1/1/1/1/22212122212/1//11//C W P P P C P P C P P W P β

β

β

ββ

ρρ-??=-+++=??

再简化为：

（6）

将方程（6）代入（5）中，则有：

（7）

（b ）由方程（5）可知第一时期和第二时期的消费之比为：

()

()1/1/1221/C 1/C P P β

β

ρ=+ （8）

对方程（8）两边取对数可得：

()()()()()1221ln /C 1/ln 11/ln /C P P θρθ=++ （9）

则消费的跨期替代弹性为：

因此，θ越大，表明消费者越愿意进行跨期替代。

2.3 （a ）设人们预先知道，在某个0t 时刻，政府将把每个家庭所持有的财富没收一半。在该时刻消费发生非连续的变化吗？如果是，为什么（联结0t 时刻前的消费与0t 时刻后的消费的条件是什么）？如果不是，为什么？

（b ）设人们预先知道，在0t 时刻，政府将在该时刻把每个家庭相当于其平均所持有的一半的财富没收。在0t 时刻，消费发生非连续的变化吗?如果是，为什么（联结0t 时刻前的消费与0t 时刻后的消费的条件是什么）？如果不是，为什么？

答：（a ）考虑两个时期的消费，比如在一个极短的时期t ?内，从()0t ε-到()0t ε+。 考虑家庭在()0t ε-时期减少每单位有效劳动的消费为c ?。然后他在()0t ε+投资并消费这一部分财富。如果家庭在最优化他一生的财富，则他的这一财富变化对一生的效用没有影响。

这一变化有一效用成本()u c c '?前，在()0t ε+会有一收益()

r t n g t

e c --??????，财富的回报率为

()r t ，不过，此刻有一半的财富会被没收。此时的效用收益为[]()()

1/2r t n g t

u c e c --?????'?后。

总之，对于效用最大化的消费路径来说，必须满足下列条件：

在0c ?≠时，有下式：

因此，当政府对财富没收一半后，消费会不连续的变化，消费会下降。征收前，消费者会减少储蓄以避免被没收，之后会降低消费。

（b ）从家庭的角度讲，他的消费行为将不会发生不连续的变化。家庭事先会预测到自己一半的财富会被政府没收，为了最优化他一生的效用，家庭不会使自己的消费发生不连续的变化，他还是希望平滑自己的消费的。

2.4 设教材中方程（2.1）瞬时效用函数()u C 为ln C 。考虑一个在方程（2.6）约束下旨在最大化方程（2.1）的家庭的问题。给出在每一时刻由初始财富与劳动收入现值之和、

()r t 的路径与效用函数参数表示的C 的表达式。

注意：

（2.1）

（2.1）中，()C t 是在￡时刻家庭每个成员的消费。()u 是瞬时效用函数——它给出了既定时刻家庭每个成员的效用。()L t 是经济的总人口，()/L t H 因此是每个家庭的成员人数。故()()()u C t L t H ／是t 时刻家庭的总瞬时效用。最后，ρ是贴现率。ρ越大，则相对于现期消费，家庭对未来消费的估价越小。

由于每个家庭有()/L t H 个成员，在t 时刻其劳动总收入为()()W t L t H ／，并且其消费支出为()()C t L t H ／。在0时刻，家庭的初始财富是经济总初始财富的1/H ，或等于()0/K H 。因此，家庭预算为：

（2.6）

答：本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用。

（1）

（2）

令

建立拉格朗日方程：

求一阶条件：

抵消()/L t H 项得：

()()

1

R t t e C t e

ρλ---= （3）

可以推出：

()()

1R t t C t e e

ρλ--= （4）

将其代入预算约束方程：

（5）

将()()0nt L t e L =代入上式：

（6）

只要0n ρ->，则积分项收敛，为()1/n ρ-，则：

（7）

将方程（7）代入（4）：

（8）

因此，初始消费为：

（9）

个人的初始财富为()/0W L H ????／，方程（9）说明消费是初始财富的一个不变的比例。()n ρ-为个人的财富边际消费倾向。

可以看出，这个财富边际消费倾向在均衡增长路径上是独立于利率的。对于折现率ρ而言，ρ越大，家庭越厌恶风险，越会选择多消费。

2.5 考虑一个其效用由教材中方程和方程

给定的家庭。设真实利率不

变，并且W 表示家庭的初始财富与其终生劳动收入现值之和教材中方程

的右边，给定r 、W 与效

用函数的参数，求出C 的效用最大化路径。

答：本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用，即：

（1）

（2）

W 代表家庭的初始财富加上家庭一生劳动收入的现值，利率r 是常数。 建立拉格朗日方程如下：

求一阶条件，可得：

抵消()/L t H ，得：

()

t t e C t e ρθ

γλ---= （3）

两边对时间t 求导，可得：

得到下面的方程：

（4）

将方程（3）代入（4），可得：

抵消t e γλ-然后求消费的增长率()()/C t C t ，可得：

（5）

由于利率r 是常数，所以消费的增长率为常数。如果r ρ>，则市场利率超过贴现率，则消费会增加；反之，如果r ρ<，则市场利率小于贴现率，则消费会减少。如果r ρ>，则θ决定了消费增长的幅度。θ值越低，也就是替代弹性越高，1/θ越高，即消费增长的越快。

重写方程（5），得：

（6）

对方程（6）积分，积分区间是从时间0τ=到时间t τ=，可得：

上式可以简化为：

[][]()/0/lnC t C r t ρθ=- （7）

对方程（7）两边取指数，可得：()()[]//0r t C t C e ρθ-=（），整理得：

()()[

]/ 0r t

C t C e ρθ-=（） （8）

下面求解初始消费，将方程（8）代入（2），可得：

将()()0nt L t L e =代入上式，可得：

（9）

只要[]/0r r n ρθθ-+->（），从而保证积分收敛，则求解方程（9）可得：

（10）

将方程（10）代入（9）中，求解()0C ：

（11）

将方程（11）代入（8），求解()C t ：

（12）

上式便是C 的效用最大化路径。

2.6 生产力下降与储蓄。考虑一个正处在其均衡增长路径上的拉姆齐—卡斯—库普曼经济，并且设g 永久性地下降。

（a ）如果这个变动影响0k =曲线，它将怎样影响？ （b ）如果这个变动影响0c =曲线，它将怎样影响？

（c ）在变动时刻，c 会发生什么事情？

（d ）找出g 的边际变化对正处在均衡增长路径上的产出的储蓄份额产生影响的表达式。人们可否说明这种表达式为正还是为负？

（e ）对于生产函数是柯布—道格拉斯的情形，即()k k α=，请重新写出用ρ、n 、g 、θ与α表示的（d ）的答案。

（提示：利用事实()*f k g ρθ'=+。） 答：（a ）关于资本的欧拉方程为：

()()()()()()k t f k t c t n g k t =--+ （1）

该方程描述了资本的动态方程，在拉姆齐模型中，该方程描述了技术特征，是该模型的

核心，它与消费的动态方程一起构成了该模型的欧拉方程组，从而决定了该模型的最终解。

图2-1 拉姆齐模型

在均衡增长路径上，k =0，由此可以推出：()()c f k n g k =-+。在该方程中，当g 永久性地下降时，会导致消费c 上升以保持方程的均衡。因而在图形上0k =曲线向上移动。同时，保持k 不变，g 永久性地下降会导致持平投资下降，这样就会有更多的资源用于消费。由于持平投资()n g +下降的幅度更大，因而在更高的k 水平上，0k =向上移动得更大。图2-1是该模型的图示。

（b ）每单位有效劳动消费的欧拉方程为：

（2）

该方程描述了消费的动态方程，在拉姆齐模型中，该方程描述了偏好特征，是该模型的核心，它与资本的动态方程一起构成了该模型的欧拉方程组，从而决定了该模型的最终解。

在均衡增长路径上，要求0c =，即()f k g ρθ'=+，在g 永久性地下降时，为保持0c =，

()f k '必须下降。由于()0f k "＜，因而()f k '下降必然导致k 上升。因此，0c =必须上升，

在图形上表现为0c =向右移动，如图2-1所示。

（c ）在g 永久性地下降时，由于每单位有效劳动的资本是由历史上的投资决定的，因而不会发生不连续的变化。它仍然保持在均衡增长路径k *处。

与此相反，每单位有效劳动的消费则会随着g 永久性地下降而迅速变化。为使经济从旧的均衡增长路径达到新的均衡增长路径，每单位有效劳动的消费c 必将发生变化。 不过，此处无法确定新的均衡增长路径处于旧的均衡点的上边还是下边，因而无法确定每单位有效劳动的消费c 是上升还是下降。存在一种特殊情况，即如果新的均衡增长路径恰好位于旧的均衡点的右上方，则每单位有效劳动的消费c 甚至可能保持不变。因此，c 和k 逐步移动到新的均衡增长路径，此时的值高于原先的均衡增长路径值。

（d ）在均衡增长路径上，产出中被储蓄的部分为：

()()***/f k c f k ??-??

因为k 保持不变，即0k =，位于一条均衡的增长路径上，则由方程（1）可知：

()()***f k c n g k -=+

由上面两个式子可以推出在均衡增长路径上，产出中被储蓄的份额为：

()()**

/s n g k f k ??=+?? （3）

对方程（3）两边关于g 求导数，可得：

可以再简化为：

（4）

由于k *由()*f k g ρθ'=+决定，对该式两边关于g 求导数，可得：()()**/f k k g θ"=，从而求出/k g *为：

()**//0k g f k θ="< （5）

将方程（5）代入（4）中，可得：

（6）

在方程（6）中，分母()f k *和()2f k *''为负，分子中第一项为正，而第二项为负，因而无法确定正与负。因此，无法判断在均衡增长路径上g 永久性地下降会使s 上升还是下降。

（e ）将柯布—道格拉斯生产函数()f k k α=，()1f k k αα-'=和()()21f k k ααα-"=-代入方程（6）中，可得：

简化为：

从上式可以推出：

最终有下面的结果：

2.7 描述如下的每种变化怎样影响图2-2中的0c =与0k =曲线，以及它们如何影响c 与k 的均衡增长路径的值。 （a ）θ的上升。

（b ）生产函数的向下移动。

（c ）折旧率由教材中假设的0值上升为某一正水平的变动。

图2-2 鞍点路径

答：（a ）关于c 与k 的欧拉方程为：

（1）

（2）

θ的上升即消费的跨期替代弹性1/θ下降，表明家庭不太愿意接受消费的跨期替代，同时表明随着消费的上升，消费的边际产品下降得很快。这种情况使家庭更偏好于即期消费。

由于θ没有出现在资本积累方程（2）中，因而资本积累方程不受θ的上升的影响。在

消费的动态方程中，在均衡增长路径上0c =，从而()f k g ρθ'=+，由于θ的上升，因而()f k '必须上升，又因为()0f k "<，所以为使0c =，k 必须下降。此时0c =向左移动，消费移动到新的鞍点路径A 点上，此刻家庭消费得更多了，经济最终移动到新的稳定点E '，此时c *和k *低于原先的值。如图2-3所示。

图2-3 θ的上升的影响

（b ）由于生产函数的向下移动，因而()f k 和()f k '都变小了，如图2-4所示。

图2-4 生产函数向下移动

根据资本的欧拉方程：()()()()()()k t =f k t -c t -n+g k t ，在均衡增长路径上0k =，因而有()()c f k n g k =-+。由于()f k 变小，因此0k =这条曲线会向下移动，如图2-5所示。

图2-5 生产函数向下移动的影响

根据消费的欧拉方程：，在均衡增长路径上0c =，

从而()f k g ρθ'=+，由于()f k '变小，为保持0c =，必须使k 下降，从而使()f k '保持不变。因此0c =向左移动，如图2-5所示。经济最终将收敛到新的均衡点E '点，此刻c *和k *会变小。

（c ）由于折旧率δ由0变为正数，因而资本的欧拉方程变为：

()()()()()()k t =f k t c t n+g +k t δ-- （3）

由于折旧率δ由0变为正数，因此持平投资变大，持平投资线向左上移动，如图2-6所示。

图2-6 持平投资线向左移动

这便要求增加储蓄或者投资，从而降低消费。由于持平投资变大，因此0k =会向下移动，如图2-7所示。

图2-7 折旧率由0变为正数的影响

资本的回报也下降为：()()f k t δ'-，从而消费的欧拉方程变为：

（4）

在均衡增长路径上，0c =要求()f k g δρθ'=++。与折旧率δ由0变为正数之前相比较，

()f k '必须变大，从而k 必须变小。由于k 必须变小，这便要求0c =曲线向左移动，如图2-7

所示。经济最终将收敛到新的均衡点E '点，此刻c *和k *会变小。

2.8 推出类似于教材中方程（2.39）的正折旧率的情形。 答：教材中方程（2.39）中折旧率为0的情形为：

当考虑到折旧率0δ>的情况时，消费和资本的欧拉方程变为：

（1）

()()()()()()k t =f k t -c t -n+g +k t δ （2）

对方程（1）和（2）分别在c c *=和k k *=处进行一阶泰勒展开，可得：

（3）

（4）

定义c c c *=-*

和k k k *=-，因为c *和k *为常数，所以c c =且k k k *=-，将（3）和（4）

重写为：

（5）

（6）

对方程（1）和（2）计算偏导数：

将方程（7）和（8）代入（5），将方程（9）和（10）代入（6），可得：

方程（12）的第二步用到了()*f k g δρθ'=++，第三步用到了定义()1n g βρθ=---。 对方程（11）除以c 以求c 的增长率，对方程（12）除以k 以求k 的增长率：

可以发现该结果与教材中不存在折旧率的增长率一样，也就是说折旧率的存在对增长率没有影响。因此，经济在向均衡增长路径移动时的c 和k 的不变增长率μ与教材中的结果应该一致。

令c

c

μ=方程（13）可以推出：

（15）

由方程（15），令（13）和（14）相等，可得：，求解可得：

如果μ为正，则经济会偏离稳定点，所以μ必为负：

现在考虑柯布—道格拉斯生产函数()f k k *=，分别求其一阶导和二阶导：

()**1*f k k r ααδ-'==+ （16） ()()**21f k k ααα-"=- （17）

将方程（16）两边同时平方：()2

*2*22r k αδα-+=，将其代入（17）式：

定义均衡增长路径上的储蓄率为s *，则均衡增长路径上的消费为：

()()*

**1c s f k =- （18）

将方程（17）和（18）代入（15）：

化简为：

（19）

在均衡增长路径上，0c =意味着r g ρθ*=+，即：

*r g δρθδ+=++ （20）

另外，实际投资等于持平投资：()()***s f k n g k δ=++，可以推出：

（21）

上步用到了**1r k αδα-+=，由（21）可以推出：

（22）

将方程（20）和（22）代入到（19）中，可得：

上式与教材中的（2.39）极其相似，它表明了消费与资本的调整速度（将1/3α=，4%ρ=，2%n =，1%g =，1θ=，3%δ=代入上式，得到18.8%μ=-μ1=-8.8%）要快于不存在折旧时的调整速度。

2.9 拉姆齐—卡斯—库普曼模型中的资本税。考察一个正处在均衡增长路径上的拉姆齐—卡斯—库普曼经济。设在某时刻——称之为0时刻，政府转向以税率τ对投资收入征税。因此，家庭所面对的真实利率现在由()()()()1r t f k t τ=-'给出。设政府将由这种税收征集的收入又通过总量性转移支出返还给家庭。最后，设税收政策的这种变化是非预期性的。

（a ）税收怎样地影响0c =的轨迹与0k =的轨迹？

（b ）在0时刻，经济怎样对税收的征收作出反应？0时刻后的动态学是什么？

（c ）与处在旧均衡增长路径上的c 与k 的值相比较，处在新的均衡增长路径上的c 与k 的值将怎样？

（d ）（这个例题以巴罗、曼昆与萨拉—伊—马丁1995的分析为基础。）设存在许多像如下情形的经济：工人们的偏好在每个国家相同，但投资收入税率在各国间十分不同。设每个国家处在其均衡增长路径上。

（1）证明均衡增长路径上的储蓄率()***/y c y -关于τ是递减的。

（2）在低τ、高k *与高储蓄的国家中公民有动力投资于低储蓄的国家吗？为什么愿意或不愿意？

（e ）（c ）部分的答案意味着一项补贴性的投资政策吗？（即使0τ<）并且通过总量税来为这种补贴筹资，这会增加福利吗？什么会或为什么不会？

（f ）如果政府并不退还税收，而是利用此税收进行政府购买，（a ）与（b ）部分的答案如果发生变化，它将如何变化？

答：（a ）由于资本的税后报酬变为：()()()()1r t f k t τ=-'，家庭将改变每单位有效劳动的消费增长率来实现一生效用的最大化，即：

（1）

在均衡增长路径上，0c =要求()()1f k g τρθ-'=+，即税后报酬率为g ρθ+。为保持

0c =，()()f k t '必须上升，又因为()0f k ''<，所以资本存量必须下降。因此，0c =这条曲

线将会左移，如图2-8所示。

图2-8 对投资增税的影响

家庭的每单位有效劳动的资本的欧拉方程仍为：

()()()()()()k t =f k t c t n+g k t -- （2）

由于政府将由这种税收征集的收入又通过总量性转移支出返还给家庭，所以家庭投资决策不受影响，因而0k =的轨迹不变。

（b ）在0时刻，由于资本的存量由历史上的投资决策所决定，因而资本不会发生非连续的变化。资本仍然保持在原来的均衡增长路径上的k *处。

在0时刻，与每单位有效劳动的资本相反，每单位有效劳动的消费会由于征税而立刻发生变化。由于税收政策的这种变化是非预期性的并且是毫无准备的，因此消费的变化是非连续的。

由于政府的这种税收征集，储蓄和资本积累的回报会比以前低，家庭会转而减少储蓄，增加消费，在图2-8上表现为c 向上移动到A 点，然后沿着新的均衡路径移动。经济沿着新的鞍点均衡路径缓慢移动，最终移动到新的均衡点NEW E 。

（c ）由图2-8可知，由于税收扭曲了经济刺激，因此税后处在新的均衡增长路径上的c 与k 的值将变小。

（d ）（1）由上述的分析可以看出，税率τ越高，在均衡增长路径上的k *越小，而且0c =曲线向左移动得越多，因而有/0

k τ*<。

在均衡增长路径上，储蓄率可以表示为：()()*

**/f k c f k -，同时，0k =时，由()()()()()()k t =f k t c t n+g k t --可以推出()()***f k c n g k -=+，由此可以将储蓄率表示为：

()()**

/s n g k f k ????

=+ （3）

对方程（3）两边求关于税率τ的导数：

可以简化为：

由于资本的收入份额为()()()****/K k f k f k k α'=，以及

/0k τ*<，可以改写上式为：

（4）

以上便证明了均衡增长路径上的储蓄率()/y c y ***-关于τ是递减的。

（2）在低税率、高资本存量和高储蓄的国家的公民没有动力去投资于低储蓄的国家。由（a ）可知，在均衡增长路径上0c =，可以推出()()1f k g τρθ-'=+，即税后的资本回报为g ρθ+，假定在国家之间偏好与技术特征是相同的。因而在低储蓄国家资本的税后回报与高储蓄国家的资本的税后回报相同。因此，在低税率、高资本存量和高储蓄的国家的公民没有动力去投资于低储蓄的国家。

（e ）补贴投资不会增加福利。

原先的市场结果便已经是中央计划者能够达到的社会效用最大化水平了，它给予了家庭最高可能的终生效用水平。

从初始的E 点开始，投资补贴能够使消费短期内下降到A 点，但最终经济会沿着新的均衡增长路径达到更大的消费水平NEW E 点。可以发现短期的效用损失会超过长期的效用收益（都用现值形式表示），如图2-9所示。

图2-9 对投资补贴不会增加福利

（f ）假定政府未将税收所得返给家庭，而是用于政府购买。令()G t 为每单位有效劳动的政府购买，则每单位有效劳动的资本存量变化的欧拉方程仍为：

()()()()()()()K t =f k t c t G t n+g k t --- （5）

政府购买被视为是政府的消费而不是投资，这将不会增加资本存量。由（5）可得，0k =曲线将向下移动。如图2-10所示。

由（a ）可知，由于政府征税，0c =曲线向左移动，*k 移动到NEW k *，在新的均衡增长路

径上，每单位有效劳动的消费会低于存在政府的总量税返还的情况。如图2-10所示。

图2-10 税收全部用于政府购买对经济的影响

2.10 利用相图分析预期变化的影响。考虑习题2.9中所描述的政策，但假设政府不是在0时刻宣布并施行征税，相反它在0时刻宣布它将在晚些时候，即1t 时刻开始以税率τ对投资收入征税。

（a ）画出显示在1t 时刻后c 与k 动态学的相图。

（b ）在1t 时刻c 会非连续地变化吗？为什么会或为什么不会？ （c ）画出显示在1t 之前c 与k 的动态学的相图。

（d ）依据（a ）、（b ）与（c ）的回答，c 必须在0时刻取什么值？ （e ）用把c 与k 的路径表示为时间函数的方式总结结论。 答：（a ）-（c ）在1t 时刻征税之前，c 与k 的欧拉方程仍为：

（1）

()()()()()()k t f k t c t n g k t =--+ （2）

对于方程（1），在均衡增长路径上，0c =可以推出()f k g ρθ'=+。由于政府返还总量税，资本积累方程不受影响。

在1t 时刻征税之后，c 的欧拉方程为：

（3）

在均衡增长路径上，0c =可以推出()()1f k g τρθ-'=+，即税后的回报为g ρθ+。因此，税前的资本回报()()f k t '高于税后的资本回报。为保持0c =，()()f k t '必须上升，从而k 必

须下降。因此，在1t 时刻，0c =曲线必须向左移动。如图2-11所示。

图2-11 1t 时刻征税使得0c =向左移动

不过值得注意的是，资本的动态在实际征税之前仍由原先的欧拉方程决定。在1t 时刻征税之后，消费c 不可能发生不连续的变化，原因在于家庭已经在事先知道了将要征税的消息，家庭希望平滑消费。

（d ）在1t 时刻征税之后，消费不可能发生不连续的变化，同时经济会达到新的均衡增长路径。在0时刻宣布并施行征税后，c 会立即由原先的均衡点E 移动到均衡增长路径上的A 点，如图2-12所示。

图2-12 征税对0c =曲线的影响

在A 点，由于消费c 太高，从而不足以将资本维持在原先的资本水平k *上，因此k 开始下降。从0时刻到1t 时刻，动态系统仍由原先的0c =的欧拉方程决定。消费在鞍点路径之左，因此消费开始上升。

在1t 时刻经济恰好移动到新的鞍点路径，此时税收开始执行，并且动态系统仍由新的

0c =的欧拉方程决定。因此，c 开始下降，经济最终移动到新的鞍点NEW E 。

（e ）每单位有效劳动的消费与每单位有效劳动的资本如图2-13所示。

高考英语阅读理解解题技巧及经典题型

（一）阅读是获得更综合、更复杂、更精确信息的必要手段，考生在做阅读理解时，不仅要看懂文章的字面意思，还需要针对不同题材和体裁的篇目运用不同的方法作出正确的选择。一般来说，词汇、阅读速度和理解能力是阅读理解中三个最重要且有相互联系的因素。 阅读的方法可以使用以下几种： 1.跳读：就是快速的一步阅读法。实际上是有选择阅读，找关键词。用这种阅读方法回答who、what、when、where之类的问题最为有效。 2.略读：指比跳读慢些的二步阅读法。即泛泛地、粗略地快速阅读，目的是了解大意，对文章有个总的概念。此种阅读方法能回答why、how之类的问题。 3.精读：即最细致、最慢的深层阅读方法，目的是求得对所读文章的全部意义的理解与掌握。 在使用阅读技巧时尽量做到以下几点： 1.带着问题阅读短文。 2.找出主题句、确定中心思想。 3.推断单词、句子和文章的含义。 4.尽快选择答案。 （二）不同体裁文章的特点及解题技巧 1.记叙文 记叙文又可分传记类和故事类。传记类文章在阅读中时间是全文的关键，根据时间我们可以找到相关的事件，抓住文章的主要内容。故事类文章情节性较强，阅读时要注意故事中的时间、地点、人物和发生的事件，这些都是文章中的主要内容和信息，对于准确理解文章十分重要。 2.说明文 说明文是对事物的形状、性质、特征、成果或功用等进行介绍，解释或阐述的文章。把握所说明事物的特征和本质是理解说明文的关键。说明事物特征的方法很多，主要有定义法、解释法、比较法、比喻法、数字法、图表法、引用法和举例法等。 ●数字说明文 在阅读数字说明文时要特别注意文中数字的含义，从这些数字中可以找到文章的主要内容。 ●解释说明文

高中数学-等比数列练习题(含答案)

等比数列练习（含答案） 一、选择题 1.(广东卷文)已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22 5a ，2a =1，则1a = A. 2 1 B. 22 C. 2 D.2 【答案】B 【解析】设公比为q ,由已知得( )2 2 8 41112a q a q a q ?=,即2 2q =,又因为等比数列}{n a 的公比为 正数，所以q = 故212a a q = == ,选B 2、如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么（ ） A 、3,9b ac == B 、3,9b ac =-= C 、3,9b ac ==- D 、3,9b ac =-=- 3、若数列}{ n a 的通项公式是=+++-=1021),23()1(a a a n a n n Λ则 （A ）15 （B ）12 （C ）-12 D ）-15 答案：A 4.设{n a }为等差数列，公差d = -2，n S 为其前n 项和.若1011S S =，则1a =（ ） A.18 B.20 C.22 D.24 答案：B 解析： 20 ,100,1111111110=∴+==∴=a d a a a S S Θ 5.（四川）已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是() A.(],1-∞- B.()(),01,-∞+∞U C.[)3,+∞ D.(][),13,-∞-+∞U 答案 D 6.（福建)设｛a n ｝是公比为正数的等比数列，若n 1=7,a 5=16,则数列｛a n ｝前7项的和为( ) A.63 B.64 C.127 D.128 答案 C 7.（重庆）在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 答案 A 8．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 答案：B 9．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，a n +1 =3S n （n ≥1），则a 6= （A ）3 × 44 （B ）3 × 44+1 （C ）44 （D ）44+1 答案：A 解析：由a n +1 =3S n ，得a n =3S n －1（n ≥ 2），相减得a n +1－a n =3(S n －S n －1)= 3a n ，则a n +1=4a n （n ≥ 2），a 1=1，a 2=3，则a 6= a 2·44=3×44，选A ． 10.(湖南) 在等比数列{}n a （n ∈N*）中，若11a =，41 8 a =，则该数列的前10项和为（ ） A ．4122- B ．2122- C ．10122- D ．111 22 - 答案 B 11.（湖北）若互不相等的实数 成等差数列， 成等比数列，且 310a b c ++=，则a = A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 答案 D 解析 由互不相等的实数,,a b c 成等差数列可设a ＝b －d ，c ＝b ＋d ，由310a b c ++=可得b ＝2，所以a ＝2－d ，c ＝2＋d ，又,,c a b 成等比数列可得d ＝6，所以a ＝－4，选D 12.（浙江）已知{}n a 是等比数列，4 1 252= =a a ，，则13221++++n n a a a a a a Λ=（ ） A.16（n --41） B.6（n --21） ,,a b c ,,c a b

罗默《高级宏观经济学》(第3版)课后习题详解(第2章 无限期界与世代交叠模型)

罗默《高级宏观经济学》（第3版）第2章 无限期界与世代交叠模型 跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里 查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。 以下内容为跨考网独家整理，如您还需更多考研资料，可选择经济学一对一在线咨询进行咨询。 2.1 考虑N 个厂商，每个厂商具有规模报酬不变的生产函数()Y F K AL =，，或者（利用密集形式）()Y ALf k =。设()·0f '>，()()* ** 1c s f k =-。设所有厂商以工资wA 雇用工人，以成本r 租借资本，并且拥有相同的A 值。 （a ）考虑一位厂商试图以最小成本生产Y 单位产出的问题。证明k 的成本最小化水平 () ()()**1001t t t f c c k cs f k n g k L n L αδ*+??"==-=++=+ ??? ＜唯一地被确定并独立于Y ，所有厂商因此选择相同的k 值。 （b ）证明N 个成本最小化厂商的总产出等于具有相同生产函数的一个单个厂商利用N 个厂商所拥有的全部劳动与资本所生产的产出。 证明：（a ）题目的要求是厂商选择资本K 和有效劳动AL 以最小化成本rK wAL +，同时厂商受到生产函数()Y ALf k =的约束。这是一个典型的最优化问题。 () .mi . n s t w Y ALf k AL rK = + 本题使用拉格朗日方法求解，构造拉格朗日函数： 求一阶条件： 用第一个结果除以第二个结果： 上式潜在地决定了最佳资本k 的选择。很明显，k 的选择独立于Y 。 上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。 （b ）因为每个厂商拥有同样的k 和A ，下面是N 个成本最小化厂商的总产量关系式：

阅读理解题型分析

阅读理解题型分析 1.阅读理解题型的特点 （1）所选材料来源与实际生活，而且使用语言地道。 （2）体裁常见的有记叙文，说明文；议论文和应用文等。 （3）题材广泛包括了政治、经济、文化、科普、人物、故事、社会现象、地理风情，新闻报道等内容。 （4）阅读理解文章的体裁主要有三类：叙述文、说明文和议论文。1）、叙述文叙述文一般以讲述个人生活经历为主，对于经历的陈述通常由一定的时间概念贯穿其中，或顺序或倒序。但是在考试中一般不出现单纯的叙述文，因为单纯的叙述文比较简单、易懂。 所以中考中的叙述文大多是夹叙夹议的文章。这类文章的基本结构模式是： ①一段概括性的话引入要叙述的经历(话题) ②叙述先前的经历及其感悟或发现 ③叙述接下来的经历及其感悟或发现 ④做出总结或结论 2）、说明文（描述文）说明文的一般结构模式和叙述文的结构模式有相通之处即：提出问题（或以一个事例引出问题）---- 发现直接原因----- 分析深层原因-----得出结论或找到出路。知道了类似的文章结构特点，就可以据此来进行考题预测。比如，我们看出了该篇文章属于这种结构类型，就能判断出几个问题中肯定有一个要问原因，还有可能要出现推断题。

3）、议论文我们大家最容易辨认出来的议论文模式是主张---反主张模式。在这一模式中，作者首先提出一种普遍认可的观点或某些人认可的主张或观点，然后进行澄清，说明自己的主张或观点，或者说提出反主张或真实情况。议论文的这种结构特点决定了它的主要题型是作者观点态度题，文章主旨题以及推理判断题。 只要发现了这种结构特点，解答问题的主要任务就变成了到段落内找答案，基本上不存在任何困难。 2.题型 2.1 细节判断题 以原文中某一句话或某一个短语为入手点，考查学生对细节的理解。很多同学在做这种题目时比较喜欢在选项中寻找原文中的句子，但往往照抄原文的句子并不一定是正确选项。做这类题目时，应关注选项和原句的细微差别，选择与原文意思和所问问题都相符的答案。 2.2 单词释义或句意解释题 要求考生以上下文内容为参考，尝试理解文中出现的生词、短语或句子。这类题目的解题关键在于其上下文，因为在考查点前后出现的内容往往是对这个词的解释、说明、举例等。 2.3主旨大意题 如果是考查整篇文章的主旨大意，可以把文中每段的首句串起来考虑。若是仅考查某一段落的中心思想，则可将该段的首、尾句综合起来考虑。 2.4标题选择题

等比数列例题解析

等比数列·例题解析 【例1】已知S n是数列{a n}的前n项和，S n＝p n(p∈R，n∈N*)，那么数列{a n}． [ ] A．是等比数列 B．当p≠0时是等比数列 C．当p≠0，p≠1时是等比数列 D．不是等比数列 分析由S n＝p n(n∈N*)，有a1=S1＝p，并且当n≥2时， a n=S n－S n-1＝p n－p n-1＝(p－1)p n-1 但满足此条件的实数p是不存在的，故本题应选D． 说明数列{a n}成等比数列的必要条件是a n≠0(n∈N*)，还要注 【例2】已知等比数列1，x1，x2，…，x2n，2，求x1·x2·x3·…·x2n．解∵1，x1，x2，…，x2n，2成等比数列，公比q ∴2＝1·q2n+1 x1x2x3...x2n＝q.q2.q3...q2n=q1+2+3+ (2) 式；(2)已知a3·a4·a5＝8，求a2a3a4a5a6的值． ∴a4＝2 【例4】已知a＞0，b＞0且a≠b，在a，b之间插入n个正数x1，x2，…，x n，使得a，x1，x2，…，x n，b成等比数列，求 证明设这n＋2个数所成数列的公比为q，则b=aq n+1 【例5】设a、b、c、d成等比数列，求证：(b－c)2＋(c－a)2＋(d－b)2＝(a－d)2． 证法一∵a、b、c、d成等比数列 ∴b2＝ac，c2＝bd，ad＝bc

∴左边=b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2＋d2－2bd＋b2 =2(b2－ac)＋2(c2－bd)＋(a2－2bc＋d2) ＝a2－2ad＋d2 ＝(a－d)2＝右边 证毕． 证法二∵a、b、c、d成等比数列，设其公比为q，则： b＝aq，c＝aq2，d=aq3 ∴左边＝(aq－aq2)2＋(aq2－a)2＋(aq3－aq)2 ＝a2－2a2q3＋a2q6 =(a－aq3)2 ＝(a－d)2=右边 证毕． 说明这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目．证法一是抓住了求证式中右边没有b、c的特点，走的是利用等比的条件消去左边式中的b、c的路子．证法二则是把a、b、c、d统一化成等比数列的基本元素a、q去解决的．证法二稍微麻烦些，但它所用的统一成基本元素的方法，却较证法一的方法具有普遍性． 【例6】求数列的通项公式： (1){a n}中，a1＝2，a n+1＝3a n＋2 (2){a n}中，a1=2，a2＝5，且a n+2－3a n+1＋2a n＝0 思路：转化为等比数列． ∴{a n＋1}是等比数列 ∴a n＋1=3·3n-1∴a n=3n－1 ∴{a n+1－a n}是等比数列，即 a n+1－a n=(a2－a1)·2n-1=3·2n-1 再注意到a2－a1=3，a3－a2=3·21，a4－a3=3·22，…，a n－a n-1=3·2n-2，

(英语)英语阅读理解练习题及答案含解析

（英语）英语阅读理解练习题及答案含解析 一、高中英语阅读理解 1．阅读理解 Castle Dale is a small town in central Utah. My grandpa's farm is a few miles to the north. I grew up there. Milking a cow, feeding the chickens and cutting firewood were daily routines. Grandpa had me carrying a broom to do snow cleaning when it was actually taller than I was. This was the work kids like me learned to do at a young age. I was tall, very tall at a really young age. My unusual height caused people to look, ask questions, laugh, tease, and sometimes even challenge me to fight. I was teased cruelly as a kid. It wasn't fair, I knew, but that was just the way it was. Luckily, I was taught at a very young age a very important lesson. I am different and that's Okay—I'm unique and I matter. No one could ever take that away from me. I knew this then, and I know this now. That alone helped me through the frustrations and heartaches of normal life. When I was in junior high school, I realized something else that helped me cope. Most teasing came from one of two places—people who were either jealous or ignorant (愚昧). I couldn't change the way they were, but I could change the way I felt. I was not going to feel bad because of their ignorance or jealousy. It wasn't worth it. Realizing this didn't stop them, or change the fact that these comments hurt. It did, however, give me a way to understand these people and deal with their treatment in a way that was okay for me. These things still happen today. It will probably happen the rest of my life. I will always be 7 feet, 6 inches (2.29 meters) tall. I wouldn't change that for anything. People will always look because it is not every day that you see someone that tall. I learned that at a young age and I now try to teach my own children that they are unique and they matter. That is the message I give to you. Regardless of your race, religion, background, or circumstances ... Being different is okay. （1）The author mentioned his hometown to show us _______. A. he is from an ordinary family B. his grandpa is strict with him C. he loves this lovely small town D. he had to do a lot of labor work （2）The author was often teased because _______. A. he grew up in a small town B. he was much taller than others C. he fought with people easily D. he didn't want people to watch him （3）What was the author's attitude towards being teased? A. He accepted the fact of being different and let it go. B. He felt angry failing to change others' opinions. C. He felt hurt hearing people's negative comments. D. He hated people's ignorance and jealousy. （4）Which of the following may best describe the theme of the passage? A. Everything comes to the man who waits. B. It is the first step that is troublesome. C. Speech is silver, silence is gold. D. Keep your head up. 【答案】（1）A

数列综合练习题以及答案解析

数列综合练习题 一．选择题（共23小题） 1．已知函数f（x）=，若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（） A．[，4）B．（，4）C．（2，4） D．（1，4） 2．已知{a n}是递增数列，且对任意n∈N*都有a n=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣，+∞）B．（0，+∞）C．[﹣2，+∞）D．（﹣3，+∞） 3．已知函数f（x）是R上的单调增函数且为奇函数，数列{a n}是等差数列，a11＞0，则f（a9）+f（a11）+f（a13）的值（） A．恒为正数B．恒为负数C．恒为0 D．可正可负 4．等比数列{a n}中，a4=2，a7=5，则数列{lga n}的前10项和等于（） A．2 B．lg50 C．10 D．5 5．右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是（） A．2 B．4 C．6 D．8 6．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得=4a1，则+的最小值为（） A．B．C．D． 7．已知，把数列{a n}的各项排列成如图的三角形状，记A（m，n）表示第m行的第n个数，则A（10，12）=（） A．B．C．D．

8．设等差数列{a n}满足=1，公差d∈（﹣1，0），若当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，则首项a1的取值范围是（） A．（π，）B．[π，]C．[，]D．（，） 9．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f （a n）}，仍是等比数列，则称f（x）为“等比函数”．现有定义在（﹣∞），0）∪（0，+∞）上的如下函数： ①f（x）=3x，②f（x）=，③f（x）=x3，④f（x）=log2|x|， 则其中是“等比函数”的f（x）的序号为（） A．①②③④B．①④C．①②④D．②③ 10．已知数列{a n}（n∈N*）是各项均为正数且公比不等于1的等比数列，对于函数y=f（x），若数列{lnf（a n）}为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”．现有定义在（0，+∞）上的三个函数：①f（x）=；②f（x）=e x；③f（x）=；④f（x）=2x，则为“保比差数列函数”的是（） A．③④B．①②④C．①③④D．①③ 11．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，则a n=（） A．B．3n﹣2 C．D．n﹣2 12．已知数列{a n}满足a1=2，a n+1﹣a n=a n+1a n，那么a31等于（） A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣ 13．如果数列{a n}是等比数列，那么（） A．数列{}是等比数列B．数列{2an}是等比数列 C．数列{lga n}是等比数列D．数列{na n}是等比数列 14．在数列{a n}中，a n+1=a n+2，且a1=1，则=（）A．B．C．D． 15．等差数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（） A．A+C=2B B．B2=AC C．3（B﹣A）=C D．A2+B2=A（B+C） 16．已知数列{a n}的通项为a n=（﹣1）n（4n﹣3），则数列{a n}的前50项和T50=（）

罗默《高级宏观经济学》章节题库(内生增长)【圣才出品】

第3章内生增长 1．金融危机、货币宽松与经济增长（请阅读下面关于美国量化宽松的描述并简要回答问题，要求简明指出要点）。 2007年中，美国爆发次贷危机和金融危机，金融市场波动增加，风险增大。美联储（美国中央银行）采取了一系列的对抗措施，力图阻止经济产生更大波动，稳定增长和就业，促进经济增长。先是把联邦基金利率从2007年7月的5.25%，下降到2008年12月的几乎为零，一年半的时间内下调了超过5个百分点。然后先后在2008年11月、2010年11月、2012年9月推出三轮量化宽松的政策，大量购买美国国债、机构债、资产抵押债券，向市场注入资金。 （1）根据你的货币政策知识，简要描述降低利率和量化宽松的区别。 （2）2011年9月，美联储推出了扭曲操作，出售4000亿美元中短期国债，购入相同数量的中长期国债。美联储进行这样的操作的预期效果是什么？ 根据《联邦储备法案》，美联储的政策目标是“充分就业、价格稳定和适中的长期利率”。次贷危机和金融危机以来，美国的失业率快速上升而且居高不下，从2007年5月的4.4%上升到2009年10月的10%，后来缓慢下降，但是迄今一直保持在7.2%以上，远远高于6.5%以下的政策目标，而且美国的通货膨胀率也一直不高。因此，美联储一直没有退出量化宽松政策。 （3）基于索罗模型，一个经济体的产出由技术和要素投入决定：Y＝AF（K，L，H），其中Y是产出，A是生产技术，K是资本，L是劳动力，H是附着在劳动力上面的人力资本。这个模型还可以进一步扩展，比如把自然资源包含进去作为生产函数的另一种要素投入，再

比如进一步考虑生产技术A如何变化。 一个有意思的观察是，在增长模型中并没有货币因素，也没有就业，可是为什么美联储认为货币政策可以促进就业呢？请从政策目标之间的关系考虑。 （4）从2007年危机爆发至今，已有6年多的时间。虽然美联储的货币政策一直极为宽松，但是美国的经济复苏一直不强劲、不稳定，而且在此期间美国在技术领域取得了诸多进展，比如页岩气开采技术等等。如果你是政策制定者，根据索罗模型，你认为美国的经济政策应该如何进一步促进增长？ （5）基于你对问题（4）的回答，你认为长时间的货币宽松有助于经济增长吗？简要回答理由。 答：（1）货币当局调节货币供应量的方法有两种：①改变货币的价格，即改变利率。 ②直接改变货币供应量。降息属于前者；量化宽松属于后者，量化宽松主要是指中央银行在实行零利率或近似零利率政策后，通过购买国债等中长期债券，增加基础货币供给，向市场注入大量流动性资金的干预方式，以鼓励开支和借贷，也被简化地形容为间接增印钞票。量化是指扩大一定数量的货币发行，宽松即减少银行的资金压力。当银行和金融机构的有价证券被央行收购时，新发行的钱币便被成功地投入到私有银行体系。量化宽松政策所涉及的政府债券，不仅金额庞大，而且周期也较长。当一个经济体陷入凯恩斯陷阱中，即使货币当局降息，也不会释放出多少流动性时，通常会采取量化宽松货币政策来刺激经济。 （2）从次贷危机爆发开始，美联储先后使用降低利息和量化宽松的手段来稳定经济波动。但是，长时间的量化宽松政策并没有取得良好的效果，美国经济增长仍然乏力，导致就业市场疲软，失业率未有明显降低。此时，由于利率已经被调整至较低水平，而通货膨胀水平也不高。因此，为了实现充分就业的目标，美联储再次采取量化宽松政策。这样做的预期效果是：

二年级【部编语文】阅读理解考点+例题_全面解析

【部编语文】阅读理解考点+例题_全面解析 一、二年级语文下册阅读理解练习 1．阅读下文，回答问题 冬天来了，天空中下起了大雪，白茫茫的一片，整个森林都被大雪覆盖着。 一天，小羊和小猪要到城里去买菜，走着走着，“哎哟！”小羊重重地摔了一跤，小猪跟在后面，急忙去扶小羊，但他也差一点摔倒。它们都生气地说：“都是这个雪害得！一直下个不停，把所有的路都盖住了，叫我们怎么走呀！” 这时，小羊爬起来说：“别泄气，我有办法了！”说完小羊就用羊角当铲子，把雪铲开。小猪见了，也忙用大鼻子来拱。不一会儿，它们就开出了一条小路，可它们自己却累得満头大汗。树上的小鸟们见了，就赶快飞去叫来许多动物朋友，大家一起干。渐渐地，大家一起开出了一条放心路。 （1）这个故事发生的时间是（） A. 春天 B. 夏天 C. 秋天 D. 冬天（2）按照课文内容填空。 小羊用________当铲子，把雪铲开。小猪见了，也忙用大鼻子来拱。不一会，它们就开出了一条________。 （3）这条放心路是（）开出来的。 A. 小羊 B. 小猪 C. 小鸟 D. 许多小动物【答案】（1）D （2）羊角 ；小路 （3）D 【解析】 2．读一读,做一做。 今天______爸和我一起到大海边玩______我在沙滩上,身后留下一个个脚印。浪花打在脚上,我都快要站不住了。一朵朵浪花在海面上开放,美丽极了,我还看到一条条小鱼在水中游来游去。大海真有趣呀______ 爸爸说:“大海是船儿的路。” 我说:“大海是鱼儿的家。” （1）选择下列标点填到短文中的横线上。 ！，。 （2）照样子,写一写。 游来游去 ________来________去 ________来________去 （3）细读短文,在括号里填上合适的词语。 一________脚印一________浪花一________小鱼不 （4）填一填。 大海是船儿的________。大海是鱼儿的________。

罗默《高级宏观经济学》第课后习题详解第章索洛增长模型

罗默《高级宏观经济学》（第3版）第1章 索洛增长模型 跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。 以下内容为跨考网独家整理，如您还需更多考研资料，可选择经济学一对一在线咨询进行咨询。 1.1 增长率的基本性质。利用一个变量的增长率等于其对数的时间导数的事实证明： （a ）两个变量乘积的增长率等于其增长率的和，即若()()()Z t X t Y t =，则 （b ）两变量的比率的增长率等于其增长率的差，即若()()()Z t X t Y t =，则 （c ）如果()()Z t X t α =，则()()()()//Z t Z t X t X t α= 证明：（a ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式： 因为两个变量的积的对数等于两个变量各自对数之和，所以有下式： 再简化为下面的结果： 则得到（a ）的结果。 （b ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式： 因为两个变量的比率的对数等于两个变量各自对数之差，所以有下式： 再简化为下面的结果: 则得到（b ）的结果。 （c ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式： 又由于()()ln ln X t X t αα??=??，其中α是常数，有下面的结果： 则得到（c ）的结果。 1.2 假设某变量X 的增长率为常数且在10~t 时刻等于0a >，在1t 时刻下降为0，在12~t t 时刻逐渐由0上升到a ，在2t 时刻之后不变且等于a 。 （a ）画出作为时间函数的X 的增长率的图形。 （b ）画出作为时间函数的ln X 的图形。 答：（a ）根据题目的规定，X 的增长率的图形如图1-1所示。 从0时刻到1t 时刻X 的增长率为常数且等于a （0a >），为图形中的第一段。X 的增长率从0上升到a ，对应于图中的第二段。从2t 时刻之后，X 的增长率再次变为a 。 图1-1 时间函数X 的增长率 （b ）注意到ln X 关于时间t 的导数（即ln X 的斜率）等于X 的增长率，即： 因此，ln X 关于时间的图形如图1-2所示：从0时刻到1t 时刻，ln X 的斜率为a （0a >），

一年级最新阅读理解考点+例题_全面解析

最新阅读理解考点+例题_全面解析 一、一年级语文下册阅读理解练习 1．阅读下文，回答问题。 一________乌黑的羽毛，一________剪刀似的尾巴，一________轻快有力的翅膀，凑成了那样活泼可爱的小燕子。 二三月的春日里，轻风微微地吹拂着，如毛的细雨由天上洒落着，千万条的柔柳，红的黄的白的花，青的草，绿的叶，都像赶集似的聚拢来，形成了烂漫无比的春天。这时候，那些小燕子，那么伶俐可爱的小燕子，也由南方飞来，加入了这个光彩夺目的图画中，为春光平添了许多生趣。 （1）在横线上填入恰当的量词。 一________乌黑的羽毛，一________剪刀似的尾巴，一________轻快有力的翅膀，凑成了那样活泼可爱的小燕子。 （2）第二自然段中描写的景物有________、________、________、________、________、________。其中________这个成语写出了春天的特点。 （3）文中划线的句子把________、________、________当做人来写，显得多么生动、从中我们体会到这是________的春天。 （4）第二自然段中的“斜”字写出了燕子________的特点，不但写出了燕子飞行________，而且写出燕子飞行的________姿态。 【答案】（1）身；双；对 （2）轻风；细雨；柔柳；花；草；叶；灿烂无比 （3）花；草；叶；灿烂无比 （4）飞行；快；灵活 【解析】【分析】（1）本题主要考查学生对量词的掌握情况，这道题是让填量词，量词通常用来表示人、事物或动作的数量单位的词，填空时要按语言习惯合理搭配。 （2）寻找文句中的景物相对简单，将文句中写景的实物挑出来即可。 （3）本题的目的是引导学生明白拟人这一修辞手法以及其作用。所谓“拟人”，就是把“物”当作人来写，使“物”具有人的情感与行为，从而达到化抽象为具体的目的。 （4）体会划线词语，了解用词之美——动词精辟准确，把事物说得形象具体；为文章增色；关键词能为中心服务。 故答案为：（1）身、双、对（2）轻风、细雨、柔柳、花、草、叶、灿烂无比（3）花、草、叶、灿烂无比（4）飞行、快、灵活 【点评】（1）掌握量词的用法，学生做题就容易了，平时要注意积累和运用。 （2）本题考查学生赏析文句中景物描写的能力。 （3）考查学生对拟人修辞手法的掌握。要求学生能判断，会应用。 （4）结合具体语境进行分析，表述合理即可。 2．读短文，完成练习。 两只小鸟

(完整版)等比数列经典例题范文

1.(2009安徽卷文）已知为等差数列，，则等 于 A. -1 B. 1 C. 3 D.7 【解析】∵即∴同理可得∴公差∴.选B 。 【答案】B 2.(2009年广东卷文)已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则= A. B. C. D.2 【答案】B 【解析】设公比为,由已知得,即,又因为等比数列的公 比为正数，所以,故,选B 3.（2009江西卷文）公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, , 则等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 【答案】C 【解 析】由得得,再由 得 则,所以,.故选C 4.（2009湖南卷文）设是等差数列的前n 项和，已知，，则等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ． 63 【解析】故选C. 135105a a a ++=33105a =335a =433a =432d a a =-=-204(204)1a a d =+-?=}{n a 3a 9a 2 5a 2a 1a 2 1 222q ( )2 2 8 41112a q a q a q ?=2 2q =}{n a q = 212a a q = == {}n a n n S 4a 37a a 与832S =10S 2 437a a a =2111(3)(2)(6)a d a d a d +=++1230a d +=8156 8322 S a d =+ =1278a d +=12,3d a ==-10190 10602 S a d =+ =n S {}n a 23a =611a =7S 172677()7()7(311) 49.222 a a a a S +++= ===

5-罗默高级宏观经济学

第一章索洛增长模型 【1.1 经济增长中的一些事实】 对于不同国家的不同时期，其生活水平有巨大差异 【1.2 假设】 投入与产出 影响经济的最基本的要素是什么？ 资本品（机器生产）；劳动资本（劳动率）；科技进步水平 关键是A和L 是以相乘的方式进入生产函数的，AL称为有效函数 关于生产函数的假设 索洛模型中的生产函数的关键假设是规模报酬不变，对于资本和有效劳动的规模报酬不变。如果让资本和有效劳动数量翻倍，那么产量也会翻倍。

根据规模报酬不变的假设，前提条件是： 1.经济规模已经足够大，使得专业化分工已经得到了足够的好处 2.相对于劳动和资本和知识来说，其他的投入要素并不重要，索洛模型忽略了土地和其他 自然资源的作用。

关于投入要素变化的假定 1.假定模型中的时间是连续的，也就是说，模型中的每一个点的变量都是有定义的 2.

稳态的时候经济增长率变为零，稳态时候，平均产出的增长率为零但是总量的增长率并不是为零 经济增长率是按照人口增长率和科学技术增长率来计算的。

切线和水平投资持平，这时候达到最大的增量低于资本存量，会向高资本进行回归 用图形表示的是运动的轨迹 1.4 储蓄率变化的影响 s 是外生的变量 定性的结论： 如果s 突然上升到s’ 中的这个位置

资本存量的增长率先是增加，然后增加的逐渐下降，资本存量的变化率 资本存量本身是一定是往上走的，是递减的增加 和资本存量的增长率相对应 劳均资本的增长率和资本存量的增长率是同步的 变动，因为技术进步率是不变的 劳军产出的对数值 每单位劳动的平均消费是怎么变化 取决于产出怎么变 也取决于劳动怎么变 投资先快速下滑，然后回归到新的均衡 以上是储蓄率变化对产出变化的时间效应

英语阅读理解练习题20篇及解析

英语阅读理解练习题20篇及解析 一、英语阅读（日常生活类） 1．阅读理解 When it comes to helping developing countries, we often think about offering money in order that they can build schools and hospitals, buy food and medicine, or find clean water supplies. These seem to be the most important basic needs in their lives. However, it's far from enough. We have to come up with better ideas. A man called Nicholas Negroponte invented a cheap laptop computer, which he decided to invent after he visited a school in Cambodia. The laptop which Mr. Negroponte has designed is not the same as the normal one that you can buy in the shops. One difference is that it will be covered in rubber so that it is strong and won't be damaged easily. As an electricity supply can be a problem in developing countries, the computer also has a special handle in order that children can wind the computer up to give it extra power when needed. This special laptop computer will cost less than 100 US dollars and Mr. Negroponte wants to produce as many as 15 million laptop computers in the first year. The idea is that these computers will help the children's education as they will be able to access the Internet. These computers might not benefit the people in developing countries immediately, but by improving children's education they should help people to find their own solutions to their problems in the long term. Another idea to help children in developing countries is to recycle old mobile phones so that they can be used again. In the UK. And probably in many other countries too, millions of mobile phones are thrown away every year. The waste crested by throwing away thee old phones is very bed for the environment, so it seems to be an excellent idea to achieve two important goals at the same time. We will reduce the waste we produce and help others. In other words, we will be able to" kill two birds with one "and that is always a good thing. （1）The underlined phrase "wind up" in paragraph 2 means . A. 吹风 B. 给……上发条 C. 摇上 D. 利用空气……使……（2）The laptop computer that Mr. Negroponte has designed . A. will be damaged much easier than the normal one B. has a special handle to access the Internet C. is cheap and can run with extra power D. can be helpful to find the people's own solutions （3）According to the passage，what benefit can we get from recycling old mobile phones? A. We can reduce the waste to protect the environment. B. We can help children in developing countries reuse the old mobile phones. C. it is good for the environment and very educative for phone users. D. It not only reduces the waste produced by developed countries but also helps the children in developing countries. （4）Mr. Negroponte's cheap computer is mentioned in the passage to . A. illustrate the kindness of people in the developed countries

等比数列的前n项和例题详细解法

等比数列的前n项和例题详细解法?例题解析 【例1】设等比数列的首项为a(a＞0)，公比为q(q＞0)，前n项和为80，其中 最大的一项为54，又它的前2n项和为6560，求a和q. 解：由S n=80，S2n=6560，故q≠1 ∵a＞0，q＞1，等比数列为递增数列，故前n项中最大项为an． ∴a n=aq n-1=54 ④ 将③代入①化简得a=q－1 ⑤ 由⑤，⑥联立方程组解得a=2，q=3 证∵Sn=a1＋a1q＋a1q2＋...＋a1q n-1 S2n=S n＋(a1q n＋a1q n+1＋...＋a1q2n-1)

=S n＋q n(a1＋a1q＋...＋a1q n-1)=S n＋q n S n=S n(1＋q n) 类似地，可得S3n=S n(1＋q n＋q2n) 说明本题直接运用前n项和公式去解，也很容易．上边的解法，灵活地处理了S2n、S3n与S n的关系．介绍它的用意在于让读者体会利用结合律、提取公因式等方法将某些解析式变形经常是解决数学问题的关键，并且变得好，则解法巧． 【例2】一个有穷的等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数． 分析设等比数列为{a n}，公比为q，取其奇数项或偶数项所成的数列仍然是等比数列，公比为q2，首项分别为a1，a1q． 解设项数为2n(n∈N*)，因为a1=1，由已知可得q≠1． 即公比为2，项数为8． 说明运用等比数列前n项和公式进行运算、推理时，对公比q要分情况讨论．有关等比数列的问题所列出的方程(组)往往有高次与指数方程，可采用两式相除的方法达到降次的目的．