不等式的性质教案第一课时
田家炳中学温世明
2004年3月
教学目标: 1、掌握实数的运算性质与大小顺序间关系;
2、掌握求差法比较两实数或代数式大小;
3、强调数形结合思想.
教学重点:比较两实数大小
教学难点:理解实数运算的符号法则
教学方法:启发式
教学过程:
一、复习回顾
我们知道,实数与数轴上的点是一一对应的,在数轴上不同的两点中,右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.例如,在图6—1中,点A表示实数a,点B表示实数b,点A在点B右边,那么a>b.
我们再看图6—1,a>b表示a减去b所得的差是一个大于0的数即正数.一般地:
若a>b,则a-b是正数;逆命题也正确.
类似地,若a<b,则a-b是负数;若a=b,则a-b=0.它们的逆命题都正确.
这就是说:(打出幻灯片1)
b a-b>0
a=b a-b=0
a<b a-b<0
由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了,这也是我们这节课将要学习的主要内容.
二、讲授新课
比较两实数大小的方法——求差比较法
比较两个实数a与b的大小,归结为判断它们的差a-b的符号,而这又必然归结到实数运算的符号法则.
比较两个代数式的大小,实际上是比较它们的值的大小,而这又归结为判断它们的差的符号.
接下来,我们通过具体的例题来熟悉求差比较法.
例题讲解
例1 比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小.
分析:此题属于两代数式比较大小,实际上是比较它们的值的大小,可以作差,然后展开,合并同类项之后,判断差值正负,并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小.
解:
∴
已知x≠0,比较(与的大小.
分析:此题与例1基本类似,也属于两个代数式比较大小,但是其中的x有一定的限制,应该在对差值正负判断时引起注意,对于限制条件的应用经常被学生所忽略.
由得,从而
请同学们想一想,在例2中,如果没有这个条件,那么比较的结果如何?
(学生回答:若没有这一条件,则,从而大于或等于)为了使大家进一步掌握求差比较法,我们来进行下面的练习.
三、课堂练习
比较的大小.
如果x>0,比较的大小.
已知a≠0,比较与的大小.
要求:学生板演练习,老师讲评,并强调学生注意加限制条件的题目.
课堂小结
通过本节学习,大家要明确实数运算的符号法则,掌握求差比较法来比较两实数或代数式的大小.课后作业
习题6.1 1,2,3.
板书设计
§6.1.1 不等式的性质
. .
《不等式的基本性质》教案 教学目标 1、经历不等式基本性质的探索过程,初步体会不等式与等式的异同. 2、掌握不等式的基本性质. 教学重难点 不等式的基本性质的掌握与应用. 教学过程 一、比较归纳,产生新知 我们知道,在等式的两边都加上或都减去同一个数或整式,等式不变. 请问:如果在不等式的两边都加上或都减去同一个整式,那么结果会怎样?请举几例试一试,并与同伴交流. 类比等式的基本性质得出猜想:不等式的结果不变.试举几例验证猜想. 如3<7,3+1=4,7+1=8,4<8,所以3+1<7+1;3-5=-2,7-5=2,-2<2,所以3-5<7-5;3+a<7+a;3<7,3-a<7-a等.都能说明猜想的正确性. 二、探索交流,概括性质 完成下列填空. 2<3,2×5______3×5; 2<3,2×(-1)______3×(-1); 2<3,2×(-5)______3×(-5); 你发现了什么?请再举几例试试,与同伴交流. 通过计算结果不难发现:第一个空填“<”,后三个空填“>”. 得出不等式的基本性质: 不等式的基本性质1:不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变.不等式的基本性质2:不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.不等式的基本性质3:不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.(通过自我探索与具体的例子使学生加深对不等式性质的印象) 三、例题解析 将下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式: (1)x-5>-1;(2)-2x>3. 解:(1)根据不等式的基本性质1,两边都加5,得 x>-1+5 即
x >4 (2)根据不等式的基本性质3,两边都除以-2,得 32 <-x 四、练习巩固,促进迁移 1、用“>”号或“<”号填空,并简说理由. ① 6+2 ______ -3+2; ② 6×(-2)______ -3×(-2); ③ 6÷2______ -3÷2; ④ 6÷(-2)______ -3÷(-2) 2、利用不等式的基本性质,填“>”或“<”. (1)若a >b ,则2a +1 _____ 2b +1; (2)若a <b ,且c >0,则ac +c ______ bc +c ; (3)若a >0,b <0, c <0,(a -b )c ______ 0. 3、巩固应用,拓展研究. 按照下列条件,写出仍能成立的不等式,并说明根据. (1)a >b 两边都加上-4; (2)-3a <b 两边都除以-3; (3)a ≥3b 两边都乘以2; (4)a ≤2b 两边都加上c . 五、课堂小结 不等式的基本性质: 不等式的基本性质1:不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变. 不等式的基本性质2:不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变. 不等式的基本性质3:不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
高中数学-不等式的基本性质(一)练习 课后导练 基础达标 1若-1<α<β<1,则下列各式中成立的是( ) A.-2<α-β<0 B.-2<α-β<-1 C.-1<α-β<0 D.-1<α-β<1 解析:∵-1<α<β<1,∴-1<α<1,-1<β<1. ∴-1<-β<1.∴-2<α-β<2.又α-β<0, ∴-2<α-β<0. 答案:A 2“a+b>2c ”成立的一个充分条件是( ) A.a>c,或b>c B.a>c 且b
9.1.2 不等式的基本性质 内容解析:它承接了等式的性质,让学生第一次经历不等式的等价变形,也经历了从“数”的大小关系到“式”的大小关系的转折,不等式的性质是解不等式的重要依据,因此它是不等式解法的核心内容之一,是本章的基础。 生活中的数量关系不外乎两种:相等关系与不等关系,通过这堂课的学习,让学生对数量关系的变形有一个完整的认识,形成一个知识体系。 教学目标 知识与能力:1.探索并掌握不等式的基本性质; 2. 运用不等式的基本性质将不等式变形。 方法与过程:通过对比不等式的性质和等式的性质,培养学生的求异思维,提 高学生的辨别能力. 情感态度与价值观:通过大家对不等式性质的探索,培养学生的钻研精神,同时还加强了同学间的合作与交流. 教学重点:掌握不等式的基本性质并能正确运用将不等式变形 教学难点:不等式基本性质3的运用 教学方法:类推探究法 学法:自主探索与合作交流 学情分析: 学生的认知基础有:第一,会比较数的大小;第二,理解等式性质并知道等式性质是解方程的依据;第三、具备“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会,有一定的抽象概括能力和数学建模能力和合情推理归纳能力。 不等式性质3缺少生活经验的依据,已有知识经验对性质3造成负迁移,导致学生不理解运用性质3时“为什么要改变不等号的方向”;在不等式的等价变形时不知道“什么时候要改变不等号的方向”。本设计运用分组讨论合作交流的方式,使学生对不等式性质2、3经历猜测、验证、纠错、归纳、完善的充分的思考过程,自发生成。 教学过程 复习回顾,导入新课 等式的基本性质 等式的基本性质1:等式两边同时加(或减)同一个代数式,所得结果仍是等式. 等式的基本性质2:等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为0的数),所得结果仍是等式. 不等式与等式只有一字之差,那么它们的性质是否也有相似之处呢?本节课我们将加以验证. 新课讲授 探究1: (1)提问1:类比等式的性质,你发现不等式有哪些性质么? 如果5> 3 那么5+2 ____3+2 , 5 -2____3-2 如果-1< 3, 那么-1+3____3+3, -1- 3____3 - 3 你能总结一下规律吗?
学习目标 1、掌握不等式的基本性质。 2、会应用不等式的基本性质对不等式进行化简。 3、知道等式与不等式性质的联系与区别。 重点难点 重难点:不等式的性质及其应用。 学习过程 一、课前预习 1、不等式的性质1: 字母表示为:如果a>b,那么 2、不等式的性质2: 字母表示为:如果a>0,c>0,那么 3、不等式的性质3: 字母表示为:如果a>0,c<0,那么 二、课堂研讨 (一)重点研讨 4、将下列不等式化成“χ>a”或“χ<a”的形式。 (1)χ+12>6 (2)2χ<-2 (3)χ-2>0.9 (4)-3χ<-6
5、思考:等式的性质和不等式的性质有什么异同? 相同点:不同点: (二)拓展训练 6、解不等式2x—1﹤5x-5并在数轴上表示解集。 7、已知a﹥b,ac一定大于bc吗? (三)达标测试 8、填写不等号或变形依据。 (1)∵0<1∴a a+1,依据; (2)若2x>-6,两边同除以2,得,依据;(3)若-12 x f,两边同乘以-3,得,依据。 3 9、若x>y,判断下列不等式变形是否正确,并说出你的理由。(1)x-6 (3)-2x<-2y (4)2x+1>2y+1 (5)ax>ay 三、课后巩固 10、填空 (1)∵ 2a > 3a ∴ a 是 数 (2)∵ 32 a a p ∴ a 是 数 (3)∵ax < a 且 x > 1 ∴ a 是 数 11、根据下列已知条件,说出a 与b 的不等关系,并说明是根据不等式哪一条性质。 (1)a -3 > b -3 (2) 33a b f (3)-4a > -4b 12、设m >n ,用“<”或“>”填空 ⑴m -5 n -5 ⑵m+4 n+4 ⑶6m 6n ⑷-31 m - 31 n 13、利用不等式的性质解下列不等式,并将解集在数轴上表示出来。 ⑴ x -7>26 ⑵ 3x <2x+1 《 等式性质与不等式性质》 1、知识与技能 (1)能用不等式 (组)表示实际问题的不等关系; (2)初步学会作差法比较两实数的大小; (3)掌握不等式的基本性质,并能运用这些性质解决有关问题. 2、过程与方法 使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系;以问题方式代替例题,学习如何利用不等式研究及表示不等式,利用不等式的有关基本性质研究不等关系. 3、情感态度与价值观 通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度,注重问题情境、实际背景的设置,通过学生对问题的探究思考,广泛参与,改变学生学习方式,提高学习质量. 【教学重点】 能用不等式(组)表示实际问题的不等关系, 会作差法比较两实数的大小 ,通过类比法,掌握不等式的基本性质. 【教学难点】 运用不等式性质解决有关问题. (一)新课导入 用不等式(组)表示不等关系 中国"神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的成功.我们知道,它的飞行速度(v )不小于第一宇宙速度(记作2v ),且小于第二宇宙速度(记 1v ). 12v v v ≤< (二)新课讲授 问题1:你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗 (1)某路段限速40km /h ; (2)某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f 应不少于%,蛋白质的含量p 应不少于%; (3)三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边; (4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短. 对于(1),设在该路段行驶的汽车的速度为vkm /h ,“限速40km /h ”就是v 的大小不能超过40,于是0<v ≤40. 对于(2)某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f 应不少于%,蛋白质的含量p 应不少于%. 2.5%2.3% f p ≥??≥? 对于(3),设△ABC 的三条边为a ,b ,c ,则a +b >c ,a -b <c . 对于(4),如图,设C 是线段AB 外的任意一点,CD 垂直于AB ,垂足 为D ,E 是线段AB 上不同于D 的任意一点,则CD <CE . 以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式图接着, 就可以用不等式研究相应的问题了 问题2:某种杂志原以每本元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,杂志的单价每提高元,销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元 解:提价后销售的总收入为错误!x 万元,那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 弹性学制数学讲义 不等式(4课时) ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①(对称性)a b b a >?> ②(传递性),a b b c a c >>?> ③(可加性)a b a c b c >?+>+ (同向可加性)d b c a d c b a +>+?>>, (异向可减性)d b c a d c b a ->-?<>, ④(可积性)bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a <>0, ⑤(同向正数可乘性)0,0a b c d ac bd >>>>?> (异向正数可除性)0,0a b a b c d c d >><> ⑥(平方法则) 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦(开方法则)0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧(倒数法则) b a b a b a b a 110;110>?<< >> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈,,(当且仅当a b =时取""=号). 变形公式:22 .2a b ab +≤ ②(基本不等式) 2a b ab +≥ ()a b R +∈,,(当且仅当a b =时取到等号). 变形公式: 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大),要注意满足三个条件“一正、二定、 三相等”. ③(三个正数的算术—几何平均不等式) 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、(当且仅当a b c ==时取到等号). ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈, (当且仅当a b c ==时取到等号). ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> (当且仅当a b c ==时取到等号). ⑥0,2b a ab a b >+≥若则(当仅当a=b 时取等号) 0,2b a ab a b <+≤-若则(当仅当a=b 时取等号) ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1,(其中000)a b m n >>>>,, 规律:小于1同加则变大,大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时,或 22. x a x a a x a -<< ⑨绝对值三角不等式 . a b a b a b -≤±≤+ 3、几个著名不等式 ①平均不等式:22 11222a b a b ab a b --++≤≤≤+,,a b R +∈(,当且仅当a b =时取 ""=号). (即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均). 变形公式: 【新教材】等式性质与不等式性质 教学设计(人教A版) 等式性质与不等式性质是高中数学的主要内容之一,在高中数学中占有重要地位,它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型,在现实生活中有着广泛的应,有着重要的实际意义.同时等式性质与不等式性质也为学生以后顺利学习基本不等式起到重要的铺垫. 课程目标 1. 掌握等式性质与不等式性质以及推论,能够运用其解决简单的问题. 2. 进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小. 3. 通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质。 数学学科素养 1.数学抽象:不等式的基本性质; 2.逻辑推理:不等式的证明; 3.数学运算:比较多项式的大小及重要不等式的应用; 4.数据分析:多项式的取值范围,许将单项式的范围之一求出,然后相加或相乘.(将减法转化为加法,将除法转化为乘法); 5.数学建模:运用类比的思想有等式的基本性质猜测不等式的基本性质。 重点:掌握不等式性质及其应用. 难点:不等式性质的应用. 教学方法:以学生为主体,采用诱思探究式教学,精讲多练。 教学工具:多媒体。 一、情景导入 在现实世界和日常生活中,大量存在着相等关系和不等关系,例如多与少、大与小、长与短、轻与重、不超过或不少于等.举例说明生活中的相等关系和不等关系. 要求:让学生自由发言,教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本,引入新课 阅读课本37-42页,思考并完成以下问题 1.不等式的基本性质是 2.比较两个多项式(实数)大小的方法有哪些 3.重要不等式是 4.等式的基本性质 5.类比等式的基本性质猜测不等式的基本性质 要求:学生独立完成,以小组为单位,组内可商量,最终选出代表回答问题。 三、新知探究 1、两个实数比较大小的方法 作差法{a?a>0?a>a a?a=0?a=a a?a<0?a “不等式的性质”的教学设计 07990201 侯志静 综合理科072班 一、课标分析 数学新课程标准提到:要注重提高学生的数学思维能力,即“在学生学习数学运用数学解决问题时,应经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程”。笔者在认真学习领会新课程标准的基础上,在《不等式的性质》教学设计中大胆探索归纳式学习方法、勇于实践探究式教学方法,以取得更好的教学效果。二、教材分析 (1)本节内容是七年级下第九章《不等式和不等式组》中的重点部分,是不等式的第一节课,由于学生是第一次接触不等式,故此节课应该是在加深对不等式的认识的基础上,着重探究不等式的性质,了解一般不等式的解与解集以及解不等式的概念。 (2)不等式的性质是后继深入学习一元一次不等式组以及解决与不等式有关问题的基础和依据。教材中列举了不等式的三条基本性质定理,这三条性质不等式的最基本、也是最重要的性质,不仅要掌握它们的内容、理解掌握它们成立的条件、把握它们之间的联系,还要对这些性质进行拓展探究。 (3)不等式的性质是培养学生数学能力的良好题材,学习不等式,要经常用到观察、分析、归纳、猜想、迭代的思想,还要综合运用前面的知识解决不等式中的一些问题,这些都有助于学生数学能力的提高。本节内容安排上难度和强度不高,适合学生讨论,可以充分开展合作学习,培养学生的合作精神和团队竞争的意识。 (4)本章的知识定位与传统教材有些不同,在这套教材中,前面已经介绍了一元一次方程、一次函数及二元一次方程组的内容,现在再学习一元一次不等式和一元一次不等式组已是顺理成章的了,但是知识体系的变化会引起对不等式整个内容的理解与把握上的不同,相应问题的难度与函数、方程的综合程度会有所加大,并且突出由一些具体的实际问题抽象为不等关系模型的过程,让学生体会 2019-2020年高二数学第六章不等式: 6.1不等式的性质(一) 优秀教案 教学目的: 1了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用; 2掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系,学会比较两个代数式的大小. 教学重点:比较两实数大小. 教学难点:差值比较法:作差→变形→判断差值的符号 授课类型:新授课 课时安排:1课时 教具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、引入: 复习初中学过的不等式的性质 ①正数的相反数是负数 ②任意实数的平方不小于0。 ③不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式, 不等号的方向不变。 ④不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的 方向不变。 ⑤不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的 方向改变。 人与人的年龄大小、高矮胖瘦,物与物的形状结构,事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系,这表明现实世界中的量,不等是普遍的、绝对的,而相等则是局部的、相对的研究不等关系,反映在数学上就是证明不等式与解不等式实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系,这种关系是本章内容的基础,也是证明不等式与解不等式的主要依据因此,本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系 生活中为什么糖水中加的糖越多越甜呢? 转化为数学问题:a克糖水中含有b克糖(a>b>0),若再加m(m>0)克糖,则糖水更甜了,为什么? 分析:起初的糖水浓度为,加入m克糖后的糖水浓度为,只要证>即可怎么证呢?引人课题 二、讲解新课: 1.不等式的定义:用不等号连接两个解析式所得的式子,叫做不等式. 说明:(1)不等号的种类:>、<、≥(≮)、≤(≯)、≠.(2)解析式是指:代数式和超越式(包括指数式、对数式和三角式等) (3)不等式研究的范围是实数集R. 2.判断两个实数大小的充要条件 对于任意两个实数a、b,在a>b,a= b,a<b三种关系中有且仅有一种成立.判断两个实数大小的充要条件是: 由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差的符号就可以了,这好比站在同一水平面上的两个人,只要看一下他们的差距,就可以判断他们的高矮了. 三、讲解范例: 例1比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小分析:此题属于两代数式比较大小,实际上是比较它们的值的大小,可以作差,然后展开,合并同类项之后,判断差值正负(注意是指差的符号,至于差的值究竟是多少,在这里无关紧要)并根据实数运算的符号法则来得出两个代数 9.1.2 不等式的性质 三维目标知识与技能 1、理解掌握不等式的性质; 2、会解决简单的一元一次不等式,并能在数轴上表示出解集。 过程与方法 经历通过类比、猜测、验证发现不等式性质的探索过程,初步体会 不等式与等式的异同,初步掌握类比的思想方法。 情感与态度通过创设问题情境和实验探究活动,积极引导学生参与数学活动,提高学习数学的兴趣,增进学习数学的信心,体会在解决问题的过 程中与他人交流合作的重要性。 教学重点:理解并掌握不等式的性质及运用; 教学难点:不等式性质3的探索及正确运用不等式的性质; 教学方法与手段:启发、讨论、探究 教学过程: 一、情境创设 复习回顾: 等式有哪些性质? 导入新课: ①给不平衡的天平两边同时加入相同质量的砝码,天平会有什么变化? ②不平衡的天平两边同时拿掉相同质量的砝码,天平会有什么变化? ③如果对不平衡的天平两边砝码的质量同时扩大相同的倍数,天平会平衡吗?缩小相同的倍数呢? 二、自主探究 探究活动一 (一)探究不等式的性质 问题1 用“>”或“<”填空. ①-1 < 3 -1+2 3+2,-1-3 3-3 ②5 >3 5+a 3+a ,5-a 3-a ③ 6 > 2 6×5 2×5 ,6×(-5) 2×(-5) ④-2 < 3 (-2)×6 3×6 (-2)×(-6) 3×(一6) ⑤-4 >-6 (-4)÷2 (-6)÷2 (-4)÷(-2)(-6)÷(-2)人教A版新课标高中数学必修一教案-《等式性质与不等式性质》
高中数学不等式知识点总结
《2.1-等式性质与不等式性质》公开课优秀教案教学设计(高中必修第一册)
不等式的性质的教学设计
2019-2020年高二数学 第六章 不等式: 6.1不等式的性质(一)优秀教案
人教初中数学七下不等式的性质教案