第七单元 事件的独立性

经济数学基础第9章随机事件与概率第七单元事件的独立性

一、学习目标

通过本节课的学习，理解事件独立性的概念，会用公式判别或根据实际判断.

事件是否独立.

二、内容讲解

引例：某检修工人负责甲，乙两个车间机器的检修. 已知甲车间机器需要检修的概率是0.2，乙车间机器需要检修的概率是0.15，求检修工人空闲的概率.

解：设A＝{甲车间不需要检修}，B＝{乙车间不需要检修}，所求为P（AB）.

由概率乘法公式P（AB）＝

)

(

)

(A

B

P

A

P

若事件A，B满足P（AB）＝P（A）P（B）

称事件A，B相互独立. 则有

P(B∣A)＝P(B) P(A∣B)＝P(A)

反之，有P(AB)＝P(A)P(B)?A与B独立.

解引例:因为A与B独立，

所以P(AB)=P(A)P(B)=(1－0.2)(1-0.15)=0.68

关于事件的独立性有结论：

若四对事件A，B；A，B；A，B；A，B中有一对独立，则另外三对也独立(即这四对事件或者都独立，或者都不独立).

为判断事件的独立性提供了方便.

问题: 若事件A与B满足AB＝?，那么事件A与B独立吗？

一般不对立. AB＝?，表明事件A与B互不相容. 一般地，互不相容的两事件不会独立.

经济数学基础 第9章 随机事件与概率

(1) 当A ≠?，B ≠?时，A 与B 独立，有P (AB )＝P (A )P (B )，

不可能得到AB ＝?. 反之，若A ≠?，B ≠?时，AB ＝?，则有P (AB )=0，那么就不可能有P (AB )=P (A )P (B ).

(2) 必然事件U 与任何事件独立，因为任意事件A ，有P (UA )=P (U )P (A ).

(3) 不可能事件?与任何事件独立，因为任意事件A ，有P (?A )=P (?)P (A ).

三、例题讲解

例1 某项招生考试时，需通过三项考核，三项考核的通过率分别为0.6，0.8，0.85.求招生考试的淘汰率.

解：设A ＝{通过第一项考核}，

B ＝{通过第二项考核}，

C ＝{通过第三项考核},

被录取为ABC ，被淘汰为ABC ， 所求为)(1)(ABC P ABC P -=

)()()(1C P B P A P -=

＝1－0.6×0.8×0.85=0.592

四、课堂练习

练习1 某电台有若干台发射机， 每台发射机都独立地运行，正常工作的概率都是0.8. 问电台至少需要几台发射机才能保证正常工作的概率达到99％以上. 根据所设，所求为 P (A )>0.99. 至少有一台发射机正常工作，则电台才能正常工作，故是一个和事件的概率，用摩根律可以将和事件转化成积事件，利用事件的独立性，就可以求得结果. 只要有一台发射机正常工作，则电台就能正常工作.

经济数学基础第9章随机事件与概率设有n台发射机，A＝{电台正常工作}，又设A k＝{第k台发射机正常工作},k=1,2,…,n. 根据事件的和之定义，A1+A2+…+A n表示至少有一台发射机正常工作，则A发生，故P(A)=P(A1+A2+…

+A n).

五、课后作业

1. 用三台机床制造一部机器的三种零件，机床的不合格品率分别为0.2，0.3，

0.1, 从它们的产品中各任取一件进行检验, 求所取三个产品都是不合格品的概

率.

2. 加工某种零件需要经过4道工序. 假设第1，2，3，4道工序出不合格品的

概率分别是2%,4%,5%,3%. 假设各道工序是互不影响的，求加工的零件是合格品的

概率.

3. 一个工人看管三台机床，在一小时内不需要工人照管的概率：第一台为

0.9，第二台为0.8，第三台为0.7，求在一小时内，

(1)三台机床都不需要工人照管的概率；

(2)三台机床中至多有一台需要工人照管的概率.

4. 甲、乙二人独立地射击同一个目标，命中的概率分别为0.9和0.8. 现在

每人射击一次，求下列事件的概率：

(1) 二人都命中；

(2) 甲命中而乙未命中；

(3) 目标被击中；

(4) 只有一人命中.

5. 证明：若P(A∣B)=P(A∣B)，则事件A与B独立.

1. 0.006．

2. 0.867．

3. (1) 0.504；(2) 0.902．

经济数学基础第9章随机事件与概率

4. (1) 0.72； (2) 0.18； (3) 0.98； (4) 0.26．

5. (略)

事件的独立性

§ 1.5 事件的独立性 一、两个事件的独立性 在条件概率中，一般情况下，P(B|A)P(B)P(A|B)P(A)≠≠， 但在特殊的条件下，就不同了，请看下例： 例1.5.1 袋中有5球，3新2旧，从中任取一球，有返回的取两次， 令A=第一次取新球，B=第二次取新球。 因为是有返回抽取，所以 3P(B|A)P(B)5 = = 显然也有 3P(A|B)P(A)5== 两个事件独立的直观定义： 设A 、B 两个事件，一个事件发生与否对另一个事件的发生及其发生的概率不产生影响，则称A 、B 这两个事件是相互独立的。 这是中文描述性定义。下面推出数学定义： 事件A ，B 互不影响P(B|A)P(B)?=，P(A |B)P(A)= P(A)P(B |A)P(AB)P(A)P(B)P(B)P(A |B)??==??或 11A B P(AB)P(A)P(B) A B =定义.5.：设有事件、，若则称事件、相互独立。 由定义可证明，必然事件、不可能事件与任何事件都是独立的。 在现实世界中，随机现象独立的情况是大量存在的，如返回抽样、重复试验、彼此无关的工作…..。 若要证明两个事件独立，必须依据定义证明。 而在实际问题中，判断两个事件独立，大多根据实际情况和经验，看是否相互影响，要注意的是我们不能只停留在感觉上。 定理1.5.1 A B A B A B A B 若，相互独立，则与；与；与都相互独立。 证明：A B 以与为例， P (A B )P (A B )=-P (A A B )=-P (A )P (A B =- P (A ) P (A )P (=- P (A )[1P (B )]P (A )P (B )=-= 由定义可知 A B 与相互独立。

04事件的相互独立性(教案)

2． 2．2事件的相互独立性 教学目标： 知识与技能：理解两个事件相互独立的概念。 过程与方法：能进行一些与事件独立有关的概率的计算。 情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。 教学重点：独立事件同时发生的概率 教学难点：有关独立事件发生的概率计算 授课类型：新授课 课时安排：4课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； 必然事件：在一定条件下必然发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件 2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率m n 总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ． 3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率； 4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1P A ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形 5基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A ）称为一个基本事件6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n ，这种事件叫等可能性事件 7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()P A n = 8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法 9.事件的和的意义:对于事件A 和事件B 是可以进行加法运算的 10 互斥事件:不可能同时发生的两个事件．()()()P A B P A P B +=+ 一般地：如果事件12,, ,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥 11．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．()1()1()P A A P A P A +=?=- 12．互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么 12()n P A A A ++ +＝12()()()n P A P A P A +++

05 第五节 事件的独立性

第五节 事件的独立性 分布图示 ★ 引例 ★ 两个事件的独立性 ★ 例1 ★ 关于事件独立性的判断 ★ 有限个事件的独立性 ★ 相互独立性的性质 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 伯努利概型 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题1-5 内容要点 一、两个事件的独立性 定义 若两事件A ,B 满足 )()()(B P A P AB P = (1) 则称A ,B 独立, 或称A ,B 相互独立. 注: 当0)(>A P ,0)(>B P 时, A ,B 相互独立与A ,B 互不相容不能同时成立. 但?与S 既相互独立又互不相容(自证). 定理1 设A ,B 是两事件, 且0)(>A P ,若A ,B 相互独立, 则)()|(A P B A P =. 反之亦然. 定理2 设事件A ,B 相互独立,则下列各对事件也相互独立: A 与 B ,A 与B ,A 与B . 二、有限个事件的独立性 定义 设C B A ,,为三个事件, 若满足等式 ), ()()()(), ()()(),()()(), ()()(C P B P A P ABC P C P B P BC P C P A P AC P B P A P AB P ==== 则称事件C B A ,,相互独立. 对n 个事件的独立性, 可类似写出其定义: 定义 设n A A A ,,,21 是n 个事件, 若其中任意两个事件之间均相互独立, 则称n A A A ,,,21 两两独立. 相互独立性的性质 性质1 若事件n A A A ,,,21 )2(≥n 相互独立, 则其中任意)1(n k k ≤<个事件也相互独

事件的独立性教案

§2.2.2事件的独立性 学习目标 1.理解两个事件相互独立的概念。 学习过程 【任务一】问题分析 问题1：准备知识回顾: (1)互斥事件:不可能同时发生的两个事件，=+)(B A P 一般地：如果事件12,,,n A A A L 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件 12,,,n A A A L 彼此互斥 (2)对立事件:必然有一个发生的互斥事件．()___()_________P A A P A +=?= (3)互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A L 彼此互斥，那么 12()n P A A A +++L ＝ 问题2：袋子中装有大小质地均相同的5个小球，其中3个红球，2个白球，每次取一个，无放回地取两次，求在已知第一次取到红球的条件下，第二次取到红球的概率。 问题3：上述问题中，将“无放回”改为“有放回”，问题中事件的概率会改变吗？请尝试猜想并验证你的猜想。 【任务二】概念理解 1.相互独立事件：事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，称两个事件B A ,相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件。 2.若两个事件B A ,相互独立，则有)()()(B P A P B A P ?=I 【任务三】典型例题分析 例1：甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求： （1）2人都射中目标的概率；

（2）2人中恰有1人射中目标的概率； （3）2人至少有1人射中目标的概率； （4）2人至多有1人射中目标的概率？ 例2：某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0 . 05 ，求两次抽奖中以下事件的概率： (1)都抽到某一指定号码； (2)恰有一次抽到某一指定号码； (3)至少有一次抽到某一指定号码． 【任务四】课后作业 1.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2，假定有5门这种高炮控制某个区域，则敌机进入这个区域后未被击中的概率是 2.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是 3.两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34 ，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 4.来成都旅游的外地游客中，若甲，乙，丙三人选择去武侯祠游览的概率均为35 ，且他们的选择互不影响，则这三人中至多有两人选择去武侯祠游览的概率为 5.从10位同学(其中6女，4男)中随机选出3位参加测验，每位女同学能通过 测验的概率均为45，每位男同学通过测验的概率均为35 ，求： (1)选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率； (2)10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率．

事件的相互独立性试题及答案

1 事件的互相独立性 1.若A 与B 相互独立，则下面不相互独立事件有( ) A.A 与A B.A 与B C.A 与B D A 与B 2.在某段时间内，甲地不下雨的概率为0.3，乙地不下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨相互无影响，则这段时间内两地都下雨的概率是( ) A.0.12 B.0.88 C.0.28 D.0.42 3.甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是P 1,乙解决这个问题的概率是P 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( ) A.P 1P 2 B.P 1(1-P 2)+P 2(1-P 1) C.1-P 1P 2 D.1-(1-P 1)(1-P 2) 4.从应届高中生中选出飞行员，已知这批学生体型合格的概率为 31，视力合格的概率为61，其他几项标准合格的概率为5 1，从中任选一学生，则该生三项均合格的概率为（假设三项标准互不影响）( ) A.94 B.90 1 C.54 D. 95 5.一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为21，乙生解出它的概率为31，丙生解出它的概率为4 1，由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为____________. 6.一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是3 1，那么这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率是_______________. 7.某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都“合格”则该课程考核“合格”.甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9、0.8、0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8、0.7、0.9.所有考核是否合格相互之间没有影响. （1）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率； （2）求这三人该课程考核都合格的概率（结果保留三位小数）.

人教A版(2019)数学必修(第二册)：10.2 事件的相互独立性 教案

事件的相互独立性 【教学过程】 一、问题导入 预习教材内容，思考以下问题： 1．事件的相互独立性的定义是什么？ 2．相互独立事件有哪些性质？ 3．相互独立事件与互斥事件有什么区别？ 二、基础知识 1．相互独立的概念 设A ，B 为两个事件，若P (AB )＝P （A ）P （B ），则称事件A 与事件B 相互独立． 2．相互独立的性质 若事件A 与B 相互独立，那么A 与B －，A －与B ，A －与B －也都相互独立． ■名师点拨 （1）必然事件Ω，不可能事件?都与任意事件相互独立． （2）事件A ，B 相互独立的充要条件是P (AB )＝P （A ）·P （B ）． 三、合作探究 1．相互独立事件的判断 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A ＝{一个家庭中既 有男孩又有女孩}，B ＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A 与B 的独立性：

（1）家庭中有两个小孩； （2）家庭中有三个小孩． 【解】（1）有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}， 它有4个基本事件，由等可能性知概率都为1 4. 这时A＝{(男，女)，(女，男)}， B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}， 于是P（A）＝1 2，P（B）＝ 3 4，P(AB)＝ 1 2. 由此可知P(AB)≠P（A）P（B）， 所以事件A，B不相互独立． （2）有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}． 由等可能性知这8个基本事件的概率均为1 8，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个 基本事件，AB中含有3个基本事件． 于是P（A）＝6 8＝ 3 4，P（B）＝ 4 8＝ 1 2，P(AB)＝ 3 8， 显然有P(AB)＝3 8＝P（A）P（B）成立． 从而事件A与B是相互独立的． 判断两个事件是否相互独立的两种方法 （1）根据问题的实质，直观上看一事件的发生是否影响另一事件发生的概率来判断，若没有影响，则两个事件就是相互独立事件； （2）定义法：通过式子P(AB)＝P（A）P（B）来判断两个事件是否独立，若上式成立，则事件A，B相互独立，这是定量判断. 2．相互独立事件同时发生的概率 王敏某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率；

事件的相互独立性的教案

事件的相互独立性的教 案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

2.2.2事件的相互独立性 一、教学目标： 1、知识与技能： ①理解事件独立性的概念 ②相互独立事件同时发生的概率公式 2、过程与方法： 通过实例探究事件独立性的过程，学会判断事件相 互独立性的方法。 3、情感态度价值观：通过本节的学习，体会数学来源于实践又服务于 实践，发现数学的应用意识。 二、教学重点：件事相互独立性的概念 三、教学难点：相互独立事件同时发生的概率公式 四，教学过程： 1、复习回顾：（1）条件概率 （2）条件概率计算公式 （3）互斥事件及和事件的概率计算公式 2、思考探究： 三张奖券只有一张可以中奖，现分别由三名同学有放回地抽取，事件A 为“第一位同学没有抽到中奖奖券”，事件B 为“最后一名同学抽到中奖奖券”。 事件A 的发生会影响事件B 发生的概率吗？ 分析：事件A 的发生不会影响事件B 发生的概率。于是： 3、事件的相互独立性 设A ，B 为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),则称事件A 与事件B 相互独立。 即事件A （或B ）是否发生,对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件。 注：①如果A 与B 相互独立，那么A 与B ,B 与A ，A 与B 都是相互独立的。（举例说明） ②推广：如果事件12,,...n A A A 相互独立，那么 1212(...)()()...()n n P A A A P A P A P A = (|)()P B A P B =()()(|)P AB P A P B A =()()() P AB P A P B ∴=

高中数学事件的独立性

高中数学事件的独立性 一、基础过关 1．有以下3个问题： (1)掷一枚骰子一次，事件M ：“出现的点数为奇数”，事件N ：“出现的点数为 偶数”； (2)袋中有5红、5黄10个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M ：“第1次摸到红球”，事件N ：“第2次摸到红球”； (3)分别抛掷2枚相同的硬币，事件M ：“第1枚为正面”，事件N ：“两枚结果相同”． 这3个问题中，M ，N 是相互独立事件的有 ( ) A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 2．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是 ( ) A.5 12 B.1 2 C.712 D.34 3．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y ，x ，y 构成数对(x ，y )，则所有数对(x ，y )中满足xy ＝4的概率为 ( ) A.1 16 B.18 C.3 16 D.14 4．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和3 4 ，两个零件是否加工为 一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 ( ) A.12 B.512 C.14 D.1 6 5．来成都旅游的外地游客中，若甲、乙、丙三人选择去武侯祠游览的概率均为3 5，且他们的 选择互不影响，则这三人中至多有两人选择去武侯祠游览的概率为 ( ) A.36125 B.44125 C.54125 D.98125 二、能力提升 6．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19 ，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的 概率相同，则事件A 发生的概率P (A )是 ( ) A.29 B.1 18 C.13 D.23 7．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为16 25 ，

事件的相互独立性教案

§2．2．2事件的相互独立性 教学目标： 知识与技能：理解两个事件相互独立的概念。 过程与方法：能进行一些与事件独立有关的概率的计算。 情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。 教学重点：独立事件同时发生的概率 教学难点：有关独立事件发生的概率计算 授课类型：新授课 课时安排：2课时 教学过程： 一、复习引入： 1事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； 必然事件：在一定条件下必然发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件 2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率m 总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫 n 做事件A的概率，记作() P A． 3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率； 4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1 ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两 P A 个极端情形 5基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A）称

为一个基本事件 6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n ，这种事件叫等可能性事件 7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()m P A n = 8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法 9.事件的和的意义:对于事件A 和事件B 是可以进行加法运算的 10 互斥事件:不可能同时发生的两个事件．()()()P A B P A P B +=+ 一般地：如果事件12,,,n A A A L 中的任何两个都是互斥的，那么就 说事件12,,,n A A A L 彼此互斥 11．对立事件:必然有一个发生的互斥事件． ()1()1()P A A P A P A +=?=- 12．互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A L 彼此互斥，那么 12()n P A A A +++L ＝12()()()n P A P A P A +++L 探究: (1)甲、乙两人各掷一枚硬币，都是正面朝上的概率是多少？ 事件A ：甲掷一枚硬币，正面朝上；事件B ：乙掷一枚硬币，正面朝上 (2)甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？

事件的独立性教案

事件的相互独立性 数学与统计学学院芮丽娟2009212085 一、教学目标： 1、知识与技能： （1）了解独立性的定义（即事件A的发生对事件B的发生没有影响）； （2）掌握相互独立事件的概率乘法公式P(AB)=P(A)P(B) 2、过程与方法： 通过对现实生活中不同事件问题的探究，感知应用数学解决问题的方法，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力 3、情感态度与价值观: 通过数学与探究活动，体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点. 二、重点与难点： 正确理解独立性的定义与互斥事件的差别，掌握并运用独立事件概率公式 三、教学设想： 1、创设情境：通过回顾上节课学习的条件概率，引入本节课独立性的定义 例：3张奖券中只有一张能中奖，现分别由3名同学无放回的抽取，事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“最后一名同学抽到中奖奖券”。则问事件A的发生会影响事件B发生的概率吗？若条件改为有放回，这时又是什么情况？ 解：显然无放回时，A的发生影响着B，即是条件概率。而当有放回地抽取奖券时，最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张，因此第一名同学抽的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响，即事件A的发生不会影响事件B发生的概率。于是P(B|A)=P(B)，代入条件概率公式得P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B) 2、基本概念： 独立性定义：设A，B为两个事件，如果满足P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与事件B 相互独立。 例1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设A是事件“第1枚为正面”，B是事件“第2枚为正面”，C是事件“2枚结果相同”。问：A，B，C中哪两个相互独立？ 分析：理解相互独立的定义，即是一事件的发生对另一事件的发生与否没有影响，由于A事件抛掷第一枚硬币为正面，对B事件第二枚硬币为正面没有影响，故A与B独立，而

事件的独立性与条件概率专题

1．口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中红球有45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为( ) A ．0.31 B ．0.32 C ．0.33 D ．0.36 2．在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，在第1次抽到文科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为( ) A.12 B.35 C.34 D.310 3．打靶时甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是( ) A.35 B.34 C.1225 D.1425 4．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为 ( ) A.310 B.13 C.38 D.29 5．(优质试题·济南质检)优质试题年国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13 ，乙，丙去北京旅游的概率分别为14，15 .假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1个去北

京旅游的概率为( ) A.5960 B.35 C.12 D.160 6．(优质试题·合肥月考)周老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，她预估计做对第一道题的概率为0.8，做对两道题的概率为0.6，则预估计做对第二道题的概率为( ) A ．0.80 B ．0.75 C ．0.60 D ．0.48 7．从应届毕业生中选拔飞行员，已知该批学生体型合格的概率为13，视力合格的概率为16 ，其他几项标准合格的概率为15 ，从中任选一名学生，则该学生三项均合格的概率为(假设三次标准互不影响)( ) A.49 B.190 C.45 D.59 8．高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则甲、丙相邻的概率是( ) A.12 B.13 C.14 D.25 二、填空题 9．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625 ，则该队员每次罚球的命中率为________． 10．袋中有三个白球，两个黑球，现每次摸出一个球，不放回地摸取两次，则在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到白球的概率为________． 11．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队每局获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为________． 12．在一段时间内，甲去某地的概率是14，乙去此地的概率是15 ，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有一人去此地的概率是________.

随机事件独立性概念的引入

（下转第108页 ）摘要 事件的独立性是概率论中重要的概念之一。本文分析了两个随机事件相互独立的直观解释与公式形式的定义之间的关系,指出了公式形式的定义与直观解释不完全一致的情形,并通过引入三个事件相互独立的直观解释来加强学生对三个事件相互独立的定义的理解。关键词随机事件独立性两两独立 The Way to Introduce the Concept of the Independency of Random Events //Ji Wei Abstract The independency of random events is one of the most important concepts in probability theory.The relationship betw-een the quick look interpretation and formulaic definition of the independency between two random events is discussed.Especi-ally,an example is given to show the discrepancy between the quick look interpretation and formulaic definition.Moreover,a quick look interpretation of the independency among three random events is given to make the definition more understandable. Key words random event;independence;mutual independent Author 's address College of Science,Guilin University of Technology,541004,Guilin,Guangxi,China 随机事件的独立性是概率论中重要的概念之一,它的引进极大地推动了概率论的发展,概率论前期最重要的一些结论大都是在独立性假定下获得的。独立性不仅在理论上具有重要意义,而且在实际中有着广泛的应用。要掌握好独立性的定义,首先必须深刻理解事件独立性的定义。 1两个事件独立性的定义 国内大多数概率论与数理统计教材在引入两个事件独立性定义的时候,通常是先给出描述性的直观解释：事件B 的发生与否的概率不受事件A 是否发生的影响,再将直观解释表示成数学语言。事实上,事件B 发生与否的概率不受事件A 的影响,也就意味着有 P (B )=P (B |A ),这时,由乘法公式可得P (AB )=P (A )P (B )。定义1[1-3]：对任意两个事件A 、B,若P (AB )=P (A )P (B )成立,则称事件A 与B 是相互独立的。 采用这样一种方式,不免给学生留下了疑问：为什么不采用第一种更直观的P (B)=P (B |A )来定义？由于大多数教材在定义条件概率P (B |A )时,都假定P (A )≠0,如果选取该式作为定义,就将满足P (A )=0的情况排除在外了。而由独立性的直观解释可以得到,当A 为不可能事件时,A 与任何事件独立。因此,采用P (B)=P (B |A )作为独立性的定义有一定的局限性。而定义1涵盖了“不可能事件与任何事件独立” 这一命题,并且具有良好的对称性。因此,大多数教材采用定义1作为独立性的定义。 但定义1也与独立性的直观解释有一定的出入,我们看下面的例子。 例1:Ω={全体整数},A={1,2},B={1},则P (A )=P (B )=P (AB )=0。由定义1可知,事件与事件是独立的。但在事件A 发生的情况下,事件发生的概率为0.5,而不是0；即事件B 发生的概率受到事件A 是否发生的影响。类似地,在事件B 发生的情况下,事件A 发生的概率为1,而不是0；即事件A 发生的概率也受到事件B 是否发生的影响。 幸运的是,这种不一致的情形只有在所讨论的事件中含有概率为0的事件时才会发生,而且定义1是一个公式形式的定义,给独立性的数学处理带来了极大的方便。因此,国内大多数教材都是采用该定义。但也有一些教材直接采用描述性的语言来定义两个独立性。 定义2[5]:两个事件A 与B,如果其中任何一个事件发生的概率不受另外一个事件发生与否的影响,则称事件A 与B 是相互独立的。 由于该定义没有转化为明确的数学公式,使用起来没有定义1方便,因而采用该定义的教材较少。随机事件独立性的公式形式定义与直观解释之间的差别,在一定程度上反映了数学定义来源于实践,但又不完全与实践相同的特点。将实践中产生的数学思想经过适当的加工,得到更易于数学处理的定义比直观解释更有生命力。定义与直观解释这种不一致,也是数学魅力的一种体现,可以启发学生思考是否存在一个与独立性的直观解释更吻合同时又易于数学处理的公式形式的定义。 2三个事件独立性的定义 大部分概率论教材中两个事件独立性概念的是从事件B 的发生与否不受事件A 是否发生的影响来引入独立性的概念,这种引入方式比较容易被学生接受。而三个事件独立性的定义,国内概率论的教材大多采用直接给出的方式。 定义3[1-4]：对于任意三个事件A,B,C,如果（1）P (AB )=P (A )P (B ),P (AC )=P (A )P (C ),P(BC )=P(B )P (C ); （2）P (ABC )=P (A )P (B )P (C ),则称事件A,B,C 相互独立。 采用这一种方式,读者自然会提出这样的一个问题：三个事件两两独立,能否保证它们相互独立呢？虽然教材举出反例证明了答案是否定的,依然会有许多读者疑惑：为何不采用三个事件两两独立的形式作为三个事件独立性的定义呢？为了解决这个疑惑,我们可以采用先给出三个事件独立性的描述性的直观解释：三个事件A 、B 、C 相互独立,如果其中任何一个事件发生的概率不受另外两个事件发生与否的影响，三个事件两两独立能否保证某一事件不受另外两个 中图分类号：O211 文献标识码：A 文章编号：1672-7894（2012）15-0088-02 ８８

独立性及相关性相容性

第三章独立性与相关性相容性 1．两两独立但不相互独立 【例1】设有一个均匀的正四面体，第一，二，三面分别涂上红，黄，兰一种颜色，第四面涂上红，黄，兰三种颜色。现以A,B,C分别记投一次 四面体底面出现红，黄，兰颜色的事件，则 所以A,B,C两两独立，但 因而A,B,C不相互独立。 【例2】设有四张形状，大小，质量完全一样的卡片，上面分别标有数字112，121，211，222，现从四张卡片中任抽一张，以随机变量X,Y,Z分别表 示抽到卡片上的第一，二，三位数字，则 所以X,Y,Z两两独立，但 因而X,Y,Z不相互独立。 2．P(ABC)=P(A)P(B)P(C)成立，但A,B,C不两两独立. 设有一均匀正八面体，其第1，2，3，4面涂有红色，第1，2，3，5面图黄色，第1，6，7，8面涂兰色。现以A,B,C分别表示投一次正八面体，底面出现红，黄，兰颜色的事件，则 但是 ) ( ) ( 4 1 8 3 ) (B P A P AB P= ≠ = 所以A,B,C不两两独立。 3．独立关系不具有传递性 设三事件A,B,C，若由A与B独立，且B与C独立，得到A与C独立，我们就称A,B,C的独立关系具有传递性 考虑有两个孩子和家庭全体，假定生男生女是等可能的，因而样本空间 )} , (), , (), , (), , {(g g b g g b b b = Ω，其中b为男孩，g为女孩，每一对里的次序是指出生的次序. 现在从全体有两个孩子的家庭中随机地选择一个家庭，并考虑下面三个事件：A为“第一个孩子是男孩”，B为“两个孩子不同性别”，C为“第一个孩子是女孩”，则有 即A与B独立，B与C独立，但是 因此A与C不独立. 顺便指出不独立关系也不具有传递性，即若A,B不独立，B,C不独立，则A,C可以独立 考察掷三枚均匀硬币的试验 A为“全正面或全反面”，B为“至多两个正面”，C为“至多一个正面”，试验的样本空间为 其中H表示正面，T表示反正，容易算出： 于是有 可见A,B不独立，B,C不独立，A,C却独立. 4．随机变量不独立，但其函数可以独立 正态分布有个特性：任何n(>1)维正态随机变量，可由坐标轴的旋转转变为一组几个独立的正态随机变量.（参见丁寿田译的前苏联《概率论教程》P157） 例如n=2，即使X,Y不独立，当（X,Y）服从二维正态分布，令

事件的相互独立性

2．2．2事件的相互独立性（教学设计） 教学目标： 知识与技能：理解两个事件相互独立的概念。 过程与方法：能进行一些与事件独立有关的概率的计算。 情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。 教学重点：独立事件同时发生的概率 教学难点：有关独立事件发生的概率计算 教学过程： 一、复习引入： 1．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是，这种事件叫等可能性事件 2．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有个，而且所有结果都是等可能的，如果事件包含个结果，那么事件的概率 3 互斥事件:不可能同时发生的两个事件． 一般地：如果事件中的任何两个都是互斥的，那么就说事件彼此互斥 4．对立事件:必然有一个发生的互斥事件． 5．互斥事件的概率的求法:如果事件彼此互斥，那么 ＝ 6．条件概率：在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率：()(|)() P AB P B A P A = 乘法公式：()(|)()P AB P B A P A =?. 二、师生互动，新课讲解： 思考:三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学有放回地抽取,事件A 为“第一名同学没有抽到中奖奖券”, 事件B 为“最后一名同学抽到中奖奖券”. 事件A 的发生会影响事件B 发生的概率吗 显然，有放回地抽取奖券时，最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张，因此第一名同学抽的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响，即事件A 的发生不会影响事件B 发生的概率．于是 P （B| A ）=P(B ）, P （AB ）=P( A ) P ( B |A ）=P （A ）P(B). 1．相互独立事件的定义： 设A, B 为两个事件，如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 则称事件A 与事件B 相互独立（mutually independent ) .

随机事件条件独立性

Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2019, 8(7), 1208-1211 Published Online July 2019 in Hans. https://www.docsj.com/doc/8714857521.html,/journal/aam https://https://www.docsj.com/doc/8714857521.html,/10.12677/aam.2019.87139 Conditional Independence of Random Events Keming Zhang*, Jinping Zhang School of Mathematics and Physics, North China Electric Power University, Beijing Received: Jun. 28th, 2019; accepted: Jul. 15th, 2019; published: Jul. 22nd, 2019 Abstract The concept and properties of condition independence of random events are introduced. The rela-tionship between independence of random events and conditional independence is discussed with examples, which shows that independence of random events and conditional independence do not imply each other. Finally, the determining theorems of conditional independence are provided. Keywords Random Events, Conditional Probability, Independence, Conditional Independence 随机事件条件独立性 张可铭*，张金平 华北电力大学数理学院，北京 收稿日期：2019年6月28日；录用日期：2019年7月15日；发布日期：2019年7月22日 摘要 介绍了随机事件条件独立的概念和性质，结合例子讨论了随机事件独立性和条件独立性的关系，说明随机事件独立性和条件独立性互不蕴含。最后，讨论了条件独立的判定定理。 关键词 随机事件，条件概率，独立性，条件独立性 *通讯作者。

事件的独立性概念举例

例1 一袋中装有a 只黑球b 只白球。采用有放回摸球，求： ① 已知第一次摸得黑球的条件下，第二次摸得黑球 的概率； ② 第二次摸得黑球的概率。 解：记：A=“第一次摸得黑球”，B=“第二次摸得黑球”；则： 222)()(,)()(,)(b a ba B A p b a a AB p b a a A p +=+=+= ① b a a A p AB p A B p +==)()()|( ② b a a b a ba b a a B A p AB p B p +=+++=+=222)()()()()( 若采用不放回摸球：则为不独立情形 ) 1)(()(,)1)(()1()(,)(-++=-++-=+=b a b a ba B A p b a b a a a AB p b a a A p 11)()()|(-+-==?b a a A p AB p A B p 而：b a a B A p AB p B p +=+=)()()(

例2 一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，第二面染成白色， 第三成染成黑色，而第四面同时染上红、白、黑三种前面颜色。 现在以A 、B 、C 分别记投一次四面体出现红、白、黑颜色的事件。 易知：4 1)()()(2 1)()()(======AC p BC p AB p C p B p A p 而：)()()(8141)(C p B p A p ABC p =≠= 例3 若有一个均匀正八面体，其第1,2,3,4面染成红色, 第1,2,3,5 面染成白色, 第1,6,7,8面染成黑色。现以A 、B 、C 分别记投一次八 面体出现红、白、黑颜色的事件。则： )()()(8 1)(2184)()()(C p B p A p ABC p C p B p A p ====== 而：)()(4 183)(B p A p AB p =≠=

随机事件的独立性

第3讲随机事件的独立性伯努利概型 教学目的：使学生掌握随机事件独立性的概念和伯努利概型。 教学重点：随机事件独立性的概念和伯努利概型中有关概率的计算。 教学难点：学生对随机事件独立性概念的理解 教学时数：2学时 教学过程： 第一章随机事件及其概率 §1.5 随机事件的独立性 对于任意两个事件A、B，若0 (B A | P有定义，此时可能有两种情 P，则) (> B ) 况) (A | ) P P=。前者说明事件B的发生对事件A发生的概率有 ( A B ( P≠和) ) (A | A B P 影响，只有当) P A P=时才认为这种影响不存在，这时自然认为事件A不依赖B ( ) | (A 于事件B，即A、B是彼此独立的。这时有 A B P A AB = P= P P B P ( ( ) (B ) ) ( ) ) ( | 由此引出关于事件独立性的问题。 定义1对任意两个随机事件A与B，若 A P P= P AB ) ( (B ) ) ( 则称事件A与B是相互独立的（简称为独立的）。 由定义1不难证明下面的定理。 定理1若事件A与B相互独立，则下列各对事件

A 与 B ， A 与B ， A 与B 也相互独立。 证 这里只证明事件A 与B 相互独立，其它类似。因为 B A AB A += 从而 )()()(B A P AB P A P += 由此得 ) ()()](1)[() ()()() ()()(B P A P B P A P B P A P A P AB P A P B A p =-=-=-= 所以事件A 与B 相互独立。 例1 设事件A 、B 相互独立，3.0)(,4.0)(==B P A P ，求)(B A P ?。 解 )()()()(B A P B P A P B A P -+=? ))(1))((1()()()()()(A P B P A P B P A P B P A P --+=-+= 82.06.07.04.0=?+= 对于三个或更多个事件，我们给出下面的定义。 定义2 设有n 个事件n A A A ,,,21 （3≥n ），若对其中任意两个事件i A 与)1(n j i A j ≤<≤有 )()()(j i j i A P A P A A P = 则称这n 个事件是两两相互独立的。 定义3 设有n 个事件n A A A ,,,21 （3≥n ），若对其中任意k 个事件)2(,,,21n k A A A k i i i ≤≤ 有

§12.7 条件概率与事件的独立性汇总

第十二章 统计与概率 §12.7 条件概率与事件的独立性 【知识回顾】 1．条件概率及其性质 (1)相互独立的定义：事件A 是否发生对事件B 发生的概率__________，即__________这时，称两个事件A ， B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件． (2)概率公式： 3.(1)独立重复试验： ①定义：在__________条件下，__________做n 次试验，各次试验的结果__________，那么一般就称它们为n 次独立重复试验． ②概率公式：在一次试验中事件A 发生的概率为p ，则n 次独立重复试验中，事件A 恰好发 生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k (1－p ) n － k (k ＝0,1,2，…，n )． (2)二项分布：在n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数 第170页设为X ，事件A 不发生的概率为q ＝1－p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率是P (X ＝k )＝__________，其中k ＝0,1,2，…，n .于是X 的分布列： 若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝npq ． 参考答案：1．事件A 发生，事件B 发生，P (B |A )，P (A )，A ∩B 2.(1)没有影响，P (B |A )＝P (B )． 3.(2)概率公式：P (A )×P (B )，P (A 1)×P (A 2)×…×P (A n ) 3.(1)①相同的，重复地，相互独立， (2)C k n p k q n － k ，C 0n p 0q n C 1 n pq n －1 C n n p n q X ～B (n ，p )．