同济大学高等数学第七版上下册复习资料详解

高等数学同济第七版7版下册习题 全解

数，故 /, =Jj( x2 + y1)3d(j =2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)： 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ?3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 )JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr +jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，， A 为两个 I) b\ lh 尤公共内点的WK域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n"

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高等数学同济第七版7版下册习题全解

第十章重积分9 5 y 2 D2 -1 O i T -2 图 10 - 1 数，故 /, = Jj( x 2 + y 1 ) 3 d(j = 2jj ( x2 + y 1 )3 dcr. fh i)i 又由于 D 3关于 ; t 轴对称，被积函数 ( / + r2) 3关于 y 是偶函数，故jj( x2 + j2 ) 3dcr = 2j( x2+ y2) 3 da =2/ 2 . Dy 1)： 从而得 /, = 4/ 2 . ( 2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于 ^ 轴对称，而被积函数 / ( x, y) 关于 y 是奇函数，即 fix, -y) = -f(x,y) , PJ jf/ ( x, y)da = 0； D 如果积分区域 D 关于： K 轴对称，而被积函数 / ( x， y) 关于： c 是奇函数，即 / ( ~x, y) = - / ( 太， y) ，则 = 0. D ? 3. 利用二重积分定义证明： ( 1 ) jj da = ( 其 中 ( 7 为的面积 ) ； IJ (2) JJ/c/( X , y) drr = Aj | y’ (

A: ， y) do■ ( 其 中 A ：为常数 ) ； o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中/) = /)! U /) 2，， A 为两个 I) b \ lh 尤公共内点的 WK 域 . 证 ( 丨 ) 由于被 枳函数. / U, y) = 1 , 故山 二 t 积分定义得n "

9 6 一、 《高等数学》 (第七版 )下册习题全解 jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A

(完整版)同济大学高等数学上第七版教学大纲(64学时)

福建警察学院 《高等数学一》课程教学大纲 课程名称：高等数学一 课程编号： 学分：4 适用对象： 一、课程的地位、教学目标和基本要求 (一)课程地位 高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。 （二）教学目标 通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。 （三）基本要求 1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。 2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。

二、教学内容与要求 第一章函数与极限 【教学目的】 通过本章学习 1、理解函数的概念，了解函数的几种特性（有界性），掌握复合函数的概念及其分 解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。 2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。 3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与 左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。 4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。 5、掌握极限运算法则。 6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极 限的方法。 7、掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 8、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 9、了解连续函数的运算和初等函数的连续性， 10、了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）， 并会应用这些性质。 【教学重点与难点】 本章重点是求函数极限的方法（极限运算法则、两个重要极限、无穷小的比较、初等函数的连续性）。难点是数列、函数极限的证明方法。 【教学内容】 第一节映射与函数 一、映射 1.映射概念

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! ))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 121 2153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则

高等数学同济第七版上册课后答案

习题1-10 1.证明方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间. 证明设f(x)=x5-3x-1,则f(x)是闭区间[1, 2]上的连续函数. 因为f(1)=-3,f(2)=25,f(1)f(2)<0,所以由零点定理,在(1, 2)内至少有一点ξ(1<ξ<2),使f(ξ)=0,即x=ξ是方程x5-3x=1的介于1和2之间的根. 因此方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间. 2.证明方程x=a sin x+b,其中a>0,b>0,至少有一个正根,并且它不超过a+b. 证明设f(x)=a sin x+b-x,则f(x)是[0,a+b]上的连续函数. f(0)=b,f(a+b)=a sin (a+b)+b-(a+b)=a[sin(a+b)-1]≤0. 若f(a+b)=0,则说明x=a+b就是方程x=a sin x+b的一个不超过a+b的根; 若f(a+b)<0,则f(0)f(a+b)<0,由零点定理,至少存在一点ξ∈(0,a+b),使f(ξ)=0,这说明x=ξ也是方程x=a sin x+b的一个不超过a+b的根. 总之,方程x=a sin x+b至少有一个正根,并且它不超过a+b. 3.设函数f(x)对于闭区间[a,b]上的任意两点x、y,恒有 |f(x)-f(y)|≤L|x-y|,其中L为正常数,且f(a)?f(b)<0.证明:至少有一点ξ∈(a,b),使得f(ξ)=0. 证明设x0为(a,b)内任意一点.因为

0||lim |)()(|lim 0000 0=-≤-≤→→x x L x f x f x x x x , 所以 0|)()(|lim 00 =-→x f x f x x , 即 )()(lim 00 x f x f x x =→. 因此f (x )在(a , b )内连续. 同理可证f (x )在点a 处左连续, 在点b 处右连续, 所以f (x )在[a , b ]上连续. 因为f (x )在[a , b ]上连续, 且f (a )?f (b )<0, 由零点定理, 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 4. 若f (x )在[a , b ]上连续, a

高等数学同济第七版7版(下册)习题全解

数，故 /, = Jj( x2 + y1)3d(j = 2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/+r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)： 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ? 3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr+ jJ/( x ,y) dcr ,其中/) = /)! U /)2，， A 为两个 I) b\ lh

尤公共内点的WK域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n" jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A

高等数学同济第七版上册知识点总结

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一.函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l=0，称f(x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f(x)=0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠0，称f(x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l=1，称f(x)与g(x)是等价无穷小，记以f(x)~g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~x ，tan x ~x ，x arcsin ~x ，x arccos ~x ， 1?cos x ~2/2^x ，x e ?1~x ，)1ln(x +~x ，1)1(-+αx ~x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则1.单调有界数列极限一定存在 准则2.（夹逼定理）设g (x )≤f (x )≤h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 5．洛必达法则 定理1设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： （1）0)(lim 0 =→x f x x ，0)(lim 0 =→x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；

（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于) () (lim 0x F x f x x ''→；当 )()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时，) () (lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则. ∞ ∞ 型未定式 定理2设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： （1）∞=→)(lim 0 x f x x ，∞=→)(lim 0 x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ； （3）) () (lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞ 型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞ ∞ 型同样适 用． 使用洛必达法则时必须注意以下几点： （1）洛必达法则只能适用于“00 ”和“∞ ∞ ”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00 ”或“ ∞ ∞ ”型才能运用该法则； （2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则； （3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在． 6．利用导数定义求极限 基本公式)() ()(lim 0'000x f x x f x x f x =?-?+→?(如果存在） 7.利用定积分定义求极限 基本格式?∑==∞→1 1)()(1lim dx x f n k f n n k n （如果存在） 三．函数的间断点的分类 函数的间断点分为两类： （1）第一类间断点 设0x 是函数y =f (x )的间断点。如果f (x )在间断点0x 处的左、右极限都存在，则称0x 是f (x )的第一类间断点。左右极限存在且相同但不等于该点的函数值为可去间断点。左右极限不存在为跳跃间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。 （2）第二类间断点 ) () (lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→

高等数学(同济第七版下)课后习题及解答

1.设u =a -b +2c ，v =-a +3b -c .试用a ，b ，c 表示2u -3v . 解2u -3v =2（a -b +2c ）-3（-a +3b -c ） =5a -11b +7c . 2.如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形. 证如图8-1，设四边形ABCD 中AC 与BD 交于M ，已知 AM =MC ，MB DM . 故 DC DM MC MB AM AB . 即DC AB //且｜AB |=|DC |，因此四边形 ABCD 是平行四边形． 3.把△ABC 的BC 边五等分，设分点依次为D 1，D 2，D 3，D 4，再把各 分点与点A 连接.试以AB =c,BC =a 表向量 A D 1,A D 2,A D 3,A D 4 .证 如图8-2，根据题意知 5 11 BD a, 5 12 1D D a, 5 13 2D D a, 5 14 3D D a, 故A D 1=-（ 1BD AB ）=-5 1 a-c

A D 2=-（2BD A B ）=-52 a-c A D 3=-（3BD A B ）=-53 a-c A D 4 =-（4BD AB ）=-5 4 a-c. 4.已知两点M 1（0，1，2）和M 2（1，-1，0）.试用坐标表示式表示向量 21M M 及-221M M . 解 21M M =（1-0，-1-1，0-2）=（1，-2，-2）. -221M M =-2（1，-2，-2）=（-2，4，4）. 5.求平行于向量a =（6，7，-6）的单位向量. 解向量a 的单位向量为 a a ，故平行向量a 的单位向量为 a a = 11 1（6，7，-6）= 11 6,117,116， 其中 11)6(7 6 2 2 2 a . 6.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （2，3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3，1）. 解A 点在第四卦限，B 点在第五卦限，C 点在第八卦限，D 点在第三卦限. 7.在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （3，4，0）， B （0，4，3）， C （3，0，0）， D （0，

高等数学(同济第七版)提纲

函数、极限、连续 一、函数：五大类基本初等函数幂函数，指数函数，对数函数 反函数，有界性，奇偶性 三角函数：正割函数，余割 反三角函数 二、极限 1、数列的极限 夹逼准则 2、函数的极限 （1）两个重要极限 （2）无穷小：高阶，低阶， 同阶，等价；性质：有界函数与无穷小的乘积仍然是无穷小。等价无穷小代换；

三、连续 间断点：第一类，第二类左右极限都存在； 可去间断点，跳跃间断点无穷间断点，振荡间断点一切初等函数在定义区间内都连续。 闭区间上连续函数的性质：零点定理：方程根的存在性 第二章导数与微分 一、相关概念 1、导数的两大定义式； 2、左右导数；

3、几何意义； 4、可导与连续的关系。 5、16个基本导数公式，4个求导法则 二、六大类函数求导 1、复合函数求导； 2、隐函数求导； 3、参数方程所确定的函数求导； 4、幂指函数求导； 对数求导法 5、分段函数求导； 6、抽象函数求导。 三、微分 1、概念；可微 2、计算

第三章微分中值定理 与导数的应用 一、中值定理 罗尔定理：驻点 拉格朗日中值定理 二、洛必达法则 三、单调性和凹凸性 单调性：求单调区间； 求极值； 证明不等式； 证明方程根的唯一性。极值的第一充分条件 有且仅有；

凹凸性：凹凸区间；拐点 四、渐近线 1、水平渐近线 2、垂直渐近线 3、斜渐近线 第四章不定积分 一、不定积分的概念； （13+2） 原函数；被积函数；积分变量 二、计算 1、凑微分法（第一类换元法） 2、第二类换元法 3、分部积分法 （一）4小题

（二）2小题 （三）1小题 简单根式的积分 第五章定积分 一、相关概念和性质 积分下限，积分上限 几何意义：面积的代数和[a,b]积分区间 比较性质 定积分的中值定理 二、关于计算方面的内容 1、定积分的计算； 2、广义积分（反常积分）；（1）无穷限的广义积分；

高等数学(同济第七版)(上册)_知识点总结

高等数学 (同济第七版 )上册 -知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1. 两个无穷小的比较 设 lim f (x) 0,lim g(x) 0且 lim 1) l = 0 ，称f (x) 是比g(x) 高 阶的无穷小，记以 f (x) = 0[ g(x) ] ，称g(x) 是比 f(x) 低阶的无穷小。 (2)l ≠ 0，称f (x) 与g(x) 是同阶无穷小。 (3)l = 1 ，称f (x) 与g(x) 是等价无穷小，记以 f (x) ~ g(x) 2. 常见的等价无穷小 当 x →0时 sin x ~ x ， tan x ~ x ， arcsin x ~ x ， arccosx ~ x ， 1- cos x ~ x^2/2 ， e x -1 ~ x ，ln(1 x) ~ x ，(1 x) 1~ x 求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2. (夹逼定理)设 g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) 若 lim g(x) A,lim h(x) A ，则 lim f (x) A 2．两个重要公式 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当 x 0 时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 23 e x 1 x x x 2! 3! 35 xx sinx x ... ( 1) 3! 5! (2n 1)! g f ((x x )) l 公式 1 sin x 公式 2 l im(1 x) n x n! o(x n ) 2n 1 n x 2n 1 n o(x 2n 1)

2 4 2n x x n x 2n cosx 1 ... ( 1)n o(x 2n ) 2! 4! 2n! 2 3 n ln(1 x) x x x ... ( 1)n 1 x o(x n ) 2 3 n ( 1) 2 ( 1)...( (n 1)) n n (1 x) 1 x x 2 ... x n o(x n ) 2! n! 3 5 2n 1 x x n 1 x 2n 1 arctan x x ... ( 1) o(x ) 3 5 2n 1 5．洛必达法则 定理 1 设函数 f (x) 、 F ( x)满足下列条件： (1) lim f(x) 0， lim F(x) 0； x x 0 x x 0 (2) f(x)与 F(x)在 x 0的某一去心邻域内可导，且 F (x) 0； (3) lim f (x) 存在(或为无穷大) ，则lim f(x) lim f (x) x x 0 F (x) x x 0 F(x) x x 0 F (x) 这个定理说明：当 lim f (x) 存在时， lim f (x) 也存在且等于 lim f (x) ；当 x x0 F (x) x x0 F(x) x x0 F (x) lim f (x) 为无穷大时， lim f(x) 也是无穷大． x x 0 F (x) x x 0 F(x) 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值 的方法称为洛必达( LH ospital )法则 . 型未定式 定理 2 设函数 f (x) 、 F(x)满足下列条件： 注：上述关于 x x 0时未定式 型的洛必达法则，对于 x 时未定式 型 同样适用． 使用洛必达法则时必须注意以下几点： (1)洛必达法则只能适用于“ 0 ” 和“ ”型的未定式，其它的未定式须 0 先化简变形成“ 0 ”或“ ”型才能运用该法则； (2)只要条件具备，可以连续应用洛必达法则； (3) 洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不 能断定原极限不存在． 6．利用导数定义求极限 基本公式 li x m 0 f (x 0 x) f(x 0) f '( x 0 ) (如果存在) 7. 利用定积分定义求极限 基本格式 lim 1 f(k ) f (x)dx (如果存在) n n k 1 n 0 1) 2) 3) lim f(x) ， lim F(x) ； x x 0 x x 0 f(x)与 F(x)在 x 0的某一去心邻域内可导，且 F (x) 0； F f ((x x )) 存在(或为无穷大)，则 x lim x 0 f (x) F(x) lim f (x) x x 0 F (x)

高等数学(同济第七版)上册-知识点汇总

高等数学(同济第七版)上册-知识点汇总

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高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次

) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!211 2125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! )) 1()...(1(...! 2) 1(1)1(2n n x o x n n x x x +---+ +-+ +=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则 定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： （1）0)(lim 0 =→x f x x ，0)(lim 0 =→x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ； （3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于) () (lim 0x F x f x x ''→；当 )()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时，) () (lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则. ∞ ∞ 型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： （1）∞=→)(lim 0 x f x x ，∞=→)(lim 0 x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ； （3）) () (lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞ 型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞ ∞ 型 同样适用． 使用洛必达法则时必须注意以下几点： （1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞ ∞ ”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“ ∞ ∞ ”型才能运用该法则； ) () (lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→