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最新人教版高中数学必修四单元测试题及答案全套

阶段质量检测(一)

(A 卷学业水平达标)

(时间：90分钟，满分：120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．在0°～360°的范围内，与－510°终边相同的角是( ) A ．330° B ．210° C ．150° D ．30°

答案：B

2．若－π

2<α<0，则点P (tan α，cos α)位于( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限答案：B

3．已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P (sin 120°，cos 120°)，则α可以是( ) A ．60° B ．330° C ．150° D ．120° 答案：B

4．若sin 2θ＋2cos θ＝－2，则cos θ＝( ) A ．1 B.1

C ．－12

D ．－1 答案：D

5．函数f (x )＝tan ????x ＋π

4的单调增区间为( ) A.?

???k π－π2，k π＋π

2，k ∈Z B ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z C.?

???k π－3π4，k π＋π

4，k ∈Z D.????k π－π4，k π＋3π

4，k ∈Z 答案：C

6．已知sin ????π4＋α＝3

2，则sin ????3π4－α的值为( ) A.1

B ．－1

D ．－

答案：C

7．函数y ＝cos 2x ＋sin x ????－π6≤x ≤π

6的最大值与最小值之和为( ) A.3

2 B ．2 C ．0 D.3

答案：A

8．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R)在区间????－π6，5π

6上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有的点

( ) A ．向左平移π

3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原

来的1

倍，纵

坐标不变

B ．向左平移π

3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1

2倍，纵坐标不变

D ．向左平移π

6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

答案：A

9．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示，则函数的解析式为( )

A ．y ＝2sin ?

???2x －π4 B ．y ＝2sin ????2x －π4或y ＝2sin ????2x ＋3π4 C ．y ＝2sin ????2x ＋3π4 D ．y ＝2sin ????2x －3π4 答案：C

10．函数f (x )＝A sin ωx (ω>0)，对任意x 有f ????x －12＝f ????x ＋12，且f ????－14＝－a ，那么f ????9

4等于( ) A ．a B ．2a C ．3a D ．4a

答案：A

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

11．已知sin(π－α)＝－2

3，且α∈????－π2，0，则tan(2π－α)＝________. 解析：sin(π－α)＝sin α＝－2

，

∵α∈????－π

2，0， ∴cos α＝

1－sin 2α＝

3，tan(2π－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255

. 答案：25

12．已知sin θ＋cos θ＝4

3????0＜θ＜π4，则sin θ－cos θ的值为________．解析：∵sin θ＋cos θ＝4

，

∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝16

9，

∴2sin θcos θ＝79.又0＜θ＜π

4，∴sin θ＜cos θ.

∴sin θ－cos θ＝－(sin θ－cos θ)2

＝－

1－2sin θcos θ＝－2

. 答案：－

13．定义运算a *b 为a *b ＝?

????

a (a ≤

b )，

b (a >b )，例如1] .

解析：由题意可知，这实际上是一个取小的自定义函数，结合函数的图象可得其值域为??

?－1，22. 答案：???

?－1，

22 14．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)ω＞0，|φ|＜π

2，y ＝f (x )的部分图象如

图，则

f ????π24＝________.

解析：由图象可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝2π8＝π

4，即周期

为π

，所以ω＝2.由题意可知，图象过定点????3π8，0，所以0＝A tan ???

?2×3π

8＋φ，即

3π4＋φ＝k π(k ∈Z)，所以φ＝k π－3π

(k ∈Z)，又|φ|＜π2，所以φ＝π

4.再由图象过定点(0,1)，

所以A ＝1.综上可知f (x )＝tan ????2x ＋π

4. 故有f ????π24＝tan ????2×π24＋π4＝tan π3

＝ 3.

答案：3

三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)已知tan α

tan α－1

＝－1，求下列各式的值：

(1)sin α－3cos αsin α＋cos α； (2)sin 2α＋sin αcos α＋2.

解：由tan αtan α－1＝－1，得tan α＝1

(1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝1

2－312＋1

＝－53.

(2)sin 2α＋sin αcos α＋2

＝sin 2α＋sin αcos α＋2(cos 2α＋sin 2α) ＝3sin 2α＋sin αcos α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝3tan 2α＋tan α＋2tan 2α＋1

＝3????122＋12＋2????122＋1

＝135

. 16．(本小题满分12分)已知α是第二象限角，且f (α)＝sin ????α－π2cos ???

?3π

2＋αtan (π－α)tan (－α－π)sin (－π－α).

(1)化简f (α)；

(2)若cos ????α＋3π2＝3

5，求f (α)的值．解：(1)f (α)＝－cos αsin α(－tan α)

－tan αsin α

＝－cos α.

(2)∵cos ????α＋3π2＝sin α＝35， ∴sin α＝3

.又∵α是第二象限角，

∴cos α＝－

1－????352＝－45

. ∴f (α)＝－????－45＝45

. 17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π

2的图象在y 轴上的截距为1，它

在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x 0,2)和(x 0＋3π，－2)．

(1)求f (x )的解析式；

(2)将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的1

3倍，纵坐标不变，然后再将所得的图象沿x 轴向

右平移π

3个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，写出函数y ＝g (x )的解析式，并用“五点法”作出y ＝g (x )

在长度为一个周期的闭区间上的图象．

解：(1)∵f (x )＝A sin(ωx ＋φ)在y 轴上的截距为1，最大值为2，∴A ＝2,1＝2sin φ，∴sin φ＝1

又∵|φ|<π2，∴φ＝π

∵两相邻的最大值点和最小值点分别为(x 0,2)和(x 0＋3π，－2)， ∴T ＝2[(x 0＋3π)－x 0]＝6π， ∴ω＝2πT ＝2π6π＝1

∴函数的解析式为f (x )＝2sin ????

x 3＋π6.

(2)将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的1

3，纵坐标不变，得函数的解析式为y ＝2sin ????x ＋π6，再向右平移π

个单位后，得g (x )＝2sin ????x －π3＋π6＝2sin ????x －π6. 列表如下：

描点并连线，得g (x )在一个周期的闭区间上的图象如下图．

18.(本小题满分14分)如图，函数y ＝2cos(ωx ＋θ)x ∈R ，ω>0,0≤θ≤π

的图象与y 轴交于点(0，3)，且该函数的最小正周期为π.

(1)求θ和ω的值；

(2)已知点A ????

π2，0，点P 是该函数图象上一点，点Q (x 0，y 0)是PA 的中点，当

y 0＝

，x 0∈????π2，π时，求x 0的值．解：(1)把(0，3)代入y ＝2cos(ωx ＋θ)中，得cos θ＝

. ∵0≤θ≤π2，∴θ＝π

∵T ＝π，且ω>0， ∴ω＝2πT ＝2π

＝2.

(2)∵点A ????π2，0，Q (x 0，y 0)是PA 的中点，y 0＝32， ∴点P 的坐标为????2x 0－π

2，3. ∵点P 在y ＝2cos ????2x ＋π

6的图象上，且π

≤x 0≤π， ∴cos ????4x 0－5π6＝32，且7π6≤4x 0－5π6≤19π6. ∴4x 0－5π6＝11π6或4x 0－5π6＝13π6.

∴x 0＝2π3或x 0＝3π

(B 卷能力素养提升)

(时间：90分钟，满分：120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．已知cos θ tan θ<0，那么角θ是( )

A ．第一或第二象限象

B ．第二或第三象限角

C ．第三或第四象限角

D ．第一或第四象限角解析：选C 若cos θtan θ<0，

则cos θ>0，tan θ<0，或cos θ<0，tan θ>0. 当cos θ>0，tan θ<0时，角θ是第四象限角；当cos θ<0，tan θ>0时，角θ是第三象限角．

2．若函数f (x )＝sin x ＋φ

3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )

A.π

2 B.2π

3 C.3π

D.5π3

解析：选C 由f (x )＝sin x ＋φ3是偶函数，可得φ3＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝3k π＋3π

2(k ∈Z)，又φ∈[0,2π]，

所以φ＝3π

3．函数y ＝cos x ·tan x 的值域是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．[－1,1] C ．(－1,1) D ．[－1,0]∪(0,1)

解析：选C 化简得y ＝sin x ，由cos x ≠0，得sin x ≠±1.故得函数的值域(－1,1)． 4．圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( ) A ．扇形的面积不变 B ．扇形的圆心角不变

C ．扇形的面积增大到原来的2倍

D ．扇形的圆心角增大到原来的2倍

解析：选B 根据弧度的定义可知：圆心角的大小等于弧长对半径的比，故选B. 5．已知α＝5π

8，则点P (sin α，tan α)所在的象限是( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

解析：选D ∵π2<5π

<π，∴sin α>0，tan α<0，∴点P 在第四象限．

6．函数y ＝2sin ????2x －π

6的图象( ) A ．关于原点成中心对称 B ．关于y 轴成轴对称 C ．关于点????π12，0成中心对称 D ．关于直线x ＝

成轴对称解析：选C 由形如y ＝A sin(ωx ＋φ)函数图象的对称中心和对称轴的意义，分别将各选项代入检验即可，由于f ????π12＝0，故函数的图象关于点???

?π12，0成中心对称． 7．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间????π2，3π2内的图象是( )

解析：选D 当π2

2时，tan x >sin x ，

y ＝2sin x ．故选D.

8．已知角α的终边上一点的坐标为sin π6，cos π

6，则角α的最小正值为( )

A.11π

6 B.5π6 C.π3

D.π6

解析：选C 由题意知，tan α＝cos

π6

sin π6＝ 3.

所以α的最小正值为π

9．函数y ＝cos ????π

4－2x 的单调递增区间是( ) A.?

???k π＋π8，k π＋5π

B.?

???k π－3π8，k π＋π8 C.?

???2k π＋π8，2k π＋5π8 D.?

???2k π－3π8，2k π＋π

8(以上k ∈Z) 解析：选B 函数y ＝cos π4－2x ＝cos2x －π

4，根据余弦函数的增区间是[2k π－π，2k π]，k ∈Z ，得2k π

－π≤2x －π4≤2k π，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π

，k ∈Z.故选B.

10．函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈????π3，2π3的最大值是( ) A.14 B.34 C.15

D.154

解析：选D y ＝3cos 2x －4cos x ＋1＝3????cos x －232－1

3.∵x ∈????π3，2π3，∴cos x ∈????－12，12，∴当cos x ＝－12，即x ＝2π3时，y max ＝15

. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

11．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＋sin 290°的值为________．解析：∵sin 21°＋sin 289°＝sin 21°＋cos 21°＝1， sin 22°＋sin 288°＝sin 22°＋cos 22°＝1，

sin 2x °＋sin 2(90°－x °)＝sin 2x °＋cos 2x °＝1，(1≤x ≤44，x ∈N)，

∴原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 290°＋sin 245°＝45＋???

?222＝

912

. 答案：912

12．函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ个单位(φ>0)得到的图象恰好关于x ＝π

6对称，则φ的最小值是

________．

解析：y ＝sin 2x 向右平移φ个单位得 f (x )＝sin [2(x －φ)]＝sin(2x －2φ)．由f ????π6＝sin ????π3－2φ＝±1， ∴π3－2φ＝k π＋π

(k ∈Z)，

∴2φ＝－k π－π6，令k ＝－1，得2φ＝5π

，

∴φ＝5π12或作出y ＝sin 2x 的图象观察易知φ＝π

6－????－π4＝5π12. 答案：5π

13．若tan(π－α)＝2，则2sin(3π＋α)·cos 5π

2＋α＋sin ????32π－α·sin(π－α)的值为________．解析：∵tan(π－α)＝2，∴tan α＝－2， ∴原式＝－2sin α·(－sin α)＋(－cos α)·sin α ＝2sin 2α－sin αcos α＝

2sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－tan α

1＋tan 2α

＝2×(－2)2－(－2)1＋(－2)2＝10

5＝2.

答案：2

14．已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数(0<θ<π)，其图象与直线y ＝2的交点的横坐标为x 1，x 2，若|x 1

－x 2|的最小值为π，则ω＝________，θ＝________.

解析：由已知T ＝π，∴ω＝2，θ＝k π＋π

2(k ∈Z)．

答案：2

π2

三、解答题(本题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝1

(1)求sin A cos A ；

(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A 的值．

解：(1)∵sin A ＋cos A ＝1

①，

∴①式两边平方得1＋2sin A cos A ＝1

25，

∴sin A cos A ＝－12

(2)由(1)sin A cos A ＝－12

25，且A ∈(0，π)，可得sin A >0，cos A <0，∴A 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形．

(3)∵(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝49

，又sin A >0，cos A <0，

∴sin A －cos A >0，∴sin A －cos A ＝75 ②，∴由①，②可得sin A ＝45，cos A ＝－35，∴tan A ＝－4

16．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1＋2·sin2x －π

(1)求函数f (x )的最小正周期和最大值； (2)画出函数y ＝f (x )在区间????－π2，π

2上的图象．解：(1)函数f (x )的最小正周期为T ＝2π

2＝π，

当sin ????2x －π

4＝1时，f (x )取得最大值1＋ 2. (2)由(1)知：

故函数y ＝f (x )在区间???

?－π2，π

2上的图象如图所示．

17．(本小题满分12分)设函数f (x )＝3sin ωx ＋π6，ω＞0，x ∈(－∞，＋∞)，且以π

2为最小正周期．

(1)求f (0)； (2)求f (x )的解析式；

(3)已知f ????α4＋π12＝9

5，求sin α的值．解：(1)由题设可知f (0)＝3sin π6＝32.

(2)∵f (x )的最小正周期为π

2，

∴ω＝2ππ2＝4.

∴f (x )＝3sin ?

???4x ＋π6. (3)由f ????α4＋π12＝3sin ????α＋π3＋π6＝3cos α＝95， ∴cos α＝3

∴sin α＝±

1－cos 2α＝±4

18．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，且ω>0,0<φ<π

的部分图象如图所示．

(1)求A ，ω，φ的值；

(2)若方程f (x )＝a 在????0，5π

3上有两个不同的实根，试求a 的取值范围．解：(1)由图象易知A ＝1，函数f (x )的周期为 T ＝4×????

7π6－2π3＝2π，∴ω＝1. ∵π－2π3＝π3

，

∴此函数的图象是由y ＝sin x 的图象沿x 轴向左平移π3个单位长度得到的，故φ＝π

(2)由(1)知函数解析式为f (x )＝sin ???

?x ＋π

3. ∴方程f (x )＝a 在????0，5π3上有两个不同的实根等价于y ＝f (x )，x ∈????0，5

3π与y ＝a 有两个交点．当x ＝0时，f (x )＝3

， ∴a ∈

???

?32，1时，y ＝a 与y ＝f (x )有两个交点；当x ＝5

π时，f (x )＝0，

∴a ∈(－1,0)时，y ＝a 与y ＝f (x )也有两个交点，故所求a ∈???

?32，1∪(－1,0)．

阶段质量检测(二)

(A 卷学业水平达标)

(时间：90分钟，满分：120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)

1．(全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC u u u r ＝3CD u u u r

，则( )

A ．AD u u u r ＝－13A

B u u u

r ＋43

AC u u u r

B ．AD u u u r ＝13AB u u u r －43A

C u u u

C ．A

D u u u r ＝43AB u u u r ＋13AC u u u

D ．AD u u u r ＝43AB u u u r －13

AC u u u

答案：A

2．(全国甲卷)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A ．－8 B ．－6 C ．6

D ．8

答案：D

3．若|a |＝2，|b |＝2，且(a －b )⊥a ，则a 与b 的夹角是( ) A.π

6 B.π4 C.π3 D.π2

答案：B

4．在△ABC 中，D 为BC 边的中点，已知AB u u u r

＝a ， AC u u u r ＝b ，则下列向量中与AD u u u r

同向的是( )

A.a ＋b |a ＋b |

B.a |a |＋b |b |

C.a －b |a －b |

D.a |a |－a |b |

答案：A

5．已知边长为1的正三角形ABC 中，BC u u u r ·CA u u u r ＋CA u u u r ·AB u u u r ＋AB u u u r ·BC u u u

r 的值为( )

A.12 B ．－1

C.32 D ．－3

答案：D

6．已知平面内不共线的四点O ，A ，B ，C 满足OB u u u r ＝13OA u u u r ＋23

OC u u u r ，则|AB u u u r

|∶|BC u u u r |＝( )

A ．1∶3

B ．3∶1

C ．1∶2

D ．2∶1

答案：D

7．P 是△ABC 所在平面上一点，若PA u u u r ·PB u u u r ＝PB u u u r ·PC u u u r ＝PC u u u r ·PA u u u r

，则P 是△ABC 的( )

A ．内心

B ．外心

C ．垂心

D ．重心

答案：C

8．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( ) A ．1 B ．2 C. 2 D.2

答案：C

9．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，∠B ＝45°，AB ＝2CD ＝2，M 为腰BC 的中点，则MA u u u r ·MD

u u u r

＝( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

答案：B

10.如图，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A ，B 的

任意一点，

若P 为半径OC 上的动点，则(PA u u u r ＋PB u u u r )·PC u u u

r 的最小值是( )

A.92 B ．9 C ．－9

2 D ．－9 答案：C

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

11．在直角坐标系xOy 中，AB u u u r

＝(2,1)，AC u u u r ＝(3，k )，若三角形ABC 是直角三角形，则k 的值为

________．

答案：－6或－1

12．在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，则AE u u u r ·BD u u u r

＝________.

答案：1

13．如图，OM ∥AB ，点P 在由射线OM ，线段OB 及AB 的延长线围成的区域(不含边界)内运动，

且OP u u u r ＝x OA u u u r ＋y OB u u u r ，则x 的取值范围是______．当x ＝－1

时，y 的取值范围是________．

答案：(－∞，0) ????

12，32

14．在平面直角坐标系中，若O 为坐标原点，则A ，B ，C 三点在同一直线上的等价条件为存在唯一

实数λ，使得OC u u u r ＝λOA u u u r ＋(1－λ)OB u u u r 成立，此时称实数λ为“向量OC u u u r 关于OA u u u r 和OB u u u r

的终点共线分解

系数”．若已知P 1(3,1)，P 2(－1,3)，且向量3OP u u u r 与向量a ＝(1,1)垂直，则“向量3OP u u u r 关于1OP u u u r 和2OP u u u r

的终

点共线分解系数”为________．

答案：－1

三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15．(本小题满分12分)已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R. (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |. 解：(1)若a ⊥b ，

则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x ) ＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0.

整理得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3. (2)若a ∥b ，则有1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2.

当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)， ∴a －b ＝(－2,0)，|a －b |＝2；

当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)， ∴a －b ＝(2，－4)， ∴|a －b |＝

4＋16＝2 5.

综上所述，|a －b |为2或2 5.

16．(本小题满分12分)如图，平行四边形ABCD 中，AB u u u r ＝a ，AD u u u r

＝b ，H ，M 分别是AD ，DC 的

中点，BF ＝1

BC .

(1)以a ，b 为基底表示向量AM u u u u r 与HF u u u r

；

(2)若|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，求AM u u u u r ·HF u u u r

解：(1)∵M 为DC 的中点，

∴DM u u u u r ＝12

DC u u u r ，又DC u u u r ＝AB u u u r

，

∴AM u u u u r ＝AD u u u r ＋DM u u u u r ＝AD u u u r ＋12AB u u u r ＝1

2a ＋b ，

∵H 为AD 的中点，BF ＝1

BC ，BC u u u r ＝AD u u u r ，