全国二卷理科数学高考真题及答案解析
2016年全国高考理科数学试题全国卷2
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、已知z=(m+3)+(m –1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( ) A ．(–3,1) B ．(–1,3) C ．(1,+∞) D ．(–∞,–3) 2、已知集合A={1,2,3}，B={x|(x+1)(x –2)<0，x ∈Z}，则A ∪B=( ) A ．{1} B ．{1,2} C ．{0,1,2,3} D ．{–1,0,1,2,3} 3、已知向量a =(1,m)，b =(3,–2)，且(a +b )⊥b ，则m=( ) A ．–8 B ．–6 C ．6 D ．8 ?
4、圆x 2+y 2–2x –8y+13=0的圆心到直线ax+y –1=0的距离为1，则a=( )
A ．–43
B ．–3
4 C ． 3 D ．2
5、如下左1图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A ．24
B ．18
C ．12
D ．9
6、上左2图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( ) A ．20π B ．24π C ．28π D ．32π
7、若将函数y=2sin2x 的图像向左平移π
12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )
"
A ．x=kπ2–π6(k ∈Z)
B ．x=kπ2+π6(k ∈Z)
C ．x=kπ2–π12(k ∈Z)
D ．x=kπ2+π
12(k ∈Z)
8、中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，上左3图是实现该算法的程序框图。执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=( )
A ．7
B ．12
C ．17
D ．34 9、若cos(π4–α)=3
5，则sin2α= ( )
10、从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…，(x n ,y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A ．4n m B ．2n m C ．4m n D ．2m n
11、已知F 1、F 2是双曲线E ：x 2a 2–y 2b 2=1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1=1
3,则E 的离心率为( ) -
A ． 2
B ．3
2 C ．
3 D ．2
12、已知函数f(x)(x ∈R)满足f(–x)=2–f(x)，若函数y=x+1
x 与y=f(x)图像的交点为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，...(x m ,y m )，则
1
()m
i
i
i x y =+=∑( )
A ．0
B ．m
C ．2m
D ．4m 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分
13、△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cosA=45，cosC=5
13，a=1，则b=___________． 14、α、β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题：
(1)如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β。 (2)如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n 。 (3)如果α∥β，m ?α，那么m ∥β。 {
(4)如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有____________________(填写所有正确命题的编号)。
15、有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是____________．
16、若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln(x+1)的切线，则b=__________． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17、(本题满分12分)S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1=1，S 7=28。记b n =[lga n ]，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[]=0，[lg99]=1． (1)求b 1，b 11，b 101；
(2)求数列{b n }的前1 000项和．
^
、
18、(本题满分12分)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 !
保费
a
2a
/
一年内出险次数
0 1 2 3 4 ≥5 概率
￥
0. 05
(1)(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
（
(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
19、(本小题满分12分)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E 、F 分别在AD 、CD 上，AE=CF=5
4，EF 交BD 于点H ．将△DEF 沿EF 折到△D'EF 位置，OD'=10． (1)证明：D'H ⊥平面ABCD ； (2)求二面角B –D'A –C 的正弦值．
20、(本小题满分12分)已知椭圆E ：x 2t +y 2
3=1的焦点在X 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ． ：
(1)当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM|=|AN|时，求k 的取值范围．
21、(本小题满分12分)(1)讨论函数f(x)=x –2
x+2e x 的单调性，并证明当x>0时，(x –2)e x +x+2>0；
(2)证明：当a ∈[0,1)时，函数g(x)=e x –ax –a
x 2(x>0)有最小值。设g(x)的最小值为h(a)，求函数h(a)的值域．
！
请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号
22、(本小题满分10分)[选修4–1：几何证明选讲]如图，在正方形ABCD 中，E 、G 分别在边DA ，DC 上(不与端点重合)，且DE=DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F ． (1) 证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；
(2)若AB=1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积．
*
23、(本小题满分10分)[选修4–4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x+6)2+y 2=25． (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
(2)直线l 的参数方程是?
??x=tcosα
y=tsinα(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB|=10，求l 的斜率．
24、(本小题满分10分)[选修4–5：不等式选讲]已知函数f(x)=|x –12|+|x+1
2|，M 为不等式f(x)<2的解集． (1)求M ；
(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a+b|<|1+ab|．
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/
$
参考答案
1、解析：∴m+3>0，m –1<0，∴–3 2、解析：B={x|(x+1)(x –2)<0，x ∈Z}={x|–1 3、解析： 向量a +b =(4,m –2)，∵(a +b )⊥b ，∴(a +b )·b =10–2(m –2)=0，解得m=8，故选D ． ) 4、解析：圆x 2+y 2–2x –8y+13=0化为标准方程为：(x –1)2+(y –4)2=4，故圆心为(1,4)，d=|a+4–1|a 2+1=1，解得a=–43，故选A ． 5、解析一：E→F 有6种走法，F→G 有3种走法，由乘法原理知，共6×3=18种走法，故选B ． 解析二：由题意，小明从街道的E 处出发到F 处最短有C 条路，再从F 处到G 处最短共有C 条路，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为C·C=18条，故选B 。 6、解析：几何体是圆锥与圆柱的组合体， 设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h ． " 由图得r=2，c=2πr=4π，由勾股定理得：l =22+(23)2=4，S 表=πr 2+ch+1 2c l =4π+16π+8π=28π，故选C ． 7、解析：由题意，将函数y=2sin2x 的图像向左平移π12个单位得y=2sin2(x+π12)=2sin(2x+π 6)，则平移后函数的对称轴为2x+π6=π2+kπ，k ∈Z ，即x=π6+kπ 2，k ∈Z ，故选B 。 8、解析：第一次运算：s=0×2+2=2，第二次运算：s=2×2+2=6，第三次运算：s=6×2+5=17，故选C ． 9、解析：∵cos(π4–α)=35，sin2α=cos(π2–2α)=2cos 2(π4–α)–1=7 25，故选D ． 解法二：对cos(π4–α)=3 5展开后直接平方 . 解法三：换元法 10、解析：由题意得：(x i ,y i )(i=1，2，3，...，n)在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图的阴影中 由几何概型概率计算公式知π/41=m n ，∴π=4m n ，故选C ． 11、解析： 离心率e=F 1F 2MF 2–MF 1，由正弦定理得e=F 1F 2MF 2–MF 1=sinM sinF 1–sinF 2 =2231–13=2．故选A ． 12、解析：由f(–x)=2–f(x)得f(x)关于(0,1)对称，而y=x+1x =1+1 x 也关于(0,1)对称， … ∴对于每一组对称点x i +x'i =0，y i +y'i =2， ∴()1 1 1 022 m m m i i i i i i i m x y x y m ===+=+=+? =∑∑∑，故选B ． 13、解析：∵cosA=45，cosC=513，sinA=35，sinC=1213，∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=63 65， 由正弦定理：b sinB =a sinA ，解得b=21 13． 14、解析：对于①，m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，则α，β的位置关系无法确定，故错误；对于②，因为//n α，所以过直线n 作平面γ与平面β相交于直线c ，则n ∥c ，因为m ⊥α，∴m ⊥c ，∴m ⊥n ，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有②③④. … 15、解析：由题意得：丙不拿(2,3)，若丙(1,2)，则乙(2,3)，甲(1,3)满足；若丙(1,3)，则乙(2,3)，甲(1,2)不满足；故甲(1,3)， 16、解析：y=lnx+2的切线为：y=1 x 1 ·x+lnx 1+1(设切点横坐标为x 1) y=ln(x+1)的切线为：y=1x 2 +1·x+ln(x 2 +1)–x 2 x 2 +1，∴???1x 1 =1 x 2 +1lnx 1 +1=ln(x 2 +1)–x 2 x 2 +1 解得x 1=12，x 2=–1 2。∴b=lnx 1+1=1–ln2． 17、解析：(1)设{a n }的公差为d ，S 7=7a 4=28，∴a 4=4，∴d=a 4–a 1 3=1，∴a n =a 1+(n –1)d=n ． ∴b 1=[lga 1]=[lg1]=0，b 11=[lga 11]=[lg11]=1，b 101=[lga 101]=[lg101]=2． (2)记{b n }的前n 项和为T n ，则T 1000=b 1+b 2+...+b 1000=[lga 1]+[lga 2]+...+[lga 1000]． & 当0≤lga n <1时，n=1，2，...，9；当1≤lga n <2时，n=10，11，...，99；当2≤lga n <3时，n=100，101，...，999； 当lga n =3时，n=1000．∴T 1000=0×9+1×90+2×900+3×1=1893． 18、(1)设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A ，P(A)=1–P(A )=1–+=． (2)设续保人保费比基本保费高出60%为事件B ，P(B|A)=P(AB) P(A)=错误!=错误!． ⑶解：设本年度所交保费为随机变量X ． ∴平均保费与基本保费比值为． 19、解析：(1)证明：如下左1图，∵AE=CF=54，∴AE AD =CF CD ，∴EF ∥AC ． ∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，∴EF ⊥BD ，∴EF ⊥DH ，∴EF ⊥D'H ． ） ∵AC=6，∴AD=3；又AB=5，AO ⊥OB ，∴OB=4，∴OH=AE AO ·OD=1，∴DH=D'H=3，∴|OD'|2=|OH|2+|D'H|2，∴D'H ⊥OH ． 又∵OH∩EF=H ，∴D'H ⊥面ABCD ． (2)方法一、几何法：若AB=5，AC=6，则AO=3，B0=OD=4，∵AE=54，AD=AB=5，∴DE=5–54=154， ∵EF ∥AC ，∴DE AD =EH AC =DH OD =15/45=34，∴EH=94，EF=2EH=9 2，DH=3，OH=4–3=1， ∵HD’=DH=3，OD’=22，∴满足HD’2=OD’2+OH 2，则△OHD’为直角三角形，且OD’⊥OH ， 即OD’⊥底面ABCD ，即OD’是五棱锥D’–ABCFE 的高． 底面五边形的面积S=12×AC·OB+(EF+AC)·OH 2=12×6×4+(9 2+6)×1 2=12+214=69 4， 则五棱锥D’–ABCFE 体积V=13S·OD’=13×694×22=2322． 方法二、向量法。建立如下左2图坐标系H –xyz ．B(5,0,0)，C(1,3,0)，D'(0,0,3)，A(1,–3,0)， ∴向量AB =(4,3,0)，AD'=(–1,3,3)，AC =(0,6,0)， 设面ABD'法向量n 1=(x,y,z)，由???n 1·AB =0n 1·AD'=0得???4x+3y=0 –x+3y+3z=0 ，取???x=3 y=–4z=5 ，∴n 1=(3,–4,5)． 同理可得面AD'C 的法向量n =(3,0,1)， ∴|cosθ|=|n 1·n 2||n 1||n 2|=|9+5|52·10 =7525，∴sinθ=295 25。 ` 20、解析：(1)当t=4时，椭圆E 的方程为x 24+y 2 3=1，A 点坐标为(–2,0)，则直线AM 的方程为y=k(x+2)． 联立椭圆E 和直线AM 方程并整理得，(3+4k 2)x 2+16k 2x+16k 2–12=0。 解得x=–2或x=–8k 2–63+4k 2，则|AM|=1+k 2 |–8k 2–63+4k 2+2|=1+k 2·123+4k 2。 ∵AM ⊥AN ，∴|AN|= 1+(–1k )2·123+4·(1–1k )2=1+k 2·123|k|+4|k| 。 ∵|AM|=|AN|，k>0，∴ 1+k 2·123+4k 2=1+k 2·123k+4k ，整理得(k –1)(4k 2 –k –4)=0， 4k 2–k+4=0无实根，∴k=1． 》 所以△AMN 的面积为12|AM|2=12(1+1·123+4)2=144 49． (2)直线AM 的方程为y=k(x+t)， 联立椭圆E 和直线AM 方程并整理得，(3+tk 2)x 2+2t tk 2x+t 2k 2–3t=0。解得 x=–t 或x=–t tk 2–3t 3+tk 2， ∴|AM|= 1+k 2|– t tk 2–3t 3+tk 2+t|=1+k 2·6t 3+tk 2，∴|AN|=1+k 2·6t 3k+t k ∵2|AM|=|AN|，∴2· 1+k 2· 6t 3+tk 2=1+k 2 ·6t 3k+t k ，整理得，t=6k 2–3k k 3–2． ∵椭圆E 的焦点在x 轴，∴t>3，即6k 2–3k k 3–2>3，整理得(k 2+1)(k –2) k 3–2<0，解得2 21、解析：(1)证明：f(x)=x –2x+2e x ，∴f'(x)=e x (x –2x+2+4(x+2)2)=x 2e x (x+2)2。 ∵当x ∈(–∞,–2)∪(–2,+∞)时，f'(x)>0，∴f(x)在(–∞,–2)和(–2,+∞)上单调递增。 x –2 由(1)知，当x>0时，f(x)=x –2x+2e x 的值域为(–1,+∞)，只有一解．使得t –2t+2·e t =–a ，t ∈(0,2]。 当x ∈(0,t)时g'(x)<0，g(x)单调减；当x ∈(t,+∞)时g'(x)>0，g(x)单调增 h(a)=e t –a(t+1)t 2=e t +(t+1)t –2t+2·e t t 2 =e t t+2。 记k(t)=e t t+2，在t ∈(0,2]时，k'(t)=e t (t+1)(t+2)2>0，∴k(t)单调递增，∴h(a)=k(t)∈(12,e 2 4]． 22、解析：(1)证明：∵DF ⊥CE ，∴Rt △DEF ∽Rt △CED ，∴∠GDF=∠DEF=∠BCF ，DF DG =CF BC 。 ∵DE=DG ，CD=BC ，∴DF DG =CF BC 。∴△GDF ∽△BCF ，∴∠CFB=∠DFG 。 ∴∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°，∴∠GFB+∠GCB=180°．∴B ，C ，G ，F 四点共圆． (2)∵E 为AD 中点，AB=1， ∴DG=CG=DE=12，∴在Rt △GFC 中，GF=GC ，连接GB ，Rt △BCG ≌Rt △BFG ，∴S 四边形BCGF =2S △BCG =2×12×1×12=1 2． 23、解：(1)整理圆的方程得x 2+y 2+12x+11=0， 由ρ2=x 2+y 2、ρcosθ=x 、ρsinθ=y 可知圆C 的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11=0． (2)记直线的斜率为k ，则直线的方程为kx –y=0， 由垂径定理及点到直线距离公式知：|–6k| 1+k 2= 25–(102)2，即36k 21+k 2=904，整理得k 2=53，则k=±153． 24、解析：(1)当x<–12时，f(x)=12–x –x –12=–2x ，若–1 2时，f(x)=2x ，若f(x)<2，1 2 (2)当a ，b ∈(–1,1)时，有(a 2–1)(b 2–1)>0，即a 2b 2+1>a 2+b 2，则a 2b 2+2ab+1>a 2+2ab+b 2，则(ab+1)2>(a+b)2，即|a+b|<|ab+1|， 证毕．