2020专升本高数二知识点总结 (2)

2019年专升本高数知识点+技巧

（一）概率论 1.事件发生的概率

事件的概率在2014，2019年出一道大题，2013，2014，2017年出选择，2016年出填空题。 ①对立事件

例如箱子里有5个球，三个白球两个黑球，抓到白球的概率是3/5，黑球的概率是2/5，这两个概率相加是1，抓到黑球我们也可以理解为抓到的不是白球的概率，那么就是一个事件发生的概率与一个事件不发生的概率加在一起就是1. ②独立事件

事件A 概率的发生对事件B 概率的发生没有影响，事件A 、B 相互独立，叫独立事件。例如，第一次掷骰子5点的概率，第二次5点的概率，两次掷骰子会得到5点的概率相互没有影响，各自独立。独立事件概率用两个事件的自己发生概率相乘计算)()(B P A P 。

独立事件一般和对立事件结合出题，例如设事件A ，B 相互独立，A ，B 发生的概率分别为0.6,0.9，A ，B 都不发生的概率，那么先看A 和B 分别不发生的概率是多少，A 发生的概率是0.6，A 不发生的概率就是1-0.6=0.4，B 发生的概率是0.9， B 不发生的概率就是1-0.9=0.1，那么A ，B 都不发生的概率就是A 不发生的概率0.4乘以B 不发生的概率0.1×0.4=0.04。 ③条件事件（非独立事件）

假设要第一次抓到白球第二次抓到黑球的概率，3个白球2个黑球，那么第一次抓到白球还是3/5，那么第二次抓到黑球呢？因为已经抓走了一个球，那么此时箱子里的球就是一共有4个球，其中2个黑球，抓到黑球的概率就是2/4=1/2，求第这两件事同时发生的概率用乘法，所以第一次抓到白球第二次抓到黑球的概率就是3/5×1/2=3/10.

应试指导：对立事件2016年出选择题，重点记住对立事件概率相加为1。独立事件2013，2014，2017年考查选择题，独立事件概率用两个事件各自发生概率相乘计算。条件事件2014年出大题，条件发生的概率乘以事件发生的概率就是条件事件发生的概率。综合来看，每年都会出一道概率题目（2015年没出），其中最常考查的是独立事件和对立事件结合出题，计算都是简单的计算，选择题还有选项可以参考，还是很容易拿分的，同学们一定要好好把握。 2. 离散型随机变量

T ：除了2014，2019年大题查考的是事件概率，2013，2015，2016，2017大题考查的内容都是随机变量。随机变量举例来解释，假设事件A 为一个选手射箭，其必能射中八环及以上，对他射箭进行统计，统计出他射中8环的概率为0.3，9环的概率为0.2,10环的概率为0.5.可以下列出表格表述此事件的概率分布，随机变量就是指射中的环数（8，9，10） ，虽然射中8环及以上是必然，但是具体射中8，9，10环是不确定的，所以叫做随机变量，用X 来表示，因为射中8环及以上是必然事件，那么概率P 加在一起就是1。

①数学期望E （X ）

用环数乘以发生的概率最后相加，也就是2.95.0102.093.08=?+?+?，叫做数学期望，用随机变量分别乘以概率相加，一般用大写E 来表示。 ②方差D （X ）：

用不同的环数减去平均数，例如8-9.2，能知道每次射箭和平均水平相差的数值，就能知道选手发挥是否稳定，方差的计算是用每次的随机变量减去数学期望的平方，乘以概率，最后相加，

76.05.0)2.910(2.0)2.99(3.0)2.98(222=?-+?-+?-，用大写字母D 来表示。

应试指导：这部分是出大题的考点，一道大题8分，2016，2017单独出题，2015和事件概率结合出题，只有数学期望和方差这两个知识点考查，计算也比较简单，同学们要尽量认真仔细计算核对，确保拿到这8分。

（二）极限和连续 1.极限

极限是每年都会出的题目，2015年出五道小题，2013，2016年出三道小题，2017年出两道小题，2014，2018，2019年出一道小题，学习的重点是学会极限的运算和两个特殊极限。

极限的概念是建立在函数基础上的，假设函数x x f =)(，当x 无限地接近于1时，这时)(x f ，也无限地靠近1，1叫做是)(x f 的极限,用英文字母lim 表示极限，在lim 下面用x →表示x 趋近于几。 ①代入法

求极限最常用的方法就是将数值代入函数式。平均每年都会有一道这样的题目，就相当于是送分题。 ②两个重要极限

（1）1sin lim 0=→x

x

x

（2）e x

x

x =+→)11(lim

③无穷小量

如果一个函数的极限是0，就把这个函数称为无穷小量。 应试技巧：

极限是每年都会出的题目，2015年出五道小题，2013，2016年出三道小题，2017年出两道小题，2014，2018，2019年出一道小题，学习的重点是学会极限的运算和两个特殊极限。我们在求极限的时候，基本就是上面三种方法：

第一，一般是直接代入趋近数字求值即可；

第二，我们看到求x 乘任何式子的函数求趋近于0的极限，肯定就是0，也就是无穷小量。因为0乘以任何数都是0；

第三，当趋近数字没有定义或无穷大时，首先考虑是否为特殊极限或其变形。 2.连续

连续是基于函数极限基础上的一个定义，以图像举例，如图，这个函数图像在x=1时断开了，也就是说这不是一个连续的图像。

会有是否连续这个问题，主要是由于分段函数的出现，当然也有反比例函数这样定义域不是全集导致的。考试就是考分段函数的连续问题。判断分段函数是否连续就是两段函数求得的分段点极限值是否相等。分段点极限值相等就连续，不相等就不连续。考的分段函数一般定义域都为全集，也就是分段点肯定是有意义的，那么直接代入分段点数值到2个分段函数就可以得到分段点的2个极限值，再比较2个极限值是否相等。

例如分段函数()??

?-≥-=1

,11

,12

πx x x x x f ，分段点就是1，1代入前段函数x-1求出第一个极限为0，1代入后段函数x 2

-1求出第二个极限还是为0，两个极限值相等，说明该分段函数在分段点处是连续的。

如果分段函数()?

??-≥-=1,21

,12πx x x x x f ，那么第一个极限值还是0，第二个极限值变成-1了，两个极限值不相

等，说明该分段函数在分段点处不连续，我们就把这个分段点叫做间隔点。

应试技巧：在遇到这样的题目时，如果已知连续，直接将连续点代入两个函数式使两个数值相等可以了。而如果某一点两个函数式数值不相等，则该点为间隔点。

（三）一元函数微分 1. 导数

这节课我们来学习导数，导数是分值比较高并且比较简单的部分，2013，2015，2017，2018年出三道小题，2014年两道小题，2016，2019年四道小题，2014-2019年各一道大题，导数的分值由12-24分，是我们考试中拿分的重点，高数中的导数是基于极限基础上的概念。 ①导数的定义

比如李四到公园散步，以3.6km 每小时的速度匀速前行，用函数表示李四散步走了多长距离s 和时间t 的关系就是：s=3.6t ，而导数就是反应李四在散步过程中在任意一个位置的前进速度，前面说了他是以3.6km

每小时的速度匀速前行，因此任意位置的进行速度都是3.6km 每小时，而函数s=3.6t 的导函数s ’=3.6。 又比如李四到河边玩抛石子，水平抛出，石子落地的时间都相同，因为地球地表引力加速度都是g （9.8米/秒），水平抛出原垂直速度都为0，加速度g 是石子垂直方向速度变化反应，就是速度的导函数，速度的函数就是gt ，距离的函数是gt 2

/2.

速度反应距离的变化情况，所以速度函数是距离函数的导函数，加速度反应速度的变化情况，所以加速度函数是速度函数的导函数。

导数就是反应函数的变化情况的，某点导数值就是反应函数在某个点的变化情况的。

某个点的变化情况(导数)，从极限理解，就是极其相近距离趋近于0的两点（x 1，y 1）（x 2，y 2）形成的一条切线斜率，y 2-y 1=△y ，x 2-x 1=△x ，切线斜率（导数）可写作x

x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)

()(lim

lim 1100。 ②导数的基本公式：

最常见的求导是指数函数，以x 3

为例，我们求导时用指数函数的次方数×其原函数指数减一个次方：（x 3

）’=3x

（3-1）

=3x 2，那么如果是常数，例如常数5可以看作5x 0，它们求导等于0×x -1=0，0×5x -1

=0，因为其最前

面的次方数为0就决定了，后面乘任何数都为0，所以任何常数的导数都为0。

正弦函数sinx 的导数是余弦函数cosx ，余弦函数cosx 的导数是负的正弦函数-sinx ，考试中还有遇到的是对数函数lnx 的导数是分式x

1，特殊的导数e x 的导数还是e x

。一共这六种，需要同学们能够熟练运用。 （1）0)'(=C （2）1

)'(-=n n

nx

x ，（n 为实数）

（3）x

x

e e =)'( （4）x x cos )'(sin = （5）x x sin )'(cos -= （6）x

x 1)'(ln = ③高阶导数

考试中还会有二阶导数，三阶导数，做法都是一样的，就是求出一次导数之后，用的得到的新的函数式再

求一次导数就是二阶导数，三阶导数就是在二阶导数的基础上再求一次导数。考的二阶导数用22dx

y

d 或者y ”

表示，就像前面的例子，速度和距离是一阶导数关系，加速度和速度是一阶导数关系，那么加速度和距离就是二阶导数关系。 ④复合函数的导数

复合函数的导数是我考试中最常出现的题型，所谓复合函数就是指几个函数复合在一起的形式，考试中常

出现的是e x

的指数x ，或者三角函数的角度x ，被一个函数式代替。 ⑤复合函数和高阶导数相结合

复合函数和高阶导数结合，就是对复合函数进行几次求导。 ⑥导数运算

两个函数f （x ）和g （x ）相乘，那么他们的导数[f （x ）g （x ）]’就是f ’（x ）g （x ）+f （x ）g ’（x ），前函数的导数×后函数的原函数+前函数的原函数×后函数的导数。

这个就像3×6=18和5×7=35的差量17，可以通过（5-3）×6+（7-6）×5=17得出，写出的前者差量（5-3）×后者原式的数字6+后者差量（7-6）×前者原式的数字5，把差量看作导数，原式的数字看作原函数。⑦隐函数求导

在考试中常给出一个函数，对隐函数求导。给出的函数式中有x 和y ，将x 当做未知数来看，正常求导，当做未知函数式来看，运用复合函数的求导法则也进行求导，最后求出dx

dy

y

'就可以。 应试技巧：导数是分值比较高并且比较简单的部分，导数的考查主要集中在几个导数公式的运用上，其他只是简单的变形，所以我们只要能够熟练运用导数公式，这部分题目就不是问题。

（三）一元函数微分 2. 导数的应用 知识点考查分布：

这样来看，一阶导数的应用中单调区间和极值是考查最多分值最高的知识点，而这部分也是比较简单的知识点，导数的应用这里考查并不难。 ①一阶导数的应用

（1）函数的驻点，单调性和极值

导数在函数图像上的体现，就是函数图像的单调性，单调性我们也可以叫做增减性，如图，函数的图像有增有减，增加、上升时就是单调递增，减小、下降时就是单调递减，下面我们从导数层面来看函数的递增递减。

2014

2015

2016

2017

2018

2019

选择

单调区间

单调区间，极值，切线

法线

填空 单调区间，切线

切线，拐点 铅直渐近线方程

拐点

解答 驻点 单调区间，极值，凹凸性

单调区间，极值，凹凸区间

极值 驻点和拐点

导数值＞0，单调递增；导数值＜0，单调递减。

注：导数值=0时，是函数的驻点（函数图像在该点没有增减性，可以记忆为函数停留（驻点）在该点没有增减）。一般情况下，函数在此点有极值。

（2）切线

切点就是切线和函数图像的交点，直线方程y=kx+b的斜率（k）=切点的导数值。切点、直线方程、函数，三者只要知道其中之二，通过交点和斜率=导数值两点就可以求出最后一个内容。

②二阶导数的应用

（1）对于凹凸性定义的理解

图形上任意弧段位于所张弦的下方图像上任意弧段位于所张弦的上方

凹时，切线斜率都是越来越大（递增），而二阶导数反应的时候切线斜率的变化趋势，递增时就是二阶导数＞0。

凸时，切线斜率都是越来越小（递减），而二阶导数反应的时候切线斜率的变化趋势，递减时就是二阶导数＜0。二阶导数结果为0的点是拐点。 （2）曲线凹凸的判定

如果f （x ）在[a ，b]上连续，在（a ，b ）内具有一阶和二阶导数，若在（a ，b ）内 a.0)(">x f ，则)(x f 在[a ，b]上的图形是凹的； b.0)("

二阶导数的应用结合一阶导数的应用来考查的，我们来看例题：

应试技巧：设函数)(x f y =，点0x 使0)('0=x f ，那么0x 就是函数的驻点，若0)('0>x f ，那么函数在此区间递增，若0)('0

0)("1=x f ，那么1x 就是函数的拐点，若1x 一侧使0)("1>x f ，那么此区间为函数的凹区间，若1x 一侧使0)('1

题也能得到4-8分。

③铅直渐近线。

铅直渐近线方程就是使函数极限为无穷的x 值，在将极限的时候，讲过分母趋于无穷小0，分数就是趋于无穷大，所以使分母为0，就可以得到它的铅直渐近线方程。

应试技巧：对于分式来说，铅直渐近线方程都是分母为0时的x 值，因为取的这个x 值，只能无限靠近却最终不能相等，所以叫渐近线。

（三）一元函数微分 3. 微分

微分2013年出了一道大题，2014，2016年选择题，2015和2019年填空题，2018年一道选择题一道填空题。微分可以看作是导数的变形，是因为微分和导数的计算是一样的，把微分用dy 来表示，而导数是dx dy ，将dx

dy

看作是dy 除以dx ，那么导数

dx

dy

=f ’（x ），所以dy=f ’（x ）dx ，所以微分就是求导之后在函数式后面乘以

dx 。

应试技巧：微分2013年出了一道大题，2014，2016年选择题，2015年填空题。因为微分和求导是一样的，所以只要我们掌握了求导，微分就没有问题。 4. 洛必达法则

成考每年考试的第一道大题都是洛必达法则，2017，2019年还额外出了一道填空题。

洛必达法则是基于导数基础上对极限的求法，当分母为0，或者分母分子都为0，就要用洛必达法则。 洛必达法则考查都是分式，这些分式使用代入法的话分母是0，用洛必达法则，对分子和分母分别进行求导，在求导之后，再用代入法进行计算。如果求导一次使用代入法分母依然没有意义，也就是还是为0，再次进行求导，直到使用代入法分母不为0.

应试技巧：成考每年考试的第一道大题都是洛必达法则，2017，2019年还额外出了一道填空题。简而言之，遇到用代入法分母为0的极限，就将分子分母分别求导，直至可以用代入法。所以说，只要掌握了导数，这部分的分值我们也很容易拿到。 （四）多元函数微分 1. 偏导数

偏导数也是关于导数部分的学习，偏导数在2013-2015年考查以选择填空为主，在2016,2017，2019年考试出现对大题的考查。 2013年：两道选择

2014年：两道选择，两道填空 2015年：两道选择，一道填空 2016年：一道填空，一道解答 2017年：一道选择，一道解答 2018年：一道选择，一道填空 2019年：一道选择，一道填空 ①一阶偏导数

导数和偏导没有本质区别，都是当自变量的变化量趋于0时，函数值的变化量与自变量变化量比值的极限，

x f x x f x y x x -?+=??→?→?)

()(lim

lim

1100。但是一元函数，一个y 对应一个x ，导数只有一个。而原函数,一个z 对应一个x 和一个y （例如z=3x+2y ），那就有两个未知数，有两个导数了，一个是z 对x 的导数，一个是z 对y 的导数，称之为偏导。二元函数偏导数，函数中有两个元，求出偏导数时需要我们一个一个来求，那当求x 的偏导时，将y 当做常数计算，当求y 的偏导数时，将x 当做常数，然后正常用导数法则进行求导就可以。 ②二阶偏导数

T ：我们考试中最常考查的就是二阶函数偏导数，同学们还记得二阶导数的计算么？先求一阶导数然后再次

求导。偏导数也是一样的，先求出一阶偏导数，然后再次求偏导，就可以求出二阶偏导数。

但是因为偏导数里面有一个未知数，除了可以两次都对x 和两次都对y 求偏导之外，我们还以先对x 求偏导，再对y 求偏导，或者先对y 求偏导再对x 求偏导（看分母哪一个在前面），我们把这种x 和y 混合求偏导的函数又叫混合偏导数，有的函数的混合偏导数是一样的，但是为了保险起见，我们还是正常按照要求来做题。

应试技巧：偏导数的重点是要理解当x 求偏导，y 做常数，y 求偏导，x 做常数。偏导数能够拿到10分没有问题。 2. 全微分

全微分除了我们在2017年和偏导数结合考查大题之外，在2013，2016，2017年各出一道小题。 全微分就是分别求出x 的偏导和y 的偏导，后面分别乘以dx 和dy ，加在一起dx+dy 就是全微分dz 。也就是：

对于函数),(y x z =，如果),(y x f 可微，那么有dy y

z

dx x z dz ??+??=. （五）一元函数积分 1.不定积分

不定积分每年必出一道大题，近年题目越来越难。除了大题还会有一到三道小题。2019年考查2道选择题3道填空题。

2013年：只考查不定积分基本公式，一道选择，一道填空，一道大题。 2014年：一道填空查考定义，大题考查基本公式

2015年：一道选择考查基本公式，两道填空考查定义，大题考查凑微分法。 2016年：一道填空考查基本公式，大题考查凑微分法。

2017年：一道选择考查基本公式，一道填空考查定义，大题考查第二类换元法。

2018年：一道选择考查基本公式。一道选择考查定义，一道填空考查基本公式，一道大题考查分部积分法。 2019年：一道选择考查性质，一道选择、一道填空考查基本公式，一道填空考查原函数，一道填空、一道大题考查第二类换元法。 ①不定积分的概念和性质

原函数，简单来说，一个函数就是它的导函数的原函数，原函数经求导变为导函数，求导之前的函数叫做原函数。

举例：函数2

3)(x x F =，导函数x x f 6)(=，则函数F(x)为f(x)的原函数。

不定积分，一个函数的原函数即为不定积分，求不定积分的过程就是求原函数的过程，原函数通过求导变为导数，导数通过积分变为原函数，不定积分就是导数或微分的逆推。不定积分的符号

?

就像是大F 去掉

横线，中间是要求积分的导函数，后面d 表示求积分的对象x 。有时后面的x 也可以换成例如x 2

一类的，那

就把x 2当做一个整体来看，也相当于x ，不需要再对x 2

求积分。 举例：函数x x f 6)(=，C x xdx +=?

236。

注：注意+C ，学导数时知道，任意常数的导数为0，所以在导数逆推求不定积分的时候不知道原函数是否有常数，就需要用+C 来表示不定积分的未知常数。 ②基本积分公式

（1）?

+=C kx kdx （k 为常数）

比如：3x 的导数是3，所以3的积分就是3x+C 。

（2）)1(1

1

-≠++=

+?n C n x dx x n n

比如：3

1

x 3的导数是x 2，x 2

进行逆推，求导数的时候指数是减1，那么原函数指数就应该加1，也就是2+1=3，

原函数指数应该是3提前，但是导函数没有3，只有3×3

1

=1，所以就是

3123112x x =+++C ，指数函数的积分就是函数指数+1/（指数+1）=x n+1

/n+1。

（3）

C x dx x +=?||ln 1

比如：lnx 的导数是x 1，那么x

1

的积分就是ln|x|+C ，ln 是e （e>0）为底的对数，所以ln 的平方或立方之

后，得到的结果都是大于等于0的，所以后面要有绝对值。 （4）C e dx e x x +=?

比如：e x 的导数就是本身，所以积分也是本身e x

+C 。 （5）?

+-=C x xdx cos sin

比如：余弦函数cosx 的导数是负的正弦函数-sinx ，所以正弦函数sinx 的积分是负的余弦函数-cosx+C 。 （6）?

+=C x xdx sin cos

比如：正弦函数sinx 的导数是余弦函数cosx ，所以余弦函数cosx 的积分是正弦函数sinx+C 。 这些基本的积分公式大家可以选择记忆或者运用导数的进行逆推。 ③第一类换元法（凑微分法）

第一换元法，也叫作凑微分法，如果题目给出的已知函数，是由一个导函数和它的原函数构成的，也就是

)(')]([x x f ??dx 形式，那么我们就可以将)('x ?提出，然后与dx 合并变为d )(x ?，以此来简化做答。 比如2

21122

2

2

)(2

111)(2x x dx x xdx x =+==?+??，可以理解为复合函数求导，里导乘外导，里导先不乘的时候，

就这么写。4133

2

2113222x x dx x xdx x =+?

==?+??，这原函数也可以写成复合函数()

2242

1

21x x =。 ④第二类换元法

不能凑微分的情况，我们就直接将复杂函数设定为其他元。 ⑤分部积分法

利用两个连续可微函数乘积的求导法则，设函数)(x u u =和)(x v v =具有连续导数，'')'(uv v u uv +=，

v u ')'-，则??-=vdx u uv dx uv ''或??-=vdu uv udv ，这种积分运算方法即为分部积分法。在考试中，求积分时被积函数是两个相乘的形式，将这种形式看作是

?b

a

dx uv '，一般来说，其中一个函

数看做是其原函数的导数v ’，例如给出的是2x ，看做是（x 2

）’，这时在计算的时候，令u 和v 相乘，），再减去一个定积分，这个定积分的被积函数是v （有原函数的变为原函数）乘以u ’（没有原函数的进行求导）。那么就是?dx uv '=?

-vdx u uv '。

应试技巧：求不定积分一般遇到分母复杂分式一般使用平方差（a 2

-b 2

）=（a+b ）（a-b ）或立方差（a 2

+ab+b 2

）就可以约去分子。

凑微分就是复合函数里导乘外导，里导先不乘的写法)('x ?dx=d )(x ?。

第二类换元法就是凑微分的逆运算，把x 当成假设变量t 的复合函数，求里导，t d dx ))((?==分部积分法求积是将其中一个函数看做是其原函数的导数v ’，令u 和v 相乘，再减去一个定积分中dx =?

-vdx u uv '。 知识点分布： 知 识点 题型 2013

2014

2015

2016

2017

2018

2019

N —L 公式 填空 大题 两道选择 选择 两道填空 选择 奇偶函数积分 填空 填空 填空 填空 选择 分部积分法 大题 大题 大题 大题 大题 大题 换元积分法 选择 反常积分 填空

选择

填空 大题 变上限积分 选择

选择

选择，大题 选择

①牛顿-莱布尼茨公式

定积分的运算最基础的是掌握牛顿-莱布尼茨公式，这是定积分个不定积分的主要区别，根据牛顿—莱布尼茨公式，在求定积分的时候，正常按照不定积分求出被积函数的原函数，然后将给出的定积分的取值范围ɑ与b 的值代入，用)()(a F b F -求出被积函数的值。

)()()()(|a F b F x F dx x f b

a

b

a

-==?

，其中)(x F 为)(x f 的原函数。

②奇、偶函数在对称区间上的积分

如果在考试中遇到积分区间是[-a ，a]这样的，前后是互为相反数，就可以根据函数的奇偶性在做题，奇函数（原点中心对称）就是指函数以原点为中心，x 轴上每两个正负对应的点，对应的y 轴数值是一正一负，也就是-f （x ）=f （-x ）。偶函数（y 轴轴对称）就是函数以原点为中心，x 轴上每两个正负对应的点，对应的y 轴数值相等。也就是f （x ）=f （-x ）。 若被积函数)(x f 在[-ɑ，ɑ]上为连续奇函数，则?

-=a

a dx x f 0)(。

若被积函数)(x f 在[-ɑ，ɑ]上为连续偶函数，则

??

-=a

a

a

dx x f dx x f 0)(2)(。

指数函数奇偶性判定可以看指数，指数为奇数则为奇函数，指数为偶数，则为偶函数，其余需要特别记住的是，正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。

奇函数乘以偶函数，等于奇函数；奇函数乘以奇函数等于偶函数，偶函数乘以偶函数等于偶函数。 ③分部积分法

分部积分法在不定积分中已经讲过，在定积分中，被积函数是两个相乘的形式，往往其中有一个没有原函数（常见lnx ），将这种形式看作是

?b

a

dx uv '。

一般来说，u 是没有原函数的，另一个给出的函数看做是其原函数的导数v ’，例如给出的是2x ，看做是（x 2

）’，这时在计算的时候，令u 和v 相乘，（注意不是v ’），再减去一个定积分，这个定积分的被积函数是v （有原函数的变为原函数）乘以u ’的导数（没有原函数的进行求导）。然后还是用牛顿-莱布尼茨公式，将积分区间代入相减，那么就是?b

a

dx uv '=?-b

a

b

a

vdx u uv '|。

④换元积分法

定积分的换元积分法和不定积分的第二类换元法相类似，遇到复杂函数式的时候，用字母代替复杂函数式来解答。 ⑤反常积分

定积分函数积分区间有限，而反常函数往往积分上限（或积分下限）为+∞（或为-∞）。在求反常积分的时候，我们可以设积分上限，即+∞为ɑ，变为定积分来求积分值。 ⑥变上限积分求导

变上限积分则是指积分上限为变量x 的积分，变上限积分求导则是最积分上限进行求导，变上限积分上限

为x ，下限一般则为0，那么对上限x 求导，也就是对被积函数求导，求被积函数也就是求原函数，那么求原函数再求导相当于不变，所以变上限基本求导往往就是被积函数本身，但是要记得将被积函数的未知数字母换为积分上限的未知数字母。

应试指导：定积分有一些比较基础的题目，知道计算出原函数代入积分上限减去积分下限就能做出来，我们要想办法拿到这部分分数，大概能得到小题的5分。大题也不要空着，不会做就抄一遍题目，试着简单的写一下，一般也能拿到1分。

章节小结： 一、概率论

（1）事件的概率：事件概率出题主要是选择题，综合来看，每年都会出一道概率题目（2015年没出），其中最常考查的是独立事件和对立事件结合出题，计算都是简单的计算，选择题还有选项可以参考，还是很容易拿分的，同学们一定要好好把握。

（2）数学期望和方差：这部分是出大题的考点，只有数学期望和方差这两个知识点考查，计算也比较简单，同学们要尽量认真仔细计算核对，确保拿到这8分。 二、极限和连续

（1）极限：极限是每年都会出的题目，学习的重点是学会极限的运算和两个特殊极限。我们在求极限的时候，基本是以下三种方法：

第一，一般是直接代入趋近数字求值即可；

第二，我们看到求x 乘任何式子的函数求趋近于0的极限，肯定就是0，也就是无穷小量。因为0乘以任何数都是0；

第三，当趋近数字没有定义或无穷大时，首先考虑是否为特殊极限或其变形。

（2）连续：在遇到连续的题目时，如果已知连续，直接将连续点代入两个函数式使两个数值相等可以了。而如果某一点两个函数式数值不相等，则该点为间隔点。 三、一元函数微分

（1）导数：导数是分值比较高并且比较简单的部分，是我们考试中拿分的重点，并且是后面所有知识点的基础。导数的考查主要集中在几个导数公式的运用上，其他只是简单的变形，所以我们只要能够熟练运用导数公式，这部分题目就不是问题。

（2）导数的应用：设函数)(x f y =，点0x 使0)('0=x f ，那么0x 就是函数的驻点，若0)('0>x f ，那么函数在此区间递增，若0)('0x f ，那么此区间为函数的凹区间，若1x 一

侧使0)('1

（3）微分：因为微分和求导的做法是一样的，微分即为导数后面乘以dx ，所以只要我们掌握了求导，微分就没有问题。

（4）洛必达法则：成考每年考试的第一道大题都是洛必达法则。所谓洛必达法则，简而言之，遇到用代入法分母为0的极限，就将分子分母分别求导，直至可以用代入法。所以说，只要掌握了导数，这部分的分值我们也很容易拿到。 四、多元函数微分

（1）偏导数：偏导数也是关于导数部分的学习，偏导数的重点是要理解当x 求偏导，y 做常数，y 求偏导，x 做常数。偏导数能够拿到10分没有问题。

（2）全微分：分别求出x 的偏导和y 的偏导，后面分别乘以dx 和dy ，加在一起dx+dy 就是全微分dz 。 五、一元函数积分

（1）不定积分：求不定积分一般遇到分母复杂分式一般使用平方差（a2-b2=（a+b ）（a-b ））或立方差（a 3

-b 3

=（a-b ）（a 2

+ab+b 2

））就可以约去分子。

凑微分就是复合函数里导乘外导，里导先不乘的写法)('x ?dx=d )(x ?。

分部积分法求积是将其中一个函数看做是其原函数的导数v ’，令u 和v 相乘，再减去一个定积分中v 乘以u ’。?dx uv '=?

-vdx u uv '。

第二类换元法就是凑微分的逆运算，把x 当成假设变量t 的复合函数，求里导，dt t t d dx )())(('

??==。 （2）定积分：定积分有一些比较基础的题目，知道计算出原函数代入积分上限减去积分下限就能做出来，我们要想办法拿到这部分分数，大概能得到小题的5分。大题也不要空着，不会做就抄一遍题目，试着简单的写一下，一般也能拿到1分。

答题技巧： 一、选择题

如果你不会做也没事，可以把选项一个一个往题目里面套，你感觉哪个正确就选哪个即可。

据统计，10道选择题，ABCD 任意一个选项成为正确答案的次数为2-3次。其中A 和C 的答案出现概率更高。 1.一题都不会写，也一定要全部的答满，不能全部写一样的答案这样会一分都没有。17题中任意选一个题，写一个答案，其他题目全部写不同于上一个答案的同一选项。 例如，选择9题，作答A ，其他1-8题和10题都作答C 。

但是其实大家最好不要这样一道题都不答，因为选择题中，非常简单的题目有近3道，例如概率，导数洛必达法则，微分等，较简单的也有3/4道。

大家首先应该先从简单的看，自己能否确定答案，在所有会做的题目做完之后，再利用我们给出的答题规律作答。

2.只会写1-2题，比如概率和导数我们会两道题，那么剩下的8题都写跟自己懂写题的答案不一样的选项，这样至少可以得16分。例如，会写的题一题选A，一题选B，那么不懂写的8题都写C。

3.会写3题以上，看看自己懂写的答案中ABCD哪个选项出现的次数少，那么不懂写的题目都写那个选项，这样至少可以得30分以上。例如：会写4题，答案分别是AACD，那不懂写的就都写B。因为A成为正确答案的次数一般不超过3题，现在已经写出两题选A了，从概率的角度来说A最多会再出现一次，而B则会出现2—3次。

所以大家尽量掌握到3道选择题，这样用选项规律也可以再猜对2—3题，这样选择题分数就有24分左右了。

二、填空题：

填空题和选择题相比没有选项可借鉴，那怎么办呢？给你个小技巧，一般情况下填空题的答案出现0、1、2、1/3、2/3的概率是非常大的，你如果不会做那就拿着这几个数往里面套，感觉哪个对，就填那个。切忌一点，不要都填一样的，上面的选择题也是，不能选一样的，否则0分。

三、解答题：

解答题很多人由于潜意识认为超难，就不答了，这样就一点分数都不得了。现在学生在进行中考高考时，老师都说，不会做的也不要空着，要讲究技巧，一点点的从阅卷老师那里争分，那么怎么争呢？

抄一下题目，或者对题目做一个变型，能求导的式子就求一下导数，遇到积分符号 就可以运用一下导数的逆运算，概率论是比较简单的，我们可以试着答一下，这样8道大题也能拿到10—12分。

这样一张试卷我们拿到30—50分是不成问题的，如果我们会的更多一些，那么拿到60—70分以上也是没问题的。

天一专升本高数知识点

天一专升本高数知识点 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

第一讲 函数、极限、连续 1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。 2、函数的性质，奇偶性、有界性 奇函数：)()(x f x f -=-，图像关于原点对称。 偶函数：)()(x f x f =-，图像关于y 轴对称 3、无穷小量、无穷大量、阶的比较 设βα，是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则 （1）若0=β α lim ，则α是比β高阶的无穷小量。 （2）若c β α =lim （不为0），则α与β是同阶无穷小量 特别地，若1=β α lim ，则α与β是等价无穷小量 （3）若∞=β α lim ，则α与β是低阶无穷小量 记忆方法：看谁趋向于0的速度快，谁就趋向于0的本领高。 4、两个重要极限 （1）100==→→x x x x x x sin lim sin lim 使用方法：拼凑[][ ][][][][] 000 ==→→sin lim sin lim ，一定保证拼凑sin 后面和分母保持一致 （2）e x x x x x x =+=??? ? ?+→∞→1 0111)(lim lim 使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。

5、()() ? ?>∞<==∞→m n m n m n b a X Q x P m n x ,,,lim 00 ()x P n 的最高次幂是n,()x Q m 的最高次幂是m.,只比较最高次幂，谁的次幂高，谁的头大，趋向于无穷大的速度快。m n =,以相同的比例趋向于无穷大；m n <，分母以更快的速度趋向于无穷大； m n >，分子以更快的速度趋向于无穷大。 7、左右极限 左极限：A x f x x =-→)(lim 0 右极限：A x f x x =+→)(lim 0 注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。 8、连续、间断 连续的定义： []0)()(lim lim 000 =-?+=?→?→?x f x x f y x x 或)()(lim 00 x f x f x x =→ 间断：使得连续定义)()(lim 00 x f x f x x =→无法成立的三种情况 记忆方法：1、右边不存在 2、左边不存在 3、左右都存在，但不相等 9、间断点类型 （1）、第二类间断点：)(lim 0 x f x x -→、)(lim 0 x f x x +→至少有一个不存在 （2）、第一类间断点：)(lim 0 x f x x -→、)(lim 0 x f x x +→都存在 注：在应用时，先判断是不是“第二类间断点”，左右只要有一个不存在，就是“第二类”然后再判断 是不是第一类间断点；左右相等是“可去”，左右不等是“跳跃” 10、闭区间上连续函数的性质 （1） 最值定理：如果)(x f 在[]b a ,上连续，则)(x f 在[]b a ,上必有最大值最小值。

高等数学考研知识点总结

高等数学考研知识点总结 一、考试要求 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，会建立应用问题的函数关系。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。 5、理解（了解）极限的概念，理解（了解）函数左、右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。 6、掌握（了解）极限的性质，掌握四则运算法则。 7、掌握（了解）极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握（会）利用两个重要极限求极限的方法。 8、理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。1

1、掌握（会）用洛必达法则求未定式极限的方法。 二、内容提要 1、函数（1）函数的概念: y=f(x)，重点：要求会建立函数关系、（2）复合函数: y=f(u), u=，重点：确定复合关系并会求复合函数的定义域、（3）分段函数: 注意，为分段函数、（4）初等函数：通过有限次的四则运算和复合运算且用一个数学式子表示的函数。（5）函数的特性：单调性、有界性、奇偶性和周期性* 注： 1、可导奇(偶)函数的导函数为偶(奇)函数。特别：若为偶函数且存在，则 2、若为偶函数，则为奇函数；若为奇函数，则为偶函数； 3、可导周期函数的导函数为周期函数。特别：设以为周期且存在，则。 4、若f(x+T)=f(x), 且，则仍为以T为周期的周期函数、 5、设是以为周期的连续函数，则， 6、若为奇函数，则；若为偶函数，则 7、设在内连续且存在，则在内有界。 2、极限 (1) 数列的极限： (2) 函数在一点的极限的定义： (3)

人教版数学必修二知识点总结

第一章立体几何初步 1、柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：定义：两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱' ' ' ' 'E D C B A ABCDE-或用对角线的端点字母，如五棱柱' AD。 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥：定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥' ' ' ' 'E D C B A P- 几何特征：侧面、对角面是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比。（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台' ' ' ' 'E D C B A P- 几何特征：①上下底面是相似平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点。 （4）圆柱：定义：以矩形一边所在直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。（5）圆锥：定义：以直角三角形一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体。 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥顶点；③侧面展开图是一弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 2、空间几何体的三视图 定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下） 注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度； 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度； 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。 3、空间几何体的直观图——斜二测画法 斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段与'x轴平行且长度不变； ②原来与y轴平行的线段与'y轴平行，长度减为原来的一半。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 （1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 （2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，'h为斜高，l为母线） ch S= 直棱柱侧面积 rh Sπ 2 = 圆柱侧 ' 2 1 ch S= 正棱锥侧面积 rl Sπ = 圆锥侧面积 ') ( 2 1 2 1 h c c S+ = 正棱台侧面积 l R r Sπ) (+ = 圆台侧面积 ()l r r S+ =π2 圆柱表 ()l r r S+ =π 圆锥表 ()2 2R Rl rl r S+ + + =π 圆台表 （3）柱体、锥体、台体的体积公式

高等数学知识点总结 (1)

高等数学（下）知识点 主要公式总结 第八章 空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ， ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： （三） 空间直线及其方程 1、 一般式方程：?????=+++=+++0 022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式（点向式）方程： p z z n y y m x x 0 00-=-=-

考研数学知识点总结

考研数学考点与题型归类分析总结 1高数部分 1.1高数第一章《函数、极限、连续》 求极限题最常用的解题方向： 1.利用等价无穷小； 2.利用洛必达法则 型和 ∞ ∞ 型直接用洛必达法则 ∞ 0、0∞、∞1型先转化为 型或 ∞ ∞ 型，再使用洛比达法则； 3.利用重要极限，包括1 sin lim = → x x x 、e x x x = + → 1 ) 1( lim、e x x x = + ∞ → ) 1(1 lim； 4.夹逼定理。 1.2高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四章《定积分》 第三章《不定积分》提醒：不定积分?+ =C x F dx x f) ( ) (中的积分常数C容易被忽略，而考试时如果在答案中少写这个C会失一分。所以可以这样加深印象：定积分?dx x f) (的结果可以写为F(x)+1，1指的就是那一分，把它折弯后就是?+ =C x F dx x f) ( ) (中的那个C,漏掉了C也就漏掉了这1分。 第四章《定积分及广义积分》解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异——出题人在定积分题目中首先可能在积分上下限上做文章： 对于?-a a dx x f) (型定积分，若f(x)是奇函数则有?-a a dx x f) (=0； 若f(x)为偶函数则有?-a a dx x f) (=2?a dx x f ) (； 对于?20)( π dx x f型积分，f(x)一般含三角函数，此时用x t- = 2 π 的代换是常用方法。 所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换x=-u和利用性质0 = ?-a a奇函数、? ?= - a a a0 2偶函数 偶函数。在处理完积分上下限的问题后就使用第三章不定积分的套路化方法求解。这种思路对于证明定积分等式的题目也同样有效。 1.3高数第五章《中值定理的证明技巧》 用以下逻辑公式来作模型：假如有逻辑推导公式A?E、(A B)?C、(C D E)?F,由这样一组逻辑关系可以构造出若干难易程度不等的证明题，其中一个可以是这样的：条件给出A、B、D，求证F。 为了证明F成立可以从条件、结论两个方向入手，我们把从条件入手证明称之为正方向，把从结论入手证明称之为反方向。 正方向入手时可能遇到的问题有以下几类：1.已知的逻辑推导公式太多，难以从中找出有用的一个。如对于证明F成立必备逻辑公式中的A?E就可能有A?H、A?(I K)、(A B) ?M等等公式同时存在，

大学微积分知识点总结

【第五部分】不定积分 1.书本知识（包含一些补充知识） （1）原函数：F ’（x ）=f （x ），x ∈I ，则称F （x ）是f （x ）的一个“原函数”。 （2）若F （x ）是f （x ）在区间上的一个原函数，则f （x ）在区间上的全体函数为F （x ）+c （其中c 为常数） （3）基本积分表 c x dx x +?+?=?+???11 1 （α≠1，α为常数） （4）零函数的所有原函数都是c （5）C 代表所有的常数函数 （6）运算法则 []??????±?=?±??=??dx x g dx x f dx x g x f dx x f a dx x f a )()()()()()(②① （7 ）[][]c x F dx x x f +=??)()(')(???复合函数的积分： c b x F dx b x f c b ax F a b ax d b ax f a dx b ax f ++=?+++?=+?+?=?+???)()()(1)()(1)(一般地， （9）连续函数一定有原函数，但是有原函数的函数不一定连续，没有原函数的函数一定不连续。 （10）不定积分的计算方法 数乘运算 加减运算 线性运算 （8）

①凑微分法（第一换元法），利用复合函数的求导法则 ②变量代换法（第二换元法），利用一阶微分形式不变性 ③分部积分法： 【解释：一阶微分形式不变性】 释义：函数 对应：y=f(u) 说明： （11）分段函数的积分 例题说明：{}dx x? ?2,1 max （12）在做不定积分问题时，若遇到求三角函数奇次方的积分，最好的方法是将其中的一 （16）隐函数求不定积分 例题说明： （17）三角有理函数积分的万能变换公式 （18）某些无理函数的不定积分 ②欧拉变换 （19）其他形式的不定积分

考研数学知识点总结(不看后悔)

考研英语作文万能模板考研英语作文万能模板函数 极限数列的极限特殊——函数的极限一般 极限的本质是通过已知某一个量自变量的变化趋势去研究和探索另外一个量因变量的变化趋势 由极限可以推得的一些性质局部有界性、局部保号性……应当注意到由极限所得到的性质通常都是只在局部范围内成立 在提出极限概念的时候并未涉及到函数在该点的具体情况所以函数在某点的极限与函数在该点的取值并无必然联系连续函数在某点的极限等于函数在该点的取值 连续的本质自变量无限接近因变量无限接近导数的概念 本质是函数增量与自变量增量的比值在自变量增量趋近于零时的极限更简单的说法是变化率 微分的概念函数增量的线性主要部分这个说法有两层意思一、微分是一个线性近似二、这个线性近似带来的误差是足够小的实际上任何函数的增量我们都可以线性关系去近似它但是当误差不够小时近似的程度就不够好这时就不能说该函数可微分了不定积分导数的逆运算什么样的函数有不定积分 定积分由具体例子引出本质是先分割、再综合其中分割的作用是把不规则的整体划作规则的许多个小的部分然后再综合最后求极限当极限存在时近似成为精确 什么样的函数有定积分 求不定积分定积分的若干典型方法换元、分部分部积分中考虑放到积分号后面的部分不同类型的函数有不同的优先级别按反对幂三指的顺序来记忆 定积分的几何应用和物理应用高等数学里最重要的数学思想方法微元法 微分和导数的应用判断函数的单调性和凹凸性 微分中值定理可从几何意义去加深理解 泰勒定理本质是用多项式来逼近连续函数。要学好这部分内容需要考虑两个问题一、这些多项式的系数如何求二、即使求出了这些多项式的系数如何去评估这个多项式逼近连续函数的精确程度即还需要求出误差余项当余项随着项数的增多趋向于零时这种近似的精确度就是足够好的考研英语作文万能模板考研英语作文万能模板多元函数的微积分将上册的一元函数微积分的概念拓展到多元函数 最典型的是二元函数 极限二元函数与一元函数要注意的区别二元函数中两点无限接近的方式有无限多种一元函数只能沿直线接近所以二元函数存在的要求更高即自变量无论以任何方式接近于一定点函数值都要有确定的变化趋势 连续二元函数和一元函数一样同样是考虑在某点的极限和在某点的函数值是否相等导数上册中已经说过导数反映的是函数在某点处的变化率变化情况在二元函数中一点处函数的变化情况与从该点出发所选择的方向有关有可能沿不同方向会有不同的变化率这样引出方向导数的概念 沿坐标轴方向的导数若存?诔浦际?通过研究发现方向导数与偏导数存在一定关系可用偏导数和所选定的方向来表示即二元函数的两个偏导数已经足够表示清楚该函数在一点沿任意方向的变化情况高阶偏导数若连续则求导次序可交换 微分微分是函数增量的线性主要部分这一本质对一元函数或多元函数来说都一样。只不过若是二元函数所选取的线性近似部分应该是两个方向自变量增量的线性组合然后再考虑误差是否是自变量增量的高阶无穷小若是则微分存在 仅仅有偏导数存在不能推出用线性关系近似表示函数增量后带来的误差足够小即偏导数存在不一定有微分存在若偏导数存在且连续则微分一定存在 极限、连续、偏导数和可微的关系在多元函数情形里比一元函数更为复杂 极值若函数在一点取极值且在该点导数偏导数存在则此导数偏导数必为零

高数知识点总结

高数重点知识总结 1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(x a y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。 3、无穷小：高阶+低阶=低阶 例如：1lim lim 020==+→→x x x x x x x 4、两个重要极限：()e x e x x x x x x x x =?? ? ??+=+=∞ →→→11lim 1lim )2(1 sin lim )1(1 0 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[] ) ()(lim ) (0 )(1lim x g x f x g x x x x e x f →=+→ 例如：()33lim 10 031lim -? ? ? ? ?-→==-→e e x x x x x x 5、可导必定连续，连续未必可导。例如：||x y =连续但不可导。 6、导数的定义：()00 00 ') ()(lim ) (') ()(lim x f x x x f x f x f x x f x x f x x x =--=?-?+→→? 7、复合函数求导： [][])(')(')(x g x g f dx x g df ?= 例如：x x x x x x x y x x y ++=++ = +=2412221 1', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx 例如：y x dx dy ydy xdx y x y yy x y x - =?+- =?=+=+22,),2('0'22,),1(1 22左右两边同时微分法左右两边同时求导解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若?? ?==) ()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[] ) (')('/)('/)/(/22 t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f ??=-?+ 例如：计算 ?31sin

专升本高等数学知识点汇总

------------------- 时需Sr彳-------- ---- --- -- 专升本高等数学知识点汇总 常用知识点： 一、常见函数的定义域总结如下： y kx b (1) 2 —般形式的定义域：x € R y ax bx c k (2)y 分式形式的定义域：x丰0 x (3)y 、、x根式的形式定义域：x > 0 (4)y log a x对数形式的定义域：X>0 二、函数的性质 1、函数的单调性 当洛X2时，恒有f(xj f(X2), f(x)在x1?X2所在的区间上是增加的。 当x1 x2时，恒有f (x1) f (x2) , f (x)在x1?x2所在的区间上是减少的。 2、函数的奇偶性 定义：设函数y f(x)的定义区间D关于坐标原点对称(即若x D，则有x D ) (1)偶函数f (x)——x D，恒有f ( x) f (x)。 ⑵奇函数f (x)——x D，恒有f( x) f (x)。 三、基本初等函数 1、常数函数：y c，定义域是(，)，图形是一条平行于x轴的直线。 2、幕函数：y x u, (u是常数)。它的定义域随着u的不同而不同。图形过原点。 3、指数函数

定义：y f（x）x a，I （a是常数且a 0，a 1）.图形过（0,1）点。 4 、 对数函数 定义：y f （x）lOg a X，（a是常数且a 0，a1）。图形过（1,0 )点。5 、 三角函数 (1)正弦函数：y sin x T 2 ，D(f)(,)，f (D) [ 1,1]。 ⑵余弦函数：y cosx. T 2 ，D(f)(,)，f (D) [ 1,1]。 ⑶正切函数：y tan x T，D(f) {x | x R,x (2k 1)-,k Z}，f(D)(,). ⑷余切函数：y cotx T，D(f) {x | x R,x k ,k Z}，f(D)(,). 5、反三角函数 （1）反正弦函数：y arcsinx，D( f) [ 1,1]，f (D)[,]。 2 2 （2）反余弦函 数： y arccosx，D(f) [ 1,1]，f(D) [0,]。 （3）反正切函数：y arctanx，D(f) ( , )，f (D)(-,- 2 2 （4）反余切函 数： y arccotx，D(f) ( , )，f(D) (0,)。 极限 一、求极限的方法 1代入法 代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。 2、传统求极限的方法 （1）利用极限的四则运算法则求极限。 （2）利用等价无穷小量代换求极限。 （3）利用两个重要极限求极限。 （4）利用罗比达法则就极限。

大学全册高等数学知识点(全)

大学高等数学知识点整理 公式，用法合集 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () ()x x t y y t =??=? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→

2018考研数学：重点整理自己的错题集

2018考研数学：重点整理自己的错题集 2018考研的同学们在复习备考的初期阶段需要准备一个错题本，把自己平时做错的题抄在上面，然后自己解析，逐渐形成自己的复习指导书。下面是在整理错题本时的一些注意要点，希望对考生能够有所帮助。 1.高等数学 极限、导数和不定积分这三个部分是考试中考查的重点，其他部分都是在这三个的基础上进行延伸。 2.线性代数 是初等变换，含有参数的线性方程式解的讨论，还有就是方程的特征值、特征向量，有了他们，线性代数的复习就会很流畅。 3.概率论与数理统计 第一章的概念，其中的条件概念，乘法公式、等三个方面; 第二章是几何分布，这章是该理论的核心，特别是二维联系变量的平均分布密度、条件分布密度，离散型的实际变量的特征和定义; 第三章数据变量的数据特征，主要就是四个概念数学期望、方差、线方差、相关系数。 此外，大家在复习的过程中，应重视自己的错题，因为他们在一定程度上反映出你的知识漏洞。在数学试卷中，客观题部分主要分填空和选择。其中填空6道题，选择8道题，共56分。占据了数学三分之一多的分数。在历年的考试中，这部分题丢分现象比较严重，很多一部分同学在前面的56分可能才得了20多分，如果基本题丢掉30多分，这个时候总分要上去是一件非常不容易的事情。 【填空题】 (1)考查点：填空题比较多的是考查基本运算和基本概念，或者说填空题比较多的是计算。 (2)失分原因：运算的准确率比较差，这种填空题出的计算题题本身不难，方法我们一般同学拿到都知道，但是一算就算错了，结果算错了，填空题只要是答案填错了就只能给0分。 (3)对策：这就要求我们同学平时复习的时候，这种计算题，一些基本的运算题不

成考高数二知识点总结

成考高数二知识点总结 成考高数二知识点总结 成考高数二知识点总结 1.函数、极限与连续：主要考查极限的计算或已知极限确定原式中的常数;讨论函数连续性和判断间断点类型;无穷小阶的比较;讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根。 2.一元函数微分学：主要考查导数与微分的定义;各种函数导数与微分的计算;利用洛比达法则求不定式极限;函数极值;方程的的个数;证明函数不等式;与中值定理相关的证明;最大值、最小值在物理、经济等方面实际应用;用导数研究函数性态和描绘函数图形;求曲线渐近线。 3.一元函数积分学：主要考查不定积分、定积分及广义积分的计算;变上限积分的求导、极限等;积分中值定理和积分性质的证明;定积分的应用，如计算旋转面面积、旋转体体积、变力作功等。 4.多元函数微分学：主要考查偏导数存在、可微、连续的判断;多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数;多元函数极值或条件极值在与经济上的应用;二元连续函数在有界平面区域上的最大值和最小值。此外，数学一还要求会计算方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。 5.多元函数的积分学：包括二重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序。数一还要求掌握三重积分，曲线积分和曲面积分以及相关的重要公式。 6.微分方程及差分方程：主要考查一阶微分方程的通解或特解;二阶线

性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解;微分方程的建立与求解。差分方程的基本概念与一介常系数线形方程求解方法 由于微积分的知识是一个完整的体系，考试的题目往往带有很强的综合性，跨章节的题目很多，需要考生对整个学科有一个完整而系统的把握。最后凯程考研名师预祝大家都能取得好成绩。 凯程教育张老师整理了几个节约时间的准则：一是要早做决定，趁早备考;二是要有计划，按计划前进;三是要跟时间赛跑，争分夺秒。总之，考研是一场“时间战”，谁懂得抓紧时间，利用好时间，谁就是最后的胜利者。 1.制定详细周密的学习计划。 这里所说的计划，不仅仅包括总的复习计划，还应该包括月计划、周计划，甚至是日计划。努力做到这一点是十分困难的，但却是非常必要的。我们要把学习计划精确到每一天，这样才能利用好每一天的时间。当然，总复习计划是从备考的第一天就应该指定的;月计划可以在每一轮复习开始之前，制定未来三个月的学习计划。以此类推，具体到周计划就是要在每个月的月初安排一月四周的学习进程。那么，具体到每一天，可以在每周的星期一安排好周一到周五的学习内容，或者是在每一天晚上做好第二天的学习计划。并且，要在每一天睡觉之前检查一下是否完成当日的学习任务，时时刻刻督促自己按时完成计划。 方法一：规划进度。分别制定总计划、月计划、周计划、日计划学习时间表，并把它们 贴在最显眼的地方，时刻提醒自己按计划进行。 方法二：互相监督。和身边的同学一起安排计划复习，互相监督，共

专升本高等数学知识点汇总

专升本高等数学知识点汇总 常用知识点： 一、常见函数的定义域总结如下： （1） c bx ax y b kx y ++=+=2 一般形式的定义域：x ∈R （2）x k y = 分式形式的定义域：x ≠0 （3）x y = 根式的形式定义域：x ≥0 （4）x y a log = 对数形式的定义域：x ＞0 二、函数的性质 1、函数的单调性 当21x x <时，恒有)()(21x f x f <，)(x f 在21x x ，所在的区间上是增加的。 当21x x <时，恒有)()(21x f x f >，)(x f 在21x x ，所在的区间上是减少的。 2、 函数的奇偶性 定义：设函数)(x f y =的定义区间D 关于坐标原点对称（即若D x ∈，则有D x ∈-） (1) 偶函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f =-。 (2) 奇函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f -=-。 三、基本初等函数 1、常数函数：c y =，定义域是),(+∞-∞，图形是一条平行于x 轴的直线。 2、幂函数：u x y =， (u 是常数)。它的定义域随着u 的不同而不同。图形过原点。 3、指数函数

定义: x a x f y ==)(， (a 是常数且0>a ，1≠a ).图形过（0,1）点。 4、对数函数 定义: x x f y a log )(==， (a 是常数且0>a ，1≠a )。图形过（1,0）点。 5、三角函数 (1) 正弦函数: x y sin = π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (2) 余弦函数: x y cos =. π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (3) 正切函数: x y tan =. π=T ， },2 ) 12(,|{)(Z R ∈+≠∈=k k x x x f D π ， ),()(+∞-∞=D f . (4) 余切函数: x y cot =. π=T ， },,|{)(Z R ∈≠∈=k k x x x f D π， ),()(+∞-∞=D f . 5、反三角函数 (1) 反正弦函数: x y sin arc =，]1,1[)(-=f D ，]2 ,2[)(π π- =D f 。 (2) 反余弦函数: x y arccos =，]1,1[)(-=f D ，],0[)(π=D f 。 (3) 反正切函数: x y arctan =，),()(+∞-∞=f D ，)2 ,2()(π π- =D f 。 (4) 反余切函数: x y arccot =，),()(+∞-∞=f D ，),0()(π=D f 。 极限 一、求极限的方法 1、代入法 代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。 2、传统求极限的方法 （1）利用极限的四则运算法则求极限。 （2）利用等价无穷小量代换求极限。 （3）利用两个重要极限求极限。 （4）利用罗比达法则就极限。

新人教版高中数学必修2知识点总结

高中数学必修2知识点总结 第一章 空间几何体 1.1柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱' ' ' ' ' E D C B A ABCDE -或用对角线的端点字母，如五棱柱'AD 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于 底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥'' ' ' ' E D C B A P - 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高 的比的平方。 （3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台' ' ' ' ' E D C B A P - 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。 （5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 1.2空间几何体的三视图和直观图 (1)定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、 俯视图（从上向下） 注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度； 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度； 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。 (2)画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等

高中数学必修2知识点总结(史上最全)

高二数学必修 2 知识点总结 第 1 章空间几何体 一、空间几何体的结构 1.多面体：一般地，我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多 面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2.旋转体：我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体。这条定直线叫做旋转体的轴。 3、柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱 ABCDE A' B ' C ' D ' E '或用对角线的端点字母，如五棱柱 AD '几何特 征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的 截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥 P A' B ' C ' D ' E ' 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与 高的比的平方。 （3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台P A'B'C'D'E' 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转 ,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何 特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。 （ 5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 二、空间几何体的三视图和直观图 1.投影：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影。其中我 们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面。 2.中心投影：我们把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影。 3.平行投影：我们把在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影。（又分为正投影和斜投影） 4 空间几何体的三视图

考研高等数学知识点总结

高等数学知识点总结 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 222 2 12211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+= ，　，　，　 a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '--='-='? ?????????+±+ =±+=+=+= +-=?+=?+-== +==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 2 2 2 2 2 2 2 2 C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+= -++-=-+=++-=++=+=+-=? ???????arcsin ln 21ln 21 1csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2 2 22 22 2 ? ????++ -= -+-+--=-+++++=+-= == -C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 2 2 ln 2 2)ln(2 21cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0π π

考研高数各章重点总结

一、一元函数微分学 求给定函数的导数与微分(包括高阶导数)，隐函数和由参数方程所确定的函数求导，特别是分段函数和带有绝对值的函数可导性的讨论; 利用洛比达法则求不定式极限; 讨论函数极值，方程的根，证明函数不等式; 利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理证明有关命题，如“证明在开区间内至少存在一点满足……”，此类问题证明经常需要构造辅助函数; 几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用问题，解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间; 利用导数研究函数性态和描绘函数图形，求曲线渐近线。 二、一元函数积分学 计算题：计算不定积分、定积分及广义积分; 关于变上限积分的题：如求导、求极限等; 有关积分中值定理和积分性质的证明题; 定积分应用题：计算面积，旋转体体积，平面曲线弧长，旋转面面积，压力，引力，变力作功等; 综合性试题。 三、函数、极限与连续 求分段函数的复合函数; 求极限或已知极限确定原式中的常数; 讨论函数的连续性，判断间断点的类型; 无穷小阶的比较; 讨论连续函数在给定区间上零点的个数，或确定方程在给定区间上有无实根。 四、向量代数和空间解析几何

计算题：求向量的数量积，向量积及混合积; 求直线方程，平面方程; 判定平面与直线间平行、垂直的关系，求夹角; 建立旋转面的方程; 与多元函数微分学在几何上的应用或与线性代数相关联的题目。 五、多元函数的微分学 判定一个二元函数在一点是否连续，偏导数是否存在、是否可微，偏导数是否连续; 求多元函数(特别是含有抽象函数)的一阶、二阶偏导数，求隐函数的一阶、二阶偏导数; 求二元、三元函数的方向导数和梯度; 求曲面的切平面和法线，求空间曲线的切线与法平面，该类型题是多元函数的微分学与前面向量代数与空间解析几何的综合题，应结合起来复习; 多元函数的极值或条件极值在几何、物理与经济上的应用题;求一个二元连续函数在一个有界平面区域上的最大值和最小值。这部分应用题多要用到其他领域的知识，考生在复习时要引起注意。 六、多元函数的积分学 二重、三重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序; 第一型曲线积分、曲面积分计算; 第二型(对坐标)曲线积分的计算，格林公式，斯托克斯公式及其应用; 第二型(对坐标)曲面积分的计算，高斯公式及其应用; 梯度、散度、旋度的综合计算; 重积分，线面积分应用;求面积，体积，重量，重心，引力，变力作功等。数学一考生对这部分内容和题型要引起足够的重视。 七、无穷级数 判定数项级数的收敛、发散、绝对收敛、条件收敛;

高中数学选修2-2知识点总结(最全版)

高中数学选修2-2知识点总结 第一章、导数 1．函数的平均变化率为 =??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，平均变化率 可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y = 在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000， 则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或 |' x x y =，即)(0' x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度； 5、常见的函数导数 函数 导函数 (1)y c = 'y =0 (2)n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= (3)x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = (4)x y e = 'x y e = (5)log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1 'ln y x a = (6)ln y x = 1'y x = (7)sin y x = 'cos y x = (8)cos y x = 'sin y x =-

6、常见的导数和定积分运算公式:若()f x ，()g x 均可导（可积），则有： 和差的导数运算 [] ' ''()()()()f x g x f x g x ±=± 积的导数运算 [] ' ''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ?=± 特别地：()()''Cf x Cf x =???? 商的导数运算 []' ''2 ()()()()() (()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ??-=≠???? 特别地：()()2 1'()'g x g x g x ??-=???? 复合函数的导数 x u x y y u '''=? 微积分基本定理 ()b a f x dx =?F(a)--F(b) （其中()()'F x f x =） 和差的积分运算 1212[()()]()()b b b a a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±? ?? 特别地： ()()() b b a a kf x dx k f x dx k =? ?为常数 积分的区间可加性 ()()()() b c b a a c f x dx f x dx f x dx a c b =+<0,解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f (x )的极值的步骤： (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数f (x )的导数'()f x (3)求方程'()f x =0的根 (4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如