泊松方程

本文是从万有引力定律出发，通过类比电场中高斯定律推出引力场中泊松方程。

前提条件：

1、牛顿理论适用

2、非相对论

3、平直时空

首先，要知道

万有引力：

引力场：

写成矢量形式

引力势：

其中引力场和引力势之间的关系为

接着，我们假设，在一个封闭曲面S内部某一个质量为m1的静止物体

该物体在S面的质通量为

由任意包围m1的封闭曲面，质通量不变，则对于以m1为中心，半径为r的球面求解，得

于是，可以得到封闭曲面内总物质在S上的总质通量，

总质通量为

又由于，总质量可以用密度和体积表示，得

于是

由高斯定律，把左边变为体积分，得

代入引力场和引力势的关系

去掉积分符合，得

其中

（▽▽=▽2=△）

于是，得到了引力场中的泊松方程

此方程是找到爱因斯坦场方程系数κ的关键点。