07.勾股定理全章复习与巩固讲义
勾股定理全章复习与巩固
要点一、勾股定理 1.勾股定理：
直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：2
2
2
a b c +=） 2.勾股定理的应用
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是： （1）已知直角三角形的两边，求第三边；
（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题； （3）求作长度为
的线段.
要点二、勾股定理的逆定理 1.原命题与逆命题
如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 2.勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a b c 、、，满足2
2
2
a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ；
（2）验证2
c 与2
2
a b +是否具有相等关系，若2
2
2
a b c +=，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形.
知识点
3.勾股数
满足不定方程222
x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.
常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.
如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.
观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数； 2.较长的直角边与对应斜边相差1.
3.假设三个数分别为a b c 、、，且a b c <<，那么存在2
a b c =+成立.（例如④中存在2
7＝24＋25、
29＝40＋41等）
要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；
联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.
类型一、勾股定理及逆定理的简单应用
例1、已知直角三角形的两边长分别为6和8，求第三边的长．
典型例题
举一反三：
【变式】在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12．求△ABC 的周长．
例2、如图所示，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝CB ，M 为AB 上一点．
求证：2
2
2
2AM BM CM +=．
举一反三：
【变式】已知，△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 上任一点，求证：22
AB AD BD CD -=?.
类型二、勾股定理及逆定理的综合应用
例3、如图，在正方形ABCD 中，AB=4，AE=2，DF=1，请你判定△BEF 的形状，并说明理由．
举一反三：
【变式】如图所示，已知△ABC 中，∠B ＝22.5°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，BD ＝62，AE ⊥BC 于E ，求AE 的长．
例4、如图①所示，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用123S S S 、、表示，则不难证明123S S S =+．
(1)如图②，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用123S S S 、、表示，那么
123S S S 、、之间有什么关系?(不必证明)
(2)如图③，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用123S S S 、、表示，请你确定123S S S 、、之间的关系并加以证明．
例5、如果ΔABC 的三边分别为a b c 、、，且满足222
506810a b c a b c +++=++，判断ΔABC 的形状.
类型三、勾股定理的实际应用
例6、如图①，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A 处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B 处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从A 处
举一反三：
【变式】我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上'高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是多少尺？
一.选择题
1．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m处折断，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高( )
A.5m
B.7m
C.8m
D.10m
2．如图，从台阶的下端点B到上端点A的直线距离为( )
A.2
12 B.3
10
C.5
6 D.5
8
3.下列命题中是假命题的是（）
A.三个内角的度数之比为1：3：4的三角形是直角三角形；
B.三个内角的度数之比为1：3：2的三角形是直角三角形；
C.三边长度之比1：3：2的三角形是直角三角形；
D.三边长度之比2：2：2的三角形是直角三角形；
课后练习
4. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点E、F是中线AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（）．
A．6 B．12 C．24 D．30
5．下列三角形中，是直角三角形的是( )
+= B.三角形的三边比为1∶2∶3
A.三角形的三边满足关系a b c
C.三角形的一边等于另一边的一半
D.三角形的三边为9，40，41
6．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要( )
A.450a元
B.225a元
C.150a元
D.300a元
7.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABDE、ACFG、
BCIH，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1+S2+S3+S4等于（）
A.90
B.60
C.169
D.144
8. 已知，如图长方形ABCD 中，AB ＝3cm ，AD ＝9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ）
A.32
cm B.42
cm C.62
cm
D.122cm
二.填空题
9．若一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形中最短边上的高为______．
10．若等边三角形的边长为2，则它的面积为______．
11．如图，B ，C 是河岸边两点，A 是对岸岸边一点，测得∠ABC ＝45°，∠ACB ＝45°，BC ＝60米，则点A 到岸边BC 的距离是______米．
12.下列命题中，其逆．命题成立的是______________．（只填写序号） ①同旁内角互补，两直线平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
④如果三角形的三边长a b c 、、满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形．
13.如图，圆柱形容器中，高为120cm，底面周长为100cm，在容器内壁离容器底部40cm的点B处有一蚊子，
此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40cm与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为cm．（容器厚度忽略不计）
14．在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．
15.如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个小正方形
cm，则其中最大的正方形的边长为______cm．
的面积的和是102
16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与△ABC的BC边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为__________．
三.解答题
17.若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此三角形的面积.
18．甲乙两船从位于南北走向的海岸线上的港口A同时出发，甲以每小时30海里的速度向北偏东35°方向航行，乙船以每小时40海里的速度向另一方向航行，2小时后，甲船到C岛，乙船到达B岛，B、C两岛相距100海里，判断乙船所走方向，说明理由．
19．如图，△ABC中，∠A＝90°，AC＝20，AB＝10，延长AB到D，使CD＋DB＝AC＋AB，求BD的长．
20.如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，B'为CD边上的点，C
B'＝3．将纸片沿某条直线折叠，使点B落在点B'处，点A的对应点为A'，折痕分别与AD，BC边交于点M，N．求BN的长.
勾股定理知识点总结
第18章 勾股定理复习 一．知识归纳 １．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2 ab b a c ?+-=，化简可证． c b a H G F E D C B A 方法二： b a c b a c c a b c a b 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证
a b c c b a E D C B A ３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在ABC ?中，90C ∠=? ，则c ，b = ，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5 、利用勾股定理作长为 的线段 作长为 、 、 的线段。 思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为 和1的直 角三角形斜边长就是，类似地可作 。 作法：如图所示 （1）作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB ，使AB 为斜边； （2）以AB 为一条直角边，作另一直角边为1的直角。斜边为 ； （3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边 、 、 、 的长度就是 、 、 、 。 举一反三 【变式】在数轴上表示的点。 解析：可以把 看作是直角三角形的斜边， ， 为了有利于画图让其他两边的长为整数， 而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。
苏科版八年级数学上册勾股定理章节知识点
§3.1勾股定理 【知识点梳理】 一、格点图形的面积 在方格纸（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）中，我们把每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形.利用网格可以求出格点图形的面积. 例1：如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”.图中的四边形ABCD 就是一个“格点多边形”，求四边形ABCD 的面积. 二、勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.若把直角三角形的两条直角边和斜边分别记为c b a 、、（如图3.1.1），则222c b a =+ 例2：在Rt △ABC 中，∠C=90°.（1）如果AC=3,BC=4，那么AB= (2)如果AB=25，BC=24,那么AC= 三、勾股定理的验证 勾股定理的推导方法有很多种，到目前为止，能够验证勾股定理的方法有近500种.课本上是利用图形的“截、割、补、拼”来说明表示相同图形面积的代数式之间的恒等关系，既具有严密性，又具有直观性. 例3：如图，分别以边长分别为c b a 、、（c 为斜边）的直角三角形的3边为边向外作三个正方形拼成如图所示的图形，是利用面积知识验证勾股定理. 四、勾股定理的应用 勾股定理揭示了直角三角形中三条边之间的数量关系，只要知道直角三角形中任意两条边的长度就可以求出第三条边的长度. 例4：如图，滆湖有A 、B 两点，从与BA 方向成直角的BC 方向上的点C 处测得CA=13米，CB=12米，求AB 长.
【典例展示】 题型一格点图形中的距离问题 例1：如图，每个小方格的边长为1，A、B、C都在小方格的顶点上，则点B到AC所在直线的距离为 题型二运用勾股定理求直角三角形的边长 例2：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若AC=6，BC=8，求：（1）DE的长；（2）△ADB的面积. 题型三折纸中勾股定理的运用 例3：如图，四边形ABCD是一张边长为9的正方形，将其沿MN折叠，使点B落在边CD上的点B′处，点A对应点为A′，且B′C=3，则AM的长是（） A．1.5 B．2 C．2.25 D．2.5 题型四运用勾股定理进行说理 例4：如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为 D、E，F为BC的中点，BE与DF、DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE． （1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；（2）求证：BG2-GE2=EA2．
勾股定理知识点归纳和题型归类
勾股定理知识点归纳和题型归类 一．知识归纳 １．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是： ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，2214()2 ab b a c ?+-=，化简可证． 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++，所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，2112S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证 ３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在ABC ?中，90C ∠=? ，则c ，b = ，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A
勾股定理的应用(讲义及答案).
勾股定理的应用（讲义） 知识点睛 1.利用勾股定理解决实际问题的处理思路： （1）理解题意，把实际问题转化为数学问题； （2）找出相应的直角三角形，并找出其______、______； （3）根据已知及所求，利用___________进行计算． 2.“勾股定理”或“勾股定理逆定理”： 条件是直角三角形时，考虑______________________； 要证明三角形是直角三角形，考虑______________________． 精讲精练 1.一艘帆船由于风向的原因先向正东方向航行了160km，然后 向正北方向航行了120km，这时它离出发点有________km． 2.我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一辆敌 方汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m，则敌方汽车的速度为_________km/h． 3.如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在一竖直的墙AO上，这 时梯子底端B与墙角O的距离为0.7米．梯子滑动后停在CD位置上，测得BD=0.8米，求梯子顶端A沿墙下滑了多少米？
4.一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处， 则折断处离地面的高度是_________尺．（这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题．其中的丈、尺是长度单位，1丈=10尺） 第4题图第5题图 5.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题， 这个问题的大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度是_______尺，这根芦苇的长度是 _______尺． 6.如图，公路上A，B两站相距5km，在公路附近有C，D两 所学校，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知AD=2km，BC=1km，现要在公路边建一个青少年活动中心E，使C，D 两所学校到E的距离相等，则青少年活动中心E应建在距离A多远处？
勾股定理知识点总结
第十七章勾股定理知识点总结 一．基础知识点： 1：勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2） 要点诠释： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ?中，90 ∠=?，则c， C b，a=） （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释： 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c； （2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形 （若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 4：互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 规律方法指导 1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。 4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a ，b ，c 有下列关系：a 2+b 2＝c 2，?那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法． 5.?应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解． 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理） 5：勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2 ab b a c ?+-=，化简可证． c b a H G F E D C B A 勾股定理 一、知识归纳 1．勾股定理 容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222 += a b c 2．勾股定理的适用围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 3．勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在ABC ∠=?，则c，b=，a= ?中，90 C ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 二、题型 题型一：直接考查勾股定理 例１. 在ABC C ∠=? ?中，90 ⑴已知6 BC=．求AB的长 AC=，8 ⑵已知17 AB=，15 AC=，求BC的长 解： 题型二：应用勾股定理建立方程 2 1 E D C B A 例２.⑴在AB C ?中，90ACB ∠=?，5AB =cm ，3BC =cm ，C D AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为 例３.如图ABC ?中，90C ∠=?，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长 A B C D E 例4.如图Rt ABC ?，90C ∠=?3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积 题型三：实际问题中应用勾股定理 例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m勾股定理(讲义)
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