平方根知识点总结讲义 This model paper was revised by LINDA on December 15, 2012.
平方根知识点总结
【学习目标】
1.了解平方根、算术平方根的概念,会用根号表示数的平方根.
2.了解开方与乘方互为逆运算,会用开方运算求某些非负数的平方根,会用计算器求平方根.
【要点梳理】
要点一、平方根和算术平方根的概念
1.算术平方根的定义
如果一个正数x的平方等于a,即2x a
=,那么这个正数x叫做a的算术平方根(规定
0的算术平方根还是0);a a的算术平方根”,a叫做被开方数.
要点诠释:a≥0,a≥0.
2.平方根的定义
=,那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算,叫做开平方.平方如果2x a
a≥a的算术与开平方互为逆运算. a(a≥0)的平方根的符号表达为0)
平方根.
要点二、平方根和算术平方根的区别与联系
1.区别:(1)定义不同;(2)结果不同:a ±和a
2.联系:(1)平方根包含算术平方根;
(2)被开方数都是非负数;
(3)0的平方根和算术平方根均为0.
要点诠释:(1)正数的平方根有两个,它们互为相反数,其中正的那个叫它的算术
平方根;负数没有平方根.
(2)正数的两个平方根互为相反数,根据它的算术平方根可以立即写出它
的另一个平方根.因此,我们可以利用算术平方根来研究平方根.
要点三、平方根的性质
要点四、平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位,它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如:62500250=,62525=, 6.25 2.5=,0.06250.25=.
【典型例题】
类型一、平方根和算术平方根的概念
1、若2m -4与3m -1是同一个正数的两个平方根,求m 的值.
【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数,由此可以得到2m -4=-(3m -1),解方程即可求解.
【答案与解析】
解:依题意得 2m -4=-(3m -1),
解得m =1;
∴m 的值为1.
【总结升华】此题主要考查了平方根的性质:一个正数有两个平方根,它们互为相反数. 举一反三:
【变式】已知2a -1与-a +2是m 的平方根,求m 的值.
【答案】2a -1与-a +2是m 的平方根,所以2a -1与-a +2相等或互为相反数. 解:①当2a -1=-a +2时,a =1,所以m =()()22
212111a -=?-= ②当2a -1+(-a +2)=0时,a =-1,
所以m =()()22
221[2(1)1]39a -=?--=-= 2、x 为何值时,下列各式有意义?
2x 4x -11x x +- (4)13
x x --. 【答案与解析】
解:(1)因为20x ≥,所以当x
(2)由题意可知:40x -≥,所以4x ≥
(3)由题意可知:1010x x +≥??-≥?
解得:11x -≤≤.所以11x -≤≤ (4)由题意可知:1030x x -≥??-≠?
,解得1x ≥且3x ≠.
所以当1x ≥且3x ≠时,
3x - 【总结升华】(1)当被开方数不是数字,而是一个含字母的代数式时,一定要讨论,只有当被开方数是非负数时,式子才有意义.(2)当分母中含有字母时,只有当分母不为0时,式子才有意义.
举一反三:
【变式】已知2b =,求11a b
+的算术平方根. 【答案】
解:根据题意,得320,230.
a a -≥??-≥?则23a =,所以
b =2,∴1131222a b +=+=,
∴
11a b += 类型二、平方根的运算
3、求下列各式的值. (1)2222252434-+;(2)11120
0.36900435--. 【思路点拨】(1)首先要弄清楚每个符号表示的意义.(2)注意运算顺序.
【答案与解析】
解:(1)2222252434-+49257535==?=;
(2)1118111200.369000.630435435--=-?-?90.26 1.72
=--=-. 【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方,再乘除,后加减,同一级运算按先后顺序进行.(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解,熟练后直接根据2(0)a a a =>来解.
类型三、利用平方根解方程
4、求下列各式中的x .
(1)23610;x -= (2)()2
1289x +=;
(3)()2932640x +-= 【答案与解析】
解:(1)∵23610x -=
∴2361x =
∴19x ==±
(2)∵()21289x +=
∴1x +=
∴x +1=±17
x =16或x =-18.
(3)∵()2932640x +-=
∴()264329
x += ∴8323
x +=± ∴21499
x x ==-或 【总结升华】本题的实质是一元二次方程,开平方法是解一元二次方程的最基本方法.
(2)(3)小题中运用了整体思想分散了难度.
举一反三:
【变式】求下列等式中的x :
(1)若2 1.21x =,则x =______; (2)2169x =,则x =______;
(3)若29,4
x =则x =______; (4)若()222x =-,则x =______. 【答案】(1)±;(2)±13;(3)32
±;(4)±2.
类型四、平方根的综合应用
5、已知a 、b 26|20a b +-=,解关于x 的方程2(2)1a x b a ++=-.
【答案与解析】
解:∵a 、b 26|20a b ++-=260a +≥,|20b -≥,
∴260a +=,20b =.
∴a =-3,2b =.
把a =-3,2b =代入2(2)1a x b a ++=-,得-x +2=-4,∴x =6.
【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题,应先求出a 、b 的值,再解方程.此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性,只需令每项分别等于零即可.
举一反三: 2110x y -+=,求20112012x y +的值.
【答案】 2110x y -+=,得210x -=,10y +=,即1x =±,1y =-.
①当x =1,y =-1时,20112012201120121(1)2x y +=+-=.
②当x =-1,y =-1时,2011201220112012(1)(1)0x y +=-+-=.
6、小丽想用一块面积为4002
cm的正方形纸片,沿着边的方向裁出一块面积为3002
cm的长方形纸片,使它长宽之比为2:3,请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.
【答案与解析】
解:设长方形纸片的长为3x (x>0) cm,则宽为2x cm,依题意得
32300
?=.
x x
2
x=.
6300
250
x=.
∵ x>0,
x=
∴ 50
∴ 长方形纸片的长为350cm.
∵ 50>49,
>.
507
>, 即长方形纸片的长大于20cm.
∴ 35021
cm, 可知其边长为20cm,
由正方形纸片的面积为400 2
∴ 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.
答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.
【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽,再判断能否用边长为20cm的正方形纸片裁出长方形纸片.