专升本试题及解答
)2?2=e2。
与直线?y=t的夹角为（A）
?z=-2t+3
（A）
π
。
解析：由参数方程?y=t得对称式方程：
?z=-2t+3
4、设I=
?x3f(x2)dx(a>0)，则（D）
xf(x)dx（B）I=?a xf(x)dx（C）I=?xf(x)dx（D）I=1?a xf(x)dx
解析：I=?
2015年四川理工学院专升本《高等数学》考试题（理工类）
一、选择题（每题3分，共15分）
1、极限lim(
x→∞x+3
x+1
)x+1=（D）
（A）1（B）e（C）∞（D）e2【知识点】第二个重要极限。
解析：lim(
x→∞x+3
x+1
)x+1=lim(1+
x→∞
2x+1
x+1
2、函数f(x)=x在x=0处（D）
（A）f'(0)=1（B）f'(0)=-1（C）f'(0)=±1（D）f'(0)不存在【知识点】导数的定义。
解析：f'(0)=lim
?x→0?x
?x
?1,?x>0
=?
?-1,?x<0
，即f'(0)不存在。
3、直线
?x=t+6
x-1y-5z+8?
==
1-21
?
πππ（B）（C）（D）
3462【知识点】直线间的夹角公式（方向向量的夹角）
?x=t+6?
?x-6y z-3
==
11-2；
于是，cosθ=
1-2-2
1+4+1?1+1+4
=
1π
，即θ=。
23
a
0（A）I=?a
2
1
a2 02020
【知识点】凑微分法。
a 0x3f(x2)dx=
1?a x2f(x2)dx2=1?a tf(t)d t
。
2020
?dy?
?dx?
?dx?f(x,y)dy（D）?dx?
?dx?
?-1≤2x≤1?-≤x≤
解析：定义域为：?2。
?
??0 【 8、判定级数∑ 解析：lim u n+1=lim 【 5、设f(x,y)连续，交换二次积分1 00 1-y f(x,y)dx的次序是（C） （A）11-x 0f(x,y)dy（B）? 1-y dx?1f(x,y)dy （C）11-x211+x2f(x,y)dy 0000 【知识点】交换二次积分次序。 解析：新积分区域D:0≤x≤1;0≤y≤1-x2，所以，I=二、填空题：（每题3分，共15分）11-x2 f(x,y)dy。 6、函数z= arcsin2x ln(1-x2-y2)的定义域是。【D={(x,y)0 11 ≤x≤}】 22 【知识点】二元函数的定义域。 ?11 0<1-x2-y2≠1 7、?e x+1dx=。2(x+1-1)e x+1+c】 【知识点】换元法、分部积分法。 解析：令x+1=t，dx=2tdt。 于是，?e x+1dx= ?2te t d t=2(t-1)e t+c=2(x+1-1)e x+1+c。 ∞n=1 1 n+n!收敛还是发散，答：；【收敛】 【知识点】比值审敛法。 n+n!n(1+(n-1)!) =lim=0<1。 n→∞u n→∞(n+1)+(n+1)n!n→∞(n+1)(1+n!) n 9、微分方程xydx+(x2+1)dy=0的通解。【y= c x2+1 【知识点】可分离变量微分方程。 】 解析：?dy=-? y x1 dx?ln y=-ln(x2+1)+c?y= x2+12 c x2+1 。 10、曲面x2+2y2+3z2=36在点(1,2,3)处的切平面。(x-1)+4(y-2)+9(z-3)=0】 sin 2 x + 1 - 1 12、已知函数 y = f ( x ) 由方程 ? 确定，求 ? y = a sin 3 t x →0 【知识点】曲面的切平面方程。 解析：令 F ( x , y , z) = x 2 + 2 y 2 + 3z 2 - 36 ， F ' = 2 x ， F ' = 4 y ， F ' = 6 z ； x y z r 过点 (1,2,3) 的切平面方程的法向量 n = {2,8,18}， 故，切平面方程为： 2( x - 1) + 8( y - 2) + 18( z - 3) = 0 ，即 x + 4 y + 9 z = 36 。 三、解答题（每小题 8 分，共 56 分） 11、求极限 lim x →0 sin 2 x + 1 - 1 x 。 【知识点】等价替换。 1 sin 2 x 解析： lim = lim 2 = 1 。 x →0 x x ? x = a cos 3 t d 2 y dx 2 【知识点】参数方程的二阶导数。 。 解析： dy dx = - tan t ， d 2 y - sec 2 t 1 = = dx 2 -3a cos 2 t sin t 3a cos 4 t sin t 。 13、由元素法的思想写出：由 X 型区域 0 ≤ a ≤ x ≤ b ， 0 ≤ y ≤ f ( x ) 绕 y 轴旋转的旋转体 的体积公式，然后计算由 y = sin x ， 0 ≤ x ≤ π 与 x 轴所围成图形绕 y 轴旋转的体积。 【知识点】元素法（微元法）。 解析：在区间[a, b ] 任取小区间 [ x , x + dx] ，面积元素 d A = f ( x )dx ， 而 dA 绕 y 轴旋转而成圆环（周长 2π x ），其体积元素 dV = 2π xf ( x )dx ；（展开为长方体） 于是，平面图形绕 y 轴旋转而成立体的体积为：V = ? b 2π xf ( x )dx = 2π ? b xf ( x )dx 。 a a 由此公式得：V = 2π y ? π x sin xdx = 2π [- x cos x + sin x]π = 2π 2 。 ? 2z 14、设 z = f ( x , xy) ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 。 ?x ?y 【知识点】二阶偏导数（抽象函数）。 ?x 2 解析：因 ?Q 。 ?? xy( x + y)dx dy = ? dx ? D ( x 2 y + xy 2 )dy = ? 1 x 4dx = ? f y 解析：令 ? x ? ?z 解析： = f '+ yf ' ； 1 2 ? 2 z ?x ?y = xf '' + f ' + xyf '' 。 12 2 22 15、求曲线积分 I = ? 2 x ydx + x 2dy ，其中 L : x 2 y 2 + a b 2 = 1, y ≥ 0 取逆时针方向。 L 【知识点】曲线积分（曲线积分与路径无关） ?P = 2 x = ，所以，曲线积分与路径无关。 ?x ?y 取直线段（ x 轴上）： y = 0 ，于是， I = ? 2 x ydx + x 2d y = ? -a 0dx = 0 。 L a 16、计算 ?? xy( x + y)dxdy ，其中 D 由 y = x 、 x + y = 0 和 x = 1 所围成区域。 D 【知识点】直角坐标系下的二重积分计算。 解析：积分区域 D : 0 ≤ x ≤ 1; - x ≤ y ≤ x 。 1 x - x 2 2 3 15 。 17、求函数 z = x 2 - xy + y 2 - 2 x + y 的极值。 【知识点】二元函数的极值。 ? f ' = 2 x - y - 2 = 0 ' = - x + 2 y + 1 = 0 得驻点 (1,0) ；又 f '' = 2; f '' = -1; f '' = 2 ， xx xy yy 在点 (1,0) 处， ? = B 2 - AC = 1 - 4 = -3 < 0 ，且 A = 2 > 0 ， 故，函数的极小值为 f (1,0) = -1 。 四、证明题：（每题 7 分，共 14 分） 18、证明：设 f ( x ) 在 [1,3]上连续可导， f (3) = ? 2 1 f ( x )dx ，则 ?ξ ∈ (1,3) ，使 f '(ξ ) = 0 。 【知识点】积分中值定理、罗尔定理。 证明：由 f ( x ) 在 [1,3]上连续可导知， f ( x ) 在 [1,2] 上连续， 由积分中值定理， ?x ∈ (1,2) ，使 f ( x ) = 2 1 f ( x )dx 2 - 1 = ?12 f ( x)dx ； f ''( x ) = + 又 f (3) = ? 2 1 f ( x )dx ，即 f ( x ) = f (3) ，由题设知 f ( x ) 在 [ x ,3] ? [1,3] 上连续可导， 0 0 由罗尔定理， ?ξ ∈ ( x ,3) （即 ?ξ ∈ (1,3) ），使 f '(ξ ) = 0 。 19、证明：当 x ≥ 0 时，有 ln(1+ x) ≥ arctan x 1 + x 。 【知识点】单调性判定定理。 证明：令 f ( x ) = (1+ x)ln(1 + x) - arctan x ，则 f (0) = 0 ，又 1 x 2 1 2 x f '( x ) = ln(1+ x) + 1 - = ln(1+ x) + ， ； 1 + x 2 1 + x 2 1 + x (1+ x 2 )2 当 x ≥ 0 时， f ''( x ) > 0 ，即 f '( x ) ↑ ，故 f '( x ) > f '(0) = 0 ，即 f ( x ) ↑ ， 所以，当 x ≥ 0 时，有 f ( x ) ≥ f (0) = 0 ，即， (1+ x)ln(1 + x) ≥ arctan x ，故，结论成立。