概率论习题一
习 题 一
1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点.
（1） 掷一颗骰子，出现奇数点.
（2） 掷二颗骰子，
A =“出现点数之和为奇数，且恰好其中有一个1点.”
B =“出现点数之和为偶数，但没有一颗骰子出现1点.”
（3）将一枚硬币抛两次，
A =“第一次出现正面.”
B =“至少有一次出现正面.”
C =“两次出现同一面.”
2.设A ，B ，C 为三个事件，试用A ，B ，C 的运算关系式表示下列事件：
（1） A 发生，B ，C 都不发生；
（2） A 与B 发生，C 不发生；
（3） A ，B ，C 都发生；
（4） A ，B ，C 至少有一个发生；
（5） A ，B ，C 都不发生；
（6） A ，B ，C 不都发生；
（7） A ，B ，C 至多有2个发生；
（8） A ，B ，C 至少有2个发生.
3. 指出下列等式命题是否成立，并说明理由.
（1） A ∪B =（AB ）∪B ；
（2） A B =A ∪B ；
（3）B A ∩C =B A C ；
（4） （AB ）（AB ）=?；
（5） 若A ?B ，则A =AB ；
（6） 若AB =?，且C ?A ，则BC =?
(7) 若A ?B ，则B ?A ；
(8) 若B ?A ,则A ∪B =A .
4.设A ，B 为随机事件，且P （A ）=0.7,P (A -B )=0.3，求P （AB ）.
5.设A ，B 是两事件，且P （A ）=0.6,P (B )=0.7,求：
（1） 在什么条件下P （AB ）取到最大值？
（2） 在什么条件下P （AB ）取到最小值？
6.设A ，B ，C 为三事件，且P （A ）=P （B ）=1/4，P （C ）=1/3且P （AB ）=P （BC ）=0，P （AC ）=1/12，求A ，B ，C 至少有一事件发生的概率.
7.从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率 是
多少？
8.
（1）求五个人的生日都在星期日的概率；
（2）求五个人的生日都不在星期日的概率；
（3）求五个人的生日不都在星期日的概率.
9.从一批由45件正品，5件次品组成的产品中任取3件，求其中恰有一件次品的概率.
10.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（n （1）n件是同时取出的； （2）n件是无放回逐件取出的； （3）n件是有放回逐件取出的. 11.在电话号码簿中任取一电话号码，求后面四个数全不相同的概率（设后面四个数中的每一个数都是等可能地取自0，1，…，9）. 12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉. 若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？ 13.一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率. 14.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求： （1）两粒都发芽的概率； （2）至少有一粒发芽的概率； （3）恰有一粒发芽的概率. 15.掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止. （1）问正好在第6次停止的概率； （2）问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率. 16.甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球数 相等的概率. 17.从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的率. 18.某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求： （1）在下雨条件下下雪的概率； （2）这天下雨或下雪的概率. 19.已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为 女是等可能的）. 20.已知5%的男人和0.25% 男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）. 21.两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率. 22.从（0，1）中随机地取两个数，求： （1）两个数之和小于6/5的概率； （2）两个数之积小于1/4的概率. 23.设P（A）=0.3,P(B)=0.4,P(A B)=0.5，求P（B｜A∪B). 24.在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率. 25.按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：（1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？ （2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？ 26.将两信息分别编码为A和B传递出来，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A， 试问原发信息是A的概率是多少？ 27.在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种）. 28.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率. 29.某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人点20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎 30.加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为 0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率. 31.设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率 不小于0.9? 32.证明：若P（A｜B)=P(A｜B)，则A，B相互独立. 33.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为1/5，1/3，1/4，求将此密码破译出的概率. 34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中， 则飞机一定被击落，求飞机被击落的概率. 35.已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求： （1）虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率. （2）新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率. 36.一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：（1）A=“某指定的一层有两位乘客离开”； （2）B=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”； （3）C=“恰有两位乘客在同一层离开”； （4）D=“至少有两位乘客在同一层离开”. 37.n个朋友随机地围绕圆桌而坐， （1）求甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率； （2）求甲、乙、丙三人坐在一起的概率； （3）如果n个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率. 38.将线段[0，a]任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率. 39.某人有n把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开（抽样是无放回的）.证明试开k次（k=1,2,…,n)才能把门打开的概率与k无关. 40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出 一个，试求它有i 面涂有颜色的概率P （A i )（i =0,1,2,3）. 41.对任意的随机事件A ，B ，C ，试证 P （AB ）+P （AC ）-P （BC ）≤P (A ). 42.将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率. 43.将一枚均匀硬币掷2n 次，求出现正面次数多于反面次数的概率. 44.掷n 次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率. 45.设甲掷均匀硬币n +1次，乙掷n 次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率. 46.证明“确定的原则”（Sure -thing ）：若P （A |C ）≥P (B |C ),P (A |C )≥P (B |C )，则P （A ）≥P (B ). 47.一列火车共有n 节车厢，有k (k ≥n )个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至 少有一个旅客的概率. 48.设随机试验中，某一事件A 出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则A 迟早会出现的概率为1. 49.袋中装有m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷r 次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？ 50.巴拿赫（Banach ）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N 根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r 根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r 根的概率又有多少？ 51.求n 重贝努里试验中A 出现奇数次的概率. 52.设A ，B 是任意两个随机事件，求P {（A +B ）（A +B ）（A +B ）（A +B ）}的值. （1997研考） 53.设两两相互独立的三事件，A ，B 和C 满足条件： ABC =Φ，P (A )=P (B )=P (C )< 1/2，且P （A ∪B ∪C ）=9/16，求P （A ）. （1999研考） 54.设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1/9，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，求P （A ）. （2000研考） 55.随机地向半圆0 56.设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率. （1993研考） 57.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份. （1） 求先抽到的一份是女生表的概率p ； （2） 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q . （1998研考） 58. 设A ，B 为随机事件，且P （B ）>0,P (A |B )=1,试比较P (A ∪B )与P (A )的大小. (2006研考) 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 《概率论与数理统计》考试试卷（A 卷） 班级 姓名 学号 一、填空题（每题5分，共15分） 1、设()()() 0.3,0.4,0.5P A P B P AB ===，则()P B A B = . 2、设()()()1 230,6,0,4,3,X U X N X π且123,,X X X 相互独立，则 ()12334D X X X +-= . 3、随机变量X ，有()1E X =，()1D X =，则有{}13P X -<<≥ . 二、选择题（每题5分，共15分） 1、设()()01,01P A P B <<<<，() () 1P A B P A B +=,则A 与B ( ). )(A 互斥 )(B 对立 )(C 不独立 )(D 独立 2、样本()1,,,21>n X X X n 来自标准正态总体(0,1)N ，X 与2 S 是样本均值与样本方差， 则有( ). )(A ~(0,1)X N )(B ~(0,1)n X N )(C 222 ~()n i i X n χ=∑ )(D ~(1) X t n S - 3、设22(,),X N μσσ已知，若样本容量n 和置信水平1α-均不变，选择对称的分位点， 则对于不同的样本观测值，参数μ的置信区间的长度将会( ). )(A 变长； )(B 变短；)(C 保持不变； )(D 不能确定. 三、计算题（每题10分，共40分） 1、设在某次世界女排比赛中，中、日、美、古巴四队取得半决赛权，形势如下： 中国队已经战胜古巴队，但日本队和美国队还未赛，根据以往战绩，中国队战胜日本队、美国队的概率分别为0.9,0.4，而日本队战胜美国队的概率为0.5，试问（1）中国队取得冠军的概率？（2）已知结果中国队已夺冠，问日本战胜美国队的概率？ 2、设连续型随机变量X 的概率密度为3,01()0,kx x f x ?<<=??其它 ，求： 题号 一 二 三 四 五 总得分 评卷人 审核人 得分 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ； 4、已知随机变量X 的密度函数为：, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ?? 8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本， 1 1n i i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =， 求参数a 的置信度为95%的置信区间： ； 二、 计算题（35分） 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为： 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求：1）{|21|2}P X -<；2）2 Y X =的密度函数()Y y ?；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<?? 教 案 概率论与数理统计 (Probability Theory and Mathematical Statistics ) Exercise 1.1 向指定目标射三枪，观察射中目标的情况。用1A 、2A 、 3A 分别表示事件“第1、2、3枪击中目标” ，试用1A 、2A 、3A 表示以下各事件： （1）只击中第一枪； （2）只击中一枪； （3）三枪都没击中； （4）至少击中一枪。 Solution （1）事件“只击中第一枪”，意味着第二枪不中，第三枪也不中。所以，可以表示成 1A 32A A 。 （2）事件“只击中一枪”，并不指定哪一枪击中。三个事件“只击中第一枪”、“只击中第二枪”、“只击中第三枪”中，任意一个发生，都意味着事件“只击中一枪”发生。同时，因为上述三个事件互不相容，所以，可以表示成 123A A A +321A A A +321A A A . （3）事件“三枪都没击中”，就是事件“第一、二、三枪都未击中”，所以，可以表示成 123A A A . （4）事件“至少击中一枪”，就是事件“第一、二、三枪至少有一次击中”，所以，可以表示成 321A A A 或 123A A A +321A A A +321A A A +1A 32A A +321A A A +321A A A + 321A A A . Exercise 1.2 设事件B A ,的概率分别为 21,31 .在下列三种情况下分别求)(A B P 的值： （１）A 与B 互斥； （２）；B A ? （３）81)(=AB P ． Solution 由性质（5），)(A B P =)()(AB P B P -. （1） 因为A 与B 互斥，所以φ=AB ，)(A B P =)()(AB P B P -=P(B)= 21 （2） 因为；B A ?所以)(A B P =)()(AB P B P -=)()(A P B P -= 6 13121=- 、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ，事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 ， 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、 设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三 个 事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现 ；至少有一 个 事 件 出 现 ； 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 （ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 ， 乙 种 产 品 滞 销 ”， 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3） ，试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、 若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否 。（0，不成立） 14、 设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ） 。（0.7） 15、 设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3， 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ） ；三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC ）。 ；三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ） 三个元件都正常工作 ；恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3） 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中随 机地取一个球，求取到红球的概率。 §1 .7 贝叶斯公式 1． 某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80%能出厂，求（1） 该厂产品能出厂的概率，（2）任取一出厂产品, 求未经调试的概率。 2． 将两信息分别编码为A 和B 传递出去，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为， 《概率论与数理统计》习题及答案 第 一 章 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况， A =‘甲盒中至少有一球’ ； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’， B =‘通过的汽车不少于3台’ 。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件： 概率论与数理统计期末考 试试题及解答 Prepared on 24 November 2020 一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案： 解： 即 所以 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则 ==)3(X P ______. 答案： 解答： 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间) 4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案： 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 另解 在(0,2)上函数2y x = 严格单调，反函数为()h y =所以 4．设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________. 答案：2λ=，-4{min(,)1}1e P X Y ≤=- 解答： 2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==，故 2λ= 41e -=-. 5．设总体X 的概率密度为 ?????<<+=其它, 0, 10,)1()(x x x f θ θ 1->θ. n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________. 答案： 解答： 似然函数为 解似然方程得θ的极大似然估计为 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(的概率密 度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤==- 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 第三章 多维随机变量及其分布习题答案 3. 220,(1)(1),4,(,),0.5940, x y x y e e c F x y --<<+∞?--==? ? 其它 . 4. 2012.4(2),()0,X x x x f x ≤≤?-=??，其它201 2.4(34),()0,Y y y y y f y ≤≤?-+=? ? 其它. 5. ???=,0,4),(y x f ,),(其它G y x ∈???+=,0,48)(x x f X ,05.0其它<≤-x ?? ?-=, 0,22)(y y f Y 其它10<≤y . 6. (1) (|)(1),0,1,;,m m n m n P Y m X n C p p n m n -===-=≤否则(|)0P Y m X n ===; (2)(,)(1)/!,0,1,;,m m n m n n P Y m X n C p p e n n m n λλ--===-=≤否则(|)0P Y m X n ===. 7. 10. ⑴0y ≥时|0 ,(|)0 0,x X Y x e f x y x -≥?=? 11. ⑴放回抽样 ⑵ 不放回抽样 X 的条件分布律与上相同，再结合联合分布律可以看出: 放回抽样时独立，不放回抽样时不独立。 12. 1c = ; 当10x -<<时，|1/2,||(|)0, Y X x y x f y x -<-?=? ? 其它 ; 当| |1y <时，|1/(1||),1|| (|)0,X Y y x y f x y --<<-?=? ? 其它 . 13. ⑴ (2|2)5/16,(3|0)1/5P X Y P Y X ====== ； ⑶ ⑷ . ;0.375 . 16. ? ? ?<≥-=--00 ,0,)1()(6/3/z z e e z f z z Z . 17. ⑴(2)30 3!,()00,t T t t e f t t ->?=?≤? ；⑵(3)50()00,t T t t e f t t ->?=?≤?. 北京邮电大学概率论期末考试试卷及答案 第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则 A= ；B：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A：第一次出现正面，则A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关 系表示下列各事件： (1)A、B、C都不发生表示为： .(2)A 与B都发生,而C不发生表示为： . (3)A与B都不发生,而C发生表示为： .(4)A、B、C中最多二个发生表示为： . (5)A、B、C中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C中不多于一个发生表示为： . 2. 设}4 B =x ≤ x ≤ A S：则 x x = x < 3 1: }, { 2: { }, ≤ = {≤< 5 0: （1）= A，（2） ?B = AB，（3）=B A， （4）B A?= ，（5）B A= 。 §1 .3 概率的定义和性质 1.已知6.0 A P ?B = P A B P，则 ( ,5.0 ( ) ) ,8.0 (= ) = (1) =) (AB P, (2)() P)= , (B A (3)) P?= . (B A 2. 已知, 3.0 P A P则 =AB ( (= ) ,7.0 ) P= . A ) (B §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是。 2. 已知,2/1 A P =B A P则 = A P B | ( | ) ,3/1 ) ) ,4/1 ( (= 00第一章 随机事件与概率 I 教学基本要求 1、了解随机现象与随机试验，了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系与运算； 2、了解概率的统计定义、古典定义、几何定义和公理化定义，会计算简单的古典概率和几何概率，理解概率的基本性质； 3、了解条件概率，理解概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，会用它们解决较简单的问题； 4、理解事件的独立性概念. II 习题解答 A 组 1、写出下列随机试验的样本空间 (1) 抛掷两颗骰子，观察两次点数之和； (2) 连续抛掷一枚硬币，直至出现正面为止； (3) 某路口一天通过的机动车车辆数； (4) 某城市一天的用电量. 解：(1) {2,3, ,12}Ω=； (2) 记抛掷出现反面为“0”，出现正面为“1”，则{(1),(0,1),(0,0,1),}Ω=； (3) {0,1,2, }Ω=； (4) {|0}t t Ω=≥. 2、设A 、B 、C 为三个事件，试表示下列事件： (1) A 、B 、C 都发生或都不发生； (2) A 、B 、C 中至少有一个发生； (3) A 、B 、C 中不多于两个发生. 解：(1) ()()ABC ABC ； (2) A B C ； (3) ABC 或A B C . 3、在一次射击中，记事件A 为“命中2至4环”、B 为“命中3至5环”、C 为“命中5至7环”，写出下列事件：(1) AB ；(2) A B ；(3) ()A B C ；(4) ABC . 解：(1) AB 为“命中5环”； (2) A B 为“命中0至1环或3至10环”； (3) ()A B C 为“命中0至2环或5至10环”； (4) ABC 为“命中2至4环”. 4、任取两正整数，求它们的和为偶数的概率？ 解：记取出偶数为“0”，取出奇数为“1”，则其出现的可能性相同，于是任取两个整数的样本空间为{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}Ω=.设A 为“取出的两个正整数之和为偶数”，则 {(0,0),(1,1)}A =，从而1 ()2 p A = . 5、从一副52张的扑克中任取4张，求下列事件的概率： (1) 全是黑桃；(2) 同花；(3) 没有两张同一花色；(4) 同色？ 解：从52张扑克中任取4张，有4 52C 种等可能取法. (1) 设A 为“全是黑桃”，则A 有413 C 种取法，于是413 452 ()C p A C =； (2) 设B 为“同花”，则B 有413 4C 种取法，于是413 452 4()C p B C =； (3) 设C 为“没有两张同一花色”，则C 有4 13种取法，于是4 452 13()p C C =； (4) 设D 为“同色”，则D 有426 2C 种取法，于是426 452 2()C p D C =. 6、把12枚硬币任意投入三个盒中，求第一只盒子中没有硬币的概率？ 解：把12枚硬币任意投入三个盒中，有12 3种等可能结果，记A 为“第一个盒中没有硬币”，则A 有12 2种结果，于是12 2()()3 p A =. 7、甲袋中有5个白球和3个黑球，乙袋中有4个白球和6个黑球，从两个袋中各任取一球，求取到的两个球同色的概率？ 解：从两个袋中各任取一球，有11 810C C ?种等可能取法，记A 为“取到的两个球同色”，则A 有1 111 5 4 3 6C C C C ?+?种取法，于是 1111543611 81019 ()40 C C C C p A C C ?+?==?. 8、把10本书任意放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率？ 解：把10本书任意放在书架上，有10!种等可能放法，记A 为“指定的三本书放在一起”，则A 有3!8!?种放法，于是3!8!1 ()10!15 p A ?= =. 9、5个人在第一层进入十一层楼的电梯，假若每个人以相同的概率走出任一层(从第二层开始)，求5个人在不同楼层走出的概率？ 试卷一 一、填空（每小题2分，共10分） １．设是三个随机事件，则至少发生两个可表示为______________________。 ２. 掷一颗骰子，表示“出现奇数点”，表示“点数不大于3”，则表示______________________。 ３．已知互斥的两个事件满足，则___________。 ４．设为两个随机事件，，，则___________。 ５．设是三个随机事件，，，、，则至少发生一个的概率为___________。 二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分） 1. 从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记“取到2只白球”，则（）。 (A) 取到2只红球(B) 取到1只白球 (C) 没有取到白球(D) 至少取到1只红球 2．对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为（）。 (A) 随机事件(B) 必然事件 (C) 不可能事件(D) 样本空间 3. 设A、B为随机事件，则（）。 (A) A (B) B (C) AB (D) φ 4. 设和是任意两个概率不为零的互斥事件，则下列结论中肯定正确的是（）。 (A) 与互斥(B) 与不互斥 (C) (D) 5. 设为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。 (A) (B) (C) (D) 6. 设相互独立，则（）。 (A) (B) (C) (D) 7.设是三个随机事件，且有，则 （）。 (A) 0.1 (B) 0.6 (C) 0.8 (D) 0.7 8. 进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败3次的概率为（）。 (A) p2(1–p)3(B) 4 p (1–p)3 (C) 5 p2(1–p)3 (D) 4 p2(1–p)3 1.将4个不同的球随机地放在5个不同的盒子里，求下列事件的概率: (1) 4个球全在一个盒子里; (2) 恰有一个盒子有2个球. 解: 把4个球随机放入5个盒子中共有45=625种等可能结果. （1）A={4个球全在一个盒子里}共有5种等可能结果,故 P(A)=5/625=1/125 (2) 5个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有 30 2415=C C 种方法 4个球中取2个放在一个盒子里，其他2个各放在一个盒子里有12种方法 因此，B={恰有一个盒子有2个球}共有12×30=360种等可能结果. 故 12572 625360)(= =B P 2.某货运码头仅能容纳一只船卸货，而，甲乙两船在码头卸货时间分别为1小时和2小时，设甲、乙在24小时内随时可能到达，求它们中间任何一船都不需要等待码头空出的概率。 解： 设x,y 分别为两船到达码头的时刻。 由于两船随时可以到达，故x,y 分别等可能地在[0,60]上取值，如右图 方形区域，记为Ω。设A 为“两船不碰面”，则表现为阴影部分。 222024,024024,024,2111 ()24576,()2322506.522 () ()0.8793 () x y x y x y y x m m A m A P A m Ω≤<≤<≤<≤<->->Ω===?+?===Ω={(x,y)}, A={(x,y)或},有所以， 3.设商场出售的某种商品由三个厂家供货，其供应量之比是3：1：1，且第一、二、三厂家的正品率依次为98%、98%、96%，若在该商场随机购买一件商品，求： (1) 该件商品是次品的概率。 (2) 该件次品是由第一厂家生产的概率。 解: 厦门大学概统课程期中试卷 ＿＿＿＿学院＿＿＿系＿＿＿年级＿＿＿专业 考试时间 第一章 随机事件和概率 一、选择题 1．设A, B, C 为任意三个事件，则与A 一定互不相容的事件为 （A ）C B A ?? （B ）C A B A ? （C ） ABC （D ）)(C B A ? 2.对于任意二事件A 和B ，与B B A =?不等价的是 （A ）B A ? （B ）A ?B （C ）φ=B A （D ）φ=B A 3．设A 、B 是任意两个事件，A B ?，()0P B >，则下列不等式中成立的是（ ） .A ()()P A P A B < .B ()()P A P A B ≤ .C ()()P A P A B > .D ()()P A P A B ≥ 4．设()01P A <<，()01P B <<，()()1P A B P A B +=，则（ ） .A 事件A 与B 互不相容 .B 事件A 与B 相互独立 .C 事件A 与B 相互对立 .D 事件A 与B 互不独立 5．设随机事件A 与B 互不相容，且()(),P A p P B q ==，则A 与B 中恰有一个发生的概率等于（ ） .A p q + .B p q pq +- .C ()()11p q -- .D ()()11p q q p -+- 6．对于任意两事件A 与B ，()P A B -=（ ） .A ()()P A P B - .B ()()()P A P B P AB -+ .C ()()P A P AB - .D ()()() P A P A P AB +- 7．若A 、B 互斥，且()()0,0P A P B >>，则下列式子成立的是（ ） .A ()()P A B P A = .B ()0P B A > .C ()()()P AB P A P B = .D ()0P B A = 8．设()0.6,()0.8,()0.8P A P B P B A ===，则下列结论中正确的是（ ） .A 事件A 、B 互不相容 .B 事件A 、B 互逆 概率论与数理统计考试题目及答案 一、选择题（7×3分） 1） 对于事件A ，B ，下列命题正确的是 。 （A ）若A ，B 互不相容，则A 与B 也互不相容。 （B ）若A ，B 相容，那么A 与B 也相容。 （C ）若A ，B 互不相容，且概率都大于零，则A ，B 也相互独立。 （D ）若A ，B 相互独立，那么A 与B 也相互独立。 2） 下列函数为随机变量的密度函数的是 。 (A) ???∈=其他,0],0[,cos )(πx x x f (B) ?????<=其他 , 02, 2 1 )(x x f (C) ? ????<≥=--0, 00 ,21)(2 2 2)(x x e x f x σμπσ (D) ???<≥=-0,00,)(x x e x f x 3）若X ～N 211(,)μσ，Y ～N 2 22(,)μσ那么),(Y X 的联合分布为 。 （A ） 二维正态，且0=ρ （B ） 未必是二维正态 （C ）二维正态，且ρ不定 （D ）以上都不对 4）对于任意两个随机变量X 和Y ，若()()()E XY E X E Y =?，则 。 （A ）()()()D XY D X D Y =? （B ）()()()D X Y D X D Y +=+ （C ）X 和Y 独立 （D ）X 和Y 不独立 5）n 个随机变量),,3,2,1(n i X i =相互独立且具有相同的分布，并且a X E i =)(, b X D i =)(, 则这些随机变量的算术平均值∑==n i i X n X 1 1的数学期望和方差分别为 。 (A ) /a n ,b (B )a ,2/b n (C )a ,/b n (D )a ,2 /b n 6）设X 1,X 2,…X n ，X n+1, …,X n+m 是来自正态总体2 (0,)N σ的容量为n+m 的样本，则统计量 221 1 n n m i i i i n V m n +==+=X X ∑∑服从的分布是 。 (A) (,)F m n (B) (1,1)F n m -- (C) (,)F n m (D) (1,1)F m n -- 7）设X ～2 (,)N μσ其中μ已知，2σ未知，123,,X X X 样本，则下列选项中不是统计量的是 。 （A ）123X X X ++ （B ）123max{,,}X X X （C ）2 32 1 i i X σ=∑ （D ）1X μ- 二、填空题（10×3分） 1）设A 、B 是两个事件，且()0,P A >则条件概率() P B A = 。 2）设A 、B 是两个事件，如果满足条件 ，则称事件A 、B 独立。 3）若~(0,5)K U ，方程()24420x K x K +++=有实根的概率为 。 4）泊松分布的分布律表达式是 。 5）二维随机变量（X,Y ）的联合概率密度为(,)f x y ，则随机变量X 的边缘密度函数为 ()X f x ＝ 。 6）相关系数是两个随机变量之间 程度的一种度量。 7）若~(,)X U a b ，则()E X = ，()D X = 。 8） 大数定理给出了频率的稳定性的严格的数学形式。 9)2 1(,)(,)n X X N μσ 设为来自于正态总体的样本，2 2 1 ()~n i i X μσ=-∑ 则 。 10) 2 1,,~(,),n X X X N μσ 设是总体的样本则21()n i i E X X =?? -???? ∑= 2 221()/n i i E X X σσ=?? -???? ∑= 。 三、计算题（第1-4题各10分，第5题9分，合计49分） 1、设一批混合麦种中一、二、三、四等品分别占94%、3%、2%、1%，，四个等级的发芽率依次为,0.98，0.95，0.9，0.85 求这批麦种的发芽率。若取一粒能发芽，它是二等品的概率是多少？ 07级《概率论》期末考试试题A 卷及答案 一、 填空题（满分15分）： 1.一部五卷的文集，按任意次序放到书架上，则“第一卷及第五卷出现在旁边”的概率为 10 1 。 解答：10 1 !5!321=?= p 2.设,)(,)(,)(r B A P q B P p A P =?==则=)(B A P q r - 。 解答：q r B P B A P B B A P B A P B A P -=-?=-?=-=)()()])[()()( 3.设随机变量ξ的分布列为 ,...2,1,0,3 )(===k a k X P k 则a = 3 2 . 解答：32233 111310 =?=-?== ∑ ∞ =a a a a k k 4.设随机变量为ξ与η，已知D ξ=25,D η=36,4.0,=ηξρ, 则D(ξ-η)= 37 . 解答： 37 4.065236252)(),cov() ,cov(2)(,,=???-+=-+=-= -+=-ηξηξρηξηξηξη ξηξρηξηξηξD D D D D D D D D D 5. 设随机变量ξ服从几何分布,...2,1,)(1 ===-k p q k P k ξ。则ξ的特征函数 =)(t f ξ 。 ()() .1)(:1 1 1 1it it k k it it k k itk it qe pe qe pe p q e e E t f -====∑∑∞ =--∞ =ξ ξ解 二、 单项选择题（满分15分）： 1.设.A 、B 、C 为三个事件,用A 、B 、C 的运算关系表示“三个事件至多一个发生”为( ④ ). ① C B A ??. ② C B A C B A C B A ++ 概率论经典考试题型 一，选择题 1 设A 、B 为互不相容的事件,且()0,()0,P A P B >>下面四个结论中, 正确的是( ) (A)(|)0P B A > (B)(|)0P A B = (C)(|)()P A B P A =(D)()()()P AB P A P B = 如果A 、B 为互不相容的事件,且 ()0,()0,P A P B >>则上述不正确的是（ ） 2 总体),(~2 σμN X ，n X X X ,,,21 是来自总体的样本, ∑==n k k X n X 1 1，则n X /σμ- ~ ( ） (A) ),(2σμN (B) )1,0(N (C) )(n t (D) )1(-n t 3. 已知相互独立的随机变量 ~(1,16), Y ~(2,9), (2)X N N D X Y -=则 。 4. 设3.0)(=A P , 6.0)(=B P , 且事件A 与B 互不相容, ()P A B ?=则 。 5. 已知随机变量X 的概率密度为 2,0,()0,0.x ae x f x x -?>=?≤? 则a = . 6. 设随机变量X 满足2(),()E X D X μσ==, 则由切比雪夫不等式,有{||3}P X μσ-≥≤ 。 7．设总体),(~2σμN X ，2,σμ未知， n X X X ,,,21 是来自总体 X 的样本, 则 μ的矩估计量是 ，2σ最大似然估 计量 。 8 电路由电池A 、B 及两个并联的电池C 、D 串联而成, 设电池A, B, C, D 损坏与否是 相互独立的, 且它们损坏的概率依次为0.3, 0.2, 0.2, 0.5, 求这个电路发生间断的概率. 9 已知(,)X Y 的联合分布率如下: 求（1）边缘分布率; (2))(),(X D X E ; (3) Z X Y =+的分布率。 北方民族大学试题 课程代码：24100082 课程：概率论与数理统计（A 卷） 一、填空题：（每小题3分，共30分） 1.设8.0)(,5.0)(==A B P A P ，则=)(AB P ＿＿＿＿＿＿ 。 2.设在一次试验中，事件A 发生的概率为p,现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为 ＿＿＿＿＿＿ 。 3.设X 的分布律为 则分布函数值=)2 5 (F ＿＿＿＿＿＿ 。 4.设随机变量X ～N(0,1),)x （Φ为其分布函数，则)()x x -Φ+Φ（=＿＿＿＿＿＿ 。 5.已知连续型随机变量X 的分布函数为 2200,1),1(31 ,31)(≥<≤ 9. 设随机变量X 与Y 相互独立，且,2)(,1)(==Y D X D 则=-)(Y X D ＿＿＿＿＿＿ 。 10.若4321,,,X X X X 为来自正态分布N(0,4)的样本，则∑=4 1 241i i X ～＿＿ ＿＿＿＿ 分布 。 二、设有N 件产品，其中有D 件次品，今从中任取n 件，问其中恰有k(D k ≤)件次品的概率。（10分） 三、设随机变量X 的概率密度函数为， 其他 10,0,3)(2<≤???=x x x f 求： （1）X 的分布函数；（2）? ?? ???≤<-212 1 X P .（10分） 四、设随机变量X 具有概率密度， 其他 ,0,)(>???=-x e x f x 求随机变量2X Y =的概率密度。（10分） 五、设二维离散型随机变量（X,Y ）的联合分布律为 若随机变量X 与Y 相互独立，求：常数βα，.（10分） 六、已知二维随机变量（X,Y ）的联合密度函数为 ， 其他，,, 10,10,0,)1(4)(<<<《概率论与数理统计》期末考试试题及解答
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