中国东南地区数学奥林匹克合辑

首届中国东南地区数学奥林匹克

第一天

（2004年7月10日 8：00 — 12：00 温州）

一、 设实数a 、b 、c 满足2223

232

a b c ++=，求证：39271a b c ---++≥

二、 设D 是ABC ?的边BC 上的一点，点P 在线段AD 上，过点D 作一直线分

别与线段AB 、PB 交于点M 、E ，与线段AC 、PC 的延长线交于点F 、N 。如果DE=DF ，求证：DM=DN 三、 （1）是否存在正整数的无穷数列{}n a ，使得对任意的正整数n 都有

2122n n n a a a ++≥。

（2）是否存在正无理数的无穷数列{}n a ，使得对任意的正整数n 都有

2122n n n a a a ++≥。 四、 给定大于2004的正整数n ，将1、2、3、…、2n 分别填入n ×n 棋盘（由n 行n 列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数。如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”。求棋盘中“优格”个数的最大值。

第二天

（2004年7月11日 8：00 — 12：00 温州） 五、 已知不等式

6

2(23)cos()2sin 2364sin cos a a πθθθθ

+-+-<++对于

0,2πθ??

∈????

恒成立，求a 的取值范围。

六、 设点D 为等腰ABC ?的底边BC 上一点，F 为过A 、D 、C 三点的圆在ABC

?内的弧上一点，过B 、D 、F 三点的圆与边AB 交于点E 。求证：

CD EF DF AE BD AF ?+?=? 七、 n 支球队要举行主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有一场主场

比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进行多场客场比赛。但如果某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛。如果4周内能够完成全部比赛，求n 的最大值。

注：A 、B 两队在A 方场地举行的比赛，称为A 的主场比赛，B 的客场比赛。 八、 求满足

0x y y z z u

x y y z z u

---++>+++，且110x

y z u ≤≤、、、的所有四元有序整数组（,,,x y z u ）的个数。

答案

一、 由柯西不等式，

()

222

2

222(23)(123)(1)(2)(3)9a b c a b c ++≤++++= 所以，233a b c ++≤，所以 (23)333392733331a b c a b c ----++-++≥≥= 二、 证明：

对AMD ?和直线BEP 用梅涅劳斯定理

得：

1(1)AP DE MB

PD EM BA

??=， 对AFD ?和直线NCP 用梅涅劳斯定理

得：1(2)AC FN DP CF ND PA ??=， 对AMF ?和直线BDC 用梅涅劳斯定理

得：1(3)AB MD FC BM DF CA

??=

（1）（2）（3）式相乘得：1DE FN MD

EM ND DF

??=，又DE=DF ，所以有

DM DN

DM DE DN DE =

--，所以DM=DN 。 三、 （1）假设存在正整数数列{}n a 满足条件。

212122221231

2,0,

11...,3,4,....,222n n n n n n n n n n n a a a a a a a a n a a a a ++------≥>1∴≤?≤?≤≤?= 又2222111,2a a a a -≤?所以有221112n n n a a

a a --≤?对n =2，3，4，…成立。 22

2221222(2)(3)

(2)(3) (1111111)

...2

22n n n n n n n n n a a a a a a a a a a -----+--+-++??????∴≤≤??≤≤?? ? ? ?

??????

?

所以122

22

2

11

2n n n n a a a ---??≤? ???

。 设212[2,2),k k a k N +∈∈，取3N k =+，则有

1221

2

2

22

211

11121

122N k k N N N k k a a a a -++--++????≤?

，这与N a 是正整数矛盾。所以不存在正整数数列{}n a 满足条件。

F

A

B D C

P M N

（2）(1)(2)

2

n n n a π

--=

为满足条件的一个无理数数列，2

12242n n n n n a a a a a +++=≥。 四、 为叙述方便，如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格中所

填的数，则称此格为行优的。由于每一行中填较小的2004个数的格子不是行优的，所以每一行中有n －2004个行优的。一个方格为“优格”一定是行优的，所以棋盘中“优格”个数不大于(2004)n n -。 另一方面，将棋盘的第i (1,2,3,...,)i n =行，第 1...2003i i i ++、、、（大于n 时取模n 的余数）列中的格子填入“*”。将1、2、3、…、2004n 填入有“*”的格子，其余的数填入没有“*”的格子。没有“*”的格子中填的数大于有“*”的格子中任何一个数，所以棋盘上没有“*”的格子都为“优格”，共有(2004)n n -个。

此时每行有2004个格子有“*”，每列也有2004个格子有“*”（如图）。实际上，当12003i ≤≤时，第i 列的第1、2、…、i 、n +i －2003、n +i －2002、...、n 行中有“*”。当2004i ≥时，第i 列的第i －2003、i －2002、...、i 行中有“*”。所以每行有2004个格子有“*”，每列也有2004个格子有“*”（如图）

* * *

* * * * * * * * * * * * * * * * * * *

*

*

所以棋盘中“优格”个数的最大值是(2004)n n -。

五、 设sin cos x θθ+=，则22

cos(),sin 21,1,242

x x x πθθ??-==-∈?? 从而原不等式可化为：26

(23)2(1)36a x x a x

++--<+

即2622

223340,2()3()0x ax x a x x a x a x x x

---++>+--+->，

()

2(23)01,2(1)x x a x x ??

??-+->∈ ?????

∴ 原不等式等价于不等式（1）

1,2,230x x ??∈∴-

不等式（1）恒成立等价于()

201,2x a x x

??+

-<∈??恒成立。

从而只要max 2

()(1,2)a x x x

??>+∈??。

又容易知道2

()f x x x =+在1,2???

?上递减，

max 2()3(1,2)x x x

??∴+=∈??。 所以3a >。

六、 设AF 的延长线交BDF 于K ，

AEF AKB

AEF AKB ∠=∠∴?? 因此,EK BK AE AK

AF AB AF AB

==。于是要证（1）， 只需证明：

(2)CD BK DF AK BD AB ?+?=? 又注意到KBD KFD C ∠=∠=∠。

我们有1

sin 2

DCK S CD BK C ?=??∠

进一步有

1

sin 2

1

sin 2

ABD ADK S BD AB C

S AK DF C

??=??∠=??∠

因此要证（2），只需证明(3)ABD DCK ADK

S S S ???=+ 而（3）//(4)ABC AKC S S BK AC

???=? 事实上由BKA FDB KAC ∠=∠=∠知（4）成立，得证。

七、 （1）如右图所示：表格中有“*”，表示该球队在该周有主场比赛，

不能出访。

容易验证，按照表中的安排，6

支球队四周可以完成该项比赛。

（2）下面证明7支球队不能在四

周完成该项比赛。

设(1,2,3,4,5,6,7)i S i =表示i 号球队的主场比赛周次的集合。假设4周内能完成该项比赛，则i S 是{1，2，3，4}的非空真子集。 一方面由于某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛，所以(1,2,3,4,5,6,7)i S i =中，没有一个集是另一个的子集。 另一方面，设

{}{}{}{1},{1,2},{1,2,3},{2},{2,3},{2,3,4},{3},{1,3},{1,3,4}A B C ===

球队 第一周 第二周 第三周 第四周

1 * *

2 * *

3 * *

4 * *

5 * *

6 * *

D 1

2

3

E F B

A

C

{}{}{}{4},{1,4},{1,2,4},{2,4},{3,4}D E F ===

由抽屉原理，一定存在,,,,{1,2,3,4,5}i j i j i j ≠∈，,i j S S 属于同一集合A 或B 或C 或D 或E 或F ，必有i j S S ?或j i S S ?发生。所以n 的最大值是6。

八、 设(,,,)a b b c c d

f a b c d a b b c c d

---=

++

+++。 记:{(,,,)|1,,,10,(,,,)0}A x y z u x y z u f x y z u ≤≤>， :{(,,,)|1,,,10,(,,,)0}B x y z u x y z u f x y z u ≤≤<， :{(,,,)|1,,,10,(,,,)0}C x y z u x y z u f x y z u ≤≤=， 显然4()()()10card A card B card C ++=。

我们证明()()card A card B =。对每一个(,,,)x y z u A ∈，考虑(,,,)x u z y 。

(,,,)(,,,)00

0(,,,)0(,,,)x y y z z u u x

x y z u A f x y z u x y y z z u u x

x u u z z y y x f x y z u x u u z z y y x x u z y B

----∈?>?+++>++++----?+++

(,,,)()()()0()()()()

xz yu xz yu

x y z u C z x u y xz yu x y z u y z u x --∈?=?---=++++

设1{(,,,)|,1,,,10}C x y z u x z x y z u ==≤≤，

2{(,,,)|,,1,,,10}C x y z u x z y u x y z u =≠

=≤≤， 3{(,,,)|,,,1,,,10}

C x y z u x z y u x z y u x y z u =≠≠=≤≤。 满足,(,,,)a b c d a b c d ?=?为1、2、3、...、10的两两不同的无序四元组只有1623,1824,11025,2634,2936,21045,?=??=??=??=??=??=? 3846,31056,41058?=??=??=?。

满足,,x y z u x z ==≠的四元组共90个，满足,,x z y u x z ==≠的四元组共90个，312()4299090252,()1000,()900card C card C card C =??++===。 所以，()2152,()3924card C card A ==。

第2届中国东南地区数学奥林匹克

第1天

（2005年7月13日8：00～12：00 福州）

1 （1）设a R ∈，求证抛物线()1222+-++=a x a x y 都经过一个定点，且顶点都

落在一条抛物线上。

（2）若关于x 的方程()22210x a x a ++-+=有两个不等实根，求其较大根

的取值范围。 2 如图，圆O （圆心为O ）与直线l 相离，作OP l ⊥，P 为垂足。设点Q 是l 上任意一点（不与点P 重合），过点Q 作圆O 的两条切线QA 和QB ，A 和B 为切点，AB 与OP 相交于点K 。过点P 作PM QB ⊥，PN QA ⊥，M 和N 为垂足。求证：直线MN 平分线段KP 。

3 设n 是正整数，集合{1,2,3,,2}M n =。求最小的正整数k ，使得对于M 的任何一

个k 元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于4n +1。

4 试求满足2222005a b c ++=，且a b c ≤≤的所有三元正整数组(a , b , c )。

第2天

（2005年7月14日8：00～12：00福州） 5 已知直线l 与单位圆S 相切于点P ，点A 与圆S 在l 的同侧，且A 到l 的距离为h (h >2)，从点A 作S 的两条切线，分别与l 交于B , C 两点。求线段PB 与线段PC 的长度之乘积。 6 将数集12{,,...,}n A a a a =中所有元素的算术平均值记为()P A ，

（12...()n

a a a P A n

+++=）。 若B 是A 的非空子集，且()()P B P A =，则称B

是A 的一个“均衡子集”。 试求数集{1,2,3,4,5,6,7,8,9}M =的所有“均衡子集”的个数。 7 （1）讨论关于x 的方程|1||2||3|x x x a +++++=的根的个数。

（2）设12,,...,n a a a 为等差数列，且12n a a a ++???+=1211a a ++++???+

1n a +=12222507n a a a -+-+???+-=求项数n 的最大值。

l

K N

M

A

B

P

o

Q

8 设0,,2

π

αβγ<<

，且333sin sin sin 1αβγ++=，求证：22233

tan tan tan 2

αβγ++≥

答案

1. (1) 令22()(2)2121(2)a f x x a x a x x a x =++-+=+++-，因此抛物线过定点

（2, 9），该抛物线的顶点座标为

22

22

4(12)(2)1244

a x a a a a y +=-

--+--==

消去a 得245y x x =-++。 (2) ()0a f x =的大根为

222(2)(2)4(12)2(2)122(2)(6)362

a a a x a a a a a -+++--=

-+++=

-+++-=

令a +6=2k ，则

22(24)436922

k k x k k --+-==--+

由判别式0?>得k >3或k <-3。 当k <-3时, x >5；

当k >3时, 2

9

29x k k

=--+, 可得-1

综上得，方程的大根x 的取值范围为(1,2)(5,)-?+∞。

2. 作PI AB ⊥，I 为垂足, 记J 为直线MN 与

线段PK 的交点。易知QAO QBO ∠=∠=

90QPO ∠=，故O 、B 、Q 、P 、A 均在以线段OQ 为直径的圆周上。

由于,,PN QA PM QB PI AB ⊥⊥⊥，所以由Simson 定理知: QAB ?的外接圆上一点P 在其三边的垂足N 、M 、I 三点共线，即N 、M 、J 、I 四点共线。

因为,QO AB PI AB ⊥⊥，所以QO //PI , 所以POQ IPO ∠=∠, 又因为P 、A 、I 、M 四点共圆，P 、A 、O 、Q 也四点共圆，所以

l

K N

M

A

B

P

o

Q

PIJ PIM PAM POQ ∠=∠=∠=∠

所以在直角三角形PIK 中, PIJ JPI ∠=∠, 所以J 为PK 的中点 因此直线MN 平分线段KP 。

3. 考虑M 的n +2元子集P ={n -1, n , n +1, …, 2n }。P 中任何4个不同元素之和不

小于(n －1)+n +n +1+n +2=4n +2, 所以3k n ≥+。 将M 的元配为n 对，(,21),1i B i n i i n =+-≤≤。

对M 的任一n +3元子集A ，必有三对123,,i i i B B B 同属于A (123,,i i i 两两不同)。

又将M 的元配为n －1对, (,2),1-1i C i n i i n =-≤≤。对M 的任一n +3元子集A ，必有一对4

i C 同属于A

这一对4i C 必与刚才三对123,,i i i B B B 中至少一对无公共元，这4个元素互不相同，且和为2n +1+2n =4n +1。 因此，所求的最小k =n +3。

4. 由于任何奇平方数被4除余1，任何偶平方数是4的倍数，因2005被4除余

1，故222,,a b c 三数中，必是两个偶平方数，一个奇平方数。 设a=2m ，b=2n ，c=2k －1，m, n, k 为正整数，原方程化为：

22(1)501(1)m n k k ++-=

又因任何平方数被3除的余数，或者是0，或者是1，今讨论k ： (i) 若3(1)k k -，则由(1)，223m n +，于是m, n 都是3的倍数。

设m =31m ，n =31n ，并且

(1)

3

k k -是整数，由(1) 22

11(1)33167(2)3

k k m n -++=

于是

()(1)

1672mod33k k -≡≡

设(1)3

k k -=3r +2，则

(1)96(3)k k r -=+

且由(1)，(1)501k k -<，所以22k ≤。

故由(3)，k 可取3，7，12，16，21，代入(2)分别得到如下情况： 2211355k m n =??+=?, 2211751k m n =??+=?, 22111241k m n =??+=?, 22

1116

29k m n =??+=?, 22

1121

9

k m n =??+=? 由于55、51都是4N +3形状的数，不能表为两个平方的和，并且9也不能表成两个正整数的平方和，因此只有k =12与k =16时有正整数解1m ,1n 。

当k =12，由22

12m m +=41，得(1m , 1n )=(4, 5)，则a=61m =24，b =61n =30，c =2k －1=23，于是(a, b, c )=(24, 30, 23)。

当k =16，由22

12m m +=29，得(1m , 1n )=(2, 5)，则a=61m =12，b =61n =30，c =2k －1=31，因此(a, b, c )=(12, 30, 31)

(ii) 若3|(1)k k -时，由于任何三个连续数中必有一个是3的倍数，则k +1是

3的倍数，故k 被3除余2，因此k 只能取2，5，8，11，14，17或20 利用(1)式分别讨论如下：

若k =2，则22

12m m +=499，而4993(mod 4)≡，此时无解

若k =5，则22

12m m +=481，利用关系式

()()()()

()()

2

222222

2

x y x y y x x y y x αβαβαβαβαβ++=++-=-+-

可知()()22222222481133732612091516=?=++=+=+。

所以(m, n )=(20, 9)或(15, 16)。

于是得两组解(a, b, c )=(2m , 2n , 2k -1)=(40, 18, 9)或(30, 32, 9)。

若k =8，则22

12m m +=445，而()()2222224455892185212=?=++=+

221811=+。

所以(m, n )=(21, 2)或(18, 11)，得两组解(a, b, c )=(2m , 2n , 2k -1)=(42，4，15)或(36, 22 15)。

若k =11，有22

12m m +=391，而3913(mod 4)≡，此时无解；

若k =14，有2212m m +=319，而3193(mod 4)≡，此时无解；

若k =17，有22

12m m +=229，而22229152=+，得(m, n )=(15, 2)，得一组解(a, b, c )=(2m , 2n , 2k -1)=(30, 4, 33)；

若k =20，则22

12m m +=121=211，而211不能表示两个正整数的平方和，因此本题共有7组解为：(23, 24, 30)，(12, 30, 31)，(9, 18, 40)，(9, 30, 32)，(4, 15, 42)，(15, 22, 36)，(4, 30, 33)。经检验，它们都满足方程。

5. 设PB 、PC 的长度分别为p 、q ，设,ABP ACP βγ∠=∠=，设AC 与S 的切点

为E ，记圆心为O ，设AE 的长度为t ，连接AO 、OE ，则在直角三角形AOE 中，我们有

1

(),2

AOE βγ∠=+

因此1tan ()21

p q

t pq βγ+=+=-。

这样我们可得ABC ?的面积ABC S ?为()

()11

ABC pq p q S p q t pq ?+=++?=-。

又因为1(),2ABC S p q h ?=+?所以可得121pq

h pq =-。

整理得.2

h

pq h =-

6.由于P (M )=5，令M ’={x -5 | x ∈M }={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}, 则P (M ’)=0, 依照此平移关系，M 和M ’的均衡子集可一一对应。 用f (k )表示M ’的k 元均衡子集的个数，显然有f (9)=1, f (1)=1 (M ’的9元均衡子集只有M ’，一元均衡子集只有{0})。

M ’的二元均衡子集共四个，为{,},1,2,3,4i B i i i =-=, 因此f (2)=4。 M ’的三元均衡子集有两种情况：

（1）含有元素0的为{0}{2,0,},1,2,3,4i B i i ?=-=, 共四个；

（2）不含元素0的，由于等式3=1+2,4=1+3可表示为-3+1+2=0，3-1-2=0

以及-4+1+3=0，4-1-3=0得到4个均衡子集{-3, 1, 2}，{3, -1, -2}，{-4, 1, 3}，{4, -1, -3}，因此f (3)=4+4=8。 M ’的四元均衡子集有三种情况：

（1）每两个二元均衡子集之并：,14i j B B i j ?≤<≤, 共6个集；

（2）不含元素0的三元均衡子集与{0}的并集，共4个集；

（3）以上两种情况之外者，由于等式1+4=2+3可表为-1-4+2+3=0以及

1+4-2-3=0得2个均衡子集{-1, -4, 2, 3}与{1, 4, -2, -3}，因此f (4)=6+4 +2=12。

又注意到，除M ’本身外，若B ’是M ’的均衡子集，当且仅当其补集''M C B 也是M ’的均衡子集，二者一一对应。 因此f (9-k)=f (k )，k =1, 2, 3, 4。 从而M ’的均衡子集个数为9

4

1

1

()(9)2()12(14812)51k k f k f f k ===+=++++=∑∑

即M 的均衡子集有51个。

7.根据函数y =|x +1|+|x +2|+|x +3|=a 的图像可知： 当a <2时，方程无解；

当a =2时，方程有一个根； 当a >2时，方程有两个根。

(1) 因为方程|x |=|x +1|=|x -2|无解，故2n ≥且公差不为0。 不妨设数列的各项

为a -kd (1≤k ≤n ,d >0)。作函数f (x )=1n

k x kd =-∑,

本题条件等价于f (x )=507至少有三个不同的根a ，a +1，a -2，此条件又等价于函数y = f (x )的图像与水准直线y =507至少有三个不同的公共点。

由于y =f (x )的图像是关于直线(1)2

n d

y +=左右对称的n +1段的下凸折线,

它与水准直线L 有三个公共点当且仅当折线有一水准段在L 上，当且仅当n =2m 且a , a +1, a -2∈[md ,(m +1)d ], f (md )=507。即d ≥3且m 2d =507。

由此得 2

5073

m ≤，13m ≤。

显然，m =13时，取d =3，a =4满足本题条件。 因此，n 的最大值为26。 8.令a =sin α，b =sin β，c =sin γ，则a , b , c ∈(0, 1)且3331a b c ++=，

2223

222

31121122(1)(),32233

a a a a a a a +-+--=-≤=

同理33

22-,,3333b b c c ≤-≤

因此222333333222333

3333()1-1-1----22a b c a b c a b c a b c a a b b c c ++=++≥++=。 注意到

2222

2222

22

22

2

2

2sin tan 1sin 1sin tan 1sin 1sin tan 1sin 1a

a b b

c c αααβββλγλ==--==--==-- 所以22233

tan tan tan .2

αβγ++≥

注 易知上述不等式等号不能成立。

第三届中国东南地区数学奥林匹克

第一天

（2006年7月27日， 8：00－12：00， 南昌）

一、 设0,a b >>2()2()4a b x ab

f x x a b

++=++．证明：存在唯一的正数x ，使得

113

3

3

()(

)2

a b f x +=． 二、 如图所示，在△ABC 中，90,,ABC D G ∠=?是

边CA 上的两点，连接BD ，BG 。过点A ，G 分别作BD 的垂线，垂足分别为E ，F ，连接

A

B

C

D

G

E

F

CF 。若BE ＝EF ，求证：ABG DFC ∠=∠。

三、 一副纸牌共52张，其中“方块”、“梅花”、“红心”、“黑桃”每种花色的

牌各13张，标号依次是2,3,,10,,,,J Q K A ，其中相同花色、相邻标号的两张牌称为“同花顺牌”，并且A 与2也算是顺牌（即A 可以当成1使用）. 试确定，从这副牌中取出13张牌，使每种标号的牌都出现，并且不含“同花顺牌”的取牌方法数。

四、 对任意正整数n ，设n a 是方程3

1x

x n

+

=的实数根，求证： (1) 1n n a a +>； (2) 2

11

(1)n

n i i

a i a =<+∑。

第二天

（2006年7月28日， 8：00－12：00， 南昌）

五、 如图，在ABC ?中，60A ∠=?，ABC ?的内切圆I 分

别切边AB 、AC 于点D 、E ，直线DE 分别与直线

BI 、CI 相交于点F 、G ，证明：1

2FG BC =。

六、 求最小的实数m ，使得对于满足a +b +c =1的任意正

实数a ，b ，c ，都有333222

(61m a b c a b c ++≥+++）（）。

七、 （1）求不定方程2()mn nr mr m n r ++=++的正整数解(,,)m n r 的组数。 （2）对于给定的整数k >1，证明：不定方程()mn nr mr k m n r ++=++至

少有3k +1组正整数解(,,)m n r 。 八、 对于周长为n *()n N ∈的圆，称满足如下条件的最小的正整数n P 为“圆剖

分数”：如果在圆周上有n P 个点12,,,n p A A A ，对于1,2,,1n -中的每一个

整数m ，都存在两个点,i j A A (1,)n i j P ≤≤，以i A 和j A 为端点的一条弧长等于m ；圆周上每相邻两点间的弧长顺次构成的序列12(,,,)n n P T a a a =称为“圆剖分序列”。例如当n =13时，圆剖分数为134P =，如图所示，图中所标数字为相邻两点之间的弧长，圆剖分序列为13(1,3,2,7)T =或(1,2,6,4)。求21P 和31P ，并各给出一个相应的圆剖分序列。

A

B

C

D

F G

I

E

1

3

2

76

2

14

答案

一、 【解法一】

令1133

3()2a b t +=，由2()24a b x ab t x a b

++=

++，得 [2()4]()2(1)a b t x t a b ab +-=+-

为证(1)有唯一的正数解x ，只要证，2()40a b t +->及()20t a b ab +->, 即

1

13

3

32()(2)22

ab a b a b

a b ++<<+

记1133

, , ,a u b v u v ==>，即要证

3

33

33

33

2(3)22

u v u v u v

u v ++??<< ?+??

由于()(

)

3

3

3333

33222u v u v u v uv

u v +??+>= ?

??

，即(3)左端成立。

为证3

33

22u v u v ++??< ?

??

，即()()222222

1, 4()82u uv v u v u v u uv v -++<+<-+，即()2

30u v ->，此为显然.故(3)成立，从而()22()4t a b ab x a b t

+-=+-即为所求。

【解法二】

2

2()21()()()422(4)

a b x ab a b f x a b x a b x a b ++-==+-++++在(0,)+∞上为严格单调增加

的连续函数，而且2(0)ab f a b =+，lim ()2

x a b

f x →+∞+=。据解法一(2)式知

113332()22

ab a b a b

a b ++<<+，故存在唯一的正数x ，使得1133

3()()2a b f x +=。

二、 【证法一】

作GM ⊥AB 于M ，设AE 与BG 的交点

为K ，连接KM 。由BE ＝EF ，及AE //GF

知，K 为Rt △BGM 斜边BG 上的中线，所以BK ＝KG ＝MK ，ABG BMK ∠=∠。因为4ABK BF AK S ??=2ABG S AB MG ?==? 又MG //BC ，所以AB AM

BC MG =

，故AB MG ? BC AM =?，所以BF AK BC AM ?=?，即BF AM BC AK

=。结合KAB CBD ∠=∠，知K F E

G

D

C

B M A

3n-1

n 2

1△KAM △CBF ，所以AMK CFB ∠=∠，于是BMK CFD ∠=∠，故ABG DFC ∠=∠。 【证法二】

作Rt ABC ?的外接圆w ，延长BD 、AE 分别交w 于K 、J 。连接BJ 、CJ 、KJ 、FJ 。易知BAJ KBC ∠=∠，故BJ ＝KC 。于是四边形BJCK 是等腰梯形，又AJ 垂直平分BF ，故BJ ＝FJ ，故四边形FJCK 是平行四边形. 设AE 与BG 的交点为M ，FC 与JK 的交点为N ，则M 、N 分别是BG 和FC 的中点， 于是

sin sin ,sin sin AB MAG JKC FK

AG BAM BKJ CK

∠∠===∠∠ 又BAG FKC ∠=∠，于是BAG FKC ??，所以 ABG DFC ∠=∠。 三、 先一般化为下述问题：设3n ≥，从()12,,,n A a a a =，()12,,,n B b b b =，

()12,,,n C c c c =，()12,,,n D d d d =这四个数列中选取n 个项，且满足： (i) 1,2,,n 每个下标都出现；

(ii) 下标相邻的任两项不在同一个数列中(下标n 与1视为相邻)，其选取方

法数记为n x ，今确定n x 的运算式:

将一个圆盘分成n 个扇形格，顺次编号为1,2,,n ，并将数列,,,A B C D 各染一种颜色，对于任一个选项方案，如果下标为i 的项取自某颜色数列，则将第i 号扇形格染上该颜色。于是n x 就成为将圆盘的n 个扇形格染四色，使相邻格不同色的染色方法数，易知，14x =、212x =、

()

1143 3(1)n n n x x n --+=?≥

将(1)写作()()()1

1

11143n

n n n n x x ------=-?-，

因此

()

()

()

()

()()()

()

1

2

2

123

2

2

322

21143;

1143

;

143n n n n n x x x x x --------=-?----=-?--=-?-

相加得，()()133n

n

n x -=-+，于是()331(2)n

n n x n =+?-≥。

因此 131333x =-. 这就是所求的取牌方法数.

四、 由 3

1n n a a n

+=，得01n a <<。

(1)

33

33

111122

111011()()n n n n n n n n

n n n n n n

a a a a a a a a n n n n

a a a a a a n

+++++++=-+

-<-+-+=-+++

因为22

1110n n n n

a a a a n

+++++>，故10n n a a +->，即1 .n n a a +> (2) 因为 211n n

a a n ??

+= ??

?，所以 2

111111n n n

a n a n n

=>=

+++

， 从而()()

2

11

11n n n n a <++， ()()2

1111

1111()111111n

n

n

n i i i i n

a i i i

i n n i a ===<=-=-=<+++++∑∑∑。 故

()

2

1

1

1n

n i i

a i a =<+∑.

五、 【证法一】

分别连接CF BG ID IE AI ，，，，，则A D I E 、、、四点共

圆。所以1

2

IDE A ∠=∠，从而1902BDF A ∠=?+∠； 又111809022BIC B C A ∠=?-∠+∠=?+∠（）

， 所以BDF BIC ∠=∠。

又DBF CBI ∠=∠，得FDB CIB ??。所以 FB DB

CB IB

=

。 又由DBI FBC ∠=∠，得IDB CFB ??，所以CF BF ⊥，从而

1

302FCG A ∠=∠=?。同理BG GC ⊥，所以B C F G 、、、四点共圆，由此

sin FG BC FCG =∠，所以1

2FG BC =。

【证法二】

因为1()2BIG B C ∠=∠+∠，又因为1801

()22

A BDG ADE

B

C ?-∠∠=∠==∠+∠，

所以B

D I G 、、、四点共圆，因此90BGC BDI ∠=∠=?。 同理90CFB ∠=?，所以B

C F G 、、、四点共圆。 又 1

9090()302

FCG FBC BCI B C ∠=?-∠-∠=?-∠+∠=?，所以

A B

C D F G

I

E

1

sin 2

FG BC FCG BC =∠=

. 六、 【解法一】

当a=b=c 1

3

=时，有27m ≥。下证不等式

33322227()6()1a b c a b c ++≥+++

对于满足a+b+c=1的任意正实数a ，b ，c 都成立。 因为对于01x <<，有

323224

276581181540(31)(94)03x x x x x x x x ≥+-?--+≥?-+≥

故324

27653

x x x ≥+-，01x <<。

所以

3232324

276534

276534

27653

a a a

b b b

c c c ≥+-

≥+-≥+-

把上面三个不等式相加，得

33322227()6()1a b c a b c ++≥+++.

所以，m 的最小值为27。 【解法二】

当a=b=c 1

3

=时，有27m ≥。下证不等式

33322227()6()1a b c a b c ++≥+++

对于满足a+b+c=1的任意正实数a ，b ，c 都成立。 因为2()()0a b a b -+≥，所以3322a b a b ab +≥+，同理，

3322b c b c bc +≥+，3322c a c a ca +≥+，

于是

333222222

333333222222

2

2

2

222

2()3()()()a b c a b b c c a ab bc ca a b c a b c a b b c c a ab bc ca a b c a b c a b c ++≥+++++++≥++++++++=++++=++

所以

2222222

2222222

2

2

3336()16()()6()3()

9()27()

a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c +++=+++++≤+++++=++≤++

所以，m 的最小值为27．

七、 (1) 若,,2m n r ≥，由2,2,2mn m nr n mr r ≥≥≥得

2()mn nr mr m n r ++≥++，

所以以上不等式均取等号，故2m n r ===。

若1{,,}m n r ∈，不妨设m =1，则2(1)nr n r n r ++=++，于是

(1)(1)3n r --=，

所以{1,1}{1,3}n r --=，故{,}{2,4}n r =，{,,}{1,2,4}m n r =，这样的解有3!6=组。

所以，不定方程2()mn nr mr m n r ++=++共有7组正整数解。 (2) 将()mn nr mr k m n r ++=++化为

22[()][()]n k m r k m k km m ----=-+。

221,n k m r k km m k m =-+=-++-满足上式，且1,2,,[]2

k

m =时，

0m n r <<<。

k 为偶数时，22

{,,}{,1,}m n r l k l k kl l k l =-+-++-，其中1,2,,2

k l =给

出了不定方程的3k 组正整数解。

k 为奇数时，22

{,,}{,1,}m n r l k l k kl l k l =-+-++-，其中11,2,,

2

k l -=给出了不定方程的3(1)k -组正整数解，,,m n r 中有两个1

2

k +,另一个为

22111(1)(31)()2224

k k k k k k k k ++++--++-=的情况给出了不定方程的

3组正整数解；

而m n r k ===亦为不定方程的正整数解．

故不定方程()mn nr mr k m n r ++=++至少有3k +1组正整数解。

八、 由于k 个点中，每两个点间可得一段优弧和一段劣弧，故

至多可得(1)k k -个弧长值。当(1)20k k -≥时，则5k ≥;而当(1)30k k -≥时，则6k ≥。另一方面，在5k =时，可以给

出剖分图所以，215P =，21(1,3,10,2,5)T =.对于n =31，在k =6

时，类似可给出剖分图

52

10

1

3

10

2

3121315

2114

71

所以，316P =，31(1,2,7,4,12,5)T =、(1,2,5,4,6,13)、(1,3,2,7,8,10)、(1,3,6,2,5,14) 或(1,7,3,2,4,14)等。

第四届中国东南地区数学奥林匹克

第一天

（2007年7月27日， 8：00－12：00，

浙江镇海）

一、 试求实数a 的个数，使得对于每个a ，关于x 的三次方程31x ax a =++都

有满足1000x <的偶数根。 二、 如图，设C 、D 是以O 为圆心、AB 为

直径的半圆上的任意两点，过点B 作O 的切线交直线CD 交于P ，直线PO 与直线CA 、AD 分别交于点E 、F 。证明：OE =OF 。 三、 设*min i i a k k N k ??

=+∈????

，试求

[][]2212n n S a a a ??=+++??的值，其中

[]2,

n x ≥表示不超过x 的最大整数。

四、 求最小的正整数n ，使得对于满足条件1

2007n

i i a ==∑的任一具有n 项的正整

数数列12,,,n a a a ，其中必有连续的若干项之和等于30。

第 二 天

（2007年7月28日， 8：00－12：00，

浙江

镇海） 五、 设

函数

()

f x 满足

：

M

E

F

D

B

A

O

P

C

()()121f x f x x +-=+(x R ∈)，且当[]0,1x ∈时有()1f x ≤，证明：当x R ∈时，有()22f x x ≤+。

六、 如图，直角三角形ABC 中，D 是斜边AB 的中点，MB AB ⊥，MD 交AC

于N ；MC 的延长线交AB 于E 。证明：DBN BCE ∠=∠。 七、 试求满足下列条件的三元阵列(a , b , c )：

(i) a

八、 设正实数a 、b 、c 满足：abc =1，求证：对于整数2k ≥，有

3

2

k k k a b c a b b c c a ++≥+++ 答案

一、 令02x n =，n 为整数，且|2|1000n <，即||499n ≤，所以至多取24991999

?+=个数，即{499,498,0,1,,499}n ∈--，

。将02x n =代入原方程得 38121n a n -=

+。记381

()21

n f n n -=+,对任意的12,{499,498,0,1,,499}n n ∈--，,当12n n ≠ (12,n n Z ∈)时,若12()()f n f n =,设12

12,22

x x n n ==，其中12,x x 是关

于x 的方程310x ax a ---=的两个根，设另一根为3x ，由根与系数的关系

312122331123()1x x x x x x x x x a

x x x a =-+?

?

++=-??=+?

即12481

N a

N a =-??=+?(其中221121221212(),()N n n n n N n n n n =-++=-+) 即12481N N +=，矛盾！

所以，对于不同的12,{499,498,0,1,,499}n n ∈--，

，都有12()()f n f n ≠，于是满足条件的实数a 恰有999个。 【另解】

对任意||998x ≤，x 为偶数，31

1x a x -=+的取值都各不相同。

反证，若存在12x x ≠，使得33121211

11

x x x x --=++，其中12,x x 为偶数，则 22221212121212()(1)0x x x x x x x x x x -+++++=

由于12x x ≠，则120x x -≠，又因为222212121212x x x x x x x x ++++为偶数，所以22221212121212()(1)0x x x x x x x x x x -+++++≠，矛盾。因此满足条件的a 共有999个。

东南西北中

东南西北中 老凹坝小学：安翔 中，大体指的是中国，众所周知，中国是一个伟大而文明的古国。早在几千年前，中国人是世界上最聪明的，因为中国的四大发明比其他国家早了几百年。但那时的中国人又是最愚昧的，就如四大发明中的火药，愚昧的国人只是拿用在老年人的丧事上，而其他国家则用此来做成了机枪大炮，从而轰开了中国的大门。为什么他们偏要对准中国呢？因为中国地大物博，有取之不尽的宝藏。更可怕的是那些无知的卖国贼为了自保，反正都是宝，你来拿吧！留点给我就可以了。从那以后，中国便处于了水深火热之中。 因为当时的官人昏庸无能致使灾难降临，多国入侵一直践踏了几个世纪，到了最关键的时刻、也就是近代，别国还有点手下留情，最残忍的要数日本狗，一个简单的三光政策导致上亿的老百姓流离失所，加之死于小鬼子屠刀下的冤魂就有两千多万人，我心想现在的小鬼子睡觉怎么能安心？到了今天我才醒悟，他们根本就无法入睡；因为怕一睡下就见不到了明天的太阳，他们也不想入睡；因为一睡下就会有好多冤魂找他们赎罪。 有人曾经幽默的问起，世界上有东京、南京、北京，为什么没有西京？答之，因为西京被唐僧取走了。这只是一个笑话，但我想说的就是这三京，就从东京说起吧！ 东京，位于日本国，是小日本历来的首都，按方位排列，东

居首，为什么日本会得此称号呢？这也许和他的霸权主义有关吧！日本的所有人都受到军国主义和武士道的洗脑，他们的血液中流淌着一种霸气，然而中国人又特别的善良，一霸一善，所以东京被日本抢先命了名。中国只有屈居第二了。得了个南京。但小日本又不放手，来个大屠杀，搞你个鸡犬不宁。没法，老毛只好定都北京。从那以后中国人民翻身做了主人，今天可以说是扬眉吐气了，不一定哪天回敬一下，来个东京大屠杀。 这有可能吗？一个字：有，但中国人太善良了。小日本狗天天在身边狂叫，你却只来个外交部回应。菲律宾抓了你的渔民，你也是外交部回应。回应来回应去，只会让原来的哈巴狗，变成了狼狗，再由狼狗变成了疯狗。那时你又处于被动，小心被狗咬了。这叫“养狗为患”啊！ 这种外交政策就像教育制度一样，一切为了孩子，为了孩子的一切。如果真这样，那真会害了老子。把孩子抬得高高在上，那中国的将来必须毁在这些孩子的手中。对于这种荒谬的结论，让我想起了一个笑话： 一天一头公牛拼命的逃跑，路遇一头母牛在吃草，公牛大喊：你还不快逃命，专家来了。母牛莫名的问：专家来了有什么？我为什么要逃？公牛说：现在的专家专门吹牛B。母牛听了大吃一惊，撒腿就跑。边跑边问公牛：专家吹牛B，你是公的，为什么还要跑呢？公牛解释到：他们不光吹牛B，还扯蛋。 这足以说明，祖国要发展，但要切合实际，中国要想树立大

历届东南数学奥林匹克试题

目录 2004年东南数学奥林匹克 (2) 2005年东南数学奥林匹克 (4) 2006年东南数学奥林匹克 (6) 2007年东南数学奥林匹克 (9) 2008年东南数学奥林匹克 (11) 2009年东南数学奥林匹克 (14) 2010年东南数学奥林匹克 (16) 2011年东南数学奥林匹克 (18) 2012年东南数学奥林匹克 (20)

2004年东南数学奥林匹克 1.设实数a、b、c满足a2+2b2+3c2=32，求证：3?a+9?b+27?c≥1. 2.设D是△ABC的边BC上的一点，点P在线段AD上，过点D作 一直线分别与线段AB、PB交于点M、E，与线段AC、PC的延长线交于点F、N.如果DE=DF，求证：DM=DN. 3.(1)是否存在正整数的无穷数列{a n}，使得对任意的正整数n都有 a n+12≥2a n a n+2. (2)是否存在正无理数的无穷数列{a n}，使得对任意的正整数n都有 a n+12≥2a n a n+2. 4.给定大于2004的正整数n，将1,2,3,?,n2分别填入n×n棋盘（由n行n列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数.如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”.求棋盘中“优格”个数的最大值. 5.已知不等式√2(2a+3)ccc(θ?π4)+6ssnθ+ccsθ?2csn2θ<3a+ 6对于θ∈?0,π2?恒成立，求a的取值范围. 6.设点D为等腰△ABC的底边BC上一点，F为过A、D、C三点的 圆在△ABC内的弧上一点，过B、D、F三点的元与边AB交于点E.求证：CD?EE+DE?AE=AD?AE. 7.N支球队要矩形主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有 一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进

第十届中国东南地区数学奥林匹克试题解答

第十届东南数学奥林匹克解答 第一天 (2013年7月27日 上午8：00－12：00) 江西 鹰潭 1. 实数,a b 使得方程3 2 0x ax bx a -+-=有三个正实根．求32331 a a b a b -++的 最小值． （杨晓鸣提供） 解 设方程320x ax bx a -+-=的三个正实根分别为123,,x x x ，则由根与系数的关系可得 123122313123,,x x x a x x x x x x b x x x a ++=++==， 故0,0a b >>． 由2123122313()3()x x x x x x x x x ++≥++知：23a b ≥． 又由123a x x x =++≥= a ≥ 32331a ab a b -++23(3)31 a a b a a b -++= +332333113 a a a a a a b ++≥≥=≥++ 当9a b == 综上所述，所求的最小值为． 2. 如图，在ABC ?中，AB AC >，内切圆I 与BC 边切于点D ，AD 交内切圆I 于另一点E ，圆I 的切线EP 交BC 的延长线于点P ，CF 平行PE 交AD 于点 F ，直线BF 交圆I 于点,M N ，点M 在线段BF 上，线段PM 与圆I 交于另一 点Q ．证明：ENP ENQ ∠=∠． （张鹏程提供） 证法1 设圆I 与,AC AB 分别切于点,S T 联结,,ST AI IT ，设ST 与AI 交 于点G ，则,I T A T T G A I ⊥⊥，从而有2AG AI AT AD AE ?==?，所以,,,I G E D 四点共圆． 又,IE PE ID PD ⊥⊥，所以,,,I E P D 四点共圆，从而,,,,I G E P D 五点共圆． 所以90IGP IEP ∠=∠=，即IG PG ⊥ ，

舌尖上的中国之自然的馈赠

陶炳辉天人和谐感恩馈赠 ——评纪录片《舌尖上的中国》之‘自然的馈赠’《舌尖上的中国》是以美食为主题的纪录片，《自然的馈赠》拍摄画面优美而且制作精妙，不仅具有极强的可看性而且带给观众很强的真实感。追求的是对美食制作过程的记录，本集主要记录的是美食制作的第一个环节-----食材的获取，通过对多个地域多个民族特色食材的追踪记录向观众呈现出了一个个独特的食材获取过程，将镜头瞄准初始状态的生物，在大自然最原始的感召之下，天地山水湖海赋予了人类最终极的美食，体现着人与自然的和谐相处和传统中国的美食文化。 广袤的国土为我们的美食提供了无穷无尽的原材料，勤劳的中国人采集，捡拾，挖掘，捕捞。自然的馈赠给了人们味蕾的享受，让人们生存，同时，人们也温柔的对待大自然，?猎杀不绝?，片中所展示出来的人与自然的一来一往，透露出了浓浓的人文关怀。从另一层面《自然的馈赠》又升华到感恩这一主题；片中一直强调馈赠，几乎讲到每一种食材都会说这是大自然的馈赠，也许是在提示我们要学会感恩。 该片采用横向的结构方式，真实的记录了各种食材的获取过程。选取了位于中国东南西北，不同地域、不同时间内的食材进行逐个介绍；从天寒地冻的东北查干湖，到四季常青的海南岛，可谓是走遍中国的江南塞北，当看到那些属于自己家乡的风土人情，人文历史，倍感亲切，难掩激动，进而激发内心的思乡情愁。俗话说?民以食为天?，如果说中华文化博大精深，那中华饮食文化更加复员辽阔。 真实性，是一部纪录片的灵魂所在。片中在介绍每一个美食的同时都重点介绍了一个人，真实性就更能体现出来了。寻找松茸的卓玛母女，老包的笋林，制作诺顿火腿的黄树江父子等，有了真实的人物、地点、事件，使得整个片子的事实更加有可信度。 细节描写对于纪录片是极为重要的，细节描写不仅能打动观众，夹带深意的细节描写更是会将纪录片带到一个新的高度。《自然的馈赠》中对于细节的描写可说是精到了极致，云南人老黄和他的儿子树江制作诺邓盐，用到了一种传统的竹筒器具，纪录片对于这个不起眼的器具却用了特写将其突出，而纪录片着意呈现的父亲老黄和儿子树江一起制作诺邓火腿，树江尽管跟着父亲学了很多年，制作的诺邓火腿却仍然赶不上父亲的细节，更是有无限深意。 在画面构图上考究、细腻。色彩艳丽仿佛可以闻到食材的味道。景别与构图让镜头在保持记录功能的同时兼具了更多的美学意义。精美的构图和流畅的动作贯穿全篇将食物拍摄得千娇百媚，潜移默化的推动叙事。镜头干净、纯粹，虚实有度，将表达变得格外生动。取景拍摄亦拍得出国画的意境。 特写镜头，勾起无限遐想。的运用。影片中总是以特写来表达食物的诱人。在酥油炸松茸这道美食中，整个做法一直是用特写来拍摄做的过程，例如松茸从最原始的状态到用刀切片再到和酥油融为一体的酥脆感，都是由特写这个以突出为主的镜头来完成，更能表达食物的美感。同样的拍摄手法还有黄豆酸笋小黄鱼、火腿炒饭、鱼头泡饼等等。同时，在开始解说一种美食之前，它总是用一个大远景拍出当地的的景色，就像是香格里拉的迪庆村和湖北的嘉鱼县等。然后用跟拍的镜头来展现如何获取食材的辛苦，表达食物的可贵性，抖动的镜头更能凸显纪录片的真实感。在每一个食材被获取的时候，都是用跟拍的手法带领着观众见识它被获取的全过程。镜头跟着纪录片中的人物，让观众和他一起去采摘，去腌制，让观众身临其境。 解说词简练而有力量，凸显画面的内涵，更多的是让观众自己思考。在跟随者去冰湖捕鱼的场景中，漆黑的画面只有马灯有一丝光亮。?要知道现在脚下已经不是陆地，而是冰面，赶车的冰面有裂缝，人和马一旦踏上，落水甚至丢掉性命也是有可能的?。这段短小精悍的解说词充分的表现了前往捕鱼路上的危险性，寥寥数语就凸显了捕鱼的艰辛和危险性。 因为自然，人类繁衍生息，也因为自然，我们得到美味。朴实的劳作者对待自然的馈赠，而我们从这些勤劳智慧的劳作者身上，也许就是我们亲人的身上，更能够感受到生活的美好与幸福。片子的最后，出现劳作者平实、朴素、自然、幸福的笑，他们敬畏自然，这群大自然厚爱的人们，也将得到属于他们的最厚重的馈赠。

2004年首届中国东南地区数学奥林匹克竞赛考试试题

首届中国东南地区数学奥林匹克竞赛试题 第一天 （2004年7月10日 8：00 — 12：00 温州） 一、设实数a 、b 、c 满足2 2 2 3232 a b c ++= ，求证：39271a b c ---++≥ 二、设D 是ABC ?的边BC 上的一点，点P 在线段AD 上，过点D 作一直线分别与线段AB 、 PB 交于点M 、E ，与线段AC 、PC 的延长线交于点F 、N 。如果DE=DF ， 求证：DM=DN 三、（1）是否存在正整数的无穷数列{}n a ，使得对任意的正整数n 都有2 122n n n a a a ++≥。 （2）是否存在正无理数的无穷数列{}n a ，使得对任意的正整数n 都有2 122n n n a a a ++≥。 四、给定大于2004的正整数n ，将1、2、3、…、2 n 分别填入n ×n 棋盘（由n 行n 列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数。如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”。求棋盘中“优格”个数的最大值。 第二天 （2004年7月11日 8：00 — 12：00 温州） 五、已知不等式63)cos()2sin 2364 sin cos a a π θθθθ+- + -<++对于0,2πθ?? ∈?? ?? 恒成立，求a 的取值范围。 六、设点D 为等腰ABC ?的底边BC 上一点，F 为过A 、D 、C 三点的圆在ABC ?内的弧上一点，过B 、D 、F 三点的圆与边AB 交于点E 。求证：CD EF DF AE BD AF ?+?=? 七、n 支球队要举行主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进行多场客场比赛。但如果某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛。如果4周内能够完成全部比赛，球n 的最大值。 注：A 、B 两队在A 方场地举行的比赛，称为A 的主场比赛，B 的客场比赛。 八、求满足 0x y y z z u x y y z z u ---++>+++，且110x y z u ≤≤、、、的所有四元有序整数组（,,,x y z u ）的个数。

2021学习强国征文过年中国人的集体记忆主题作文1500字5篇

2021学习强国征文过年中国人的集体记忆主题作文1500字5篇 过年中国人的集体记忆主题作文1500字范文一 【客家子弟的过年记忆】 过年，是中国人的春节，作为中国人的集体记忆，是最热闹的节日。每至年关，东南西北的人们都要卸下一身的风尘回家过年，相聚一场繁华的味觉盛宴。收红包、穿新衣、放鞭炮、贴春联早已成为儿时最深刻的记忆，深深刻在中国人的骨子里。辞旧迎新、团团圆圆是中国人始终信奉的幸福标准。小年一过就开始各种忙活，大扫除、购年货、煎炸蒸煮，尽管习俗千差万别，却承载着共同的希冀。那些烙印在心中的味道历久弥新，那些藏在“年”里的故事也代代相传。 我是地地道道的客家人。客家，是中华民族大家庭中重要的成员，是一个具有显著特征的汉族民系，也是汉族中在世界上分布范围最广泛，影响最深远，人数最多的民系。近年来的研究表明，客家本系中原汉人，因战乱、灾荒等原因，经豫、鄂、皖等辗转南迁，渐次定居在赣、闽、粤三角地带，后来更远播于海外。赣、闽、粤三角地带是客家的大本营，江西省赣州市宁都县处在大本营的最前端，中原汉人南迁进入现在的客家区，最早就是定居在宁都一带。因此，宁都便成了客家祖地。肖田吴村地处宁都最北端，是赣南的“北极点”，也是客家祖地。这便是生我养我的故土。 肖田乡吴村位于江西省赣州市宁都县北面，距县城75公里，东邻南丰、广昌县，南邻洛口，西接东韶乡，北连宜黄、乐安县，系四

县交界处。这里是赣江源发源地，一条小溪过梅江，贡江直接汇入赣江。这里群山绵绵，山清水秀，风景优美;这里民风淳朴，日出而作，日落而居，是江西省食用菌生产基地。 因为家乡偏僻、落后，我们三兄弟毕业后一直在深圳打拼。将近20年了，每年春节放假后，便从深圳出发，乘火车或汽车回宁都。近10年因宁定高速开通，三兄弟都各自购买了小汽车，年年挤入春运的大潮中。 回到老家后，第一件事情便是打扫卫生。房前房后，楼上楼下，通通都打扫一遍，全家动手，不分男女老小。往往需要一天或两天时间完成。 第二件事便是做肉丸。宁都县是个客家迁徙之地，逃避中原战乱、饱受迁徙之苦的宁都客家人，期盼着太平盛世，渴望举家团圆，永享安乐宁和，特地制作了一道地方特色突出、且带有浓厚喜庆色彩的风味美食，那就是团团圆圆的客家肉丸。宁都肉丸中的猪肉丸和鱼肉丸是宁都客家过年或办喜事必做的一道菜，意指团团圆圆、美满幸福。剔除鱼骨，留下鱼肉，按比例加上红薯粉，然后煮好鱼肉丸子供过年使用。 第三件大事便是准备年货。杀鸡杀鸭，备好白酒，自酿“客家娘酒”。糖果花生瓜子及各种小吃，鞭炮、对联、红包、小孩子新衣服等等，小年农历二十三便祭祖膜拜，农历二十九家家户户都要沐浴更衣。客家娘酒又是客家一绝，据《嘉应州志》记载，早在宋代以前就有“老酒仍烦为开瓮”的诗句。客家人用糯米放入蒸笼蒸成饭加入酒

2006年第3届中国东南数学奥林匹克试题及答案

第三届中国东南地区数学奥林匹克 第一天 （2006年7月27日， 8：00－12：00， 南昌） 一、 设0,a b >>2()2()4a b x ab f x x a b ++= ++．证明：存在唯一的正数x ，使得 113 3 3 ()()2 a b f x +=． 二、 如图所示，在△ABC 中，90,,ABC D G ∠=?是 边CA 上的两点，连接BD ，BG 。过点A ，G 分别作BD 的垂线，垂足分别为E ，F ，连接CF 。若BE ＝EF ，求证：ABG DFC ∠=∠。 三、 一副纸牌共52张，其中“方块”、“梅花”、“红心”、“黑桃”每种 花色的牌各13张，标号依次是2,3,,10,,,,J Q K A ，其中相同花色、相邻标号的两张牌称为“同花顺牌”，并且A 与2也算是顺牌（即A 可以当成1使用）. 试确定，从这副牌中取出13张牌，使每种标号的牌都出现，并且不含“同花顺牌”的取牌方法数。 四、 对任意正整数n ，设n a 是方程3 1x x n +=的实数根，求证： (1) 1n n a a +>； (2) 2 11 (1)n n i i a i a =<+∑。 第二天 （2006年7月28日， 8：00－12：00， 南昌） 五、 如图，在ABC ?中，60A ∠=?，ABC ?的内切圆I 分 别切边AB 、AC 于点D 、E ，直线DE 分别与直线BI 、 CI 相交于点F 、G ，证明：1 2 FG BC =。 六、 求最小的实数m ，使得对于满足a +b +c =1的任意正实数a ，b ，c ，都有333222(61m a b c a b c ++≥+++） （）。 七、 （1）求不定方程2()mn nr mr m n r ++=++的正整数解(,,)m n r 的组数。 （2）对于给定的整数k >1，证明：不定方程()mn nr mr k m n r ++=++至 少有3k +1组正整数解(,,)m n r 。 B A

2007年第6届中国女子数学奥林匹克(CGMO)试题(含答案)

2007年女子数学奥林匹克 第一天 1．设m 为正整数，如果存在某个正整数n ，使得m 可以表示为n 和n 的正约数个数（包括1和自身）的商，则称m 是“好数”。求证： （1）1，2，…，17都是好数； （2）18不是好数。 2．设△ABC 是锐角三角形，点D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，线段AD 、BE 、CF 经过△ABC 的外心O 。已知以下六个比值 DC BD 、EA CE 、FB AF 、FA BF 、EC AE 、DB CD 中至少有两个是整数。求证：△ABC 是等腰三角形。 3．设整数)3(>n n ，非负实数.2,,,2121=+++n n a a a a a a 满足 求1 112 1232 221++++++a a a a a a n 的最小值。 4．平面内)3(≥n n 个点组成集合S ，P 是此平面内m 条直线组成的集合，满足S 关于P 中的每一条直线对称。求证：n m ≤，并问等号何时成立？ 第二天 5．设D 是△ABC 内的一点，满足∠DAC=∠DCA=30°，∠DBA=60°，E 是边BC 的中 点， F 是边AC 的三等分点，满足AF=2FC 。求证：DE ⊥EF 。 6．已知a 、b 、c ≥0，.1=++c b a 求证： .3)(4 1 2≤++-+ c b c b a 7．给定绝对值都不大于10的整数a 、b 、c ，三次多项式c bx ax x x f +++=2 3)(满足条件32:.0001.0|)32(|+<+问f 是否一定是这个多项式的根？

8．n 个棋手参加象棋比赛，每两个棋手比赛一局。规定：胜者得1分，负者得0分，平局各得0.5分。如果赛后发现任何m 个棋手中都有一个棋手胜了其余m —1个棋手，也有一个棋手输给了其余m —1个棋手，就称此赛况具有性质P (m ). 对给定的)4(≥m m ，求n 的最小值)(m f ，使得对具有性质)(m P 的任何赛况，都有所有n 名棋手的得分各不相同。 综上，最少取出11枚棋子，才可能满足要求。 三、定义集合}.,|1{P k m k m A ∈∈+=+N 由于对任意的k 、1 1, ,++≠∈i k i k P i 且是无理数，则对任意的k 1、P k ∈2和正整数 m 1、m 2， .,1121212211k k m m k m k m ==?+=+ 注意到A 是一个无穷集。现将A 中的元素按从小到大的顺序排成一个无穷数列。对于任意的正整数n ，设此数列中的第n 项为.1+k 接下来确定n 与m 、k 间的关系。 若.1 1,1111++≤+≤+i k m m k m i m 则 由m 1是正整数知，对5,4,3,2,1=i ，满足这个条件的m 1的个数为].1 1[++i k m 从而，).,(]1 1[5 1 k m f i k m n i =++= ∑= 因此，对任意.),(,,,n k m f P k N m N n =∈∈∈++使得存在

2019年第十六届中国东南地区数学奥林匹克高一年级试题答案及评析

1．求最大的实数k ，使得对任意正数a ，b ，均有2()(1)(1)a b ab b kab +++≥． 2．如图，两圆1Γ，2Γ交于A ，B 两点，C ，D 为1Γ上两点，E ，F 为2Γ上两点，满足A ，B 分别在线段CE ，DF 内，且线段CE ，DF 不相交．设CF 与1Γ，2Γ分别交于点()K C ≠，()L F ≠，DE 与1Γ，2Γ分别交于点()M D ≠，()N E ≠． 证明：若ALM ?的外接圆与BKN ?的外接圆相切，则这两个外接圆的半径相等． 3．函数**:f →N N 满足：对任意正整数a ，b ，均有()f ab 整除(){} max ,f a b ．是否一定存在无穷多个正整数k ；使得()1f k =？证明你的结论． 4．将一个25?方格表按照水平方向或者竖直方向放置，然后去掉其四个角上的任意一个小方格，剩下由9个小方格组成的八种不同图形皆称为“五四旌旗”，或“八一旌旗”，简称为“旌旗”，如图所示． 现有一个固定放置的918?方格表．若用18面上述旌旗将其完全覆盖，问共有多少种不同的覆盖方案？说明理由．

5．称集合{1928,1929,1930,,1949}S =的一个子集M 为“红色”的子集，若M 中任意两个不同的元素之和均不被4整除．用x ，y 分别表示S 的红色的四元子集的个数，红色的五元子集的个数．试比较x ，y 的大小，并说明理由． 6．设a ，b ，c 为给定的三角形的三边长．若正实数x ，y ，y 满足1x y z ++=，求axy byz czx ++的最大值． 7．设ABCD 为平面内给定的凸四边形．证明：存在一条直线上的四个不同的点P ，Q ，R ，S 和一个正方形A B C D ''''，使得点P 在直线AB 与A B ''上，点Q 在直线BC 与B C ''上，点R 在直线CD 与C D ''上，点S 在直线DA 与D A ''上． 8．对于正整数1x >，定义集合()(){},,,mod 2x p S p p x p x v x αααα=≡为的素因子为非负数且，其中()p v x 表示x 的标准分解式中素因子p 的次数，并记()f x 为x S 中所有元素之和．约定()11f =． 今给定正整数m ．设正整数数列1a ，2a ，，n a ，满足：对任意整数n m >，()()(){}11max ,1,,n n n n m a f a f a f a m +??=++． （1）证明：存在常数A ，B ()01A <<， 使得当正整数x 有至少两个不同的素因子时，必有()f x Ax B <+； （2）证明：存在正整数Q ，使得对所有*n ∈N ，n a Q <． 第十六届中国东南地区数学奥林匹克 参考答案 1．原不等式 ()() 2221(1)a b b a b b kab ?++++≥ ()221(1)b ab b b kb a ???++++≥ ?? ? 单独考虑左边，左边可以看成是一个a 的函数、b 为参数，那么关于a 取最小值的时候有 ()()2231(1)1(1)(1)b ab b b b b b a ????++++≥++=+ ? ? ????? 于是我们只需要取32(1)k b b ?≤+即可．

2016女子数学奥林匹克试题

2016女子数学奥林匹克 （2016年8月12‐8月13日） 1、整数3n ≥，将写有21,2,...,n 的2 n 张卡片放入n 个盒子，每个盒子各有n 张。其后允许操作如下：每次选其中两个盒子，在每个盒子中各取两张卡片放入另一个盒子。证明：总是可以通过有限次操作，使得每个盒子内的n 张卡片上恰好是n 个连续整数。 2、ABC ?的三条边长为,,BC a CA b AB c ===，ω是ABC ?的外接圆。 ①若不含A 的 BC 上有唯一的点P （不同于,B C ），满足 PA PB PC =+，求,,a b c 应该满足的充要条件。 ②P 是①中所述唯一的点，证明：若AP 过BC 的中点， 则60BAC ∠

5、设于数列12,,...a a 的前n 项之和为12...n n S a a a =+++，已知11S =，对于1n ≥都有 21(2)4n n n S S S ++=+。证明：对于任意正整数n ，都有n a ≥。 6、求最大的正整数m ，使得可以在m 行8列的方格表中填入,,,C G M O ，每个单元格填一个字母。使得对于其中任意两行，这两行中最多在一列所填字母相同。 7、I 是锐角ABC ?的内心，AB AC >。BC 边上的高AH 与直线,BI CI 分别交于,P Q 。O 是IPQ ?的外心，,AO BC 交于L ，AIL ?的外接圆与BC 交于,N L ，D 是I 在BC 上的投影，求：BD BN CD CN =。 8、,Q Z 分别代表全体有理数、整数，在坐标平面上，对于任意整数m ，定义 (,),,0,m xy A x y x y Q xy Z m ??=∈≠∈???? 。对于线段MN ，定义()m f MN 为线段MN 上属于m A 的点的个数。求最小的实数λ，使得对于任意直线l ，均存在与l 有关的实数()l β，满足：对于l 上任意两点,M N ，都有20162015()()()f MN f MN l λβ≤?+。

首届中国东南地区数学奥林匹克(有答案)

首届中国东南地区数学奥林匹克 第一天 （2004年7月10日 8：00 — 12：00 温州） 一、设实数a 、b 、c 满足2 2 2 3232 a b c ++= ，求证：39271a b c ---++≥ 二、设D 是ABC ?的边BC 上的一点，点P 在线段AD 上，过点D 作一直线分别与线段AB 、 PB 交于点M 、E ，与线段AC 、PC 的延长线交于点F 、N 。如果DE=DF ， 求证：DM=DN 三、（1）是否存在正整数的无穷数列{}n a ，使得对任意的正整数n 都有2 122n n n a a a ++≥。 （2）是否存在正无理数的无穷数列{}n a ，使得对任意的正整数n 都有2122n n n a a a ++≥。 四、给定大于2004的正整数n ，将1、2、3、…、2 n 分别填入n ×n 棋盘（由n 行n 列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数。如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”。求棋盘中“优格”个数的最大值。 第二天 （2004年7月11日 8：00 — 12：00 温州） 五、已知不等式63)cos()2sin 2364 sin cos a a π θθθθ+- + -<++对于0,2πθ?? ∈?? ?? 恒成立，求a 的取值范围。 六、设点D 为等腰ABC ?的底边BC 上一点，F 为过A 、D 、C 三点的圆在ABC ?内的弧上一点，过B 、D 、F 三点的圆与边AB 交于点E 。求证：CD EF DF AE BD AF ?+?=? 七、n 支球队要举行主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进行多场客场比赛。但如果某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛。如果4周内能够完成全部比赛，球n 的最大值。 注：A 、B 两队在A 方场地举行的比赛，称为A 的主场比赛，B 的客场比赛。 八、求满足 0x y y z z u x y y z z u ---++>+++，且110x y z u ≤≤、、、的所有四元有序整数组（,,,x y z u ）的个数。

2018年第十五届东南地区数学奥林匹克试题

The 15th China Southeast Mathematical Olympiad 福建，泉州 第一天（2018年7月30日8:00-12:00） 高一年级试卷 1. 设c 是实数,若存在[]1,2x ∈,使得max ,25c c x x x x ? ?+++≥???? ．求c 的取值范围．这里{}max ,a b 表示实数a 、b 中的较大者． 2. 在平面直角坐标系中,若某点的横坐标与纵坐标均为有理数,则称该点为有理点,否则称之为无理点．在平面直角坐标系中任作一个五边形,在它的五个顶点中,有理点和无理点哪个多？请证明你的结论． 3. 锐角ABC △内接于⊙O ()AB AC <,BAC ∠的平分线于BC 相交于点T ,AT 的中点是M ,点P 在ABC △内,满足PB PC ⊥．过P 作AP 的垂线,D 、E 是该垂线上不同于P 的两点,满足BD BP =,CE CP =．若直线AO 平分线段DE ．证明：直线AO 与AMP △的外接圆相切． 4. 是否存在集合*A N ?,使得对每个正整数n ,{},2,3,,15A n n n n ?恰含有一个元素？证明你的结论．

The 15th China Southeast Mathematical Olympiad 福建，泉州 第二天（2018年7月31日8:00-12:00） 高一年级试卷 5. 设{}n a 为非负实数列．定义21k k i i X a ==∑,212k k k i i Y a i =??=???? ∑,1,2, k =．证明：对任意正整数n ,有100n n n n i i i i X Y Y X ?==≤? ≤∑∑．这里,[]x 表示不超过实数x 的最大整数． 6. 在ABC △中,AB AC =,⊙O 的圆心是边BC 的中点,且与AB 、AC 分别相切于点E 、F ．点G 在⊙O 上,使得AG EG ⊥,过G 作⊙O 的切线,与AC 相交于点K ．证明：直线BK 平分线段EF ． 7. 一次会议共有24人参加,每两人之间或者握手一次,或者不握手．会议结束后发现,总共出现了216次握手,且任意握过手的两个人P 、Q ,在剩下的22人中,恰与P 、Q 之一握过手的不超过10人．一个朋友圈指的是会议中3个两两之间握过手的人所构成的集合．求这24个人中朋友圈个数的最小可能值． 8. 设m 为给定的正整数,对正整数l ,记()()()()4142451m l A l l l =+?+? ?+．证明：存在无穷多个正整数l ,使得55 m l l A 且515m l +不整除l A ．并求出满足条件的l 的最小值．

中国地理之东南西北特色篇

中国地理之东南西北特色篇 A、小路，听说你最近忙的很啊！ B、哪有，就是乱忙。 A、那我问一下，你最近都忙了些什么啊？ B、哎呀！这可就不好说了，就说前几天吧我去广州想给我那婶婶批发点衣服回来卖，结果刚下火车站就碰上砍人的，那把我吓得呀！现在魂还没回来呢。 A、哎呦！那可得吓得半死，那你这后来怎么样啊？ B、嗨！别提了，我本来想赶紧回去找个太平地躲一下，于是我就寻思往哪里去呢？ A、那你想着了吗？ B、想到了 A、哪里？ B、北京啊 A、嗯！那地方好，全国的政治中心，肯定太平的很啊！ B、对啊！我本想坐京广线的，可是火车站封了，不给外出。 A、那飞机呢？ B、机票太贵，买不起。 A、嗨！那你打算怎么办啊？ B、后来我灵机一动，还不如坐船去香港吧！既便宜又安全。 A、你就去了？ B、去了 A、那到那里你都做些什么呢？ B、记得来的时候，我妈跟我说看广州有没有好看的包包让我给她带一个。 A、这跟你在香港有什么关系啊？ B、关系大了，你想啊我在广州没能逛上街，我可以在香港逛逛啊！ A、对！这可是被称为“购物天堂”的地方啊！不逛心里肯定还特别痒的慌。 B、那是，我就开始逛了，我就想先给我妈买一包吧！ A、准备买什么牌子的？在哪里买啊？ B、一开始也没打算，就瞎逛，在一个免税店看到了许多卖包的店。 A、那你进去了吗？ B、进去了，还买了一个包，你别说这包还真不便宜。 A、多少钱？ B、5800. A、什么包啊？这么贵！ B、Chanel 经典菱格款，说是免税的，谁知道免税完了还这么贵！ A、好吧！你对你妈还真舍得，那你给你自己买东西了吗？ B、没有 A、为什么？ B、你这不是废话吗？花了那么多钱，车票都不知道怎么办了？ A、那你婶婶给你的进货的钱呢？ B、花了 A、那你怎么办？ B、我就想先不回家，先去哪里找一个比较快挣到钱的地方打工，把钱挣回来。 A、呵！亏你想的出来，那你准备去哪里啊？

最新-2018女子数学奥林匹克 精品

第一天 2018年8月12日上午8∶00～12∶00 长春 我们进行数学竞赛的目的，不仅仅是为了数学而数学，其着眼点还是因为它是一切科学的得力助手，因而提高数学，也为学好其他科学打好基础. ——华罗庚 1. 如图，设点P 在△ABC 的外接圆上，直线CP 和AC 相交于点E ，直线BP 和AC 相交于点F ,边AC 的垂直平分线交边AB 于点J ，边AB 的垂直平分线交边AC 于点K,求证： 2 2BF CE =F ··K AK JE AJ . 2.求方程组 的所有实数解. 3.是否存在这样的凸多面体，它共有8个顶点，12条棱和6 个面，并且其中有4个面，每两个面都有公共棱？ 4.求出所有的正实数a ，使得存在正整数n 及n 个互不相交的无限集合1A ，2A ，…，n A 满足1A ∪2A ∪…∪n A =Z ，而且对于每个i A 中的任意两数b >c ，都有b -c ≥i a . ?? ???=++??? ?? +=???? ? ?+=??? ??+1 ,11311215zx yz xy z z y y x x

第二天 2018年8月13日上午8∶00～12∶00 长春 数学竞赛，它对牢固基础知识、发展智力，培养拔尖人才，是一件具有战略意义的活动。 ——华罗庚 5.设正实数x ，y 满足3 x +3y =x -y ,求证： .1422＜y x + 6.设正整数n ≥3，如果在平面上有n 个格点，，，?21P P n P 满足：当j i P P 为有理数时，存在k P ，使得k i P P 和k j P P 均为无理数;当j i P P 为无理数时，存在k P ,使得k i P P 和k j P P 均为有理数，那么称n 是“好数”. (1)求最小的好数； (2)问：2018是否为好数？ 7.设m ，n 是整数，m >n ≥2,S ={1,2,…,m },T ={1a ,2a …,n a }是S 的一个子集.已知T 中的任两个数都不能同时整除S 中的任何一个数，求证： .11121m n m a a a n ++?++＜ 8.给定实数a ,b ,a >b >0,将长为a 宽为b 的矩形放入一个正方形内(包含边界)，问正方形的 边至少为多长？

2019年第十六届中国东南地区数学奥林匹克高一试题

第十六届中国东南地区数学奥林匹克 1. 求最大的实数k ，使得对任意正数a ，b ，均有()()()2 11a b ab b kab +++≥. 2. 如图，两圆1P ，2P 交于A ，B 两点，C ，D 为1P 上两点，E ，F 为2P 上两点，满足A ，B 分别在线段CE ，DF 内，且线段CE ，DF 不相交.设CF 与1P ，2P 分别交于点()K C ≠，()L F ≠，DE 与1P ，2P 分别交于点()M D ≠，()N E ≠. 证明：若ALM ?的外接圆与BKN ?的外接圆相切，则这两个外接圆的半径相等. 3. 函数:f N N **→满足：对任意正整数a ，b 均有()f ab 整除(){} max ,f a b .是否一定存在无穷多个正整数k ；使得()1f k =？证明你的结论. 4. 将一个25?方格表按照水平方向或者竖直方向放置，然后去掉其四个角上的任意一个小方格，剩下由9个小方格组成的八种不同图形皆称为“五四旌旗”，或“八一旌旗”，简称为“旌旗”，如图所示. 现有一个固定放置的918?方格表.若用18面上述旌旗将其完全覆盖，问共有多少种不同的覆盖方案？说明理由. 第十六届中国东南地区数学奥林匹克 江西g 吉安 高二年级 第一天

2019年7月30日 上午8:00-12:00 1. 对任意实数a ，用[]a 表示不超过a 的最大整数，记{}[] a a a =-.是否存在正整数m ，n 及1n +个实数0x ，1x ，…，n x ，使得0428x =，1928n x =， 110105k k k x x x m +????=++???????? (0k =，1，…，1n -)成立？证明你的结论. 2. 如图，在平行四边形中ABCD ，90BAD ∠≠?，以B 为圆心，BA 为半径的圆与AB ，CB 的延长线分别相交于点E ，F ，以D 为圆心，DA 为半径的圆与AD ，CD 的延长线分别相交于点M ，N ，直线EN ，FM 相交于点G ，直线AG ，ME 相交于点T ，直线EN 与圆D 相交于点()P N ≠，直线MF 与圆B 相交于点()Q F ≠.证明：G ，P ，T ，Q 四点共圆. 3. 今有n 人排成一行，自左至右按1，2，…，n 的顺序报数，凡序号为平方数者退出队伍；剩下的人自左至右再次按1，2，3，…的顺序重新报数，凡序号为平方数者退出队伍；如此继续.在此过程中，每个人都将先后从队伍中退出. 用()f n 表示最后一个退出队伍的人在最初报数时的序号.求()f n 的表达式(用n 表示)；特别地，给出()2019f 的值. 4. 在55?矩阵X 中，每个元素为0或1.用,i j x 表示中第行第列的元素(，，…，).考虑的所有行、列及对角线上的元有序数组(共个数组)： （,1i x ，,2i x ，...，,5i x ），（,5i x ，,4i x ，...，,1i x ，）（1i =，2， (5) （1,j x ，2,j x ，...，5,j x ），（5,j x ，4,j x ，...，1,j x ）（1j =，2， (5) （1,1x ，2,2x ，…，5,5x ，），（5,5x ，4,4x ，…，1,1x ）， （1,5x ，2,4x ，…，5,1x ），（5,1x ，4,2x ，…，1,5x ）. 若这些数组两两不同，求矩阵X 中所有元素之和的可能值.

中国之东南西北年夜饭

中国之东南西北年夜饭 年夜饭，又称团圆饭，在这一天人们除旧迎新，一家相聚，共进晚餐，全家人围坐在一起，热热闹闹。往往这一天，饭桌上的菜是最多最丰盛的了，那各个地方，年夜饭的饭桌上都有不同的菜式，下面我们就来看看各地的年夜饭是怎么样的呢？ 淮扬：豌豆水芹十全菜 淮扬菜素有“东南第一佳味，天下之至美”的美誉，“淮”即淮菜，以淮安为代表，而“扬”即扬州、镇江一带的风味菜。它的一大特点就是时令性强，清鲜平和，制作精细。 水芹，估计全国范围内没有其他地方会像扬州人一样在过年时节对水芹有着如此巨大的热诚，当然，这里有着地理方面的因素——早先水芹是扬州这边的特产，因为水芹中间是空心的，故扬州人认为年夜饭吃了水芹来年就能“路路通”，一帆风顺。 豌豆苗，在扬州当地方言中，“豌豆”被念成“an dou”，炒上一碗“安豆苗”，即有“平平安安”的意思。每到过年时节，水芹菜和豌豆苗都会卖得很贵，所以有经验的主妇都会提前几天就买好放在家里。 十全菜，以咸菜为主，里面有菜和配料共十种，主妇会准备胡萝卜丝、笋丝、豆干丝、莲藕、野荠、冬笋、黄花菜、香菇、豆芽、木耳、花生、黄豆等各种时令鲜蔬，然后一样一样下锅炒——这点很关键，不管有多少种菜，每一种都必须单独下锅，单独加调料，这样才能保持它的原汁原味，不窜味，也不会因材质不同影响火候。炒好后，红黄白绿，五颜六色，分盛在一个个瓷碗里，散发诱人的清香，光是看看，就足够让人流口水了。 粤：隆而重之好意头 广州人分外讲究“好意头”，一些带有吉祥寓意或谐音的食材、菜式在年夜饭必不可少：虾，因其粤语与“哈”同音，寓意新的一年要过得“笑哈哈”；发菜、蚝豉，寓意“发财好市”；顺德鱼生，配有十多种配料，吃时大家一起用筷子将其搅拌、夹起，并齐声念道：“捞起”，意味着“新的一年捞得风生水起”；同样，生菜（生财），鱼（年年有余），都是不可少的菜式。 如果更讲究的，或者在一些客家人的家庭里，盆菜也是年夜饭的主角，这道粤菜里独特的风景线，做起来大费周章，但无论形式还是内容上，都让人感觉一盆喜庆。盆菜是将多种食物堆积在一盆里，传统盆菜在用料方面，猪、鸡、鸭、海味、冬菇、猪皮、枝竹、萝卜、生菜等不可少。讲究荤素结合，以免过于油腻。

开开心心过大年_六年级日记

开开心心过大年 开开心心过大年550字春节，家家户户都张灯结彩，喜气洋洋。今年的春节，我过得特别有意思。直到今天，我还记忆犹新。 早晨，我们一家人忙开了。妈妈在大门上贴春联。映入我眼帘的是“日丽春常驻，人和福永留”。表示家庭祥和幸福。我呢，则帮妈妈贴“福”字，正要贴在门上。妈妈连忙阻止我，说道：“‘福’字应该倒贴，就是‘福’到的谐音，福光临我们家了。春节帖春联有喜庆、财气、吉祥之意。”我一听，赶紧把“福”字倒贴了。爸爸也在精心准备，挂起了一盏盏红灯笼。我想：这红灯笼难道不就代表着我们祖国的面貌在日新月异地变化着吗？ 晚上，该是吃年夜饭的时候了。厨房里弥漫着香气；桌上摆放着丰盛的晚餐，使人看了，口水直流。桌中间有一条鱼，那就表示年年有余。客人们也都到了，欢欢喜喜地坐在桌子面前，津津有味地品尝着年夜饭。爸爸妈妈笑容满面地招呼着客人。全家人都其乐融融，屋子里充满了幸福的气氛。 吃完饭，外婆来分红包喽！我们家有一个小约定，小辈们拿到了奖状，不仅有红包，还会有其他奖励。今年，我被评上了“三好学生”。外婆就分给我一份红包，还送给我一只精美的文具盒。鼓励我在新的一年里，学习成绩更上一层楼。小孩子们都收到了红包，脸上露出了灿烂的笑容。 晚上八点整，我们全家准时打开了电视机，收看“春节联欢晚会”。那悠扬的歌声，使人陶醉其中；那优美的舞姿，使人赞不绝口；那滑稽有趣的笑话，使人捧腹大笑；那精彩的相声小品，使人开怀大笑……阵阵欢声笑语荡漾在客厅上空。 今年的春节，我过得十分有意义。我希望明年春节，我会过得更好！ 开开心心过大年100字坐在爸爸的面包车上，穿着红色的衣服，期待着年夜饭、红包还有鞭炮，我的心里开心极了。爸爸开车好快，不一会我们就到老家了。 爷爷和奶奶来迎接我们，一进门，我就看见了一桌子的年夜饭，就开始流口水了。这时，爷爷又给我拿出了红包，还答应我晚上陪我去放鞭炮呢。 就这样我开开心心的吃了这顿饭。今天也玩得很开心。 一 开开心心过大年200字新年中最有趣的是我的小伙伴一起放鞭炮。中午吃完饭，我就拿着鞭炮带着伙伴就朝门外奔去。我们用火点燃了烟花，只听见天空中“砰，砰”几声，各种烟花在天空中绽放，真是形态各异，五颜六色，像一枚枚子弹直冲云宵，还有像一个个没有开放的花苞，在天空中欣然怒放。我看见这样美丽的烟花心里想：“如果把烟花摆成心形的形状飞上天会不会很漂亮呢？。”于是，我赶紧叫伙伴们干起活来不一会就摆好了，我们一起点燃所有的烟花，只听“啪”的一声，烟花朝天空中直飞而去，一个巨大的爱心呈现在空中连路过的人都声声赞叹！看着天空被这些五彩缤纷的烟花装扮的绚丽多彩，我们个个欢呼雀跃，开心极了！ 过新年，穿新衣，开开心心过大年……我们唱着欢乐的歌谣，迎接新的一年。 四 开开心心过大年650字今天，美好的天衬着美好的事，迎来了美好的新春佳节。我们一家早早的来到了外婆家，期待那丰盛的年夜饭。 一进门，只听见外婆在厨房上演着锅碗瓢盆的小奏鸣曲——外婆正在准备年