高等数学练习题附答案
第一章 自测题
一、填空题（每小题3分，共18分）
1. ()
3lim
sin tan ln 12x x x
x →=-+ . 2. 2
1
31lim
2
x x x
x x →--+=+- . 3.已知212lim 31
x x ax b
x →-++=+，其中为b a ,常数，则a = ，b = . 4. 若()2sin 2e 1
,0,0ax x x f x x
a x ?+-≠?
=??=?
在()+∞∞-,上连续，则a = . 5. 曲线2
1
()43
x f x x x -=
-+的水平渐近线是 ，铅直渐近线是 . 6. 曲线()
121e x
y x =-的斜渐近线方程为 .
二、单项选择题（每小题3分，共18分）
1. “对任意给定的()1,0∈ε，总存在整数N ，当N n ≥时，恒有ε2≤-a x n ”是数列
{}n x 收敛于a 的 .
A. 充分条件但非必要条件
B. 必要条件但非充分条件
C. 充分必要条件
D. 既非充分也非必要条件
2. 设()2,0
2,0x x g x x x -≤?=?+>?，()2,0
,
x x f x x x ?<=?
-≥?则()g f x =???? . A. 22,02,0x x x x ?+
2,0
x x x x ?+
3. 下列各式中正确的是 .
A ．01lim 1e x x x +
→??
-= ???
B.01lim 1e x
x x +→??+= ??? C.1lim 1e x x x →∞??-=- ??? D. -11lim 1e x
x x -→∞
??+= ???
4. 设0→x 时，tan e
1x
-与n x 是等价无穷小，则正整数n = .
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
5. 曲线2
2
1e 1e
x x y --+=
- .
A. 没有渐近线
B. 仅有水平渐近线
C. 仅有铅直渐近线
D. 既有水平渐近线又有铅直渐近线 6．下列函数在给定区间上无界的是 . A.
1sin ,(0,1]x x x ∈ B. 1
sin ,(0,)x x x ∈+∞ C. 11sin ,(0,1]x x x ∈ D. 1
sin ,(0,)x x x
∈+∞
三、求下列极限（每小题5分，共35分）
1.222lim 413
x x x x →--+-
2．(
)
120
lim e
x x
x x -→+
3.(
)
1lim 123
n
n n
n →∞
++
4．221sin
lim
21
x x x x →+∞
-
5. 设函数()()1,0≠>=a a a x f x ，求()()()2
1lim ln 12n f f f n n →∞????.
6．1
402e sin lim 1e x x x x x →??+ ?+ ? ?
+??
7．0
1cos lim 1cos x x
x
+
→--
四、确定下列极限中含有的参数（每小题5分，共10分）
1.22
12lim 22
x ax x b
x x →-+=-+-
2．()
2lim 21x x ax bx →-∞
++-=
五、讨论函数,0()(0,0,1,1)0,0x x
a b x f x a b a b x x ?-≠?
=>>≠≠??=?
在0x =处的连续性，
若不连续，指出该间断点的类型.（本题6分）
六、设sin sin sin ()lim sin x t x
t x t f x x -→??
= ???
，求()f x 的间断点并判定类型. （本题7分）
七、设()f x 在[0,1]上连续，且(0)(1)f f =.证明：一定存在一点10,2ξ??
∈????，使得
1()2f f ξξ?
?=+ ??
?.（本题6分）
第二章 自测题
一、填空题（每小题3分，共18分）
1.设()f x 在0x 可导，且00()0,()1f x f x '==，则01lim h hf x h →∞
??
-
= ???
. 2.设2
1cos f x x ??=
???，则()f x '= . 3.2d d 1x x x
=- . 4.设sin (e )x
y f =，其中()f x 可导，则d y = .
5.设arccos y x =，则12y ??
'=
???
. 6.曲线1sin xy x y =+在点1,ππ??
???
的切线方程为 . 二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1.下列函数中，在0x =处可导的是 .
A.||y x =
B.|sin |y x =
C.ln y x =
D.|cos |y x =
2.设()y f x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则000
(2)()
lim
x f x x f x x x
→+--= .
A.6
B.6-
C.16
D.1
6
-
3.设函数()f x 在区间(,)δδ-内有定义，若当(,)x δδ∈-时恒有2
|()|f x x ≤，则0x =是
()f x 的 .
A.间断点
B.连续而不可导的点
C.可导的点，且(0)0f '=
D.可导的点，且(0)0f '≠
4.设2sin ,0
(),0x x f x x x
，则在0x =处()f x 的导数 .
A.0
B.1
C.2
D.不存在
5.设函数()f u 可导，2
()y f x =当自变量x 在1x =-处取得增量0.1x =-时，相应的函数增量y 的线性主部为0.1，则(1)f '= .
A.1-
B.0.1
C.1
D.0.5
三、解答题（共67分）
1.求下列函数的导数（每小题4分，共16分） (1)(
)2ln e 1e x x
y =++
(2)(
)
111y x x ??=+- ???
(3)a
a
x
a x a
y x a a =++
(4)cos (sin )
x
y x =
2.求下列函数的微分（每小题4分，共12分） (1)2
ln sin y x x x =+ (2)2
1cot e x
y =
(3)2
11x
y x
x
-=+
3.求下列函数的二阶导数（每小题5分，共10分） （1）2
cos ln y x x = （2）11x
y x
-=+
4.设e ,1
(),1
x x f x ax b x ?≤=?+>?在1x =可导，试求a 与b .（本题6分）
5.设sin ,0()ln(1),0
x x f x x x
()f x .（本题6分）
6.设函数()y y x =由方程2
2ln 1x xy y
-=所确定，求d y .（本题6分）
7.设()y y x =由参数方程ln tan cos 2sin t x a t y a t
???=+? ?????=?
，求22d d ,d d y y x x .（本题6分）
8.求曲线3
213122t x t y t t +?=????=+??
在1t =处的切线方程和法线方程.（本题5分）
第三章 自测题
一、填空题（每小题3分，共15分）
1.若0,0a b >>均为常数，则30
lim 2x x
x
x a b →?+?
=
???
. 2.20
11lim tan x x x x →??-=
???
. 3.3
arctan lim
ln(12)
x x x
x →-=+ . 4.曲线2
e x
y -=的凹区间 ，凸区间为 .
5.若()e x f x x =，则()
()n f
x 在点x = 处取得极小值.
二、单项选择题（每小题3分，共12分）
1.设,a b 为方程()0f x =的两根，()f x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，则()f x '0=在
(,)a b 内 .
A.只有一个实根
B.至少有一个实根
C.没有实根
D.至少有两个实根
2.设()f x 在0x 处连续，在0x 的某去心邻域内可导，且0x x ≠时，0()()0x x f x '->，则
0()f x 是 .
A.极小值
B.极大值
C.0x 为()f x 的驻点
D.0x 不是()f x 的极值点 3.设()f x 具有二阶连续导数，且(0)0f '=，0
()
lim
1||
x f x x →''=，则 . A.(0)f 是()f x 的极大值 B.(0)f 是()f x 的极小值
C ．(0,(0))f 是曲线的拐点
D ．(0)f 不是()f x 的极值，(0,(0))f 不是曲线的拐点 4.设()f x 连续，且(0)0f '>，则0δ?>，使 .
A.()f x 在(0,)δ内单调增加.
B.()f x 在(,0)δ-内单调减少.
C.(0,)x δ?∈，有()(0)f x f >
D.(,0)x δ?∈-，有()(0)f x f >.
三、解答题(共73分)
1.已知函数()f x 在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且(1)0f =，
证明在(0,1)内至少存在一点ξ使得()
()tan f f ξξξ
'=-.（本题6分）
2.证明下列不等式（每小题9分，共18分） （1）当0a b <<时，ln b a b b a
b a a
--<<
.
（2）当02
x π
<<
时，
2
sin x x x π
<<.
3.求下列函数的极限（每小题8分，共24分）
（1）0
e e 2lim sin x x x x
x x
-→---
（2）21
sin 0
lim(cos )
x
x x →
（3）10
(1)e
lim
x
x x x
→+-
4.求下列函数的极值（每小题6分，共12分） （1）123
3
()(1)f x x x =-
（2）2,0
()1,0
x x x f x x x ?>=?+
5.求2ln x
y x
=的极值点、单调区间、凹凸区间和拐点.（本题6分）
6.证明方程
1
ln0
e
x x+=只有一个实根.（本题7分）
第一章自测题
一、填空题（每小题3分，共18分）
1. 2. 3. ， 4.
5. 水平渐近线是，铅直渐近线是
6.
二、单项选择题（每小题3分，共18分）
1. C
2. D
3. D
4. A
5. D 6．C
三、求下列极限（每小题5分，共35分）
解：1.. 2．
.
3.，
又.
4．. 5.
. 6．，
，
所以，原式.
7．.
四、确定下列极限中含有的参数（每小题5分，共10分）
解：1.据题意设，则，令得，令得，故．
2．左边，右边故，则．
五、解：，故在
处不连续，所以为得第一类（可去）间断点．
六、解：，而
，故，都是的间断点，，故为的第一类（可去）间断点，
均为的第二类间断点．
七、证明：设，显然在上连续，
而，，
，
故由零点定理知：一定存在一点，使，即．
第二章自测题
一、填空题（每小题3分，共18分）
1. 2. 3. 4.
5. 6.或
二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1. D
2. A
3. C
4. D
5. D
三、解答题（共67分）
解：1.(1).
(2).
(3)
.
(4) 两边取对数得，两边求导数得
，.
2.求下列函数的微分（每小题4分，共12分）
(1) .
(2).
(3) .
3.求下列函数的二阶导数（每小题5分，共10分）
（1），
.
（2），.
4.首先在处连续，故，故，
其次，，
，由于在处可导，故，故，.
5.，，
故，由于在，时均可导，故.
6.方程可变形为，两边求微分得
，故.
7.，
.
8.，故.当时，.
故曲线在处的切线方程为，即，
法线方程为，即.
第三章自测题
一、填空题（每小题3分，共15分）
1． 2． 3． 4.， 5.
二、单项选择题（每小题3分，共12分）
1．B 2．A
3．B，提示：由题意得，，当时，；即当时，，当时，，从而在取得极小值
4. C，提示：由定义，由极限的保号性得，当
时，，即
三、解答题(共73分)
证明：1.令，则在上连续，内可导，且；由罗尔定理知，至少存在一点，使得，
故，即．
2.（1）令，则在区间上满足拉格朗日中值定理的条件．由拉格朗日中值定理得，至少存在一点，使得即，又，得到，从而．
（2）令，则，从而当时单调递增，即，故；令，则
，即当时单调递减，即，故；从而当时，．
解：3.（1）.
（2）.
（3）
.
4.⑴函数的定义域为；，令得驻点，不可导点；当时，；当时，；当时，；当时，；故为极大值点，极大值为；为极小值点，极小值为.
⑵，令得驻点，为不可导点.
当时，；当时，；当时，；故为极大值点，极大值为；为极小值点，极小值为.
5.定义域为；，，令得驻点，令
得；列表得：
- - + + +
- + + + -
单增凸单减凸单减凹极小值点单增凹
拐点
6．证明：令，显然，；令得唯一驻点，且；故在上当时取得极小值；当
时，，所以方程只有一个实根．