第二十章 曲线积分 1第一型曲线积分
一、第一型曲线积分的定义
引例:设某物体的密度函数f(P)是定义在Ω上的连续函数. 当Ω是直线段时,应用定积分就能计算得该物体的质量.
当Ω是平面或空间中某一可求长度的曲线段时,可以对Ω作分割,把Ω分成n 个可求长度的小曲线段Ωi (i=1,2,…,n),并在每一个Ωi 上任取一点P i . 由f(P)为Ω上的连续函数知,当Ωi 的弧长都很小时,每一小段Ωi 的质量可近似地等于f(P i )△Ωi , 其中△Ωi 为小曲线段Ωi 的长度. 于是在整个Ω上的质量就近似地等于和式i n
i i P f ?Ω∑=1)(.
当对Ω有分割越来越细密(即d=i n
i ?Ω≤≤1max →0)时,上述和式的极限就是
该物体的质量.
定义1:设L 为平面上可求长度的曲线段,f(x,y)为定义在L 上的函数.对曲线L 作分割T ,它把L 分成n 个可求长度的小曲线段L i (i=1,2,…,n),L i 的弧长记为△s i ,分割T 的细度为T =i n
i s ?≤≤1max ,在L i 上任取一点
(ξi ,ηi ),( i=1,2,…,n). 若有极限i n
i i i T s f ?∑=→1
),(lim ηξ=J ,且J 的值与分割T 与点(ξi ,ηi )的取法无关,则称此极限为f(x,y)在L 上的第一型曲线积分,记作:?L ds y x f ),(.
注:若L 为空间可求长曲线段,f(x,y,z)为定义在L 上的函数,则可类
似地定义f(x,y,z)在空间曲线L 上的第一型曲线积分?L ds z y x f ),,(.
性质:1、若?L i ds y x f ),((i=1,2,…,k)存在,c i (i=1,2,…,k)为常数,则
?∑=L k
i i i
ds y x f c
1
),(=∑?=k
i L
i i ds y x f c 1
),(.
2、若曲线L 由曲线L 1,L 2,…,L k 首尾相接而成,且?i
L ds y x f ),((i=1,2,…,k)
都存在,则?L ds y x f ),(也存在,且?L ds y x f ),(=∑?=k
i L i i
ds y x f 1
),(.
3、若?L ds y x f ),(与?L ds y x g ),(都存在,且f(x,y)≤g(x,y),则
?
L
ds y x f ),(≤?L
ds y x g ),(.
4、若?L ds y x f ),(存在,则?L ds y x f ),(也存在,且?L ds y x f ),(≤?L ds y x f ),(.
5、若?L ds y x f ),(存在,L 的弧长为s ,则存在常数c ,使得?L ds y x f ),(=cs, 这里),(inf y x f L
≤c ≤),(sup y x f L
.
6、第一型曲线积分的几何意义:(如图)若L 为平面Oxy 上分段光滑曲线,f(x,y)为定义在L 上非负连续函数. 由第一型曲面积分的定义,以L 为准线,母线平行于z 轴的柱面上截取0≤z ≤f(x,y)的部分面积就是
?
L
ds y x f ),(.
二、第一型曲线积分的计算 定理20.1:设有光滑曲线L:??
?==)
()
(t y t x ψ?, t ∈[α,β],函数f(x,y)为定义在L
上的连续函数,则?L ds y x f ),(=?'+'β
αψ?ψ?dt t t t t f )()())(),((22. 证:由弧长公式知,L 上由t=t i-1到t=t i 的弧长为△s i =?='+'i
i t t dt t t 1
)()(22ψ?.
由)()(22t t ψ?'+'的连续性与积分中值定理,有
△s i =)()(22i i τψτ?''+''△t i (t i-1
∴i n
i i i s f ?∑=1),(ηξ=i i i n
i i i t f ?''+''''''∑=)()())(),((221τψτ?τψτ? (t i-1
i i i i i n i i i t f ?'''+'''-''+''''''∑=)()()()())(),((22221τψτ?τψτ?τψτ?,则有
i
n i i
i
s f ?∑=1
),(ηξ=i i i n
i i
i
t f ?'''+'''''''∑=)()())
(),((221
τψτ?τψτ?+σ.
令△t=max{△t 1,△t 2,…,△t n },则当T →0时,必有△t →0. 又复合函数f(φ(t),ψ(t))关于t 连续,∴在[α,β]上有界,即 存在常数M ,使对一切t ∈[α,β],都有|f(φ(t),ψ(t))|≤M. 再由)()(22t t ψ?'+'在[α,β]上连续,从而在[α,β]上一致连续,即 ?ε>0, ?δ>0,使当△t<δ时有)()()()(2222i i i i τψτ?τψτ?'''+'''-''+''<ε, 从而|σ|≤εM ∑=?n
i i t 1=εM(β-α), 即σlim 0
→?t =0. 又由定积分的定义,得
i i i n
i i i t t f ?'''+'''''''∑
=→?)()())(),((lim
221
τψτ?τψτ?=?'+'β
α
ψ?ψ?dt t t t t f )()())(),((22. 故
?
L
ds y x f ),(=i
n i i
i
t s f ?∑=→?1
),(lim
ηξ=i i i n
i i
i
t t f ?'''+'''''''∑=→?)()())
(),((lim 221
τψτ?τψτ?+0
lim →?t σ
=?'+'β
αψ?ψ?dt t t t t f )()())(),((22.
注:1、若曲线L 由方程y=ψ(x), x ∈[a,b]表示,且ψ(x)在[a,b]上有连续的导函数时,则有?L ds y x f ),(=?'+b
a dx x x x f )(1))(,(2ψψ.
2、当曲线L 由方程x=φ(y), y ∈[c,d]表示,且φ(y)在[c,d]上有连续的导函数时,则有?L ds y x f ),(=?'+d
c dy y y y f )(1)),((2??. 3、对空间曲线积分?L ds z y x f ),,(,当曲线L 由参量方程
x=φ(t),y=ψ(t),z=χ(t), t ∈[α,β]表示时,有
?L
ds z y x f ),,(=?'+'+'β
αχψ?χψ?dt t t t t t t f )()()())(),(),((222. 4、由第一型曲线积分的定义,在Oxy 平面上,线密度为ρ(x,y)的曲线状物体对x,y 轴的转动惯量分别为:J x =?L ds y x y ),(2ρ和J x =?L ds y x x ),(2ρ.
例1:设L 是半圆周?
?
?==t a y t
a x sin cos , t ∈[0,π],试计算第一型曲线积分
?
+L
ds y x )(22.
解:?+L ds y x )(2
2
=?++π02
2
2
2
2
2
2
2
cos sin )sin cos (dt t a t a t a t a =?π
03dt a =a 3π.
例2:设L 是y 2=4x 从O(0,0)到A(1,2)的一段,试求第一型曲线积分?L yds . 解:?L yds =?+2
0241dy y
y =????? ??++202241412y d y =20
2
3
2
4134???
? ??+y =)122(3
4-.
例3:计算?L ds x 2,其中L 为球面x 2+y 2+z 2=a 2被平面x+y+z=0所截得的圆周.
解:由对称性知,?L ds x 2=?L ds y 2=?L ds z 2,
∴?L ds x 2
=?++L ds z y x )(3
12
22=?L ds a 32=33πa .
例4:求线密度ρ(x,y)=2
1x
y +的曲线段y=lnx, x ∈[1,2]对于y 轴的转动
惯量.
解:J x =?L ds y x x ),(2
ρ=?+L
ds x y x 2
21=?
+
+2
1
22
21
11ln dx x
x x x =?21ln xdx x =ln4-43.
习题
1、计算下列第一型曲线积分:
(1)?+L ds y x )(, 其中L 是以O(0,0), A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形; (2)?+L ds y x 22, 其中L 是以原点为中心,R 为半径的右半圆周;
(3)?L xyds , 其中L 为椭圆22a x +22
b
y =1在第一象限中的部分;
(4)?L ds y ||, 其中L 为单位圆周x 2+y 2=1;
(5)?++L ds z y x )(222, 其中L 为螺旋线x=acost, y=asint, z=bt(0≤t ≤2π)的一段;
(6)?L xyzds , 其中L 是曲线x=t, y=
3232t , z=2
1t 2
(0≤t ≤1)的一段; (7)?+L ds z y 222, 其中L 为x 2+y 2+z 2=a 2与x=y 相交的圆周. 解:(1) ?+L ds y x )(=?+OA ds y x )(+?+AB ds y x )(+?+BO ds
y x )( =?10xdx +?102dx +?1
0ydy =1+2.
(2)右半圆的参数方程为:x=Rcos θ, y=Rsin θ, -2π≤θ≤2
π. ∴?+L ds y x 2
2
=?-
22
2π
πθd R =πR 2.
(3)方法一:∵y=22x a a b
-, y ’=22x
a a bx -, ∴?L xyds =?-+-a
dx x a a x b x a x a b 0
222222
2)(1=?
--a
dx x b a a a b 0
222242
)(2
=)
(3)
(22b a b ab a ab +++.
方法二:L 的参数方程为:x=acos θ, y=bsin θ,0≤θ≤2
π.
∴?L xyds =?+202222cos sin sin cos π
θ
θθθθd b a ab
=?-++-2022222cos 2cos 2
)
(224π
θθd a b b a ab =
)(3)(22b a b ab a ab +++. (4)方法一:圆的参数方程为:x=cos θ, y=sin θ,0≤θ≤2π, ∴?L ds y ||=?πθθ0sin d -?π
πθθ2sin d =4. 方法二:∵|y|=21x -, (|y|)’=
2
1x
x --,
∴?L ds y ||=2?--+-1
122
2
111dx x x x
=2?-11
dx =4. (5)?++L ds z y x )(222=?++π
2022222)(dt b a t b a =223
2b a +π
(3a 2+4π2b 2
).
(6)x ’=1, y ’=t 2, z ’=t,
∴?L xyzds =?++??1
0223212
1
232dt t t t t t =
?
+1
2
9)1(32dt t t =
143
2
16. (7)依题意,L 的参数方程可表示为:x=y=2
a cos θ, z=asin θ, 0≤θ≤2π,
∴?+L ds z y 222=?π
θ202d a =2a 2π.
2、求曲线x=a, y=at, z=21
at 2(0≤t ≤1, a>0)的质量,设线密度为ρ=a
z 2. 解:?L ds a z 2=?+10222dt t a a t =?+102212dt t a =)122(3
-a
.
3、求摆线x=a(t-sint), y=a(1-cost) (0≤t ≤π)的质心,设其质量分布均匀.
解:∵dx=dt t a t a 2
2
2
2
sin )cos 1(+-=2asin 2t dt ,m=2a ρ0?π02
sin dt t
=4a ρ0.
∴质心坐标为x=?-πρ002sin 2)sin (1dt t a t t a m =?-π0)2sin sin 2sin (2dt t t t t a =3
4a
;
y=?-πρ002sin 2)cos 1(1dt t a t a m =3
4a .
4、若曲线以极坐标ρ=ρ(θ) (θ1≤θ≤θ2)表示,试给出计算?L ds y x f ),(的公式,并用此公式计算下列曲线的积分: (1)?+L y x ds e
2
2, 其中L 为曲线ρ=a (0≤θ≤
4
π
)的一段; (2)?L xds , 其中L 为对数螺线ρ=ae k θ (k>0)在圆r=a 内的部分. 解:L 的参数方程为x=ρ(θ)cos θ, y=ρ(θ)sin θ, (θ1≤θ≤θ2),
ds=θθθd d dy d dx 2
2
??
? ??+??? ??=θθρθρd )()(2
2'+,
∴?L ds y x f ),(=?'+2
1
)()()sin ,cos (22θθθθρθρθρθρd f .
(1)?+L y x ds e
2
2=?40π
θd ae a =
4
πae a . (2)?L xds =a ?∞-+0
22222cos θθθθθd e k a e a e k k k
=a 2
?
∞
-+0
22
cos 1θθθ
d e
k
k =1
41222
2++k k ka .
注:∵?∞-0
2cos θθθd e k =
?∞-02cos 21θ
θk de k =?
∞
-∞
-+
20
2sin 21cos 21d e k
e k
k k θθθθ
=θθk e d k k 202sin 4121?∞-+=?∞--0
22cos 4121θθθd e k
k k ; ∴?∞-??? ??+
022cos 411θθθd e k k =k 21,即?∞-02cos θθθ
d e k =1
422+k k .
5、证明:若函数f(x,y)在光滑曲线L: x=x(t), y=y(t), t ∈[α,β]上连续,则存在点(x 0,y 0)∈L ,使得?L ds y x f ),(=f(x 0,y 0)△L ,其中△L 为L 的弧长. 证:∵f 在光滑曲线L 上连续,∴?L ds y x f ),(存在,且
?
L
ds y x f ),(=?'+'β
α
dt t y t x t y t x f )()())(),((22.
又f(x(t),y(t))与)()(22t y t x '+'在[α,β]上连续,由积分中值定理知, ?t 0∈[α,β],使?L ds y x f ),(=f(x(t 0),y(t 0))?'+'β
αdt t y t x )()(22= f(x(t 0),y(t 0))△L. 令x 0=x(t 0), y 0=y(t 0), 则(x 0,y 0)∈L, 且?L ds y x f ),(=f(x 0,y 0)△L.
双曲线 平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2a(2a< )的点的轨迹。 方程 22 221(0,0)x y a b a b -=>> 22 2 21(0,0)y x a b a b -=>> 简图 范围 ,x a x a y R ≥≤-∈或 ,y a y a x R ≥≤-∈或 顶点 (,0)a ± (0,)a ± 焦点 (,0)c ± (0,)c ± 渐近线 b y x a =± a y x b =± 离心率 (1)c e e a = > (1)c e e a = > 对称轴 关于x 轴、y 轴及原点对称 关于x 轴、y 轴及原点对称 准线方程 2 a x c =± 2 a y c =± a 、 b 、 c 的关 系 222c a b =+ 考点 题型一 求双曲线的标准方程 1、给出渐近线方程n y x m =±的双曲线方程可设为2222(0)x y m n λλ-=≠,与双曲线 22221x y a b -=共渐近线的方程可设为22 22(0)x y a b λλ-=≠。 2、注意:定义法、待定系数法、方程与数形结合。 【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。 (1) 虚轴长为12,离心率为 54 ; (2) 焦距为26,且经过点M (0,12); (3) 与双曲线 22 1916 x y -=有公共渐进线,且经过点(3,23A -。 _x _ O _y _x _ O _y
解:(1)设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22 221y x a b -=(0,0)a b >>。 由题意知,2b=12,c e a ==54 。 ∴b=6,c=10,a=8。 ∴标准方程为236164x -=或22 16436 y x -=。 (2)∵双曲线经过点M (0,12), ∴M (0,12)为双曲线的一个顶点,故焦点在y 轴上,且a=12。 又2c=26,∴c=13。∴2 2 2 144b c a =-=。 ∴标准方程为 22 114425y x -=。 (3)设双曲线的方程为22 22x y a b λ -= (3,23A -Q 在双曲线上 ∴(2 2 33 1916 -= 得1 4 λ= 所以双曲线方程为22 4194 x y -= 题型二 双曲线的几何性质 方法思路:解决双曲线的性质问题,关键是找好体重的等量关系,特别是e 、a 、b 、c 四者的关系,构造出c e a = 和222 c a b =+的关系式。 【例2】双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦距为2c ,直线l 过点(a ,0)和(0,b ),且 点(1,0)到直线l 的距离与点(-1,0)到直线l 的距离之和s ≥4 5 c 。求双曲线的离心率e 的取值范围。 解:直线l 的方程为 1x y a b -=,级bx+ay-ab=0。 由点到直线的距离公式,且a >1,得到点(1,0)到直线l 的距离12 2 d a b = +, 同理得到点(-1,0)到直线l 的距离22 2 d a b = +,
不定积分例题 例1、设)(x f 的一个原函数是x e 2-,则=)(x f ( ) A 、x e 2- B 、2-x e 2- C 、4-x e 2- D 、4x e 2- 分析:因为)(x f 的一个原函数是x e 2- 所以)(x f ='=-)(2x e 2-x e 2- 答案:B 例2、已知?+=c x dx x xf sin )(,则=)(x f ( ) A 、x x sin B 、x x sin C 、x x cos D 、x x cos 分析:对?+=c x dx x xf sin )(两边求导。 得x x xf cos )(=,所以= )(x f x x cos 答案:C 例3、计算下列不定积分 1、dx x x 23)1(+ ? 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+? 分析:利用基本积分公式积分运算性质进行积分,注意在计算时,对被积函数要进行适当的变形 解:1、dx x x 23)1 (+?dx x x x )12(3++ =? c x x x dx x dx x xdx +-+=++=? ??22321ln 22112 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+?dx x dx e x ??+=2sin 1)3(c x e x +-+=cot 3ln 1)3( 例4、计算下列积分
1、dx x x ?-21 2、dx e e x x ?+2) 1( 分析:注意到这几个被积函数都是复合函数,对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法,在计算中要明确被积函数中的中间变量)(x u ?=,设法将对x 求积分转化为对)(x u ?=求积分。 解:1、dx x x ?-21c x x d x +--=---=?2221)1(1121 2、dx e e x x ?+2) 1(c e e d e x x x ++-=++=?11)1()1(12 例5、计算?+xdx x sin )1( 分析:注意到这些积分都不能用换元积分法,所以要考虑分部积分,对于分部积分法适用的函数及u ,v '的选择可以参照下列步骤①凑微分,从被积函数中选择恰当的部分作为dx v ',即dv dx v =',使积分变为?udv ;②代公式,?udv ?-=vdu uv ,计算出dx u du '=;③计算积分?vdu 解:?+xdx x sin )1(???--=+=x x xd xdx xdx x cos cos sin sin ?+-+-=---=c x x x x x xdx x x cos sin cos cos )cos cos (
《高等数学》考研辅导练习4 不定积分 1. 求()x f x e -=在R 上的一个原函数。 2. 已知2 2 2 (sin )cos tan f x x x '=+,求()01f x x <<。 3. 设 2 ()f x dx x C =+?,则2(1)xf x dx -=? 。 4. 计算 3。 5。 计算。 6. 计算 71 (2) dx x x +?。 7。 计算。 8. 计算 21 13sin dx x +?。 9。 计算172 2 1sin cos dx x x ? 。 10. 计算 () 2 2 sin cos x dx x x x +?。 11. 计算 ()()2 ln ()ln ()()()()f x f x f x f x f x dx ''''++?。 12. 设()arcsin xf x dx x C =+? ,则 1 () dx f x =? 。 13. 设2 2 2(1)ln 2 x f x x -=-,且(())ln f x x ?=,求()x dx ??。 14. 计算arctan 23/2(1)x xe dx x +?。 15. 计算x 。 16. 计算 1sin 22sin dx x x +?。 17. 计算ln t tdt α ? 。 18. 计算()ln n x dx ?。 《高等数学》考研辅导练习5 定积分 1.设02 ()2 l kx x f x l c x l ? ≤≤??=??<≤??,求0 ()()x x f t dt Φ=?。 2. 设1 ()2()f x x f x dx =+? ,则()f x = 。 3. 计算 {}2 23 min 2,x dx -? 。 4. 已知()f x 连续,且满足()()1f x f x -=,则 2 2cos 1()x dx f x π π-+?= 。
高中数学-双曲线典型例题 一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。 例1 讨论19252 2=-+-k y k x 表示何种圆锥曲线,它们有何共同特征. 解:(1)当9 ∴5=λ或30=λ(舍去) ∴所求双曲线方程是15 22 =-y x 说明:以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉. (3)设所求双曲线方程为:()16014162 2<<=+--λλ λy x ∵双曲线过点()223,,∴1441618=++-λ λ ∴4=λ或14-=λ(舍) ∴所求双曲线方程为18 122 2=-y x 三、求与双曲线有关的角度问题。 例3 已知双曲线116 92 2=-y x 的右焦点分别为1F 、2F ,点P 在双曲线上的左支上且3221=PF PF ,求21PF F ∠的大小. 解:∵点P 在双曲线的左支上 ∴621=-PF PF ∴362212221=-+PF PF PF PF ∴10022 21=+PF PF ∵()100441222221=+==b a c F F ∴ο9021=∠PF F (2)题目的“点P 在双曲线的左支上”这个条件非常关键,应引起我们的重视,若将这一条件改为“点P 在双曲线上”结论如何改变呢?请读者试探索. 四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。 例 4 已知1F 、2F 是双曲线14 22 =-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上且满足ο9021=∠PF F ,求21PF F ?的面积. 分析:利用双曲线的定义及21PF F ?中的勾股定理可求21PF F ?的面积. 解:∵P 为双曲线14 22 =-y x 上的一个点且1F 、2F 为焦点. ∴4221==-a PF PF ,52221==c F F ∵ο9021=∠PF F ∴在21F PF Rt ?中,202 2122 21==+F F PF PF 第二类曲线积分的计算 Jenny was compiled in January 2021 第二类曲线积分的计算 定义 设),(y x P ,),(y x Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线AB L 上的函数,对AB L 任一分割T ,它把AB L 分成n 个小弧段i i M M 1-),,2,1(n i =;其中 A =n M B M =,0.记各个小弧段i i M M 1-弧长为i s ?,分割T 的细度为 }{max 1i n i S T ?=≤≤,又设T 的分点的坐标为),(i i i y x M ,并记 11,---=?-=?i i i i i i y y y x x x ,),,2,1(n i = . 在每个小弧段i i M M 1-上任取一点()i i ηξ,,若极限 ∑=→?n i i i i T x P 1 ),(lim ηξ∑=→?+n i i i i T y Q 1 ),(lim ηξ 存在且与分割T 与点()i i ηξ,的取法无关,则称此极限为函数),(y x P ,),(y x Q 在有向线段AB L 上的第二类曲线积分,记为 ?+L dy y x Q dx y x P ),(),(或 ?+AB dy y x Q dx y x P ),(),( 也可记作 ??+L L dy y x Q dx y x P ),(),( 或 ??+AB AB dy y x Q dx y x P ),(),( 注:(1) 若记()y x F , =()),(),,(y x Q y x P ,()dy dx s d ,= 则上述记号可写成向量 形式:??L s d F . (2) 倘若L 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线, ),,(z y x P ,),,(z y x Q ,),,(z y x R 为定义在L 上的函数,则可按上述办法定义沿 空间有向曲线L 的第二类曲线积分,并记为 dz z y x R dy z y x Q dx z y x P L ),,(),,(),,(++? 按照这一定义 , 有力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为?+=AB Qdy Pdx W .第二类曲线积分的鲜明特征是曲线的 题 号 一 二 三 四 总分 统分人 分 数 得 分 一、选择 (8小题,共26分) 得分 阅卷人 1. 4)(2 x dt t f x =? ,则=?dx x f x 40)(1( ) A 、16 B 、8 C 、4 D 、2 2.设正值函数 )(x f 在],[b a 上连续,则函数 dt t f dt t f x F x b x a ? ?+=) (1 )()(在),(b a 上至少有( )个根。 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3. =+? dx x x 3 1 ( ) A .18 B . 3 8 C . 1 D .0 4.设 )(x ?''在[b a ,]上连续,且a b =')(?,b a =')(?,则 ?='''b a dx x x )()(??( ) (A )b a - (B )21(b a -) (C ))(2 1 22b a + (D ))(2 122 b a - 5. 19 3 8 dx x +? 定积分作适当变换后应等于 A 、3 23xdx ? B 、30 3xdx ? C 、 2 3xdx ? D 、3 23xdx --? 6.sin 22y x x ππ?? -=???? 在 ,上的曲线与轴围成图形的面积为 A 、 22 sin xdx π π-? B 、2 sin xdx π ? C 、0 D 、 22 sin x dx π π-? 7.2 1 x xe dx +∞ -=? 广义积分 A 、 12e B 、12e - C 、e D 、+∞ 8 . 2 ()d ()(0)0(0)2lim x x f x x f x f f x →'==?若为可导函数,且已知,,则之值为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、1 2 二、填空 (2小题,共5分) 得分 阅卷人 高等数学不定积分例题思路和答案超全 内容概要 课后习题全解 习题4-1 :求下列不定积分1.知识点:。直接积分法的练习——求不定积分的基本方法思路分析:!利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分(1)★思路: 被积函数,由积分表中的公式(2)可解。 解: (2)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (3)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。:解. (4)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (5)思路:观察到后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解: (6)★★思路:注意到,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解: 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。(7)★思路:分项积分。 解: (8)★思路:分项积分。 解: (9)★★思路:?看到,直接积分。 解: (10)★★思路: 裂项分项积分。解: (11)★解: (12)★★思路:初中数学中有同底数幂的乘法:指数不变,底数相乘。显然。 解: (13)★★思路:应用三角恒等式“”。 解: (14)★★思路:被积函数,积分没困难。 解: (15)★★思路:若被积函数为弦函数的偶次方时,一般地先降幂,再积分。 解: (16)★★思路:应用弦函数的升降幂公式,先升幂再积分。 解: () 17★思路:不难,关键知道“”。 :解. ()18★思路:同上题方法,应用“”,分项积分。 解: ()19★★思路:注意到被积函数,应用公式(5)即可。 解: ()20★★思路:注意到被积函数,则积分易得。 解: 、设,求。2★知识点:。考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析::。即可1直接利用不定积分的性质解::等式两边对求导数得 、,。求的原函数全体设的导函数为3★知识点:。仍为考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析:。连续两次求不定积分即可解:,由题意可知:。所以的原函数全体为、证明函数和都是的原函数4★知识点:。考查原函数(不定积分)与被积函数的关系思路分析:。只需验证即可解:,而、,且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数,求此曲线的方程。一曲线通过点5★知识点:属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。 思路分析:求得曲线方程的一般式,然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解:设曲线方程为,由题意可知:,; 又点在曲线上,适合方程,有, 所以曲线的方程为 、,:问6一物体由静止开始运动,经秒后的速度是★★(1)在秒后物体离开出发点的距离是多少? 曲线积分 第一类 ( 对弧长 ) 第二类 ( 对坐标 ) ? ??转化 定积分 (1) 选择积分变量 用参数方程 用直角坐标方程 用极坐标方程 (2) 确定积分上下限 第一类: 下小上大 第二类: 下始上终 对弧长曲线积分的计算 定理 ) ()()()](),([),(,],[)(),()(),(), (, ),(22βαψ?ψ?βαψ?βαψ?β α <'+'=≤≤? ? ?==?? dt t t t t f ds y x f t t t t y t x L L y x f L 且 上具有一阶连续导数在其中的参数方程为上有定义且连续在曲线弧设注意: ;.1βα一定要小于上限定积分的下限. ,,),(.2而是相互有关的不彼此独立中y x y x f 特殊情形 . ) (:)1(b x a x y L ≤≤=ψ. )(1)](,[),(2dx x x x f ds y x f b a L ?? '+=ψψ. )(:)2(d y c y x L ≤≤=?. )(1]),([),(2dy y y y f ds y x f d c L ?? '+=?? ).(, sin ,cos :,象限第椭圆求I ? ? ?===?t b y t a x L xyds I L 解 dt t b t a t b t a I 2220 )cos ()sin (sin cos +-?=?π dt t b t a t t ab 222220 cos sin cos sin +=?π ?-= a b du u b a ab 22 2) cos sin (2222t b t a u +=令. ) (3) (22b a b ab a ab +++=例2 . )2,1()2,1(,4:, 2 一段到从其中求-==?x y L yds I L x y 42=解 dy y y I 222)2 (1+=?-. 0=例3 ) 20(., sin ,cos :, πθθθθ≤≤===Γ=?Γ 的一段其中求k z a y a x xyzds I 解 θ θθθd k a k a 222sin cos +?? =π 20 I . 2 1 222k a ka +-=π例4 ?? ?=++=++Γ=?Γ . 0, , 22 2 2 2z y x a z y x ds x I 为圆周其中求解 由对称性, 知 . 22 2 ???Γ ΓΓ==ds z ds y ds x ?Γ ++=ds z y x I )(312 22故例1第二类曲线积分的计算
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