浙江省绍兴市诸暨市2020-2021学年高一上学期期末数学试题
浙江省绍兴市诸暨市2020-2021学年高一上学期期末数学试
题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合–1,{023}1U =,,
,，{1,2}A =-，{1,2,3}B =，则()U
B A =（ ）
A ．{}0
B ．{}2
C ．{1,2}-
D ．{1,1,2,3}-
2．13tan
6
π
的值是（ ）
A B ．-
C D ．3．若lgsin 0x =，则x =（ ） A ．2()k k Z π∈
B ．2()2
k k Z π
π+
∈ C ．2()2
k k Z π
π-
∈ D ．
()2k k π
π+∈Z 4．下列函数在(0,2)上递增的是（ ） A ．()sin 2y x =-
B ．2x y e -=
C ．()2
2y x =-
D ．1
2
y x =
-
5．比较下列三个数的大小：log a =2log 3b =，3log 2c =（ ） A ．a b c <<
B ．b a c <<
C ．c a b <<
D ．a c b <<
6．函数3
()log (2)1x a f x x a -=-++，（0a >且1a ≠）的图象恒过定点P ，P 点坐标
为（ ） A ．(2,1)
B ．(3,2)
C ．(0,1)
D ．(3,3)
7．对于函数1
()1
x f x x +=
-的性质，下列描述①函数()f x 在定义域内是减函数；②函数()f x 是非奇非偶函数；③函数()f x 的图象关于点(1,1)对称．其中正确的有几项（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
8．设函数()tan f x x =，124
4
n x x x π
π
-
≤<<<≤
的12,,,n x x x ，不等式
()()()()()()12231n n f x f x f x f x f x f x M --+-+
+-≤恒成立，则M 的最小
值是（ ）
A B ．C ．1 D ．2
9．已知函数()2
48f x x x =-+，
[1,]x m ∈，4
()g x x x
=+，[1,]x n ∈，若()f x 与()g x 值域都是[4,5]，则点(,)m n 所代表的区域是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．对任意x ∈R ，不等式sin()cos()04
x ax b π
π+
?+≤恒成立，则()sin a b +和
()sin a b -分别等于（ ）
A B ．C ． D
二、双空题
11．函数y =
____，函数y
=
的值域是____________.
12=_________，2
203
1(8)3e -??-+= ???
___. 13．已知函数20
()lg 0
x x f x x x ?≤=?>?，则[](10)f f -=_____，若()1f a ≤，则实数a
的取值范围是________. 14．已知tan 2α=，则sin sin 2cos ααα
=+_____，33sin sin 2cos α
αα=+______
三、填空题
15．若3
9log log 2
x x
=；则x =______. 16．函数sin(2)(0)2
y x π??=+<<图象的一条对称轴在区间(,)63ππ
内，则?的取值
范围为_______.
17．已知函数32()2f x x ax ax =++，对任意两个不等实数12,[1,)x x ∈+∞，都有
211212
()()
0x f x x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是______.
四、解答题 18．已知4
sin 5
α=-
，且cos 0α>． (1)确定角α的象限并求cos α，tan α
(2)求
sin(
)3cos()
2
7sin()cos()
2
π
απαπ
παα-++-++的值．
19．已知集合()(){}
230|A x x a x a =-?--<，{1,2,3}B = (1)若1a =，求A
B ；
(2)若3a ≠，写出A 对应的区间，并在{1,2}A
B =时，求a 的取值范围．
20．函数()sin()f x A x ω?=+(0,0,[0,2))A ω?π>>∈的图象如图所示：
(1)求()f x 的解析式； (2)()f x 向右平移6
π
个单位后得到函数()g x ，求()g x 的单调递减区间； (3)若,2x ππ??
∈-
????
且(||)2
f x ≥，求x 的取值范围． 21．已知函数3
1()log (0,0)x
f x a b a bx
-=>>+其定义域内是奇函数． (1)求a ，b 的值，并判断()f x 的单调性（写简要理由，不要求用定义证明）；
(2)解关于x 不等式42421
()()122
x x x x f f ---+<．
22．已知()2
22f x x ax =-+．
(1)若()f f x ????和()f x 有相同的值域，求a 的取值范围；
(2)若()0f a <，且0a >，设()f x 在[1,4]上的最大值为()g a ，求()g a 的取值范围．
参考答案
1．A 【解析】 【分析】
根据并集与补集的运算求解即可. 【详解】
由题, {1,1,2,3}A B -?=,故()U
B A
={}0.
故选：A 【点睛】
本题主要考查了并集与补集的运算,属于基础题型. 2．A 【分析】
根据诱导公式化简再求解即可. 【详解】
13tan
tan 663
ππ==
. 故选：A 【点睛】
本题主要考查了诱导公式与正切函数值,属于基础题型. 3．B 【分析】
根据对数与三角函数的值求解即可. 【详解】
因为lgsin 0x =,故sin 1x =,故x =2()2
k k Z π
π+∈.
故选：B 【点睛】
本题主要考查了对数的基本运算与正弦函数的最大值性质,属于基础题型. 4．B 【分析】
根据选项中函数特征可以先考虑函数在()22,0t x =-∈-上的单调性直接判断即可. 【详解】
设()22,0t x =-∈-,则
对A, ()si sin n 2y x t =-=在()2,0t ∈-上先减再增. 对B, 2x t y e e -==在()2,0t ∈-上单调递增. 对C, ()2
22y x t =-=在()2,0t ∈-上单调递减.
对D, 11
2y x t
==-在()2,0t ∈-上单调递减. 故选：B 【点睛】
本题主要考查了函数的单调区间的判定,属于基础题型. 5．D 【分析】
根据对数函数的单调性与函数的区间判定即可. 【详解】
由题, 33log log 2c a =<=,又332log 2log 31log 3c b =<=<=.故a c b <<. 故选：D 【点睛】
本题主要考查了对数函数值的大小判定,利用对数函数单调性以及判断函数值所在的区间分析即可. 6．B 【分析】
根据对数函数恒过()1,0,指数函数恒过()0,1求解即可. 【详解】
由题,当21x -=且30x -=时, 3x =.此时33
(3)log (32)12a f a -=-++=.
故P 点坐标为(3,2). 故选：B
【点睛】
本题主要考查了指对数函数的定点问题,属于基础题型. 7．C 【分析】
根据函数平移的方法分析函数1()1
x f x x +=-与1
y x =的关系即可.
【详解】 因为1122()1111
x x f x x x x +-+=
==+---,故1()1x f x x +=-是由1
y x =先横坐标不变,纵坐标变
为原来的两倍(此时不影响函数的单调性与对称性)变为2
y x
=
；再向右平移1个单位得到21
y
x ；再往上平移1个单位得到2
()11
f x x =+
-.其图像为
故①错误.②③正确. 故选：C 【点睛】
本题主要考查了分式函数的图像变换与性质,属于基础题型. 8．D 【分析】
根据函数的单调性与正负去绝对值分析即可. 【详解】
由题意,必存在{},1,2,3...i x i n ∈使得1210 (4)
4
i i n x x x x x π
π
+-
≤<<≤≤<<≤
.
由()tan f x x =的图像知,在,04π??
-
????
上单调递减,在0,4??????π上单调递增.
故()()()()()()12231n n f x f x f x f x f x f x --+-++-
()()()()()()12231i i f x f x f x f x f x f x -=-+-++-+
()()()()()()1211...i i i i n n f x f x f x f x f x f x +++--+-++-
()()()()()()1100244i n i f x f x f x f x f f f f ππ+??
??
=-+-≤--+
-= ? ???
??
. 所以2M ≥. 故选：D 【点睛】
本题主要考查了根据函数的单调性求恒成立的问题,属于中等题型. 9．C 【分析】
数形结合分析,m n 分别满足的范围即可. 【详解】
画出二次函数的图像可得,令()2
4851,3f x x x x =-+=?=.
所以当[]2,3m ∈时()f x 值域是[4,5]
同理24()55401,4g x x x x x x =+
=?-+=?=,且4
()42g x x x x
=+=?=. 所以当[]2,4n ∈时()f x 值域是[4,5]
综上, []2,3m ∈,[]2,4n ∈. 故选：C 【点睛】
本题主要考查了数形结合分析参数的范围问题,需要算出临界条件,同时分析当参数变化时函数的变化情况.属于中等题型. 10．B 【分析】
由题意可知,sin()4
y x π
π=+与cos()y ax b =+恒异号.再根据三角函数图像性质求解,a b
即可. 【详解】 因为sin()cos()04x ax b π
π+
?+≤恒成立.故sin()4
y x π
π=+与cos()y ax b =+恒异号. 由三角函数图像知, sin()4
y x π
π=+
与cos()y ax b =+只可能是如图的关系,
即sin()4
y x π
π=+
与cos()y ax b =+图像关于x 轴对称.
故a π=,cos()y x b π=+且当sin()4
y x π
π=+
取最大值时,cos()y x b π=+取最小值.
此时1
22,4
24
x k x k k Z π
π
ππ+
=+
?=+∈. 故0012,4k b k k Z πππ?
?
+
+=+∈ ???
.根据周期性,不妨设00k k ==,
此时
34
4b b π
ππ+=?=
.此时有,34
b a ππ==
故()7si sin n
42a b π=+=-
,()sin 42
sin a b π-==
故选：B 【点睛】
本题主要考查了三角函数图像的综合运用,需要根据题意找到两个三角函数之间的关系,再根据取最值时的横坐标分析求解即可.属于中等题型. 11．[)0,+∞ ()0,∞+ 【分析】
(1) 根据根号下大于等于0求解即可.
(2) 0≥且分母不为0求解即可. 【详解】
(1)易得定义域是[)0,+∞
(2)00≠,0>,故()0,y
=
+∞ 故答案为：(1). [)0,+∞ (2). ()0,∞+ 【点睛】
本题主要考查了常见函数的定义域与值域,属于基础题型. 12．1π- 4- 【分析】
根据分数指数幂的定义和运算性质即可求出答案． 【详解】
11ππ=-=-，
()2
2
2
033
323141(8314)29e -??
-+= ???
-+=-+=-，
故答案为：1π-；4-． 【点睛】
本题主要考查指数幂的定义和运算性质，属于基础题． 13．2 []1,10- 【分析】
(1)先求解(10)f -的值再代入对应的区间求解即可. (2)分情况讨论a 的取值范围即可. 【详解】
(1)[]()2(10)(10)100lg1002f f f f ??-=-===??.
(2)当0a ≤时,由2111a a ≤?-≤≤,此时10a -≤≤ 当0a >时,由lg 1010a a ≤?<≤,此时010a <≤ 综上, 实数a 的取值范围是[]1,10- 故答案为：(1). 2 (2). []1,10- 【点睛】
本题主要考查了分段函数的求解与应用,属于基础题型. 14．
1
2
1 【分析】
(1)分子分母同时除以cos α再代入tan 2α=求解即可.
(2)分子分母同时除以cos α再代入tan 2α=,利用同角三角函数的公式求解即可. 【详解】 (1)
sin tan 21
sin 2cos tan 2222
ααααα===+++.
(2) ()
332222
sin tan 2
1sin 2cos sin tan 2cos 2sin cos ααααααααα===+?++
故答案为：(1). 1
2
(2). 1 【点睛】
本题主要考查了同角三角函数的运用,需要根据题意分子分母同时除以cos α进行求解.属于基础题型. 15．4 【分析】
利用换底公式化成同底的对数方程求解即可. 【详解】
因为21393323log log lo 12g log log 2x x x x x ====.故122
x
x =,即()2
404x x x x =?-=.
由对数函数定义域有0x >,故4x =. 故答案为：4 【点睛】
本题主要考查了对数的换底公式与求解.属于基础题型. 16．0,
6π?? ???
【分析】
先求解对称轴的表达式,再利用x 的范围得出?的取值范围即可. 【详解】
由题, sin(2)(0)2
y x π
??=+<<
的对称轴为22
x k π
?π+=+
?
22
k x π
π?
+-=
.
故262366
k k π
π?
π
ππππ?+
-<
,即6
6
k k π
π
π?π-
<<+
.
因为02
π
?<<所以06π?<<.
故答案为：0,6π??
???
【点睛】
本题主要考查了三角函数性质的综合运用,需要根据题意先求解对称轴表达式再代入对应的关系进行求解.属于中等题型.
17．[)4,-+∞ 【分析】 构造函数()
()f x g x x
=再利用单调性求解即可. 【详解】
由题,因为12,[1,)x x ∈+∞,故将
211212
()()
0x f x x f x x x ->-两边同时除以12x x 得
121212
()()
0f x f x x x x x ->-.即()()f x g x x
=在[1,)x ∈+∞为增函数.
故3222()2x ax ax
g x x ax a x
++==++为减函数.又其对称轴为4a x =-且在[1,)x ∈+∞为
增函数.故144
a
a -
≤?≥-. 故答案为：[)4,-+∞ 【点睛】
本题主要考查了构造函数利用函数的单调性求解参数的问题,包括二次函数动轴定区间的方法等.属于中等题型.
18．（1）α为第四象限角，34
cos ,tan 53
αα=
=-
，8
3=-（2）
3
4
【分析】
(1)根据正余弦的正负分析象限,再根据同角三角函数的关系化简求解即可. (2)利用诱导公式化简后再代入数值计算即可. 【详解】 (1)因为4
sin 05
α=-
<,cos 0α>可知角α为第四象限角
, 4
3sin 4
5cos ,tan 35cos 35
αααα-
===-=-.
=
33
cos cos18
553
44
1sin1sin33
11
55
αα
αα
=-=-=-=-
-++-
(2)原式
cos3cos
sin sin
αα
αα
-
=
+
cos3
sin4
α
α
=-=.
【点睛】
本题主要考查了诱导公式与同角三角函数的化简求值,属于基础题型.
19．（1）{}3
A B
?=（2）(]
1,0
a∈-
【分析】
(1)求解二次不等式再求交集即可.
(2)由题意,分3
a>和3
a<两种情况进行讨论分析,再列出区间端点满足的关系式求解即可. 【详解】
（1）由题意知：{}{}
2
|680|24
=-+<=<<
A x x x x x
{}3
A B
∴=
（2）[]
{}
|(2)(3)0
A x x a x a
=-?-+<
法一：当3
a>时,(3,2)
A a a
=+,A B=?,不合题意,
当3
a<时,()
2,3
A a a
=+,
所以,1,2,3
A A
∈?,即21,23,33
a a a
<<++≤
(]
1,0
a
∴∈-.
法二：当3
a>时,(3,2)
A a a
=+；当3
a<时,()
2,3
A a a
=+
由1,2,3
A A
∈?,得
(21)(2)0
(22)(1)0
(23)0
a a
a a
a a
-+<
?
?
-+<
?
?-≥
?
.
解得(]
1,0
a∈-
【点睛】
本题主要考查了集合的基本运算与根据集合的关系求参数的问题,需要根据题意分参数的范围进行讨论,同时根据题意列出区间端点满足的关系式求解即可.属于中等题型.
20．（1）())3f x x π=+（2）3,44k k k Z ππππ??++∈????.（3）{},66x πππ??
∈-??
??
【分析】
(1)根据题意先得A =
,再根据周期求得=2ω,再代点计算得=
3
π?即可.
(2)根据三角函数平移的方法求得()g x ,再代入单调递减区间求解即可.
(3)根据(||)f x ≥sin 232x π??+≥ ??
?,再求[]0,x π∈时的解,再根据(||)f x 的对称性求解即可. 【详解】
（1）由题意知：7,
,41234
πππ=
=-=T A 2T π
πω
∴==即=2ω,
2(21)3
k π
?π?
+=+,02?π≤<,,=
3
π?∴
())3
f x x π
∴=+
（2）法一：()2()263g x x x ππ?
?=
-+????
32222
2
k x k π
π
ππ∴+
≤≤+
,∈k Z 即3,4
4π
πππ??
∈+
+
∈???
?
x k k k Z . 法二：()f x 的一个递减区间是7,1212ππ??
?
???
,周期是π, 则()f x 的递减区间是7,12
12π
πππ??
+
+
∈???
?
k k k Z 向右平移
6π
个单位后,()g x 的递减区间是3,44k k k Z ππππ??++∈???
?.
（323x π??
+
≥ ?
?
?
即sin 232
x π??
+
≥ ?
?
? 先考虑[]0,x π∈,则
223
3
3x π
π
π≤+
≤
或7233
x ππ+=. 06
即或π
π≤≤
=x x
由()f x 图象的对称性,得{},66x πππ??∈-???
?.
【点睛】
本题主要考查了根据三角函数图像求解析式与三角函数单调区间和性质的运用,属于中等题型.
21．（1）1a =，
1b =31()log 1x
f x x
-=+是区间(1,1)-上的减函数.见解析（2）01x <<. 【分析】
(1)先求函数的定义域,再根据奇函数的性质求解即可.
(2)根据(1)中31()log 1x f x x -=+,再令422
x x
t -=,再根据()f x 的性质求解不等式,最后再化
成关于x 的不等式求解即可. 【详解】
（1）由题意知()f x 定义域:
()()1010x
x bx a a bx
->?-+<+,解得(,1)a b -
故()f x 是(,1)a
b -
上的奇函数, (0)0f ∴=,即1
11a a =∴=
31()log 1x
f x bx -=+
333111()log ()log log ,1111x x bx
f x f x b bx bx x
+-+-==-=-==-+-
此时函数()f x 的定义域为(1,1)-,所以1,1a b ==
注：也可以先利用定义域对称求b 的值,再验证()()f x f x -=-
3
312
()log log (1)11x f x x x
-==-++ 由于2
11u x
=
-+在区间(1,1)-上是减函数,值域为(0,)+∞, 函数3log y u =是区间(0,)+∞上是增函数, 所以3
1()log 1x
f x x
-=+是区间(1,1)-上的减函数. （2）令422
x x
t -=,则原不等式即1()()12f t f t +-<
由11
1
112t t -<
?-<-
得112t -<< 此时3
33132132log log log 33112112t t t t t t t t ----????
+
, ()(1)(32)3(1)(12)270t t t t t t --<++?+>,
解得7
2
t <-
或0t >. 所以01t <<,420104222
x x
x x -<
令20x
m =>则解22(1)010
0(2)(1)0122m m m m m m m m m m m ->?>
或
故12122x m <
本题主要考查了对数函数的运算以及奇偶性的运用,同时也考查了根据函数的性质与换元法求解函数不等式的问题.属于难题. 22．（1）(][),21,a ∈-∞-+∞（2）[)2,+∞
【分析】
(1)根据二次函数的最值与对称轴的关系列式求解即可.
(2)由()0f a <且0a >可得2=480a ?->再分情况,画出图像根据临界条件求解对应的a 的范围作为分类的依据,再比较最值即可.
【详解】 （1）
222()()22f x x a a a =-+-≥-
当()f x 的最小值在对称轴的左侧（或对称轴位置）时,
[]()f f x 的值域也是)2
2,a ?-+∞?
22a a ∴-≤,即()()210a a +-≥,
1a ∴≥或2a ≤-
即(]
[),21,a ∈-∞-+∞
（2）
()0f a <,22a >,a ∴>
2=480a ?->.
分情况讨论:
1.当4a ≥时, {}{}()max (1),(4)
max 23,818818g a f f a a a ==--=-.
2.4a <<时,{
}
()max (0),(),(4)g a f f a f =
{}2max 23,2,818a a a =---
22
2(818)(4)0
a a a
---=->, 22(188)(2)(10) a a a a
---=-+.
22
2(23)(1)
a a a
---=-,
188(32)156
a a a
---=-
所以,当9
4
4
a
≤<时,2
()()2
g a f a a
==-,
当
9
2
4
a
≤<时,2
()()2
g a f a a
==-,
当3
2
2
a
≤<时,()(4)188
g a f a
==-,
3
2
a
<<时,()(4)188
g a f a
==-,
综上
,
)
[)
[)
2
188,2
()2,2,4
818,4,
a a
g a a a
a a
?-∈
??
=-∈
?
?-∈+∞
??
, ([)[)[)
()2,182,1414,2,
g a∈-+∞=+∞.
【点睛】
本题主要考查了二次函数的综合问题,包括单调性和值域与对称轴的关系,同时也考查了分类讨论与数形结合的思想.属于难题.