1.半圆或直径所对的圆周角是直角. 2.任意一个三角形一定有一个外接圆. 3.在同一平面内,到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆. 4.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等. 5.同弧所对的圆周角等于圆心角的一半. 6.同圆或等圆的半径相等. 7.过三个点一定可以作一个圆. 8.长度相等的两条弧是等弧. 9.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等. 10.经过圆心平分弦的直径垂直于弦。 直线与圆的位置关系 1.直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切. 2.三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心. 3.弦切角等于所夹的弧所对的圆心角. 4.三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心. 5.垂直于半径的直线必为圆的切线. 6.过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线. 7.垂直于半径的直线是圆的切线. 8.圆的切线垂直于过切点的半径. 圆与圆的位置关系 1.两个圆有且只有一个公共点时,叫做这两个圆外切. 2.相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 3.两个圆有两个公共点时,叫做这两个圆相交. 4.两个圆内切时,这两个圆的公切线只有一条. 5.相切两圆的连心线必过切点. 正多边形基本性质 1.正六边形的中心角为60°. 2.矩形是正多边形. 3.正多边形都是轴对称图形. 4.正多边形都是中心对称图形.
1.如图,四边形ABCD 内接于⊙O,已知∠C=80°,则∠A 的度数是 . A. 50° B. 80° C. 90° D. 100° 2.已知:如图,⊙O 中, 圆周角∠BAD=50°,则圆周角∠BCD 的度数是 . ° ° ° ° 3.已知:如图,⊙O 中, 圆心角∠BOD=100°,则圆周角∠BCD 的度数是 . ° ° ° ° 4.已知:如图,四边形ABCD 内接于⊙O ,则下列结论中正确的是 . A.∠A+∠C=180° B.∠A+∠C=90° C.∠A+∠B=180° D.∠A+∠B=90 5.半径为5cm 的圆中,有一条长为6cm 的弦,则圆心到此弦的距离为 . A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 6.已知:如图,圆周角∠BAD=50°,则圆心角∠BOD 的度数是 . ° ° ° 7.已知:如图,⊙O 中,弧AB 的度数为100°,则圆周角∠ACB 的度数是 . ° ° ° 8. 已知:如图,⊙O 中, 圆周角∠BCD=130°,则圆心角∠BOD 的度数是 . ° ° ° ° 9. 在⊙O 中,弦AB 的长为8cm,圆心O 到AB 的距离为3cm,则⊙O 的半径为 cm. .4 C D. 10 10. 已知:如图,⊙O 中,弧AB 的度数为100°,则圆周角∠ACB 的度数是 . ° ° ° ° 12.在半径为5cm 的圆中,有一条弦长为6cm,则圆心到此弦的距离为 . A. 3cm B. 4 cm C.5 cm D.6 cm 点、直线和圆的位置关系 1.已知⊙O 的半径为10㎝,如果一条直线和圆心O 的距离为10㎝,那么这条直线和这个圆的位置关系为 . A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相离 2.已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为7cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 . A.相切 B.相离 C.相交 D. 相离或相交 3.已知圆O 的半径为6.5cm,PO=6cm,那么点P 和这个圆的位置关系是 A.点在圆上 B. 点在圆内 C. 点在圆外 D.不能确定 4.已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为4.5cm,那么这条直线和这个圆的公共点的个数是 . 个 个 个 D.不能确定 5.一个圆的周长为a cm,面积为a cm 2,如果一条直线到圆心的距离为πcm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 . A.相切 B.相离 C.相交 D. 不能确定 6.已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为6cm,那么这条直线和这个圆的位置关系? D B C A O ? ? C B A O ? B O C A D ? B O C A D ? B O C A D ? C B A O
2015中考数学真题分类汇编圆综合题 一.解答题(共30小题) 1.(2015?大连)如图,AB是⊙O的直径,点C,D在⊙O上,且AD平分∠CAB,过点D作AC的垂线,与AC的延长线相交于点E,与AB的延长线相交于点F. (1)求证:EF与⊙O相切; (2)若AB=6,AD=4,求EF的长. 2.(2015?潍坊)如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O交BC于点D,交AB于点E,过点D作DF⊥AB,垂足为F,连接DE. (1)求证:直线DF与⊙O相切; (2)若AE=7,BC=6,求AC的长. 3.(2015?枣庄)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D,E是BC的中点,连接DE,OE. (1)判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由; (2)求证:BC2=CD?2OE; (3)若cos∠BAD=,BE=6,求OE的长. 4.(2015?西宁)如图,已知BC为⊙O的直径,BA平分∠FBC交⊙O于点A,D是射线BF上的一点,且满足=,过点O作OM⊥AC于点E,交⊙O于点M,连接BM, AM. (1)求证:AD是⊙O的切线;
(2)若sin∠ABM=,AM=6,求⊙O的半径. 5.(2015?广元)如图,AB是⊙O的弦,D为半径OA的中点,过D作CD⊥OA交弦于点E,交⊙O于点F,且CE=CB. (1)求证:BC是⊙O的切线; (2)连接AF、BF,求∠ABF的度数; (3)如果CD=15,BE=10,sinA=,求⊙O的半径. 6.(2015?北海)如图,AB、CD为⊙O的直径,弦AE∥CD,连接BE交CD于点F,过点E作直线EP与CD的延长线交于点P,使∠PED=∠C. (1)求证:PE是⊙O的切线; (2)求证:ED平分∠BEP; (3)若⊙O的半径为5,CF=2EF,求PD的长. 7.(2015?莆田)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,对角线AC,BD交于点E,点O 在线段AE上,⊙O过B,D两点,若OC=5,OB=3,且cos∠BOE=.求证:CB是⊙O的切线.
25题汇编 1. 如图,AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的切线,切点为B ,AD 为弦,OC ∥AD 。 (1)求证:DC 是⊙O 的切线; (2)若OA=2,求OC AD 的值。 2. 如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,∠B=60°,CD 是⊙O 的直径,P 是CD 延长线上的一点,且AP=AC (1)求证:直线AP 是⊙O 的切线; (2)若AC=3,求PD 的长。 3. 如图,已知AB 是⊙O 的直径,AM 和BN 是⊙O 的两条切线,点E 是⊙ O 上一点,点D 是AM 上一点,连接DE 并延长交BN 于点C ,连接OD 、BE ,且OD ∥BE 。 (1)求证:DE 是⊙O 的切线; (2)若AD=1,BC=4,求直径AB 的长。 D C B A O C B M N E D B A O
4. 如图,△ABC 内接于⊙O ,弦AD ⊥AB 交BC 于点E ,过点B 作⊙O 的切线交DA 的延长线于点F ,且∠ABF=∠ABC 。 (1)求证:AB=AC ; (2)若EF=4,2 3 tan = F ,求DE 的长。 5. 在△ABC 中,AB=AC ,以AB 为直径作⊙O ,交BC 于点D ,过点D 作DE ⊥AC ,垂足为E 。 (1)求证:DE 是⊙O 的切线; (2)若AE=1,52=BD ,求AB 的长。 6. 如图,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,AD 垂直于过点C 的直线,垂足为D ,且AC 平分 ∠BAD 。 (1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)若62=AC ,AD=4,求AB 的长。 A
7. 如图,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,AD 和过C 点的切线互相垂直,垂足为点D ,AD 交⊙O 于点E 。 求证:(1)AC 平分∠DAB ; (2)若∠B=60°,32 CD ,求AE 的长。 8. 如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,AC 是⊙O 的直径,弦BD=BA ,AB=12,BC=5,BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E 。 (1)求证:BE 是⊙O 的切线; (2)求DE 的长。 9. 如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,CB=CA=6,半径为2的⊙F 与射线BA 相切于点G ,且AG=4,将Rt △ABC 绕点A 顺时针旋转135°后得到Rt △ADE ,点B 、C 的对应点分别是点D 、E 。 (1)求证:DE 为⊙F 的切线; (2)求出Rt △ADE 的斜边AD 被⊙ F 截得的弦PQ 的长度。 A E A D
中考数学圆的综合-经典压轴题及答案 一、圆的综合 1.如图,点A、B、C分别是⊙O上的点, CD是⊙O的直径,P是CD延长线上的一点,AP=AC. (1)若∠B=60°,求证:AP是⊙O的切线; (2)若点B是弧CD的中点,AB交CD于点E,CD=4,求BE·AB的值. 【答案】(1)证明见解析;(2)8. 【解析】 (1)求出∠ADC的度数,求出∠P、∠ACO、∠OAC度数,求出∠OAP=90°,根据切线判定推出即可; (2)求出BD长,求出△DBE和△ABD相似,得出比例式,代入即可求出答案. 试题解析:连接AD,OA, ∵∠ADC=∠B,∠B=60°, ∴∠ADC=60°, ∵CD是直径, ∴∠DAC=90°, ∴∠ACO=180°-90°-60°=30°, ∵AP=AC,OA=OC, ∴∠OAC=∠ACD=30°,∠P=∠ACD=30°, ∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°, 即OA⊥AP, ∵OA为半径, ∴AP是⊙O切线. (2)连接AD,BD,
∵CD是直径, ∴∠DBC=90°, ∵CD=4,B为弧CD中点, ∴BD=BC=, ∴∠BDC=∠BCD=45°, ∴∠DAB=∠DCB=45°, 即∠BDE=∠DAB, ∵∠DBE=∠DBA, ∴△DBE∽△ABD, ∴, ∴BE?AB=BD?BD=. 考点:1.切线的判定;2.相似三角形的判定与性质. 2.如图,已知△ABC内接于⊙O,BC交直径AD于点E,过点C作AD的垂线交AB的延长线于点G,垂足为F.连接OC. (1)若∠G=48°,求∠ACB的度数; (2)若AB=AE,求证:∠BAD=∠COF; (3)在(2)的条件下,连接OB,设△AOB的面积为S1,△ACF的面积为S2.若 tan∠CAF= 1 2,求1 2 S S的值. 【答案】(1)48°(2)证明见解析(3)3 4
圆与方程 1. 圆的标准方程:以点),(b a C 为圆心,r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例:圆心在坐标原点,半径为r 的圆的方程是:222r y x =+. 2. 点与圆的位置关系: (1).设点到圆心的距离为d ,圆半径为r : a.点在圆内 d <r ; b.点在圆上 d=r ; c.点在圆外 d >r (2).给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-. ①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-? ②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-? ( ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-? (3)涉及最值: ① 圆外一点B ,圆上一动点P ,讨论PB 的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ ② 圆内一点A ,圆上一动点P ,讨论PA 的最值 min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+ 思考:过此A 点作最短的弦?(此弦垂直AC ) 3. 圆的一般方程:022=++++F Ey Dx y x . (1) 当0422>-+F E D 时,方程表示一个圆,其中圆心??? ??--2,2E D C ,半径2 422F E D r -+=. (2) 当0422=-+F E D 时,方程表示一个点??? ??--2,2 E D . (3) 当0422<-+ F E D 时,方程不表示任何图形.
注:方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是:0=B 且0≠=C A 且0422 AF E D -+. 4. 直线与圆的位置关系: 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+- 圆心到直线的距离22B A C Bb Aa d +++= 1)无交点直线与圆相离??>r d ; 2)只有一个交点直线与圆相切??=r d ; 3)有两个交点直线与圆相交??
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图,点P在⊙O的直径AB的延长线上,PC为⊙O的切线,点C为切点,连接AC,过点A作PC的垂线,点D为垂足,AD交⊙O于点E. (1)如图1,求证:∠DAC=∠PAC; (2)如图2,点F(与点C位于直径AB两侧)在⊙O上,BF FA =,连接EF,过点F作AD 的平行线交PC于点G,求证:FG=DE+DG; (3)在(2)的条件下,如图3,若AE=2 3 DG,PO=5,求EF的长. 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)EF=32. 【解析】 【分析】 (1)连接OC,求出OC∥AD,求出OC⊥PC,根据切线的判定推出即可; (2)连接BE交GF于H,连接OH,求出四边形HGDE是矩形,求出DE=HG,FH=EH,即可得出答案; (3)设OC交HE于M,连接OE、OF,求出∠FHO=∠EHO=45°,根据矩形的性质得出 EH∥DG,求出OM=1 2 AE,设OM=a,则HM=a,AE=2a,AE= 2 3 DG,DG=3a, 求出ME=CD=2a,BM=2a,解直角三角形得出tan∠MBO= 1 2 MO BM =,tanP= 1 2 CO PO =,设 OC=k,则PC=2k,根据OP=5k=5求出k=5,根据勾股定理求出a,即可求出答案.【详解】 (1)证明:连接OC, ∵PC为⊙O的切线,
∴OC⊥PC, ∵AD⊥PC, ∴OC∥AD, ∴∠OCA=∠DAC, ∵OC=OA, ∴∠PAC=∠OCA, ∴∠DAC=∠PAC; (2)证明:连接BE交GF于H,连接OH, ∵FG∥AD, ∴∠FGD+∠D=180°, ∵∠D=90°, ∴∠FGD=90°, ∵AB为⊙O的直径, ∴∠BEA=90°, ∴∠BED=90°, ∴∠D=∠HGD=∠BED=90°, ∴四边形HGDE是矩形, ∴DE=GH,DG=HE,∠GHE=90°, ∵BF AF =, ∴∠HEF=∠FEA=1 2 ∠BEA=190 2 o ?=45°, ∴∠HFE=90°﹣∠HEF=45°, ∴∠HEF=∠HFE, ∴FH=EH, ∴FG=FH+GH=DE+DG; (3)解:设OC交HE于M,连接OE、OF, ∵EH=HF,OE=OF,HO=HO, ∴△FHO≌△EHO, ∴∠FHO=∠EHO=45°,
(2018?福建A卷)已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AC是⊙O的直径,DE⊥AB,垂足为E. (1)延长DE交⊙O于点F,延长DC,FB交于点P,如图1.求证:PC=PB;(2)过点B作BC⊥AD,垂足为G,BG交DE于点H,且点O和点A都在DE的左侧,如图2.若AB=,DH=1,∠OHD=80°,求∠BDE的大小. (12.00分)(2018?福建B卷)如图,D是△ABC外接圆上的动点,且B,D位于AC的两侧,DE⊥AB,垂足为E,DE的延长线交此圆于点F.BG⊥AD,垂足为G,BG交DE于点H,DC,FB的延长线交于点P,且PC=PB. (1)求证:BG∥CD; (2)设△ABC外接圆的圆心为O,若AB=DH,∠OHD=80°,求∠BDE的大小.
25.(10.00分)(2018?河北)如图,点A在数轴上对应的数为26,以原点O为 圆心,OA为半径作优弧,使点B在O右下方,且tan∠AOB=,在优弧上任取一点P,且能过P作直线l∥OB交数轴于点Q,设Q在数轴上对应的数为x,连接OP. (1)若优弧上一段的长为13π,求∠AOP的度数及x的值; (2)求x的最小值,并指出此时直线l与所在圆的位置关系; (3)若线段PQ的长为12.5,直接写出这时x的值. 23.(10.00分)(2018?恩施州)如图,AB为⊙O直径,P点为半径OA上异于O 点和A点的一个点,过P点作与直径AB垂直的弦CD,连接AD,作BE⊥AB,OE∥AD交BE于E点,连接AE、DE、AE交CD于F点. (1)求证:DE为⊙O切线; (2)若⊙O的半径为3,sin∠ADP=,求AD; (3)请猜想PF与FD的数量关系,并加以证明.
新初中数学圆的经典测试题含答案 一、选择题 1.中国科学技术馆有“圆与非圆”展品,涉及了“等宽曲线”的知识.因为圆的任何一对平行切线的距离总是相等的,所以圆是“等宽曲线”.除了例以外,还有一些几何图形也是“等宽曲线”,如勒洛只角形(图1),它是分别以等边三角形的征个顶点为圆心,以边长为半径,在另两个顶点间画一段圆弧.三段圆弧围成的曲边三角形.图2是等宽的勒洛三角形和圆. 下列说法中错误的是( ) A .勒洛三角形是轴对称图形 B .图1中,点A 到?BC 上任意一点的距离都相等 C .图2中,勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF 的中心1O 的距离都相等 D .图2中,勒洛三角形的周长与圆的周长相等 【答案】C 【解析】 【分析】 根据轴对称形的定义,可以找到一条直线是的图像左右对着完全重合,则为轴对称图形.鲁列斯曲边三角形有三条对称轴. 鲁列斯曲边三角形可以看成是3个圆心角为60°,半径为DE 的扇形的重叠,根据其特点可以进行判断选项的正误. 【详解】 鲁列斯曲边三角形有三条对称轴,就是等边三角形的各边中线所在的直线,故正确; 点A 到?BC 上任意一点的距离都是DE ,故正确; 勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF 的中心1O 的距离都不相等,1O 到顶点的距离是到边的中点的距离的2倍,故错误; 鲁列斯曲边三角形的周长=3×60180DE DE ππ?=? ,圆的周长=22 DE DE ππ?=? ,故说法正确. 故选C. 【点睛】 主要考察轴对称图形,弧长的求法即对于新概念的理解. 2.如图,在ABC ?中,90ABC ∠=?,6AB =,点P 是AB 边上的一个动点,以BP 为
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.(1)如图1,在矩形ABCD 中,点O 在边AB 上,∠AOC =∠BOD ,求证:AO =OB ; (2)如图2,AB 是⊙O 的直径,PA 与⊙O 相切于点A ,OP 与⊙O 相交于点C ,连接CB ,∠OPA =40°,求∠ABC 的度数. 【答案】(1)证明见解析;(2)25°. 【解析】 试题分析: (1)根据等量代换可求得∠AOD=∠BOC ,根据矩形的对边相等,每个角都是直角,可知∠A=∠B=90°,AD=BC ,根据三角形全等的判定AAS 证得△AOD ≌△BOC ,从而得证结论. (2)利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠POA 的度数,然后利用圆周角定理来求∠ABC 的度数. 试题解析:(1)∵∠AOC=∠BOD ∴∠AOC -∠COD=∠BOD-∠COD 即∠AOD=∠BOC ∵四边形ABCD 是矩形 ∴∠A=∠B=90°,AD=BC ∴AOD BOC ??? ∴AO=OB (2)解:∵AB 是O 的直径,PA 与O 相切于点A , ∴PA ⊥AB , ∴∠A=90°. 又∵∠OPA=40°, ∴∠AOP=50°, ∵OB=OC , ∴∠B=∠OCB. 又∵∠AOP=∠B+∠OCB , ∴1 252 B OCB AOP ∠=∠= ∠=?. 2.(类比概念)三角形的内切圆是以三个内角的平分线的交点为圆心,以这点到三边的距离为半径的圆,则三角形可以称为圆的外切三角形,可以得出三角形的三边与该圆相切.以此类推,如图1,各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形 (性质探究)如图1,试探究圆外切四边形的ABCD 两组对边AB ,CD 与BC ,AD 之间的数
圆的知识点总结 (一)圆的有关性质 [知识归纳] 1. 圆的有关概念: 圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆; 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高; 圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆;圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。 2. 圆的对称性 圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴,圆有无数条对称轴; 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形; 圆具有旋转不变性。 3. 圆的确定 不在同一条直线上的三点确定一个圆。 4. 垂直于弦的直径 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧; 推论1 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。 垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个,就 可推出另外三个:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦(不是直径); ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧。 1
推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等;所对的弦的弦心距相等。 推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 此定理和推论可以理解成:在同圆或等圆中,满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个:①两个圆心角相等;②两个圆心角所对的弧相等;③两个圆 心角或两条弧所对的弦相等;④两条弦的弦心距相等。 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 6. 圆周角 定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半; 推论1同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等; 推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径; 推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 7. 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角。 ※8. 轨迹 轨迹符合某一条件的所有的点组成的图形,叫做符合这个条件的点的轨迹。 (1)平面内,到一定点的距离等于定长的点的轨迹,是以这个定点为圆心,定长为半径的圆; (2)平面内,和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是这条线段的垂直平分线; (3)平面内,到已知角两边的距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线。 [例题分析] 例1. 已知:如图1,在⊙O中,半径OM⊥弦AB于点N。 图1 ①若AB =,ON=1,求MN的长; ②若半径OM=R,∠AOB=120°,求MN的长。 解:①∵AB =,半径OM⊥AB,∴AN=BN = ∵ON=1,由勾股定理得OA=2 ∴MN=OM-ON=OA-ON=1 ②∵半径OM⊥AB,且∠AOB=120°∴∠AOM=60° 2
中考数学综合题专题【圆】专题训练含答案 一、选择题 1.(北京市西城区)如图,BC 是⊙O 的直径,P 是CB 延长线上一点,PA 切⊙O 于点A ,如果PA =3,PB =1,那么∠APC 等于 ( ) (A ) 15 (B ) 30 (C ) 45 (D ) 60 2.(北京市西城区)如果圆柱的高为20厘米,底面半径是高的 41,那么这个圆柱的侧面积是 ( ) (A )100π平方厘米 (B )200π平方厘米 (C )500π平方厘米 (D )200平方厘米 3.(北京市西城区)“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题,“今在圆材,埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”用 现在的数学语言表述是:“如图,CD 为⊙O 的直径,弦AB ⊥CD ,垂足为E ,CE =1寸,AB =寸,求直径CD 的长”.依题意,CD 长为 ( ) (A )2 25寸 (B )13寸 (C )25寸 (D )26寸 4.(北京市朝阳区)已知:如图,⊙O 半径为5,PC 切⊙O 于点C ,PO 交⊙O 于点A ,PA =4,那么PC 的长等于 ( ) (A )6 (B )25 (C )210 (D )214 5.(北京市朝阳区)如果圆锥的侧面积为20π平方厘米,它的母线长为5厘 米,那么此圆锥的底面半径的长等于 ( ) (A )2厘米 (B )22厘米 (C )4厘米 (D )8厘米 6.(天津市)相交两圆的公共弦长为16厘米,若两圆的半径长分别为10厘 米和17厘米,则这两圆的圆心距为 ( ) (A )7厘米 (B )16厘米 (C )21厘米 (D )27厘米 7.(重庆市)如图,⊙O 为△ABC 的内切圆,∠C = 90,AO 的延长线交BC 于点D ,AC =4,DC =1,,则⊙O 的半径等于 ( )
中考数学压轴题专题圆与相似的经典综合题附答案解析 一、相似 1.如图,在等腰Rt△ABC中,O为斜边AC的中点,连接BO,以AB为斜边向三角内部作Rt△ABE,且∠AEB=90°,连接EO.求证: (1)∠OAE=∠OBE; (2)AE=BE+ OE. 【答案】(1)证明:在等腰Rt△ABC中,O为斜边AC的中点, ∴OB⊥AC, ∴∠AOB=90°, ∵∠AEB=90°, ∴A,B,E,O四点共圆, ∴∠OAE=∠OBE (2)证明:在AE上截取EF=BE, 则△EFB是等腰直角三角形, ∴,∠FBE=45°, ∵在等腰Rt△ABC中,O为斜边AC的中点, ∴∠ABO=45°, ∴∠ABF=∠OBE, ∵, ∴, ∴△ABF∽△BOE,
∴ = , ∴AF= OE, ∵AE=AF+EF, ∴AE=BE+ OE. 【解析】【分析】(1)利用等腰直角三角形的性质,可证得∠AOB=∠AEB=90°,可得出A,B,E,O四点共圆,再利用同弧所对的圆周角相等,可证得结论。 (2)在AE上截取EF=BE,易证△EFB是等腰直角三角形,可得出BF与BE的比值为,再证明∠ABF=∠OBE,AB与BO的比值为,就可证得AB、BO、BF、BE四条线段成比例,然后利用两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似,可证得△ABF∽△BOE,可证得AF= OE,由AE=AF+EF,可证得结论。 2.如图1,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,E、F分别是AB、BD的中点,连接EF,点P从点E出发,沿EF方向匀速运动,速度为1cm/s,同时,点Q从点D出发,沿DB方向匀速运动,速度为2cm/s,当点P停止运动时,点Q也停止运动.连接PQ,设运动时间为t(0<t<4)s,解答下列问题: (1)求证:△BEF∽△DCB; (2)当点Q在线段DF上运动时,若△PQF的面积为0.6cm2,求t的值; (3)如图2过点Q作QG⊥AB,垂足为G,当t为何值时,四边形EPQG为矩形,请说明理由; (4)当t为何值时,△PQF为等腰三角形?试说明理由. 【答案】(1)解:证明:∵四边形是矩形, 在中, 分别是的中点,
中考数学圆的综合综合经典题及详细答案 一、圆的综合 1.如图,四边形OABC 是平行四边形,以O 为圆心,OA 为半径的圆交AB 于D ,延长AO 交O 于E ,连接CD ,CE ,若CE 是⊙O 的切线,解答下列问题: (1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)若BC=4,CD=6,求平行四边形OABC 的面积. 【答案】(1)证明见解析(2)24 【解析】 试题分析:(1)连接OD ,求出∠EOC=∠DOC ,根据SAS 推出△EOC ≌△DOC ,推出∠ODC=∠OEC=90°,根据切线的判定推出即可; (2)根据切线长定理求出CE=CD=4,根据平行四边形性质求出OA=OD=4,根据平行四边形的面积公式=2△COD 的面积即可求解. 试题解析:(1)证明:连接OD , ∵OD=OA , ∴∠ODA=∠A , ∵四边形OABC 是平行四边形, ∴OC ∥AB , ∴∠EOC=∠A ,∠COD=∠ODA , ∴∠EOC=∠DOC , 在△EOC 和△DOC 中, OE OD EOC DOC OC OC =?? ∠=∠??=? ∴△EOC ≌△DOC (SAS ), ∴∠ODC=∠OEC=90°, 即OD ⊥DC , ∴CD 是⊙O 的切线; (2)由(1)知CD 是圆O 的切线, ∴△CDO 为直角三角形, ∵S △CDO = 1 2 CD?OD , 又∵OA=BC=OD=4,
∴S△CDO=1 2 ×6×4=12, ∴平行四边形OABC的面积S=2S△CDO=24. 2.如图,⊙M交x轴于B、C两点,交y轴于A,点M的纵坐标为2.B(﹣33,O),C(3,O). (1)求⊙M的半径; (2)若CE⊥AB于H,交y轴于F,求证:EH=FH. (3)在(2)的条件下求AF的长. 【答案】(1)4;(2)见解析;(3)4. 【解析】 【分析】 (1)过M作MT⊥BC于T连BM,由垂径定理可求出BT的长,再由勾股定理即可求出BM的长; (2)连接AE,由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC,再由AAS定理得出△AEH≌△AFH,进而可得出结论; (3)先由(1)中△BMT的边长确定出∠BMT的度数,再由直角三角形的性质可求出CG 的长,由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形,进而可求出答案.【详解】 (1)如图(一),过M作MT⊥BC于T连BM, ∵BC是⊙O的一条弦,MT是垂直于BC的直径, ∴BT=TC=1 2 3 ∴124 ; (2)如图(二),连接AE,则∠AEC=∠ABC,∵CE⊥AB, ∴∠HBC+∠BCH=90°
中考数学圆的综合提高练习题压轴题训练附详细答案 一、圆的综合 1.如图,点P在⊙O的直径AB的延长线上,PC为⊙O的切线,点C为切点,连接AC,过点A作PC的垂线,点D为垂足,AD交⊙O于点E. (1)如图1,求证:∠DAC=∠PAC; (2)如图2,点F(与点C位于直径AB两侧)在⊙O上,?? BF FA =,连接EF,过点F作AD 的平行线交PC于点G,求证:FG=DE+DG; (3)在(2)的条件下,如图3,若AE=2 3 DG,PO=5,求EF的长. 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)EF=32. 【解析】 【分析】 (1)连接OC,求出OC∥AD,求出OC⊥PC,根据切线的判定推出即可; (2)连接BE交GF于H,连接OH,求出四边形HGDE是矩形,求出DE=HG,FH=EH,即可得出答案; (3)设OC交HE于M,连接OE、OF,求出∠FHO=∠EHO=45°,根据矩形的性质得出 EH∥DG,求出OM=1 2 AE,设OM=a,则HM=a,AE=2a,AE= 2 3 DG,DG=3a, 求出ME=CD=2a,BM=2a,解直角三角形得出tan∠MBO= 1 2 MO BM =,tanP= 1 2 CO PO =,设 OC=k,则PC=2k,根据OP=5k=5求出k=5,根据勾股定理求出a,即可求出答案.【详解】 (1)证明:连接OC, ∵PC为⊙O的切线,
∴OC⊥PC, ∵AD⊥PC, ∴OC∥AD, ∴∠OCA=∠DAC, ∵OC=OA, ∴∠PAC=∠OCA, ∴∠DAC=∠PAC; (2)证明:连接BE交GF于H,连接OH, ∵FG∥AD, ∴∠FGD+∠D=180°, ∵∠D=90°, ∴∠FGD=90°, ∵AB为⊙O的直径, ∴∠BEA=90°, ∴∠BED=90°, ∴∠D=∠HGD=∠BED=90°, ∴四边形HGDE是矩形, ∴DE=GH,DG=HE,∠GHE=90°, ∵?? BF AF =, ∴∠HEF=∠FEA=1 2 ∠BEA=190 2 o ?=45°, ∴∠HFE=90°﹣∠HEF=45°, ∴∠HEF=∠HFE, ∴FH=EH, ∴FG=FH+GH=DE+DG; (3)解:设OC交HE于M,连接OE、OF, ∵EH=HF,OE=OF,HO=HO, ∴△FHO≌△EHO, ∴∠FHO=∠EHO=45°,
圆 一:【知识梳理】 1.圆的有关概念和性质 (1) 圆的有关概念 ①圆:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆,其中定 点为圆心,定长为半径. ②弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,大于半圆的弧称为优弧, 小于半圆的弧称为劣弧. ③弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径. (2)圆的有关性质 ①圆是轴对称图形;其对称轴是任意一条过圆心的直线;圆是中心对称图 形,对称中心为圆心. ②垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. 推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.说明:根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说,如果具备: ①过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧。 上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。 ③弧、半圆、优弧、劣弧: 弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧 ..,简称弧.,用符号“⌒”表示,以CD为端点的弧记为“”,读作“圆弧CD”或“弧CD”。 半圆:直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧叫做半.圆.。 优弧:大于半圆的弧叫做优弧 .. 劣弧:小于半圆的弧叫做劣弧 ..。(为了区别优弧和劣弧,优弧用三个字母表示。) ④弧、弦、圆心角的关系:在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧, 两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
推论:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等;直径所对的圆 周角是直角;90”的圆周角所对的弦是直径. ⑤等圆:能够完全重合的两个圆叫做等圆,半径相等的两个圆是等圆。 ⑥等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧 ..。 ⑦圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角 .... ⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距 .... (3)对圆的定义的理解: ①圆是一条封闭曲线,不是圆面; ②圆由两个条件唯一确定:一是圆心(即定点),二是半径(即定长) 2.与圆有关的角 (1)圆心角:顶点在圆心的角叫圆心角。圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角:顶点在圆上,两边分别和圆相交的角,叫圆周角。圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半. (3)圆心角与圆周角的关系: 同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. (4)圆内接四边形:顶点都在圆上的四边形,叫圆内接四边形.圆内接四边形对角互补,它的一个外角等于它相邻内角的对角.3. 点与圆的位置关系及其数量特征: 如果圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则 ①点在圆上 <===> d=r; ②点在圆内 <===> d
初三数学圆的知识点总结及经典例题详解 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
圆的基本性质 1.半圆或直径所对的圆周角是直角. 2.任意一个三角形一定有一个外接圆. 3.在同一平面内,到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆. 4.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等. 5.同弧所对的圆周角等于圆心角的一半. 6.同圆或等圆的半径相等. 7.过三个点一定可以作一个圆. 8.长度相等的两条弧是等弧. 9.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等. 10.经过圆心平分弦的直径垂直于弦。 直线与圆的位置关系 1.直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切. 2.三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心. 3.弦切角等于所夹的弧所对的圆心角. 4.三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心. 5.垂直于半径的直线必为圆的切线. 6.过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线. 7.垂直于半径的直线是圆的切线. 8.圆的切线垂直于过切点的半径. 圆与圆的位置关系 1.两个圆有且只有一个公共点时,叫做这两个圆外切. 2.相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 3.两个圆有两个公共点时,叫做这两个圆相交.
4.两个圆内切时,这两个圆的公切线只有一条. 5.相切两圆的连心线必过切点. 正多边形基本性质 1.正六边形的中心角为60°. 2.矩形是正多边形. 3.正多边形都是轴对称图形. 4.正多边形都是中心对称图形. 圆的基本性质 1.如图,四边形ABCD 内接于⊙O,已知∠C=80°,则∠A 的度数是 . A. 50° B. 80° C. 90° D. 100° 2.已知:如图,⊙O 中, 圆周角∠BAD=50°,则圆周角∠BCD 的度数是 . A.100° B.130° C.80° D.50° 3.已知:如图,⊙O 中, 圆心角∠BOD=100°,则圆周角∠BCD 的度数 是 . A.100° B.130° C.80° D.50° 4.已知:如图,四边形ABCD 内接于⊙O ,则下列结论中正确的是 . ? B ? ? C B A O ? B O C A D D C A O
直线与圆位置关系 一.课标要求 1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系; 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题; 3.在平面解析几何初步的学习过程中,体会用代数方法处理几何问题的思想。 二.知识框架 相离 几何法 弦长 直线与圆的位置关系 相交 代数法 切割线定理 相切 直线与圆 代数法 求切线的方法 几何法 圆的切线方程 过圆上一点的切线方程 圆的切线方程 切点弦 过圆外一点的切线方程 方程 三.直线与圆的位置关系及其判定方法 1.利用圆心0),(=++C By Ax b a O 到直线的距离22B A C Bb Aa d +++=与半径r 的大小来判 定。 (1)?
(最值问题)3.已知实数x 、y 满足方程01422=+-+x y x , (1)求 x y 的最大值和最小值; (2)求y x -的最大值和最小值; (3)求22y x +的最大值和最小值。 〖分析〗考查与圆有关的最值问题,解题的关键是依据题目条件将其转化为对应的几何问题求解,运用数形结合的方法,直观的理解。①转化为求斜率的最值;②转化为求直线b x y +=截距的最大值;③转化为求与原点的距离的最值问题。 (位置关系)4.设R n m ∈,,若直线02)1()1(=-+++y n x m 与圆1)1()1(22=-+-y x 相切,则n m +的取值范围是() (位置关系)5.在平面直角坐标系xoy 中,已知圆224x y +=上有且仅有四个点到直线 1250x y c -+=的距离为1,则实数c 的取值范围是 6.直线0323=-+y x 截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角是 ( C ) A 、6π B 、4π C 、3π D 、2 π (位置关系)7.圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是 ( ) A .2 B .21+ C .2 21+ D .221+ (最值问题)8.设A 为圆1)2()2(22=-+-y x 上一动点,则A 到直线05=--y x 的最大距离为______. 9.已知圆C 的半径为2,圆心在x 轴的正半轴上,直线0443=++y x 与圆C 相切,则圆 C 的方程为( ) A .03222=--+x y x B .042 2=++x y x C .03222=-++x y x D .0422=-+x y x 10.若曲线21x y -=与直线b x y +=始终有两个交点,则b 的取值范围是__________. (对称问题)11.圆4)1()3(:2 21=++-y x C 关于直线0=-y x 对称的圆2C 的方程为:( ) A. 4)1()3(22=-++y x B. 4)3()1(22=-++y x C. 4)3()1(22=++-y x D. 4)1()3(22=++-y x
数学中考圆综合题附参考答案 1.如图,△ABC 中,以BC 为直径的圆交AB 于点D ,∠ACD =∠ABC . (1)求证:CA 是圆的切线; (2)若点E 是BC 上一点,已知BE =6,tan ∠ABC = 32,tan ∠AEC =3 5 ,求圆的直径. 2. 如图右,已知直线PA 交⊙0于A 、B 两点,AE 是⊙0的直径.点C 为⊙0上一点,且AC 平分∠PAE ,过C 作CD ⊥PA ,垂足为D 。 (1)求证:CD 为⊙0的切线; (2)若DC+DA=6,⊙0的直径为l0,求AB 的长度. 1. (1)证明:连接OC, ∵点C 在⊙0上,0A=OC,∴∠OCA=∠OAC ,∵CD ⊥PA ,∴∠CDA=90°, 有∠CAD+∠DCA=90°,∵AC 平分∠PAE ,∴∠DAC=∠CAO 。 ∴∠DC0=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°。 又∵点C 在⊙O 上,OC 为⊙0的半径,∴CD 为⊙0的切线. (2)解:过0作0F ⊥AB ,垂足为F ,∴∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°, ∴四边形OCDF 为矩形,∴0C=FD ,OF=CD. ∵DC+DA=6,设AD=x ,则OF=CD=6-x ,∵⊙O 的直径为10,∴DF=OC=5,∴AF=5-x , 在Rt △AOF 中,由勾股定理得222AF +OF =OA .即22(5)(6)25x x -+-=,化简得:211180x x -+= 解得2x =或9x =。由AD