2020年全国II卷文科数学高考试题
全国I 卷：
[适用地区：河北、河南、山西、江西、安徽、湖北、湖南、广东、福建]
全国Ⅱ卷：
[适用地区：内蒙古、黑龙江、辽宁、吉林、重庆、陕西、甘肃、宁夏、青
海、新疆]
全国Ⅲ卷：
[适用地区：云南、广西、贵州、四川、西藏]
2020年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={}3,x x x Z <∈，B={}
1,x x x Z >∈，则A B =
A. ?
B. {}3,2,2,3--
C. {}2,0,2-
D. {}2,2-
2. 41i =-（）
A.-4
B.4
C.-4i
D.4i
3.如图，将钢琴上的12个键依次记为1a ,2a ,…,12a .设
112i j k ≤<<≤.若3k j -=且4j i -=，则称i a ,j a ,k a 为原位大三和弦；若4k j -=且3j i -=，则称i a ,j a ,k a 为原位小三和
弦.用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个
数之和为
A.5
B.8
C.10
D.15
4. 在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作，已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05。志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者
A. 10名
B. 18名
C. 24名
D. 32名
5.已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是
A. 2a b +
B. 2a b +
C. 2a b -
D. 2a b -
6.记n S 为等比数列{n a }的前n 项和. 若5a -3a =12, 6a -4a =24，则
n n
S a = A ．2n -1
B ． 2-2t n -
C. 2-n-12
D ．t-n 2-1
7. 执行右面的程序框图，若输入的k=0，a=0，则输出的k 为：
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
8. 若过点（2,1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为
A ．55 B. 255 C. 355 D. 455
9．设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线C ：22
22x 1y a b -=（a>0,b>0）的两条渐近线分别交于D ，E 两点，若ODE ?的面积为8，则C 的焦距的最小值为
A ．4
B ．8
C ．16
D ．32
10.设函数331()f x x x
=-，则()f x
A.是奇函数，且在(0,+∞)单调递增
B.是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C.是偶函数，且在(0,+∞)单调递增
D.是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
11.已知△ABC 的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为
A
B ．32
C ．1
D ．
2
12. 若2233x y x y ---<-，则
A. ln(1)0y x -+>
B. ln(1)0y x -+<
C. ln ||0x y ->
D. ln ||0x y -<
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 若2sin 3
x =-，则cos2x =____. 14. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若12a =-，262a a +=，则10S =____.
15. 若x ，y 满足约束条件1,1,21,x y x y x y +≥-??-≥-??-≤?
则2z x y =+的最大值是____.
16.设有下列4个命题：
1P ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
2P ：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
3P ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
4p ：若直线l ?平面α，直线m ⊥平面α，则m l ⊥.
则下述命题中所有真命题的序号是_________
1) 14p p ∧
2) 12p p ∧
3) 23p p ?∨
4) 34p p ?∨?
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题，共60分。
17.（12分）
ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos cos 24A A π??++= ???
， （1） 求A ；
（2）
若b c -=
，证明：ABC ?是直角三角形.
18.（12分）
某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加，为调查该地区某种野生动物的数量，将其分为面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据i i x y i=20???（，）（1,2，，），其中i x 和i y 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得
()()()()222020202020
i i i i i i
i=1i=1i=1i=1i=1x =60y =1200x -x =80y -y =9000x -x y -y =800∑∑∑∑∑，，，，. （1） 求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样
区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；
（2） 求样本()(),1,2,i i x y i =…,20的相关系数（精确到0.01）；
（3） 根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表
性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由。 附：相关系数
()()
y n i
i x x y r --
=∑ 1.414≈.
19.（12分） 已知椭圆22
122:1(0)x y C a b a b
+=>>的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与2C 的顶点重合. 过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于A ，B 两点，交2C 于C ，D 两点，且43
CD AB =. （1） 求1C 的离心率；
（2） 若1C 的四个顶点到2C 的准线距离之和为12，求1C 与2C 的标准方程.
20. 如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面
11BB C C 是矩形，M ,N 分别为BC ,11B C 的中点，P 为AM 上一
点，过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F .
（1）证明：1AA MN ，且平面1A A MN ⊥平面11EB C F ；
（2）设O 为111A B C 的中心，若6AO AB ==，AO 平面11EB C F ，且3MPN π∠=
，求四棱锥11B EB C F -的体积
21.（12分）
已知函数()2ln 1f x x =+.
（1） 若()2f x x c ≤+，求c 的取值范围；
（2） 设0a ＞，讨论函数()()()f x f a g x x a
-=
-的单调性.
（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。
22. [选修44-：坐标系与参数方程] (10分)
已知曲线1C ,2C 的参数方程分别为
212214cos ,(:(.14sin x t x t C t y y t t θθθ?=+??=????=???=-??：为参数),C 为参数） （1）将1,C 2C 的参数方程化为普通方程：
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. 设1,C ，2C 的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.
23. [选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数2
=+.
x x x
f()-a-2a+1
（1）当a=2时，求不等式f(x)≥4的解集；（2）若f(x)≥4，求a的取值范围.