金融数学引论答案第一章--北京大学出版[1]

第一章习题答案

1?解：JEt = O 代入得A(O) = 3 于是:a(t) =A(t)/A(O)= (t 2 + 2t + 3) /3 In =

A(n) 一 A(n 一 1)

= (n 2 + 2n + 3) - ((n - I)2 + 2(n - 1) + 3))

= 2n + l 2.解:(1)1 = A(n)-A(t) = I n +I nl + ? ? ÷I t+1 =n(n+ l)∕2-t(t+ 1)/2 (2)I = A(n)-

A(t)= Y J l k = 2π+, -2,+,

A-r÷l

3?解：由题意得

a(0) = I Z a(3) =A(3)/A(O)= => a = , b = 1 ∕? A(5) = 100

A(IO)=A(O) ? a(10) = A(5) ? a(10)/ a(5)= 100 X 3 = 300.

4.解：(l)i5 =(A(5) - A(4))∕A(4)=5120^ % ilθ =(A(IO) - A ⑼)∕A(9)=5145≈ %

(2)i5 =(A(5) 一 A(4))∕A(4)

IOO(I + 0.1)5-l∞(l + 0.1)4

IOo(I + o.ιy l

5?解:A(7) = A(4)(l + i5)(l + i6)(l + i7) =1000 XXX

6?解：设年单利率为i

500(1 + = 615

解得i = %

设500元需要累积t 年

500(1 + t × %) = 630

解得t = 3年4个月 }

7?解：设经过t 年后，年利率达到％

1 + 4%×t= (1 + 2.5%)1 t Q

8. 解ι(l + i)11 = (l + i)5+2*3 = XY 3

9. 解：设实利辜为i

600[(l + i)2 一 1] = 264

解彳gi = 20%

：? A(3) = 2000(1 + i)3 = 3456 元

10?解：设实利站为i

10% i K)=(A(10)-A(9))∕A(9) =

1∞(1 + 0.1)10-100(1 + 0.1)9 IOO(I + 0.1)9

10%

---------- 1 ------- ~ (l + z)n (l + ∕)2n

所以"=导》右

11?解:由500×(l+ i)30 = 4∞0 => (l + i)30 = 8

IOOOO I(XX)O IOOOo

+

+ i)2°

(1 +i)40 (1 +i)60

=IOOO ×

2 4 (8~+8~+8^2)

12 解:(1 + i)a = 2

(l + i)b =j (2)

(l + i)c = 5 (3)

3 + i)n =- (4) 2

=> n ? In(I. + i) = In 5 -In 3

?l∕ ?l∕

11/ /k 牧→ In5 = c × ln(l + i) × (2) => In3 = (a + b) ■ In (1 + i) =C -

(a + b)

13?解：

A ? i = 336 A ? d = 300 i —

d = i ? d => A =

2800 14?解：

(1)

10%

'1 + 5x10%

=%

⑵ a-1(t) = 1 一

=> a(t) = a(5)

III δ A(t)= δ B(t)得

t = 5

)

19?解：依题意,累积函数为a(t) = at2 + bt + 1 a = 0.25a +

+ 1 =

a(l) = a + b + 1 =

=> a =

b =

于是 δ =≤222= 0.068

a(0.5)

20?解：依题意，§ A (t) = J 「J B (t)= ----------------

1 + L 1 + t

IllJ A (t)> ? (t) 1

一 1-0.1/

=dS = ΦH√1) a(5)

=%

15?解:由

(l + -r )3=(l-￡-)7 3 4

i

⑶-3

二> 〃⑷=4?[1一(1 +

寸)-可

:⑶ Itl

:⑹ z ∕(12)

(1 + L_)6=(1_L_)3) 6 12

〃(⑵

=> 严>=6?[(1 -------- Γ2-l]

12

16?解:⑴ 终值为IOO × (1 + i(4)/

4 F?=元

⑵ 终值为Ioo × [(1 -4d

17. 解：利用 1/d (FTl)- 1/i (Fn) = I∕m=> m = 8

18. 解:aA (t) = 1 + => δ A (t)

a"1A (t) = l-0.05r=>? (a"1B (t))1 aΛ(t) 0.05

"l-0.05r

a A (I) 1 + 0」/

2t 2

=> -------- > ---------- 1 +L 1 +t

=> t > 1

21.解：d (4) = 8% ,设复利下月实贴现率为d,单利下实利率为do 。

__________ 全部釆用复利:

PV= 5000(1-d)25 = 4225.25 前两年用复利:

I 8%

1 — 2

PV= 5000(1-d)24(l-d 0) = 4225.46 22. 解：i K)= 6%,贝IJi= (1 +—)4-l = 6.14%

4

设笫3年初投入X,以笫3年初为比较日，列价值方程

2000(1 +i)2+ 20∞(l +i) +X= 2000v 2 + 5000v 8 解得 X= 元

23. 解：对两种付款方式，以第5年为比较日，列价值方程:

2∞ + 500V 5 = 400.94解得宀 0.40188

所以

P= IOO(I +i),°+ 120(1 +i)5= 917.762

24. 解：10∞(l + 6%)1 = 2×10∞(l +4%)"解得：t = 36 年

25?解：列价值方程为l∞v n + 100v 2n = 100解得n =

26.解：Q=丄，得基金B 的积累函数为

6t

2

a B (t) = exp(∫θ J S dS) =exp(二)欲使“人⑴则

解得t=

27 解:IOOO(I+ i)15 = 3000

贝 IJi ⑵=((I +i)l-l)×2 = 7.46%

2

28.解：列价值方程为

(I T 12屮

d-d)3 = 1 8% V

1 —3d 。=

300(1 +i)2+ 2∞(1 +i) + 100 = 700 解得i = %

29.解：J l =kt 则积累函数为 a(t) =exp∫θ ksds = exp(-12)

2

?a(10) = 2 We 50k = 2

解得k=

30?解：(l + i)3 + (l - i)3 =

解得i =

3：L 解：一个货币单位在第一个计息期内的利息收入j,第二个计息期内的利息收 Λj ÷ j2,故差为j 乙即第一期利息产生的利息。

32?解：设半年实利率为则有:

15(1 +i ,) + 13.65 = 28(1 +i)

解得:T= 0.05故:i= (1 +i l )2-l = 0.1025

33. 解：价值方程：

正常：IoOo = IOO(I + j)?, + IOO(I + j)"2 + I(XX)(I +j)?3

转让：960 = IOO(I +kf 1+ IOOO(I +kf 2

解得：j = %, k = %

从而:j < k

34?解：和δ等价的年利率i = / -1 ,年利率变化：

?≤ = J 和各等价的年贴现率l-e j =d,年贴现率变化:

Ii m i≠=1≡: j δ1 2

Iim ?= Iim Z￡Ziiri = Ii m fi = I C ITU dτθ J - I) 2J S T O 2

2

Iiml= lim ≤Ξl≤ d→0 F J→() I-L 2J 35.证明:

J →O 2

36. 解：设货款为S,半年实利率为匚则有：0.7S(I ÷i ,) = 0.75S

解得：1 +i'= 1.0714

故i= (1 +i ,)2-l = 14.80%

37. 解:1)单利方式：Xι(l + (1 -t)i) = l

2) 复利方式：X 2(l + i)lt =l

3) 单利方式：Xl=旦也

1 + 1

由Taylor 展开易证：(1 +i),t >1 + (l-t)i (1 +i)* <1 +it??X 1 < X 2 < X 3

38. 解：设基金A,B 的本金为A,B

A(I + 0.06),° + B(I + 0.08),° = IOoo

A(I + 0.06,°) = 0.05B(I + 0.08)K)

≡ A(l ÷ 0.06)- 498.17

B(I + O.O8)5 = 907.44

从而5年底的累积值和=

39?解：设第二年的实利率i2,由题意:iι = d2=匕一

1 + i?>

■ 从而：

IOOO(I +i 1)(l +ij = IOOO(I + 21：)(1 +ij = 1200

1 +12

解得:i2=,进而il=丄

11

40 ?解：I)P= 10∞×l∞×(l + 孝)」=95238.095

41.解：l∕,(m)=丄(1 +2)W In(I +?j >0,m >0√l (m)>0 m

m In

Ix

I) IP ) .= 4.5351x104 即波动范围:

2

2)令y = ln(l+j)∕m,则原式化为:

F ln(I+jHj >O)

IfITayIOr 展开可见上式关于y 增川I 复合函数性质得证。

第二章习题答案

1.某家庭从子上出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存 款IOoO 元，后十年每年底存款1000+X 元，年利率7%。计算X o

2.价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。 月结算名利率18%。计算首次付款金额。

解：设首次付款为X ，则有

IOOO = X+250d 481l5f .

解得X =

3?设有门年期期末年金，其中年金金额为m 实利率2 1

o 试计算该年金的现值。 解：

I-V w PV =Ita n (n+ Irn 2-n ,,+2 -(?+

Ir -

Y _ X - a 2n] = a n] + 勺](1 -〃)"则 〃 =1 一 (飞一)"

5.已知：α7] =55823& 坷|] = 7.88687,码8] = 10.82760。计算几

解：

勺8] = α7] + q 卩」解得i = %

证明:

(1+O ,o -1 I 1

i+4]_ i ： _ 1

(1 + $°-1 l-v ,υ

解: S

= IOOO 吐附 ％ + X Λ](X7%

50000-](KX)Λ?20I7? Tlθi7% =651.72

4.解: 6?证明:

1

.5∣o]+6f ∞] I -VIo %)]

7.已知：半年结算名利率6%,计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半 年200元，然后减为每次100元。

解：

PV = 100Λ8P 13^ + 100Λ2O 13<, = 2189.716 &某人现年40岁，现在开始每年初在退休金 帐号上存入IoOo 元，共计25年。然

后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%, 后15年的年利率7%。计算每年的退休金。

解：设每年退休金为X,选择65岁年初为比较日 1000525］8%^ = X nISI7,.

解得X =

9.已知贴现率为10%,计算品］。

解：d=10%,则

/ = —-1 =-

?-d 9

l-v 8 ?l = （1 +/） ------- = 5.6953 1

10 ?求证：

(1)?1=?÷ 1"(2) ?=?-ι + (1 ÷0w

并给出两等式的实际解释。

所以］+ 1一『 "?? 0+0π-l ⑵计d = =(I+/T _I=(I+/r _1+(I +yj ? i

所以川=$川-1 + （1 +i}n

12.从1980年6月7日开始，每季度年金IOO 元，直至1991年12月7日，季结算名利 率6%,计算：1）该年金在1979年9月7日的现值；2）该年金在1992年6月7日的 歿

值。

解：

PV = IOOa49 ] % - IOOa 2]%

= AV=IOOS49]% - 100s2]% =

证明:

I-V w ⑴ r-r? l +

z

13.现有价值相等的两种期末年金A和BO年金A在第1一10年和第21-30年中每年1元，在^11-20年中每年2元；年金B在第1一10年和笫21-30年中每年付款金

额为Y ,在第11-20年中没有。已知：J)=I

2

,计算丫O

解：因两种年金价值相等，则有

α30μ +a iO]i^ = Y β3OIi " a iO]i^

所以丫 = 3-：：-2

1.8

叮

1 + V10一2v30

14?已知年金满足：2元的2门期期末年金与3元的门期期末年金的现值之和为36；T i 外，递延门年的2元门期期末年金的现值为6。计算几

解：由题意知，

2a m?i + 3% = 36

2伽『=6

解得2 %

15 ?已知

也=也二电。求X, Y和乙a??] aγ?+s z↑

解：山题意得

l-v7 _ (1 +F -V3

I-V1' ^(1 +/)Z-V r

解得

X = 4z r=7,Z = 4

16.化简伽(1 +J>+J")°解：仙(1 +V,5÷v3°) =α451

17.计算下面年金在年初的现值：首次在下一年的4月1B,然后每半年一次2000元，半年结算名利率9%。

解：年金在4月1日的价值为P = (1+%)/%

X 2000=,则

PV = 一= 41300.657

(1 +i产

某递延永久年金的买价为P,实利率几写出递延时间的表达式。 解：设递延时间为b 有

19?从现在开始每年初存入Iooo 元，一直进行20年。从第三十年底开始每年领取 定的金额儿直至永远。计算X 。

解：设年实利率为i,山两年金的现值相等，有

V 1000?h = —V 29

解得 X= IOOO((I +O 3θ-(1 +0,°)

20.某人将遗产以永久年金的方式留给后代A 、B 、C 、和D ：前门年，A 、B 和C 三人 平分每年的年金，门年后所有年金山D —人继承。如果四人的遗产份额的现值相 同。计算(I +0ΛO

解：设遗产为1，则永久年金每年的年金为i,那么A,B,C 得到的遗产的现值 为-a ny ,而D 得到遗产的现值为”。山题意得

1 _ V n

---- =/所以(1 +i)n = 4 2：L 永久期末年金有A. B 、C 、和D 四人分摊，A 接受第一个门年，B 接受第二 个〃年，C 接受第三个〃年，D 接受所有剩余的。已知：C 与A 的份额之比为, 求B 与D 的份额之比。

解:由

题

意知

元年利率％的贷款从第五年底开始每年还贷100元，直至还清，如果最 后一次的还款大于100元。计算最后一次还款的数量和时间。

解：

IoOa 川4.5% J <

IooO ι°°%2>ι°o°

列价值方程 P 匕 =时2

” = 0.49 勺) 那么

P = -V z 解得f = i InzP

ln(l + O

0.61

解得门=17

I OO q6H?5%+ X'I= ι∞o 解得X = 年的期末年金每次4元，另有18年的期末年金每次5元；两者现值相等。如果以同样的年利率计算货币的价值在〃年内将增加一倍，计算m

解：两年金现值相等，贝∣J4×?= 5x18,可知严=o.25

由题意，(1 +∕)π= 2解得门=9

24.某借款人可以选择以下两种还贷方式：每月底还100元，5年还清；k个月后一次还6000元。已知月结算名利率为12%,计算k。

解：由题意可得方程

IOOa60pl%「= 6000(1 + /)-∕c

解得k = 29

25?已知a2y = 1.75,求仁

解：由题意得

I-V2= 1.75i 解得2%

26.某人得到一万元人寿保险赔付。如果购买10年期末年金可以每年得到1538元, 20年

的期末年金为每年1072元。计算年利率。

解：

27?某人在银行中存入一万元20年定期存款，年利率4%,如果前5年半内提前支

取，银行将扣留提款的5%作为惩罚。已知：在第4、5、6和7年底分别取出K元, 且第十年底的余额为一万元，计算K O

解：由题意可得价值方程

IOOOO = 105λ?"J + Kd2∣4Q + IOOOOV lO

Mu= IoOOO-IOOOor-^ 979.94

1056r2J4%v +^2H%V

28.贷款P从第六个月开始分十年逐年还清。第一次的还款额为后面还款的一半，前四年半的年利率为几后面的利率为几计算首次付款金额X的表达式。

解：选取第一次还款日为比较日，有价值方程

P(I +iy=X+ 2Xπ4k+2?(l +O'4

P(I +M

所以X =

1 ÷2Λ4∣J +2^5p(l +z)~l 29?已知半年名利率为7%,计算下面年金在首次付款8年后的终值：每两年付款2000元，共计8次。

解：

30?计算下面十年年金的现值：前5年每季度初支付400元，然后增为600元。已知

年利率为12%o (缺命令)

解：

PV= 4×4∞ + 4x600W= 11466.14

3：L 已知半年结算的名贴现率为9%,计算每半年付款600元的十年期初年金的现 值表达式。

解：

32?给出下面年金的现值：在第7、11. 15、19、23和27年底支付一个货币单位。 解： 一 ? ÷5i ∣

元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次/?元的30年期末 年金代替，半年换算名利率4%,求R 的表达式。

解：设年实利率为几WIj(I+ 2%)2 = l + ∕o 有题意得

750 750

-- + -----

i 520]√

解得R =

34. 已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为125/91,计算年利率。 解：由题意知

35. 已知：1元永久期初年金的现值为20,它等价于每两年付款/?元的永久期初年 金，计算

解：山题意得

20 =2 = △解得 R =

CI a ι?i l

36. 已知每半年付款500元的递延期初年金价格为IoOoo 元。试用贴现率表示递延 时间。

;(2) 1

解：设贴现率为d ，则1 +—=——-

2 (1-〃尸

设递延时间为r,由题意得

IooOO = 2× 500讥鑑)解得 / = W) + 4(1-

1 In(I-M)

37. 计算：3谓=2&?|= 45Sy ,计算i o

(1 ÷∕)24-l (1 +沪[(1 +

『_1]

解:

3×^???= 2×-72a n)i= 42 43 44 45×4-s i]r 解得:Vfl=P / = ^

39. 已知：Jr = -O 求心;的表达式。 1 + r 1

.~∫ ^dS

解：∏?=^e ° 山=In(I + /?)

40. 已知一年内的连续年金函数为常数1,计算时刻r,使得只要在该时刻一次性支 付一个货币单位，则两种年金的现值相等。

解：第一种年金的现值为几V i dt = ≥≤-

第二种年金的现值为e",则 于A 所以匸冷冷

41. 已知：§ =。计算从现在开始每个季度初存入IOo 元的20年期初年金的现 值。(结果和李凌飞的不同)

解：设季度实利率为人因α(f) =e δ,, JjJlJ e 4 = (1 +i)所以

1 一严

PV= 100?0ll = IOO(I +0一 = 4030.53

PV = v+ 3∕+???+ (2π-l)v n +???

=v[l + PV + 2(V + V 2 +???)]

= V(I +PV+ 2—) I-V

解得:PV =66

42 现有金额为40,000元的基金以4%的速度连续累积。同时每年以2400元的固定 速连续地从基金中取钱，该基金可以维持多少时间

解：设年实利率为i,则Z = ∕-l 设基金可维持r 年，曲两现值相等得

40000 = 240OqH 解得2 28

43?已知某永久期末年金的金额为：1, 3, 5,???。另外，笫6次和第7次付款的 现

值 相等，计算该永久年金的现值。

解：由题意：

11 13 ? r

(l + 06 (1 + 0 =>

44?给出现值表达式Aa n, +B(Da)nl所代表的年金序列。用这种表达式给出如下25年

递减年金的现值：首次IOO元，然后每次减少3元。

(

解：年金序列：A + nB,A + (n - I)S z...,A + 2B,A + B

所求为25°巧+ 3( Dd)R

45.某期末年金(半年一次)为：800, 750, 700,…，350。已知半年结算名利率为16%o若记：A = ?.,试用A表示这个年金的现值。

解：考虑把此年金分割成300元的固定年金和500元的递减，故有：

300伽晴 + 500( Dd)血=300A + ?以-八)=6250-325A

47.已知永久年金的方式为:第5、6年底各Ux)元;第7、8年底各200元，第9、

10年底各300元，依此类推。证明其现值为：

V4

100 ------

i一Vd

解：把年金分解成：从第5年开始的100元永久年金，从第7年开始的100元永久年金???。从而

型丄丄IOOJl厶=K)O丄

i a2?i i门一芮Z-Vd

48.十年期年金：每年的I^IElIO07C; 4月1日200元；7月1日300元；10月1日400

兀O

证明其现值为：160(?(∕W)%4)元证：首先把一年四次的付款折到年初:m=4.n= XR= IOO///2 = 1600

从而每年初当年的年金现值：1600(Λ??0元

再贴现到开始时：1600轴(/(%)『元

49. 从现在开始的永久年金：首次一元，然后每半年一次，每次增加3%,年利率8%,计算现值。

解：半年的实利率：j= （1 + 8%）46-l = 3.923%

I 1.03

1.O32 1 + ------------ + +???

1 +j (I +7)2

=112.59

50. 某人为其子女提供如下的大学费用：每年的前9个月每月初500元，共计4年。 证明当前的准备金为：

6000?1? 证：首先把9个月的支付贴现到年初:m = 12,n = 9/12,R = SOOm = 6000 从而

每年初当年的年金现值:

6000再?贴现到当前：6000冷碣?

51. 现有如下的永久年金：第一个k 年每年底还；第二个k 年每年底还2R ；第 个k 年每年底还3/?：依此类推。给出现值表达式。

解：把此年金看成从第Dk 年开始的每年为R 的永久年金（n = O Z I Z 2, ? ? ? 每个年金的值为

再按标准永久年金求现值：-^-V

表示首次付款从第二年底开始的标准永久年金的现值，20X 表示首次付款 ■ ?

从第三年底开始的永久年金：l,2,3z ?

? ?的现值。计算贴现率。

解：Ul 题意：

解得：/ =

■

即：d = — = 0.04762

? + i

53.四年一次的永久年金：首次1元，每次增加5元，曲二，计算现值。与原答案 有岀入

解：（期初年金）

X 5 4

46 1

7T+7

PV = =(1- 1.03 rτJ ) RG 在分散在每个k 年的区段里:

ak I

20X = 1

(i + 02

PV= 1 + 6v4+ llv9+... = y(5∕7-4)√4π-4i=一—------------------ = 64

幺(1-V4)2 l-v4

(期末年金)P-V=v+ 6v5+ IIV IO+... = v?PV= 59.5587

54.永久连续年金的年金函数为:(1 +k)r,年利率i,如果：OVkVj ,计算该年金现值。与原答案有出入

解：由于0

1 1 L 1

刖=凤1 + ky e^dt = (―)^ Ch =

1 +1 In(I +0-In(I +幻

59. 计算m + n年的标准期末年金的终值。已知：前m年年利率7%,后门年年利

率11%, S-I% = 34, = 128。

解：由％的表达式有：(1 + 0.11)”= 0.11-IIr.+ 1

×α + °?11)J%恢

= ?7%×<0?11?ll%+ 1)÷?1%

=640.72

60. 中持有A股票100股，乙持有B股票100股，两种股票都是每股10元。A股票每年底每股分得红利元，共计10年，在第10次分红后，甲以每股2元的价格将所有的股票出售，假设甲以年利率6%将红利收入和股票出售的收入进行投资。B股

票在前10年没有红利收入，从第11年底开始每年每股分得红利元，如果乙也是以年利率6%进行投资，并且在n年后出售其股票。为了使屮乙在乙的股票出售时刻的累积收入相同，分别对15, 20两种悄况计算乙的股票出售价格。

解：设X为买价，有价值方程：

0.4F視+ 2 = 0.8,?^ + X(l + 0.06)-(W-IO)从而有：

X=(0?4s 减-+ 2-0&应曲)(1 + 0?06)S"

解得：X =

n = 15

n = 20

61. 某奖学金从1990年元旦开始以十万元启动，每年的6月30日和12月31日用半年结算名利率8%结算利息。另外，从1991年元旦开始每年初可以固定地收到捐款5000元。(从1991年的7月开始)每年的7月1日要提供总额为一万二千元的奖金。计算在2000年元旦的5000元捐款后基金的余额。

解：由题意：

$_ S—

AV= IooOOO(1 + 4%广+5000^--12000(1 + 4%)^^= 109926.021

62?已知贷款L经过N (偶数)次、每次K元还清，利率i o如果将还贷款次数减

少

一半，记每次的还款为Kl,试比较Kl与2K的大小。

解：由题意：

K%=K% =K1=K[1 +-L^]<2K

63.已知贷款L经过N次、每次K元还清，利率i。如果将每次的还款额增加一倍, 比较新的还款次数与N/2的大小。

解：由题意：

1 +

>，即：M

V JV