平方根知识点总结讲义汇编
平方根知识点总结
【学习目标】
1?了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根.
2?了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方
根.
【要点梳理】
要点一、平方根和算术平方根的概念
1.算术平方根的定义
如果一个正数x的平方等于a，即X2 =a，那么这个正数x叫做a的算术平方根（规定
o的算术平方根还是0）: a的算术平方根记作?.a，读作“ a的算术平方根”，a叫做被开方数?
要点诠释：当式子,a有意义时，a 一定表示一个非负数，即?a >o, a >o. 2.平方根的定义
如果X2 =a，那么X叫做a的平方根?求一个数a的平方根的运算，叫做开平方?平方与开平方互为逆运算?a（ a〉o）的平方根的符号表达为_,a（八0），其中日是a的算术平方根?
要点二、平方根和算术平方根的区别与联系
i.区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和?、a
2 ?联系：（1）平方根包含算术平方根；
（2 ）被开方数都是非负数；
（3） 0的平方根和算术平方根均为0.
要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方
根；负数没有平方根.
（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的
另一个平方根?因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根?要点三、平方根的性质
a （a 0）
\ a2 =| a | = 0 （a = 0）
-a （a :: 0）
.a = a a - 0
要点四、平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者
向左移动1 位?例如：.62500 =250 , 、625 =25 , 625 =2.5 , 0.0625 =0.25.
【典型例题】
类型一、平方根和算术平方根的概念
CI、若2m — 4与3m — 1是同一个正数的两个平方根，求m的值.
【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2m — 4二一（3m —
1）,解方程即可求解.
【答案与解析】
解：依题意得2 m - 4= -（ 3 m - 1）,
解得m二1；
? ? ? m的值为1.
【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数.
举一反三：
【变式】已知2 a - 1与一a+ 2是m的平方根，求m的值.
【答案】2 a- 1与一a + 2是m的平方根，所以2 a- i与一a + 2相等或互为相反数
22
解：①当2a - 1 = - a + 2 时，a 二1，所以m =(2a — 1) =(2 汇1 — 1) =1
②当2a 一i+(— a+ 2)= 0 时，a=— 1,
2 2 2
所以rn = (2a—1) =[2 x(—1)—1 ]2 =(—3) =9
x为何值时，下列各式有意义？
■ X2；（2）X—4 ；（3） X 1
【答案与解析】解：（1）因为X2- 0 ,所以当X取任何值时'?x2都有意义.
（2）由题意可知：x-4_0，所以x_4时，?,八4有意义.
I： x 1 _ 0
（3）由题意可知：解得：_ X_1 .所以_X_ 1时??X ? 1 ■ 1?X有意
11 -XHO - -
义.
x-n A o
（4）由题意可知：，解得/?1且X 3 .
x 3 = 0
所以当X且x = 3时，止」有意义.
x-3
【总结升华】（1）当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当
被开方数是非负数时，式子才有意义. （2）当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义.
举一反三：
1 1
【变式】已知b=4.? 3a_2 2 2?3a2,求的算术平方根.
a b
【答案】
r3a-2 启0, 2 113 1
解：根据题意，得则Q —，所以b二2,.?.一-=2 ,
2-3A0. 3 ab22
丄説的算术平方根为
a b
类型二、平方根的运算
C A3、求下列各式的值.
(1)J252 -242 T 32 +42 :(2)20—Jo.36 -T 900 .
4 3 5
【思路点拨】(1)首先要弄清楚每个符号表示的意义?(2)注意运算顺序
【答案与解析】
解:⑴、252 -242 LI ?3A7 m, : ; 49 L 25 =7 5 = 35 :
(2)」201 J0.36?1J900 = J81 — 1 乂0.6—丄沢30 = 9 0.2-6 = —1.7 . V43 5 V4 3
5 2 -
【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先
后顺序进行.(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根
据a2 - a(a - 0)来解.
类型三、利用平方根解方程
4、求下列各式中的X.
22
(1)X2 -361 =0; (2)X 1V-289；
2
(3)9(3x+2 ) —64 = 0
【答案与解析】
解：(1 )T X2 -361 =0
.x=361
???X 二..361 = 19
(2)v (x+1 f =289
? x 1 =：Y289
X + 1 = ± 17
X= 16 或 X 二一 18. (3)v 9 3x2
2
-64=0 c c 2
64
?(3x+2)盲
8
???3x 2 =
3
2十
14
???X 或 X —
9
9
【总结升华】本题的实质是一元二次方程，
(3)小题中运用了整体思想分散了难度 举一反三:
【变式】求下列等式中的X : ⑴若 x
2
=1.21 > 贝 U x 二
⑶若X 2 =竽X =
【答案】(1) 士 1.1 ; (2)± 13; ( 3) 类型四?平方根的综合应用
5 ?已知是实数，且? . 2a
6 |b- > ,2|=： 0,解矢于x 的方程(a 2)x b 2
【答案与解析】 解：? ? ? a ? b 是实数 ‘ .2a 6 |b — . 2 |=0, ,2a 6 _0 Jb- — 2|_0 ,
.2a 6 = 0, b — : : 2 = 0 ?
把 a = - 3, b 「、2 代入(a 2)x b
2
zi a -1 ，得一x + 2 二一 4, . x 二 6.
【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求出 a 、b 的值，再
解方程?此类题主要是考查完全平方式、 算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分
别等于零即可. 举一反三：
【变式】若\ x
2
-V . y 八0 ,求x2E ?y
2012
的值.
开平方法是解一元二次方程的最基本方法
(2) X 2=169> jziyx =
卄
2 2
⑷彳；x = -2，则x 二
± 2.
.(2)
【答案】
解：由X2—1 - ,.,A1 =0,得X2—1 = 0, y A0，即卩x = , y 二1 ?
①当x 二1, y 二-1 时，x2011?y2012二严1 (-1 严=2 ?
②当x=- 1, y =?i时，
2011 2012 ° 2011 / A 2012
x y =(-1) (-1) =0?
6、小丽想用一块面积为4oocm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为3oocm2
的长方形纸片，使它长宽之比为3:2，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求
的长方形纸片?
【答案与解析】解：设长方形纸片的长为3X（ x >o）cm，则宽为2X cm，依题意得
3x ? 2x = 300.
2
6x=300.
2
x 50?
x>o,
x = , 50 .
???长方形纸片的长为3. 50 cm .
?/ 50 > 49,
?507.
?3、、丽21，即长方形纸片的长大于20cm.
由正方形纸片的面积为400 cm2,可知其边长为20cm ,
?长方形的纸片长大于正方形纸片的边长?
答：小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片
【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，的正方形纸片裁出长方
形纸片
再判断能否用边长为20cm