曲线积分与曲面积分试题及解答B
曲线积分与曲面积分 测试题B
一、选择（每题6分，共2４分) 1、曲线弧
上的曲线积分和
上的曲线积分有关系（ ）
２、C 为沿以)3,1(),2,2(),1,1(C B A 为顶点的三角形逆时针方向绕一周，则 Ｉ=?=?+++c
dy y x dx y x 222)()(2( )
（A ）??--x x
dy y x dx 421
)( (B)??--x
x
dy y x dx 421
)(2
（C)[
]
???++-+++1
.
321
2
2
22
1
2
2)1()4(2)2()2(2dy y dx x x dx x dx x
（D){}[]??
?+++-+-++1
.
321
2222
1
2)1()4()4(28dy y dx x x x x dx x
３、C 为沿222R y x =+逆时针方向一周,则I ＝?+?-σ
dy xy dx y x 22用格林公式计算得
( )
(Ａ）??R
dr r d 0
3
20πθ (B ）??
R
dr r d 0220
πθ
（C ）
??
-R dr r d 0
320
cos sin 4θθπ (D ）??
R dr r d 0
320
cos sin 4θθπ
4、 ∑为)(222y x z +-=在xoy 平面上方部分的曲面，则??∑
dS = （ ）
（A ）rdr r d r ??
+πθ20
2
41 （B)rdr r d ?
?
+πθ20
20241 (C)rdr r r d ?
?+-πθ20
20
2
2
41)2( （D ）rdr r d ?
?
+π
θ20
2
241
二、填空（每题６分,共24分) 1、设
是M （1，３)沿圆(x -2）2+（y －2)2=2到点N (3，1)的半圆，则积分 。
2、设f （x )有连续导数，Ｌ是单连通域上任意简单闭曲线，且
则f （x )= ．
3、由物质沿曲线10,3
,2,:3
2≤≤===t t z t y t x C 分布,其密度为y 2=γ，则它的质量=M
。 (化为定积分形式即可不必积出）
４、=++??S
dxdy z dzdx y dydz x 333 ，S 为球面2222a z y x =++的外侧.
三、（18分）计算曲线积分 ,式中L 为由点O (0，0)沿直线ｙ=x 到点A
(１,1）再由点A 沿曲线
到点Ｂ(0，2)的路径。
四、（１8分）设C 为由抛物线y ＝x 2的从（0，０)到（1,1）的一段弧和从（1,1)到(0,0)的直线段组成．试求曲线积分
．
五、（16分）求向量yz i +xz j +x ｙk 穿过圆柱体x 2+y 2≤R ２,0≤z ≤H 的全表面∑的外侧的通量．
参考答案及评分标准（Ｂ)
一、１、Ｂ
2、Ｂ 解：利用格林公式
)(24,21:y x y
P
x Q x
y x x D xy -=??-??-≤≤≤≤。
３、A 解:22222,
:y x y
P
x Q R y x D xy +=??-??≤+利用极坐标化二重积分??
+xy
D dxdy y x )(2
2 为累次积分??R
dr r d 0
320
π
θ. 4、D 解:dxdy y x ds y x D xy 2222441,2:++=≤+.
二、1、０ 解:由x Q y P ==,知x
Q
y P ??=??,故03113)1,3()3,1(=+=+=+?????dx dy xdy ydx xdy ydx MN 。
２、c x +2 解：由题意知
y y xe y
P
x f e x Q 222)(=??='=??,即x x f 2)(=',故c x x f +=2)(。 3、?++1
0421dt t t t 解：??
++==1
4212dt t t t ds y M C
。
4、
5
512a π 解：由高斯公式得原式???Ω
++=dxdydz z y x )(3222 5
40
2
20
5
1212sin 3a dr r rdr r d d a
a
ππθ??π
π=
=?=???
?． 三、解:x
Q y y P xy Q y x P ??=-=??-=-=2,
2,22，故积分与路径无关……………………………6分 取OB 为从O 到Ｂ的直线段,则?--L
xydy dx y x 2)(22……………………………1２分
02)(22=--=?OB
xydy dx y x …………………………………………………………
18分
四、解:由于y x P 2+=,y x Q 2-=,故由格林公式 …………………………………………6分
()??????
-=-=??
?
????-??=
D
D
D
y
x y x y x y P x Q I d d d d 21d d ?
?
?-=-=1
210
d )(d d 2
x x x y x
x
x
…………12分
1
2323??????-=x x 61
2131-=-= …………………………………………………………18分 五、证明:??∑
++=Φxydxdy xzdzdx yzdydz ……………………………………………………6分
由∑围成立体Ω,用高斯公式得…………………………………………………10分
???Ω
=++=Φ0)000(dv (6)