高等数学(下)知识点 主要公式总结 第八章 空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1) 椭圆锥面:2 2 222z b y a x =+ 2) 椭球面:122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面:1222222=++c z a y a x 3) 单叶双曲面:122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面:1222222=--c z b y a x 4) 椭圆抛物面:z b y a x =+2222 双曲抛物面(马鞍面):z b y a x =-22 22 5) 椭圆柱面:1222 2=+b y a x 双曲柱面:122 22=-b y a x 6) 抛物柱面: ay x =2 (二) 平面及其方程 1、 点法式方程: 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量:),,(C B A n =ρ ,过点),,(000z y x 2、 一般式方程: 0=+++D Cz By Ax 截距式方程: 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角:),,(1111C B A n =ρ,),,(2222C B A n =ρ, ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ;?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离: (三) 空间直线及其方程 1、 一般式方程:?????=+++=+++0 022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式(点向式)方程: p z z n y y m x x 0 00-=-=-
六年级数学上册重点知识归纳 第一单元:位置 1、确定第几列、第几行的一般规则:竖排叫做列,横排叫做行;确定第几列一般是从左往右数,确定第几行一般是从前往后数。 2、用数对表示位置时,一般先表示第几列,再表示第几行。如数对(3,2)中的“3”表示第三列,“2”表示第二行。 3、物体平移前后顶点的位置变化: (1)图形向左或向右平移,改变了顶点所在的列,没有改变顶点所在的行,数对中的第一个数变了,第二个数没有变; (2)图形向上或下平移,改变了顶点所在的行,没有改变顶点所在的列,数对中的第一个数没有变,第二个数变了。 第二单元:分数乘法 1、分数乘整数的计算方法:分母不变,分子与整数相乘的积作分子。 2、分数乘分数,应该分子乘分子,分母乘分母。注意:能约分的可以先约分再乘。 注意:一个大于0的数乘大于1的数,积大于这个数。一个大于0的数乘小于1的数,积小于这个数。 3、分数混合运算的顺序和整数的混合运算顺序相同。 (1)在没有括号的算式里,同级运算从左往右进行计算; (2)在没有括号的算式里,既有乘除又有加减,要先算乘除后算加减; (3)有括号的要先算小括号里面的,后算中括号里面的,最后算括号外面的数。 4、整数乘法的交换律、结合律和分配律,对于分数乘法也适用。 (1)乘法交换律:a×b=b ×a (2)乘法结合律:(a ×b)×c=a ×(b ×c) (3)乘法分配律:(a+b)×c=a ×c+b ×c 5、解决求一个数的几分之几是多少的问题,用乘法计算。 6、乘积是1的两个数互为倒数。求分数的倒数是交换分子、分母的位置;求整数的倒数是把整数看作分子是1的分数,再交换分子和分母和位置。注意:1的倒数是1,0没有倒数。 7、真分数的倒数一定都大于1;假分数的倒数一定都小于或等于1。 第三单元:分数除法 1、分数除法的意义与整数除法的意义相同,是已知两个数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。 2、分数除法的计算方法: ①分数除以整数(0除外),等于分数乘这个整数的倒数。 ②一个数除以分数,等于这个数乘分数的倒数。 ③甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘乙数的倒数。 3、一个数除以小于1(不等于0)的数,商大于被除数; 一个数除以1,商等于被除数; 一个数除以大于1的数,商小于被除数。
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim (1)l = 0,称f (x)是比g(x)高阶的无穷小,记以f (x) = 0[)(x g ],称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 (2)l ≠ 0,称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 (3)l = 1,称f (x)与g(x)是等价无穷小,记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ,tan x ~ x ,x arcsin ~ x ,x arccos ~ x , 1? cos x ~ 2/2^x , x e ?1 ~ x ,)1ln(x + ~ x ,1)1(-+αx ~ x α 二.求极限的方法 1.两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.(夹逼定理)设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ,则A x f =)(lim 2.两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3.用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4.用泰勒公式 当x 0→时,有以下公式,可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! ))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 121 2153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5.洛必达法则
高数重点知识总结 1、基本初等函数:反函数(y=arctanx),对数函数(y=lnx),幂函数(y=x),指数函数(x a y =),三角函数(y=sinx),常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。 3、无穷小:高阶+低阶=低阶 例如:1lim lim 020==+→→x x x x x x x 4、两个重要极限:()e x e x x x x x x x x =?? ? ??+=+=∞ →→→11lim 1lim )2(1 sin lim )1(1 0 经验公式:当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ,[] ) ()(lim ) (0 )(1lim x g x f x g x x x x e x f →=+→ 例如:()33lim 10 031lim -? ? ? ? ?-→==-→e e x x x x x x 5、可导必定连续,连续未必可导。例如:||x y =连续但不可导。 6、导数的定义:()00 00 ') ()(lim ) (') ()(lim x f x x x f x f x f x x f x x f x x x =--=?-?+→→? 7、复合函数求导: [][])(')(')(x g x g f dx x g df ?= 例如:x x x x x x x y x x y ++=++ = +=2412221 1', 8、隐函数求导:(1)直接求导法;(2)方程两边同时微分,再求出dy/dx 例如:y x dx dy ydy xdx y x y yy x y x - =?+- =?=+=+22,),2('0'22,),1(1 22左右两边同时微分法左右两边同时求导解:法 9、由参数方程所确定的函数求导:若?? ?==) ()(t h x t g y ,则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==,其二阶导数:()[] ) (')('/)('/)/(/22 t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算:)(')()(000x f x x f x x f ??=-?+ 例如:计算 ?31sin
高数知识点总结(上册) 函数: 绝对值得性质: (1)|a+b|≤|a|+|b| (2)|a -b|≥|a|-|b| (3)|ab|=|a||b| (4)|b a |=)0(||||≠b b a 函数的表示方法: (1)表格法 (2)图示法 (3)公式法(解析法) 函数的几种性质: (1)函数的有界性 (2)函数的单调性 (3)函数的奇偶性 (4)函数的周期性 反函数: 定理:如果函数)(x f y =在区间[a,b]上是单调的,则它的反函数)(1 x f y -=存在,且是单 值、单调的。 基本初等函数: (1)幂函数 (2)指数函数 (3)对数函数 (4)三角函数 (5)反三角函数 复合函数的应用 极限与连续性: 数列的极限: 定义:设 {}n x 是一个数列,a 是一个定数。如果对于任意给定的正数ε(不管它多么小) , 总存在正整数N ,使得对于n>N 的一切n x ,不等式 ε <-a x n 都成立,则称数a 是数列 {}n x 的 极限,或称数列{}n x 收敛于a ,记做a x n n =∞ →lim ,或 a x n →(∞→n ) 收敛数列的有界性: 定理:如果数列 {}n x 收敛,则数列{}n x 一定有界 推论:(1)无界一定发散(2)收敛一定有界 (3)有界命题不一定收敛 函数的极限: 定义及几何定义 函数极限的性质: (1)同号性定理:如果A x f x x =→)(lim 0 ,而且A>0(或A<0),则必存在0x 的某一邻域,当x 在该邻域内(点0 x 可除外),有0)(>x f (或0)( 集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性: 1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性 说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。(2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示:{ … } 如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2.集合的表示方法:列举法与描述法。 注意啊:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a属于集合A记作a∈A,相反,a不属于集合A记作aA 列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是{xR| x-3>2}或{x| x-3>2} 4、集合的分类: 1.有限集含有有限个元素的集合 2.无限集含有无限个元素的集合 3.空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意:有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A 2.“相等”关系(5≥5,且5≤5,则5=5) 实例:设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同” 结论:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B 的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即:A=B 福建警察学院 《高等数学一》课程教学大纲 课程名称:高等数学一 课程编号: 学分:4 适用对象: 一、课程的地位、教学目标和基本要求 (一)课程地位 高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程,它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性,对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础,也是培养理性思维的重要载体,在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。 (二)教学目标 通过本课程的学习,逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力,尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力,一是为后继课程提供必需的基础数学知识;二是传授数学思想,培养学生的创新意识,逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。 (三)基本要求 1、基本知识、基本理论方面:掌握理解极限和连续的基本概念及其应用;熟悉导数与微分的基本公式与运算法则;掌握中值定理及导数的应用;掌握不定积分的概念和积分方法;掌握定积分的概念与性质;掌握定积分在几何上的应用。 2、能力、技能培养方面:掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法,培养学生利用微积分解决实际问题的能力。 二、教学内容与要求 第一章函数与极限 【教学目的】 通过本章学习 1、理解函数的概念,了解函数的几种特性(有界性),掌握复合函数的概念及其分 解,掌握基本初等函数的性质及其图形,理解初等函数的概念。 2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。 3、理解函数极限和单侧极限的概念,掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与 左、右极限之间的关系,了解函数极限的性质。 4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。 5、掌握极限运算法则。 6、了解极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极 限的方法。 7、掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限。 8、理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型。 9、了解连续函数的运算和初等函数的连续性, 10、了解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理), 并会应用这些性质。 【教学重点与难点】 本章重点是求函数极限的方法(极限运算法则、两个重要极限、无穷小的比较、初等函数的连续性)。难点是数列、函数极限的证明方法。 【教学内容】 第一节映射与函数 一、映射 1.映射概念 六年级上册数学知识点 第一单元 分数乘法 (一)分数乘法意义: 1、分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同,就是求几个相同加数的和的简便运算。 注:“分数乘整数”指的是第二个因数必须是整数,不能是分数。 例如:5 3×7表示: 求7个5 3的和是多少? 或表示:5 3的7倍是多少? 2、一个数乘分数的意义就是求一个数的几分之几是多少。 注:“一个数乘分数”指的是第二个因数必须是分数,不能是整数。(第一个因数是什么都可以) 例如:5 3×6 1表示: 求5 3的6 1是多少? 9 × 61表示: 求9的61 是多少? A × 61表示: 求a 的6 1 是多少? (二)分数乘法计算法则: 1、分数乘整数的运算法则是:分子与整数相乘,分母不变。 注:(1)为了计算简便能约分的可先约分再计算。(整数和分母约分) (2)约分是用整数和下面的分母约掉最大公因数。(整数千万不能与分母相乘, 计算结果必须是最简分数) 2、分数乘分数的运算法则是:用分子相乘的积做分子,分母相乘的积做分母。(分子乘分子,分母乘分母) 注:(1)如果分数乘法算式中含有带分数,要先把带分数化成假分数再计算。 (2)分数化简的方法是:分子、分母同时除以它们的最大公因数。高一数学知识点归纳
(完整版)同济大学高等数学上第七版教学大纲(64学时)
六年级数学上册知识点整理归纳