高数练习题及答案
高等数学（下）模拟试卷一
一、 填空题（每空3分，共15分）
（1）函数
11z x y x y =+
+-的定义域为 （2）已知函数
arctan
y z x =，则z
x ?=
?
（3）交换积分次序，
2
220
(,)y y dy f x y dx
??
＝
（4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则
()L
x y ds +=?
（5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为
二、选择题（每空3分，共15分）
（1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=??
--+=?，平面π为4220x y z -+-=，则（ ） A. L 平行于π B. L 在π上 C. L 垂直于π D. L 与π斜交
（2）设是由方程2222xyz x y z +
++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（ ）
A.dx dy +
B.2dx dy +
C.22dx dy +
D.2dx dy -
（3）已知Ω是由曲面2
2
2
425()z x y =+及平面5z =所围成的闭区域，将22()x y dv Ω
+???在柱面坐标系下化成三次积分为（ ） A.
225
30
d r dr dz
πθ?
?? B.
245
30
d r dr dz
πθ?
?? C.
22
5
3
50
2r
d r dr dz
πθ?
?? D. 22
5
2
d r dr dz
π
θ?
??
（4）已知幂级数
，则其收敛半径
（ ）
A. 2
B. 1
C. 1
2 D. 2
（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y *
=（ ）
A.
B.()x ax b xe +
C.()x
ax b ce ++
D.()x
ax b cxe ++
三、计算题（每题8分，共48分）
1、 求过直线1L :1231
01x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z
+-==的平面方程 2、 已知
22
(,)z f xy x y =，求z
x ??， z y ?? 3、 设
22
{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求
2
D
x dxdy
??
得分
阅卷人
4、 求函数22
(,)(2)x f x y e x y y =++的极值
5、计算曲线积分2(23sin )()y L xy x dx x e dy ++-?， 其中L 为摆线sin 1cos x t t y t =-??=-?从点
(0,0)O 到(,2)A π的一段弧
6、求微分方程 x
xy y xe '+=满足 1
1x y ==的特解
四.解答题（共22分）
1、利用高斯公式计算
2
2xzdydz yzdzdx z dxdy ∑
+-??ò，其中∑
由圆锥面z =与上
半球面z =所围成的立体表面的外侧 (10)'
2、（1）判别级数11
1(1)3n n n n ∞
--=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（6'）
（2）在(1,1)x ∈-求幂级数1n
n nx
∞
=∑的和函数（6'）
高等数学（下）模拟试卷二
一．填空题（每空3分，共15分）
（1
）函数
z =的定义域为 ； （2）已知函数xy
z e =，则在(2,1)处的全微分dz = ；
（3）交换积分次序，
ln 1
(,)e x dx f x y dy
?
?
＝ ；
（4）已知L 是抛物线2
y x =上点(0,0)O 与点(1,1)B 之间的一段弧，
则
=
?
；
（5）已知微分方程20y y y '''-+=，则其通解为 .
二．选择题（每空3分，共15分）
（1）设直线L 为300x y z x y z ++=??
--=?，平面π为10x y z --+=，则L 与π的夹角为（ ）；
A. 0
B. 2π
C. 3π
D. 4π
（2）设(,)z f x y =是由方程33
3z xyz a -=确定，则z x ?=?（ ）；
A. 2yz xy z -
B. 2yz z xy -
C. 2xz xy z -
D. 2
xy z xy -
（3）微分方程256x y y y xe '''-+=的特解y *的形式为y *
=（ ）；
A.2()x
ax b e + B.2()x
ax b xe + C.2()x
ax b ce ++ D.2()x
ax b cxe ++ （4）已知Ω是由球面2
2
2
2
x y z a ++=所围成的闭区域, 将
dv
Ω
???在球面坐标系下化成
三次积分为（ ）； A
22
2
sin a
d d r dr
π
πθ???
?? B.
220
a
d d rdr
π
πθ??
??
C.
20
a
d d rdr
ππθ??
?? D.
220
sin a d d r dr
π
π
θ???
??
（5）已知幂级数1212n
n
n n x ∞
=-∑
，则其收敛半径
（ ）.
B. 1
C. 1
2 D.
2
三．计算题（每题8分，共48分）
5、 求过(0,2,4)A 且与两平面1:21x z π+=和2:32y z π-=平行的直线方程 .
6、 已知
(sin cos ,)x y
z f x y e +=，求z
x ??， z y ?? . 7、 设22
{(,)1,0}D x y x y y x =+≤≤≤，利用极坐标计算
arctan
D
y
dxdy x ?? .
8、 求函数
22
(,)56106f x y x y x y =+-++的极值. 9、 利用格林公式计算
(sin 2)(cos 2)x x L
e y y dx e y dy
-+-?
，其中
L 为沿上半圆周222
(),0x a y a y -+=≥、从(2,0)A a 到(0,0)O 的弧段.
6、求微分方程 3
2
(1)1y y x x '-=++的通解.
四．解答题（共22分）
1、（1）（6'）判别级数1
1(1)
2sin
3n n n n π
∞
-=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收
敛；
（2）（4'）在区间(1,1)-内求幂级数1n
n x n ∞
=∑的和函数 .
2、(12)'利用高斯公式计算
2xdydz ydzdx zdxdy
∑
++??，∑为抛物面
22z x y =+(01)z ≤≤的下侧
高等数学（下）模拟试卷三
一． 填空题（每空3分，共15分）
1、 函数arcsin(3)y x =-的定义域为 .
得分
阅卷人
得分
2、2
2
(2)lim 332n n n n →∞++-= .
3、已知
2
ln(1)y x =+，在1x =处的微分dy = . 4、定积分
1200621
(sin )x x x dx -+=
? .
5、求由方程5
7
230y y x x +--=所确定的隐函数的导数dy
dx =
.
二．选择题（每空3分，共15分）
1、2x =是函数
22
132x y x x -=-+的 间断点 （A ）可去 （B ）跳跃
（C ）无穷 （D ）振荡
2
、积分1?
= .
(A) ∞ (B)-∞
(C) 0 (D) 1
3、函数
1x
y e x =-+在(,0]-∞内的单调性是 。 （A ）单调增加； （B ）单调减少；
（C ）单调增加且单调减少； (D)可能增加;可能减少。
4、
1sin x
tdt
?的一阶导数为 .
（A ）sin x （B ）sin x - （C ）cos x （D ）cos x -
5、向量{1,1,}a k =-r 与{2,2,1}b =--r
相互垂直则k = .
（A ）3 （B ）-1 （C ）4 （D ）2
三．计算题（3小题，每题6分，共18分）
1、求极限1
23lim(
)
21x x x x +→∞+-
2、求极限30sin lim
x x x x →-
3、已知ln cos x
y e =，求dy dx
四．计算题（4小题，每题6分，共24分）
1、已知221t x y t ?=
???=-?，求22
d y dx
2、计算积分2
cos x
xdx
?
3、计算积分
1
arctan xdx ?
4
、计算积分
?
五．觧答题（3小题，共28分）
1、(8)'求函数42
341
y x x
=-+的凹凸区间及拐点。
2、(8)'设1
1
1
()
1
1x
x
x
f x
x
e+
?
≥
??+
=?
?<
?+
?求
2
(1)
f x dx
-
?
3、（1）求由
2
y x
=及2y x
=所围图形的面积；(6)'
（2）求所围图形绕x轴旋转一周所得的体积。(6)'
高等数学（下）模拟试卷四一．填空题（每空3分，共15分）
1、
函数
1
y
x
=
的定义域为.
2、
,0
ax e dx a +∞->?
= .
3、已知sin(21)y x =+，在0.5x =-处的微分dy = .
4、定积分1
2
1sin 1x
dx x -+?= .
5、函数
43
341y x x =-+的凸区间是 . 二．选择题（每空3分，共15分）
1、1x =是函数
211x y x -=
-的 间断点 （A ）可去 （B ）跳跃
（C ）无穷 （D ）振荡 2、若
()
0,(0)0,(0)1,lim
x f ax a f f x →'≠==-==
(A)1 (B)a
(C)-1 (D) a -
3、在[0,2]π内函数sin y x x =-是 。
（A ）单调增加； （B ）单调减少；
（C ）单调增加且单调减少； (D)可能增加;可能减少。
4、已知向量{4,3,4}a =-r 与向量{2,2,1}b =r
则a b ?r r 为 .
（A ）6 （B ）-6 （C ）1 （D ）-3
5、已知函数()f x 可导，且
0()f x 为极值，()
f x y e =，则
x x dy dx
==
.
（A ）0()
f x e （B ）
0()
f x ' （C ）0 （D ）0()f x
三．计算题（3小题，每题6分，共18分）
1、求极限10
lim(1-)
k x
x kx +→
2、求极限12cos 2
sin lim
sin x
x t dt
x x
→?
3、已知1
lnsin
x
y e
=，求dy dx
四． 计算题（每题6分，共24分）
1、设10y
e xy --=所确定的隐函数()y
f x =的导数0
x dy
dx
=。
2、计算积分arcsin xdx ?
3
、计算积分
π
?
4
、计算积分
,0
a >?
五．觧答题（3小题，共28分）
1、(8)'已知2223131at x t at
y t ?=??+??=?
+?，求在2t =处的切线方程和法线方程。 2、(8)'求证当0a b >>时，
1ln ln 1a b a a b b -<<
- 3、（1）求由3
y x =及0,2y x ==所围图形的面积；(6)'
（2）求所围图形绕y 轴旋转一周所得的体积。(6)'
高等数学（下）模拟试卷五
一． 填空题（每空3分，共21分）
1．函数y y x z )ln(-=的定义域为 。
2．已知函数2
2
y x
e
z +=，则=
dz 。
3．已知xy e z =，则=
??)
0,1(x
z
。
4．设L 为12
2=+y x 上点()0,1到()0,1-的上半弧段，则=?ds L 2 。
5．交换积分顺序?
?=
x e
dy y x f dx ln 0
1
),( 。
6.级数∑∞
=-1)1(n n
n 是绝对收敛还是条件收敛？ 。
7．微分方程x y sin ='的通解为 。 二．选择题（每空3分，共15分）
1．函数()y x f z ,=在点()00,y x 的全微分存在是()y x f ,在该点连续的（ ）条件。
A ．充分非必要
B ．必要非充分
C ．充分必要
D ．既非充分，也非必要
2．平面012:1=+++z y x π与022:2=+-+z y x π的夹角为（ ）。 A ．6π B ．4π C ．2π D ．3π
3．幂级数∑∞
=-1)5(n n n x 的收敛域为（ ）。
A ．[)6,4
B ．()6,4
C ．(]6,4
D ．[]6,4
4．设)(),(21x y x y 是微分方程0)()(=+'+''y x q y x p y 的两特解且≠
)()
(21x y x y 常数，则下列（ ）是其通解（21,c c 为任意常数）。
A ．)()(211x y x y c y +=
B ．)()(221x y c x y y +=
C ．)()(21x y x y y +=
D ．)()(2211x y c x y c y +=
5．
???Ω
zdv
在直角坐标系下化为三次积分为（ ），其中Ω为3,0,3,0x x y y ====，
0,3z z ==所围的闭区域。
A ．03
3
3
dx dy zdz
?
?? B ．
33
3
dx dy zdz
??? C ．
30
3
3
dx dy zdz
???
D ．
33
3
dx dy zdz
?
??
三．计算下列各题（共21分，每题7分）
1、已知0ln =-+xy e z z
，求
y z x z ????,。 2、求过点)2,0,1(且平行直线3221
1z
y x =
-+=-的直线方程。 3、利用极坐标计算??+D d y x δ)(22，其中D 为由
42
2=+y x 、0=y 及x y =所围的在第一象限的区域。
四．求解下列各题（共20分，第1题8分，第2题12分）
1、利用格林公式计算曲线积分dy
y x xy dx e y x L )sin 52()(22++++?，其中L 为圆域D ：
422≤+y x 的边界曲线，取逆时针方向。
2、判别下列级数的敛散性：
∑∞
=--1
1
1
)
1()1(n n n 2
1(2)3n
n n ∞
=∑
五、求解下列各题（共23分，第1、2题各8分，第3题7分）
1、求函数1
3321
),(23++--=y x y x y x f 的极值。
2、求方程x
e y dx dy
-=+满足20==x y 的特解。 3、求方程282x
y y y e '''+-=的通解。
高等数学（下）模拟试卷六
一、填空题：（每题3分,共21分.）
1．函数arccos()z y x =-的定义域为 。
2．已知函数ln()z xy =，则
()
2,1z
x ?=? 。
3．已知
()
22sin z x y =+，则=dz 。
4．设L 为1y x =+上点(1,0)-到()1,0的直线段，则2L
ds =
? 。
5
．将1
220
()dx f x y dy
+??
化为极坐标系下的二重积分 。
6.级数∑∞
=-12
)1(n n n 是绝对收敛还是条件收敛？ 。
7．微分方程2y x '=的通解为 。
二、选择题：（每题3分,共15分.）
1．函数()y x f z ,=的偏导数在点()00,y x 连续是其全微分存在的（ ）条件。
A ．必要非充分，
B ．充分，
C ．充分必要，
D ．既非充分，也非必要，
2．直线22
:
110x y z l -+==
与平面:23x y z π++=的夹角为（ ）。
A ．6π
B ．3π
C ．2π
D ．4π
3．幂级数2
13n
n n x n ∞
=∑的收敛域为（ ）。
A ．(3,3)-
B ．[3,3]-
C ．(3,3]-
D ．[3,3)-
4.设*
()y x 是微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的特解，()y x 是方程
()y p x y '''+()q x y +
0=的通解，则下列（ ）是方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的通解。
A ．()y x
B ．*()()y x y x -
C ．*()y x
D ． *
()()y x y x +
5．
2z dv
Ω
???在柱面坐标系下化为三次积分为（ ），其中Ω为2222
x y z R ++≤的上半
球体。
A ．
2200
R R
d rdr z dz
πθ?
?? B ．
2200
R r
d rdr z dz
πθ?
??
C
．
22
R
d dr dz
πθ?? D
．
220
R
d rdr dz
πθ??
三、计算下列各题（共18分，每题6分）
1、已知3
35z xyz -=，求
y z x z ????, 2、求过点(1,0,2)且平行于平面235x y z ++=的平面方程。
3、计算
22
()D
x y dxdy +??，其中D 为y x =、0y =及1x =所围的闭区域。
四、求解下列各题（共25分，第1题7分,第2题8分，第3题10分）
1、计算曲线积分2()(sin )L x y dx x y dy --+?，其中L 为圆周22x x y -=上点)0,0(到
)1,1(的一段弧。
2、利用高斯公式计算曲面积分：xdydz ydzdx zdxdy
∑++??ò，其中∑是由
220,3,1z z x y ==+=所围区域的整个表面的外侧。
3、判别下列级数的敛散性：
)1(21(1)ln n n n ∞=-∑ n
n n
3sin 4)2(1π∑∞
= 五、求解下列各题（共21分,每题7分）
1、求函数1
231
63),(232++-+=y y x x y x f 的极值。
2、求方程x
dy
y e dx -=满足01x y ==的特解。 3、求方程=+'-''y y y 65(1)x
x e +的通解。
高等数学（下）模拟试卷七
一． 填空题（每空3分，共24分）
1
．二元函数z =
的定义域为
2．一阶差分方程
12135t t y y +-=
的通解为 3．y
z x =的全微分=dz _
4．0ydx xdy -=的通解为 ________________
5．设
x y
z arctan
=，则z x ?=
?______________________ 6．微分方程250y y y '''-+=的通解为
7．若区域{
}
4|),(2
2≤+=y x y x D ，则
??=
D
dxdy 2
8．级数012n
n ∞
=∑的和s=
二．选择题：（每题3分，共15分）
1．()y x f ,在点()b a ,处两个偏导数存在是()y x f ,在点()b a ,处连续的 条件
（A ）充分而非必要 （B ）必要而非充分
（C ）充分必要 （D ）既非充分也非必要
2
．累次积分
10
(,)dx f x y dy
??
改变积分次序为
(A) 11
(,)dy f x y dx
?
? （B
）
10
0(,)dy f x y dx
?
?
（C ）
210
(,)y dy f x y dx
?
?
（D ）
211
(,)y
dy f x y dx
?
?
3．下列函数中， 是微分方程356x
y y y xe '''-+=的特解形式(a 、b 为常数)
（A ）x e b ax y 3)(+= （B ） x
e b ax x y 3)(+= （C ）x e b ax x y 32)(+= （D ） x ae y 3=
4．下列级数中，收敛的级数是
（A ） ∑∞
=+1121
n n （B ） 121n n
n ∞
=+∑ （C ） 1(3)2n n
n ∞=-∑ （D ） 1(1)n n n
∞
=-∑
5．设222
4x y z z ++=，则z x ?=? (A) x z (B) 2x z - (C) 2x
z - (D) x z -
三、求解下列各题（每题7分，共21分）
1. 设2ln ,,34x z u v u v x y y ===-而，求y z x z ????,
2. 判断级数
132n
n
n n ∞
=∑的收敛性 3.计算
2
2
x
y D
e dxdy
+??，其中D 为
221x y +≤所围区域
四、计算下列各题（每题10分，共40分）
1. 求微分方程1
ln y y x
x '-=的通解.
2.计算二重积分
()D
I x y dxdy
=+??，其中D 是由直线,1y x x ==及x 轴围成的平面区域.
3.求函数
32
(,)6125f x y y x x y =-+-+的极值. 4.求幂级数21
4n n
n x n ∞
=?∑的收敛域.
高等数学（下）模拟试卷一参考答案
一、填空题：（每空3分，共15分）
1、 {(,)|0,0}x y x y x y +>->
2、2
2y
x y -+ 3
、4102(,)x dx f x y dy ?
4
5、312x x
y C e C e -=+
二、选择题：（每空3分，共15分） 1.C 2.D 3.C 4A 5.D 三、计算题（每题8分，共48分）
1、解： 12(1,2,3)
{1,0,1}{2,1,1}A s s →
→
=-= 2'
121
0132
11
i
j k
n s s i j k →
→
→
→
→
→
→→→
=?=-=-+ 6'
∴平面方程为 320x y z -++= 8'
2、解： 令2
2u xy
v x y == 2'
2122z z u z v
f y f xy
x u x v x ?????''=?+?=?+?????? 6'
2
122z z u z v f xy f x y u y v y ?????''=?+?=?+?????? 8'
3、解：:0202D r θπ
≤≤≤≤， 3'
22
232230
cos cos D
D
x dxdy r drd d r dr
πθθθθ∴
==??????4π= 8'
4．解： 222(,)(2241)0(,)(22)0x x x y f x y e x y y f x y e y ?=+++=??=+=?? 得驻点1(,1)2- 4'
2222(,)(4484),(,)(44),(,)2x x x xx xy yy A f x y e x y y B f x y e y C f x y e ==+++==+== 6'
22
20,40A e AC B e =>-=>∴Q 极小值为11(,1)22f e -=- 8'
5．解：223sin ,y
P xy x Q x e =+=-，有2,P Q x y x ??==∴??
曲线积分与路径无关 2' 积分路线选择：1:
0,L y x =从0π→，2:,L x y π=从02→ 4'
1
2
2
(23sin )()y L
L L xy x dx x e dy Pdx Qdy Pdx Qdy
++-=+++???
2
2220
3sin ()27
y xdx e dy e πππ=+-=-+?? 8'
6．解：
11
,x x y y e P Q e x x '+
=?== 2'
∴通解为
1
1
()()[()][]
dx dx P x dx
P x dx x x
x y e Q x e dx C e e e dx C --???
?=+=+?? 4'
11
[][(1)]
x x e xdx C x e C x x =?+=-+? 6'
代入11x y ==，得1C =，∴特解为1[(1)1]x y x e x =-+ 8'
四、解答题
1、解：
2
2(22)xzdydz yzdzdx z dxdy z z z dv zdv ∑
Ω
Ω
+-=+-=????????ò 4'
3cos sin r drd d ??θ?
Ω
=??? 6'
方法一：
原式＝2340
cos sin 2d d dr π
ππ
θ???=
?
??
10'
方法二：
原式＝
21
1
20
2(1)2r
d rdr r r dr ππ
θπ=-=
?
??
? 10'
2、解：（1）令11(1)3n n n n u --=-1111131lim lim 1333n n n n n n n n u n n u n -∞
+-→∞→∞=+=?=<∴∑收敛， 4'
11
1
(1)3n n n n
∞
--=∴-∑绝对收敛。 6' （2）令
111
1
()()
n
n n n s x nx x nx xs x ∞∞
-=====∑∑ 2'
1
1120
1
1
1()()()11(1)x x
n n n n x x s x dx nx dx x s x x x x ∞
∞
-=='===
?==---∑∑?
? 5'
2
()(1,1)
(1)x s x x x ∴=
∈-- 6'
高等数学（下）模拟试卷二参考答案
一、填空题：（每空3分，共15分）
1、 2
2
2
{(,)|4,01}x y y x x y ≤<+< 2、2
2
2e dx e dy + 3、
10
(,)y e
e
dy f x y dx
?
?
4
、1
1)12 5、12()x
y C C x e =+
二、选择题：（每空3分，共15分） 1. A 2.B 3. B 4.D 5. A 三、计算题（每题8分，共48分）
1、解： 12(0,2,4)
{1,0,2}{0,1,3}A n n →→
==- 2'
121
02230
13
i
j k
s n n i j k →
→
→
→
→
→→→→
=?==-++- 6'
∴直线方程为242
31x y z --==
- 8' 2、解： 令sin cos x y
u x y v e +== 2'
12cos cos x y
z z u z v f x y f e x u x v x +?????''=?+?=?+?????? 6'
12(sin sin )x y z z u z v f x y f e y u y v y +?????''=?+?=?-+?????? 8'
3、解：
:001
4
D r π
θ≤≤
≤≤， 3'
2
1400arctan 64D D
y dxdy r drd d rdr x ππ
θθθθ∴===
?????? 8' 4．解： (,)260(,)10100x y f x y x f x y y =-=???
=+=?
? 得驻点(3,1)- 4' (,)2,(,)0,(,)10
xx xy yy A f x y B f x y C f x y ====== 6'
220,
200
A AC
B =>-=>∴Q 极小值为(3,1)8f -=- 8'
5．解：sin 2,cos 2x x P e y y Q e y =-=-，
有cos 2,cos ,x x P
Q
e y e y y
x ??=-=??2'
取(2,0),
:
0,A a OA y x =从02a → 4'
L OA Pdx Qdy Pdx Qdy +++??2
()2D D Q P dxdy dxdy a x y π??=-==?????? 6'
∴原式＝2a π－OA Pdx Qdy +?＝220a a ππ-= 8'
6．解：3
2
1
,(1)1P Q x x =-=++ 2'
∴通解为
11
3()()112
[()][(1)]
dx dx P x dx
P x dx x x y e Q x e dx C e x e dx C --++???
?=+=++?? 4'
1
3
2
22
(1)[(1)](1)[(1)]
3x x dx C x x C =+++=+++? 8'
四、解答题
1、解：（1）令
1(1)2sin 3n n n n u π-=-1112sin
23lim lim 1
32sin 3n n n n n n n n
u u π
π+++→∞→∞==<4' 1
2sin 3n
n n π∞=∴∑收敛， 11(1)2sin 3n n n
n π∞
-=∴-∑绝对收敛 6' （2）令
1()n n x s x n ∞
==∑
111
1()1n n n n x s x x n x ∞
∞-=='??'===
?-??∑∑， 2' 0
()()(0)ln(1)
x
s x s x dx s x '?=+=--? 4'
2、解：构造曲面
1:1,z ∑=上侧
1
22xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx zdxdy
∑
∑+++++???? 2'
2211
0(211)44r dv dv d rdr dz πθΩ
Ω
=++==???????
??120
8(1)2r rdr ππ
=-=?
4' 6' 8'
1
22I xdydz ydzdx zdxdy
π∑∴=-++?? 10'
2xy
D dxdy ππ
=-=?? 12'
高等数学（下）模拟试卷三参考答案
一．填空题：（每空3分，共15分）
1.10
X x ≤≠且；2.1a ；3. 2dx ；4.0；5. 20,3??????或20,3?? ??? 二．选择题：（每空3分，共15分） 1.;2.;3.;4.;5..A D A A C 三．计算题：
1.
()
()
1
()420
lim 11k k
k
kx
x kx kx e ?-'
'
--→=-?-=
2.
1
22222cos 3
2
0sin (sin cos )(sin )
lim
lim 3x
x x t dt x x x x '
'
'
→→---===∞
?
3.
1
1lnsin lnsin 422211111cos cot
1sin x x dy e e dx x x x x
x '
'
??=-=- ?
??
四．计算题：
1.
2130
0;0,0;
0y x y x dy y e y y xy x y dx
e x
'''
==''--=====-；
2.
原式
222sin sin (1)
xarc x xarc x x ''
=-=+-??
2sin xarc x c
'
=
3. 原式33323122
2
2
2
4(sin )cos (sin )sin (sin )sin 5x x dx x d x x d x ππ
π
π'
''==-=
???
4.
原式
223210
'
'
'
?===?。
五．解答题: 1
．
2111224612,2,,,,:43120,1355
t a a y t k x y x y a t '
'
'
''
'===-==+-=-1切线法线：3x-4y+6a=0
2.
[]2221
1ln ln 1()ln ,,,0,ln ln (),,a b f x x x b a a b a b a b b a a a b b
ζζ'
''-=∈>>-=-<<<<
-设3.（1）
2
4232220
4
4x S x dx '
'
'
??=== ?
???
（2）、
8
25
8
2
2233003644455y V y dy y y πππ
'''
????=-=-= ? ??????
高等数学（下）模拟试卷四参考答案
一．填空题：（每空3分，共15分）
1.24x ≤≤；
2.13；
3. dx ；
4. 2
3；5. 64
12125x y ++。
二．选择题：（每空3分，共15分）
1. C ；
2. D ；
3. B ；
4. B ；
5. C 。
三．1.
23
332
5322(2)333111222lim lim 111111222x x
x x x x x x e x x x ?'
'-?-→∞→∞??????+++ ? ? ???=== ? ??? ? ?--- ???
????
g
2.2
22222002sin 1cos 12
lim
lim 336x x x x x
x ''
'
→→-===
3.331(sin )cot cos x x x x
x
dy e e e e dx e ''
=?-?=-
四．
1.
222
2
3
221
1,d y t y t t dx t '
''
-'=-=
=；
2.
42222sin sin sin 2sin 2cos 2sin x d x x x x xdx
x x x x x c
'
'
==-?=+-+??
3.
21
212120
0201ln(1)ln 2
arctan 1424
2
x x x x dx x ππ
'
''
+=-?=-=
-
+?
4.
2212
10
sin 2,22t x t t tdt t π
π'
'
'
'
??===+=
????。
五．解答题
1.()3222121212,3624,20,3220033y x x y x x x x '
'
''''=-=-==????-∞+∞ ? ?????24为拐点，
，、，为凹区间，， 为
凸区间
2.
12112
001011
,111(1),(2)(2)ln ln(1)ln (2)
11,11x
x x x
x x
f x dx dx e e x e x
x e ?≥??'''-==+=-++?+?
1ln(1)2ln 2(2)
e '=-++
3.（1）
、
)
1
3
31
24222
021
3
33
x x dx x ''
'
??==-=
?
???
（2）、()1
251
44220
32510
x x x V x x dx
πππ'
'
'
??=-=-=
?
???
高等数学（下）模拟试卷五参考答案
一、填空题：（每空3分，共21分）
1、
{}0,),(≠>y y x y x ， 2、
dy ye dx xe
y x y x 2
22222+++，3、0,4、2π，
5、?
?e e y
dx
y x f dy ),(1
，6、条件收敛，7、c x y +-=cos （c 为?常数），
二、选择题：（每空3分，共15分）1、A ，2、D ，3、A ，4、D ，5、B
三、解：1、令xy e z z y x F z
-+=ln ),,(1'ΛΛΛ
z z x ze yz F F x z +=-=??1 4'ΛΛΛ
z z y ze xz F F y z +=-=??1 7'ΛΛΛ
2、所求直线方程的方向向量可取为{
}3,2,1-2'ΛΛΛ 则直线方程为：32
21
1-=-=-z y x 7'ΛΛΛ 3、原式
??=2
340
dr
r d π
θ4'ΛΛΛ
π= 7'ΛΛΛ
四、解：1、令
52,2,
sin 52),(,),(22+=??=??++=+=y x Q y y P y x xy y x Q e y y x P x 3'ΛΛΛ
原式
dxdy y P
x Q D
)(
??-??=??6'ΛΛΛ
π20= 8'ΛΛΛ
2、)1( 此级数为交错级数 1'ΛΛΛ
因
1lim
=∞
→n
n ，
11
1
+>
n n
),2,1(ΛΛ=n 4'ΛΛΛ
故原级数收敛 6'ΛΛΛ
(2) 此级数为正项级数1'ΛΛΛ
因13133)1(lim 2
12
<=++∞→n n n n n 4'ΛΛΛ 故原级数收敛 6'ΛΛΛ
五、解：1、由
033),(2
=-=x y x f x ，03),(=-=y y x f y 得驻点)3,1(),3,1(- 2'ΛΛΛ
在)3,1(处 1
)3,1(,0)3,1(,6)3,1(-======yy xy xx f C f B f A
因
,02
<-B AC ，所以在此处无极值 5'ΛΛΛ 在)
3,1(-处 1)3,1(,0)3,1(,6)3,1(-=-==-=-=-=yy xy xx f C f B f A
因0,02
<>-A B AC ，所以有极大值
215
)3,1(=
-f 8'ΛΛΛ
2、通解
?
+?=--?dx
dx
x e c dx e e y 1][ 3'ΛΛΛ
x
x ce xe --+= 6'ΛΛΛ
2
===c y
x
特解为x
e x y -+=)2( 8'ΛΛΛ
3、1)其对应的齐次方程的特征方程为 0822=-+r r
有两不相等的实根4,221-==r r
所以对应的齐次方程的通解为 x
x e c e c y 4221-+=（21,c c 为?常数） 3'L L L
)2设其特解*()x y x ae =
将其代入原方程得
2
52,5x x ae e a -==-
故特解
*2
()5x
y x e =-6'ΛΛΛ )3原方程的通解为2412x
x
y c e c e
-=+25x
e -7'L L L
高等数学（下）模拟试卷六参考答案
一、 填空题：（每空3分，共21分）
1、{}11),(+≤≤-x y x y x ，
2、21
，3、
dy y x y dx y x x )cos(2)cos(22
222+++, 4、22，5、1
22
0()d f r rdr
π
θ??，6、绝对收敛，7、c x y +=2
（c 为?常数），
二、选择题：（每空3分，共15分）1、B ，2、B ，3、B ，4、D ，5、D 三、解：
1、令53),,(3
--=xyz z z y x F 2'ΛΛΛ
xy z yz F F x z z x -=-=??2 4'ΛΛΛ
xy z xz F F y
z z y -=-=??2
6'ΛΛΛ 2、所求平面方程的法向量可取为{}3,1,22'ΛΛΛ
则平面方程为：0)2(3)1(2=-++-z y x 6'ΛΛΛ
3、原式dy
y x dx x
??+=0
2210
)(4'ΛΛΛ
31=
6'ΛΛΛ
四、解：1、令
2(,),(,)(sin ),
1P Q P x y x y Q x y x y y x ??=-=-+==-??3'ΛΛΛ
原式
1
1
2
(0)(1sin )x dx y dy
=--+??6'ΛΛΛ
5
cos13=-
7'ΛΛΛ 2、令z R y Q x P ===,,2'ΛΛΛ
原式
(
)P Q R dv x y z Ω
???=++??????5'ΛΛΛ
3dv
Ω
=???7'ΛΛΛ π9=8'ΛΛΛ
3、)1( 此级数为交错级数 1'ΛΛΛ
因0
ln 1lim
=∞→n n ，)1ln(1ln 1+>n n )3,2(ΛΛ=n 4'ΛΛΛ 故原级数收敛 5'ΛΛΛ
(2) 此级数为正项级数1'ΛΛΛ
因1
3
43sin 43sin
4lim 11>=++∞→n
n n n n ππ
4'ΛΛΛ 故原级数发散 5'ΛΛΛ
五、解：1、由066),(=+=x y x f x ，04),(2
=-=y y y x f y 得驻点)4,1(),0,1(--
3'ΛΛΛ
在)
0,1(-处 4)0,1(,0)0,1(,6)0,1(=-==-==-=yy xy xx f C f B f A
因
0,02
>>-A B AC ，所以有极小值2)0,1(-=-f 5'ΛΛΛ 在
)
4,1(-处 4)4,1(,0)4,1(,6)4,1(-=-==-==-=yy xy xx f C f B f A
因
,02
<-B AC ，所以在此处无极值 7'ΛΛΛ 2、通解1[]dx dx
x y e e dx c e -??
=+? 3'ΛΛΛ
()x
x c e =+ 5'ΛΛΛ
1,
x y
c ===
特解为(1)x
y x e =+ 7'ΛΛΛ
3、
)1对应的齐次方程的特征方程为 0652=+-r r , 有两不相等的实根3,221==r r 所以对应的齐次方程的通解为 x
x e c e c y 3221+=（21,c c 为?常数） 3'L L L
)2设其特解x
e b ax x y )()(*+=
将其代入原方程得
152321,,24ax a b x a b -+=+==
故特解
*15
()()24x
y x x e =+6'L L L )3原方程的通解为x
x
e
c e
c y 3221+=15()24x
x e ++7'L L L
高数期末考试试题及答案[1]
北京邮电大学2009-2010学年第二学期《高等数学》（下）期末试题（A2） 1．极限2 221lim 1x x y x y x +→∞→??+= ? ? ?2e ． 2．设()2y z x y x ?=++，其中?具有连续二阶偏导数， 则2z x y ???=2x ()''21()ln 1y x y x y x ?-+++． 3．曲面arctan()z xy =在点(1,1,)4 P π处的法线方程为 4112 2 1 1 1 z x y π ---= = -． 4．函数z (,,)21f x y z z e xy =-++在点（2,1,0 ）处的方向导数的最大值为 5．设2x u v z y u vz ?=-++?=+? 确定u=u(x,y,z),v=(x,y,z),则u x ?=?12z zu -+． 6．幂函数21 (1)9n n n x ∞ =-∑的收敛区域是 (2,4)- ． 7．设2 ,10 ()1,01x x f x x x --<≤?=?-<≤?，是周期为2的周期函数，则其傅里叶级数 在点x=4处收敛于 12 ． 8．设2222y z R ++=∑：x 外侧，则2223/2 ()xdydz ydzdx zdxdy x y z ++=++∑ ??4π． 9．已知22A=y +2z +xy ,=x +y +z ,i j k B i j k ，则div (A )B ? =3224x y z x z ---． 10．设L 为取正向的圆周x 2+y 2=9，则曲线积分 2 (22)(4)L xy y dx x x dy -+-?= 18π- ．（用格林公式易） 二（8分）．将函数f(x)= 2 12565x x x ---在点x 0=2处展开成泰勒级数，并指出其收敛域． 解：若用泰勒级数 2() 0000 000''()()()()()()'()()2! ! n n f x x x f x x x f x f x f x x x n --=+-++++
高数一试题(卷)与答案解析
《 高等数学(一) 》复习资料 一、选择题 1. 若23lim 53 x x x k x →-+=-，则k =（ ） A. 3- B.4- C.5- D.6- 2. 若21lim 21 x x k x →-=-，则k =（ ） A. 1 B.2 C.3 D.4 3. 曲线3sin 1x y e x =-+在点（0，2）处的切线方程为( ) A.22y x =+ B.22y x =-+ C.23y x =+ D.23y x =-+ 4. 曲线3sin 1x y e x =-+在点（0，2）处的法线方程为( ) A.122y x =+ B.122y x =-+ C.132y x =+ D.1 32 y x =-+ 5. 211 lim sin x x x →-=( ) A.0 B.3 C.4 D.5 6.设函数0()(1)(2)x f x t t dt =+-?，则(3)f '=（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 7. 求函数43242y x x =-+的拐点有（ ）个。 A 1 B 2 C 4 D 0
8. 当x →∞时，下列函数中有极限的是（ ）。 A. sin x B. 1x e C. 21 1x x +- D. arctan x 9.已知'(3)=2f ，0(3)(3) lim 2h f h f h →--=( ) 。 A. 32 B. 3 2 - C. 1 D. -1 10. 设42()=35f x x x -+,则(0)f 为()f x 在区间[2,2]-上的（ ）。 A. 极小值 B. 极大值 C. 最小值 D. 最大值 11. 设函数()f x 在[1,2]上可导，且'()0,(1)0,(2)0,f x f f <><则()f x 在(1,2)内( ) A.至少有两个零点 B. 有且只有一个零点 C. 没有零点 D. 零点个数不能确定 12. [()'()]f x xf x dx +=? ( ). A.()f x C + B. '()f x C + C. ()xf x C + D. 2()f x C + 13. 已知2 2 (ln )y f x =，则y '=( C ) 2222(ln )(ln )f x f x x '. 24(ln )f x x ' C. 224(ln )(ln )f x f x x ' D. 22 2(ln )() f x f x x ' 14. ()d f x ? =( B) A.'()f x C + B.()f x C.()f x ' D.()f x C + 15. 2ln x dx x =?( D ) A.2ln x x C + B. ln x C x + C.2ln x C + D.()2ln x C +
期末高等数学(上)试题及答案
1 第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 （本大题共16小题，总计80分） （本小题5分） 3 求极限 lim 一3x - x 2 2x 3 （本小题5分） 求 X 2 2 dx. （1 x ） （本小题5分） （本小题5分） 设函数y y （x ）由方程y 5 in y 2 x 6 所确定，求鱼. dx （本小题5分） 求函数y 2e x e x 的极值 （本小题5分） 2 2 2 2 求极限lim & ° （2x ° （3x ° 辿」 x （10x 1）（11x 1） （本小题5分） cos2x d x. sin xcosx 二、解答下列各题 （本大题共2小题，总计14分） 3 . ---------- 求 x . 1 xdx . 5 sin x , 2—dx. 0 8 sin 2 x （本小题5分） 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、 15、 16、 x 2的单调区间 设 x(t) e kt (3cos 4sin t), 求 dx . 12x 16 9x 2 12x .1 arcs in x 求极限 limarctan x x （本小题5分） 求—^dx. 1 x （本小题5分） 求—x .1 t 2 dt . dx 0 （本小题5分） 求 cot 6 x esc 4 xdx. （本小题5分） 求-1 1 , 求 cos dx. x x 5分） ［曲2确定了函数y es int 5分） （本小题 设 x y （本小 y(x),求乎 dx
（本大题6分） 设f （x ） x （x 1）（ x 2）（ x 3）,证明f （x ） 0有且仅有三个实根 一学期期末高数考试（答案） 、解答下列各题 （本大题共16小题，总计77分） 1、（本小题3分） lim 」^ x 2 12x 18 2、（本小题3分） (1 2 1 d(1 x ) 2 (1 x 2)2 1 1 2 1 x 2 3、（本小题3分） 故 limarctan x 4、（本小题3分） dx dx 」 dx dx 1 x x In 1 x c. 5、 (本小题3分) 原式 2x 1 x 4 6、 (本小题4分) .6 4 cot x csc xdx cot 6 x(1 cot 2 x)d(cot x) 1、（本小题7分） 某农场需建一个面积为 512平方米的矩形的晒谷场，一边可用原来的石条围 另三边需砌新石条围沿 2、（本小题7分） 2 求由曲线y -和y 2 三、解答下列各题 ，问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省? 3 —所围成的平面图形绕 ox 轴旋转所得的旋转体的 8 沿， 体积. 解:原式 lim x 2 6x 3x 2~ 2 12 18x 12 c. 因为 arctanx —而 limarcsin 2 x .1 x arcs in x
高等数学A(一)期末试题及答案
大学2013～2014学年第一学期课程考试试卷（A 卷） 课 程 考试时间 ………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。……………… 一、填空题（每小题2分，共10分） (1) =-∞→x x x )11(lim e 1 ． (2) 设)tan(2x x y +=，则=dy dx x x x )(sec )21(22++ ． (3) 曲线36223+++=x x x y 的拐点是 )6,1(- . (4) =-? 10211dx x 2π . (5) =?∞ +121dx x 1 ． 二、选择题（每小题2分，共10分） (1) =∞→x x x 2sin lim (A) (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 21. (2) 设x x x f tan )(=，则0=x 是函数)(x f 的(A) (A) 可去间断点. (B) 跳跃间断点. (C) 第二类间断点. (D) 连续点. (3) 当0→x 时，下列变量中与x 是等价无穷小的是(B) (A) x 3sin . (B) 1-x e . (C) x cos . (D) x +1. (4) 函数)(x f 在0x 点可导是它在该点连续的(C) (A) 充分必要条件. (B) 必要条件. (C) 充分条件. (D) 以上都不对. (5) 设)(x f 在),(∞+-∞内有连续的导数，则下列等式正确的是(D) (A) ?=')()(x f dx x f . (B) C x f dx x f dx d +=?)()(. (C) )0()())((0f x f dt t f x -='?. (D) )())((0x f dt t f x ='?. 三、计算下列极限、导数（每小题6分，共18分） (1) 213lim 21-++--→x x x x x .解： )13)(2()13)(13(lim 213lim 2121x x x x x x x x x x x x x x ++--+++-+--=-++--→→ 6 2)13)(2(1lim 2)13)(2)(1(22lim 11-=++-+-=++-+--=→→x x x x x x x x x x
郑州大学高等数学下课后习题答案解析
习题7.7 3.指出下列方程所表示的曲线. （1）???==++;3, 25222x z y x （2）???==++;1,3694222y z y x （3）???-==+-;3, 254222x z y x （4）???==+-+.4,08422y x z y 【解】 （1）表示平面3=x 上的圆周曲线1622=+z y ； （2）表示平面1=y 上的椭圆19 32322 2=+z x ； （3）表示平面3-=x 上的双曲线14 162 2=-y z ； （4）表示平面4=y 上的抛物线642-=x z . 4.求() () ?????=++=++Γ2, 21, :2 22 2 222Rz z y x R z y x 在三个坐标面上的投影曲线. 【解】 （一）（1）、（2）联立消去z 得 2224 3R y x = + 所以，Γ在xoy 面上的投影曲线为 ?????==+.0, 4 322 2z R y x （二）（1）、（2）联立消去y 得 R z 2 1 = 所以，Γ在zox 面上的投影曲线为 .23.0,21R x y R z ≤ ?? ? ??==
（三）（1）、（2）联立消去x 得 R z 21 = 所以，Γ在yoz 面上的投影曲线为 .23.0, 21R y x R z ≤ ????? == 6.求由球面224y x z --= ①和锥面() 223y x z += ②所围成的立体在xoy 面上的投影区域. 【解】联立①、②消去z 得 122=+y x 故Γ在xoy 面上的投影曲线为 ? ??==+.0, 122z y x 所以，球面和锥面所围成的立体在xoy 面上的投影区域为(){}1|,22≤+=y x y x D . 习题7.8 2.设空间曲线C 的向量函数为(){} t t t t t r 62,34,122--+=，R t ∈.求曲线C 在与 20=t 相应的点处的单位切向量. 【解】因(){}64,4,2-=t t t r ，故C 相应20=t 的点处的切向量为 (){}2,4,42='r . C 相应20=t 的点处的单位切向量为 (){}.31,32,322,4,4612? ?????±=± =' 3.求曲线32,,:t z t y t x ===Γ在点)1,1,1(0M 处的切线方程和法平面方程. 【解】0M 对应参数1=t .Γ在0M 点处的切线方向为
高数上试题及答案
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()()2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.
大一高数期末考试试题
大一高数期末考试试题
一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分） 1． 2 1 lim()x x x e x →-= .2 ．()()120051 1x x x x e e dx --+-= ? .3．设函数()y y x =由方程2 1 x y t e dt x +-=? 确定，则 x dy dx == .4. 设()x f 可导， 且1 ()() x tf t dt f x =? ，1)0(=f ，则 ()=x f .5．微分方程044=+'+''y y y 的通解 为 . 二．选择题（共4小题，每小题4分， 共计16分） 1．设常数0>k ，则函数k e x x x f +- =ln )(在),0(∞+内零点的个数为（ ）. (A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程43cos2y y x ''+=的特解形式为（ ）. （A ）cos2y A x * =; （B ）cos 2y Ax x * =; （C ）cos2sin 2y Ax x Bx x * =+; （D ）x A y 2sin * =.3．下列结论不一定成立的是（ ）. （A ）若[][]b a d c ,,?,则必有()()??≤b a d c dx x f dx x f ;（B ） 若 )(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0b a f x dx ≥?;（C ）若()x f 是 周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有 ()()?? +=T T a a dx x f dx x f 0 ;（D ）若可积函数()x f 为奇函数,则
高等数学第六版(同济大学)上册课后习题答案解析
高等数学第六版上册课后习题答案及解析 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ?B =(-∞, 3)?(5, +∞), A ? B =[-10, -5), A \ B =(-∞, -10)?(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5). 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B )C =A C ?B C . 证明 因为 x ∈(A ?B )C ?x ?A ?B ? x ?A 或x ?B ? x ∈A C 或x ∈B C ? x ∈A C ?B C , 所以 (A ?B )C =A C ?B C . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f (A ?B )=f (A )?f (B ); (2)f (A ?B )?f (A )?f (B ). 证明 因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ? y ∈f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )=f (A )?f (B ). (2)因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )? y ∈ f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B ). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中I X 、 I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中
高等数学1试卷(附答案)
一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 1． 由曲线2cos r θ=所围成的图形的面积是 π 。 2． 设由方程22x y =所确定的隐函数为)(x y y =，则2y dy dx x = - 。 3． 函数2 sin y x =的带佩亚诺余项的四阶麦克劳林公式为2 44 1()3 x x o x -+。 4． 1 1 dx =? 。 5． 函数x x y cos 2+=在区间?? ? ???20π，上的最大值为 6 π +。 6． 222222lim 12n n n n n n n n →∞?? +++ ?+++? ? = 4 π。 二、选择题（共7小题，每小题3分，共21分） 1. 设21cos sin ,0 ()1,0x x x f x x x x ? +
暨南大学《高等数学I 》试卷A 考生姓名： 学号： 3. 1 +∞=? C 。 A ．不存在 B ．0 C ．2π D ．π 4. 设()f x 具有二阶连续导数，且(0)0f '=，0 lim ()1x f x →''=-，则下列叙述正确的是 A 。 A ．(0)f 是()f x 的极大值 B ．(0)f 是()f x 的极小值 C ．(0)f 不是()f x 的极值 D ．(0)f 是()f x 的最小值 5.曲线2x y d t π-=?的全长为 D 。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6. 当,a b 为何值时，点( 1, 3 )为曲线3 2 y ax bx =+的拐点？ A 。 A ．32a =- ，92b = B. 32a =，9 2b =- C ．32a =- ，92b =- D. 32a =，92 b = 7. 曲线2x y x -=?的凸区间为 D 。 A.2(,)ln 2-∞- B.2(,)ln 2-+∞ C.2(,)ln 2+∞ D.2(,)ln 2 -∞ 三、计算题（共7小题，其中第1～5题每小题6分， 第6~7题每小题8分，共46分） 1. 2 1lim cos x x x →∞?? ?? ? 解：()2 1 cos lim , 1 t t t x t →==原式令 )0 0( cos ln lim 2 0型t t t e →= （3分） t t t t e cos 2sin lim ?-→= 12 e - = （6分）
高数B(上)试题及答案1
高等数学B （上）试题1答案 一、判断题（每题2分，共16分）（在括号里填写“√”或“×”分别表示“对”或“错”） （ × ）1. 两个无穷大量之和必定是无穷大量. （ × ）2. 闭区间上的间断函数必无界. （ √ ）3. 若)(x f 在某点处连续，则)(x f 在该点处必有极限. （ × ）4. 单调函数的导函数也是单调函数. （ √ ）5. 无穷小量与有界变量之积为无穷小量. （ × ）6. ()y f x =在点0x 连续，则()y f x =在点0x 必定可导. （ × ）7. 若0x 点为()y f x =的极值点，则必有0()0f x '=. （ × ）8. 若()()f x g x ''≡，则()()f x g x ≡. 二、填空题（每题3分，共24分） 1. 设2 )1(x x f =-，则(3)f =16. 2．1lim sin x x x →∞ ＝1 。 3.112lim sin sin x x x x x x x x →∞??+??++=?? ??????? 2 1e +. 4. 曲线3 26y y x -=在(2,2)-点切线的斜率为2 3 . 5．设0()f x A '=，则000 (2)(3) lim h f x h f x h h →+--＝ 5A . 6. 设1 ()sin cos ,(0)f x x x x =≠，当(0)f =0时，)(x f 在0=x 点连续. 7. 函数3 3y x x =-在x =1 -处有极大值. 8. 设)(x f 为可导函数,(1)1f '=，2 1()()F x f f x x ??=+ ??? ，则=')1(F 1 . 三、计算题（每题6分，共42分） 1．求极限 3(2)(3)(4) lim 5n n n n n →+∞+++ . 解： 3 (2)(3)(4) lim 5n n n n n →+∞+++
期末高等数学(上)试题及答案(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】 第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分) 求极限 lim x x x x x x →-+-+-233 21216 29124 2、(本小题5分) .d )1(2 2x x x ? +求 3、(本小题5分) 求极限limarctan arcsin x x x →∞ ?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ． 求dt t dx d x ? +2 21 6、(本小题5分) ??.d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ．求? ππ 212 1cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),2 2 9、(本小题5分) ． 求dx x x ?+3 01 10、(本小题5分) 求函数 的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分) ．求? π+20 2 sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分)
设函数由方程所确定求 ．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()() x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分) .d cos sin 12cos x x x x ? +求 二、解答下列各题 (本大题共2小题，总计14分) 1、(本小题7分) ,,512沿一边可用原来的石条围平方米的矩形的晒谷场某农场需建一个面积为.,,才能使材料最省多少时问晒谷场的长和宽各为另三边需砌新石条围沿 2、(本小题7分) . 8 23 2体积轴旋转所得的旋转体的所围成的平面图形绕和求由曲线ox x y x y == 三、解答下列各题 ( 本 大 题6分 ) 设证明有且仅有三个实根f x x x x x f x ()()()(),().=---'=1230 一学期期末高数考试(答案) 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计77分) 1、(本小题3分) 解原式:lim =--+→x x x x 222 312 61812 =-→lim x x x 261218 =2 2、(本小题3分) ? +x x x d )1(2 2
高等数学课后习题及解答
高等数学课后习题及解答 1. 设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c 表示2u-3v. 解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c） =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形. 证如图8-1 ，设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ，已知AM = MC ，DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形ABCD是平行四边形. 3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各 分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量 证如图8-2 ，根据题意知 1 D 1 A, 1 D 2 A, D 3 A, D A. 4 1 D3 D4 BD1 1 a, 5 a, D1D2 a, 5 5 1 D 2 D 3 a, 5 故D1 A=- （AB BD1）=- a- c 5
D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解 向量 a 的单位向量 为 ，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6）= 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其 中 a 6 2 72 ( 6)2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4
大一(第一学期)高数期末考试题及答案
( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .
(完整word版)大一高数练习题
1.填空题 1、当0→x 时，x cos 1-与2x 相比较是 同阶 无穷小。 2、=→2 203sin lim x x x 1/3 3、曲线(1cos ),sin x t t y t =-=在t π=处的切线斜率为 -1/2 4、当k 满足条件__x>2_________时，积分?+∞-1 1k x dx 收敛 5、曲线||x y =的极值点是 x=0 6 、设函数y =则dy = 2xdx 7、若()lim(1)x x t f t x →∞ =+，则=')(t f e t 8、?-=22 35sin cos π πxdx x 0 9、若?=t xdx t f 12ln )(，则=')(t f ln 2 t 10、微分方程0cos 2=-y dx x dy 的通解为siny=x 2__________ 1、当0→x 时，x cos 1-与22x 相比较是 无穷小. 2、设函数?????=≠=0001sin )(3x x x x x f 当当，则=')0(f . 3、设)4)(2)(3)(5()(--++=x x x x x f ，则方程0)(='x f 有 个实根. 4、当k 满足条件___________时，积分1 2k dx x +∞+?收敛. 5、设函数21x y -=，则dy = . 6、函数)2(-=x x y 的极值点是 . 7、=≠∞→)0(sin lim a x a x x . 8、若?=t x dx e t f 02 )(，则=')(t f .
9、?-=π πxdx x 32sin . 10、微分方程 0cos 2=-x dy y dx 的通解为___________. 一、 单项选择题（每小题2分，共10分） 1、函数x x y -=3ln 的定义域为（B ） A ),0(+∞ B ]3,(-∞ C )3,0( D ]3,0( 2、函数()f x 在0x 处)0()0(00+=-x f x f 是()f x 在0x 处连续的( B ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 无关条件 3、函数93)(+=x x f 在0=x 处（C ） A 不连续 ； B 可导； C 连续但不可导； D 无定义 4、下列式子中，正确的是（B ） A. ()()f x dx f x '=? B. 22()()d f x dx f x dx =? C. ()()f x dx f x =? D.?=)()(x f dx x f d 5、设()x f x e -=，则(ln )f x dx x =? _C______. A ． 1C x + B. ln x C + C. 1C x -+ D. ln x C -+ 二、单项选择题（每小题2分，共10分） 1．函数241)(x x x f -+=的定义域为（ C ）. A ．]2,2[-； B. )2,2(-； C. ]2,0()0,2[ -； D. ),2[+∞． 2、若)(x f 在0x 的邻域内有定义，且)0()0(00+=-x f x f ，则（B ）. A )(x f 在0x 处有极限，但不连续； B )(x f 在0x 处有极限，但不一定连续;
高等数学上考试试题及答案
四川理工学院试卷（2007至2008学年第一学期） 课程名称： 高等数学(上)(A 卷) 命题教师： 杨 勇 适用班级： 理工科本科 考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项： 1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否 则视为废卷。 3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷 分别一同交回，否则不给分。 试 题 一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( C ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(? --为( B ) (A) c e F x +)(； (B) c e F x +--)(； (C) c e F x +-)(； (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( D )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ； (B)dx x ? -111 ； (C) dx x x ?+∞ ∞-+2 1； (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( B )
(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ，则下列结论正确的为( D ) (A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x 二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _0____. 2. 曲线? ??=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ，则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22 ) (lim 2=-→x x f x ，则_____)2(='f 5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。 6．曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时，)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小，求常数c b a ,,的值（6分）
高等数学学期期末考试题(含答案全)
05级高数(2-3)下学期期末试题 (A 卷) 专业 ____________ 姓名 ______________ 学号 ________________ 《中山大学授予学士学位工作细则》第六条：“考试作弊不授予学士学位” 一,填空题 (每题4分,共32分) 1. 213______4 x y kx y z k π +-=-==若平面与平面成 角,则 1/4 2. 曲线20 cos ,sin cos ,1t u t x e udu y t t z e = =+=+? 在t = 0处的切线方程为________________ 3. 方程z e xyz =确定隐函数z = f (x,y )则z x ??为____________ 4. ( ),dy f x y dx ?1 交换的积分次序为_________________________ 5．()2221,L x y x y ds +=-=?L 已知是圆周则 _________π- 6. 收敛 7. 设幂级数0 n n n a x ∞ =∑的收敛半径是2,则幂级数 21 n n n a x ∞ +=∑的收敛半径是 8. ()211x y ''+=微分方程的通解是 ()2121 arctan ln 12 y x x c x c =-+++_______________________ 二．计算题 (每题7分,共63分) 1．讨论函数 f ( x, y ) = 221 ,x y + 220x y +≠, f ( 0 , 0 ) = 0 在点（ 0 , 0 ）处的连续性，可导性及可微性。 P 。330 2．求函数2 222z y x u ++=在点)1,1,1(0P 处沿P 0方向的方向导数，其中O 为坐 标原点。 3．2 1 2.1n n n n n ∞ =?? ?+?? ∑判别级数的敛散性 P ．544 4．设u=),(z y xy f +，),(t s f 可微，求du dz f dy f x f dx y f '+??? ??'+'+?'2211. 012 112x y z ---==z z yz x e xy ?=?-211sin ____________1 n n n ∞ =++∑级数的敛散性为
高数下试题及答案
第二学期期末考试试卷 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处 的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑（a ＞0），当a 满足条件 时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是 （ ） （A ）通过y 轴 （B ）通过x 轴 （C ）垂直于y 轴 （D ）平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的 （ ） （A ）充要条件 （B ）充分但非必要条件 （C ）必要但非充分条件 （D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10 x y dz ===（ ） （A ）e （B ）()e dx dy +
（C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛， 则此级数在2x =处（ ） （A ）敛散性不确定 （B ）发散 （C ）条件收敛 （D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（ ） （A ）212 1x y e =- （B ）212 1x y e -=- （C ）212 x y Ce -= （D ）212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521 x y z -+==， 求该平面方程． 四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数， 试求z x ??和2z x y ???． 五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???， 其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤． 六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?，
期末高等数学(上)试题及答案
第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分) 求极限 lim x x x x x x →-+-+-2332121629124 2、(本小题5分) .d )1(22x x x ?+求 3、(本小题5分) 求极限lim arctan arcsin x x x →∞?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ．求dt t dx d x ?+2 021 6、(本小题5分) ??.d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ．求?ππ 2 1 21cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),22 9、(本小题5分) ． 求dx x x ?+3 01 10、(本小题5分) 求函数 的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分) ．求? π +2 02sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分) .d cos sin 12cos x x x x ? +求 二、解答下列各题 (本大题共2小题，总计14分)
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