高等数学同济课后答案
总习题一
1. 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格:
(1)数列{x n }有界是数列{x n }收敛的________条件. 数列{x n }收敛是数列{x n }有界的________的条件. (2)f (x )在x 0的某一去心邻域有界是)(lim 0
x f x x →存在的________条件. )(lim 0
x f x x →存在是
f (x )在x 0
的某一去心邻域有界的________条件. (3) f (x )在x 0的某一去心邻域无界是∞=→)(lim 0x f x x 的________条件. ∞=→)(lim 0
x f x x 是f (x )在x 0
的某一去心邻域无界的________条件.
(4)f (x )当x →x 0时的右极限f (x 0+)及左极限f (x 0-)都存在且相等是)(lim 0
x f x x →存在的________条件.
解 (1) 必要, 充分. (2) 必要, 充分. (3) 必要, 充分. (4) 充分必要.
2. 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论: 设f (x )=2x +3x -2, 则当x →0时, 有( ).
(A )f (x )与x 是等价无穷小; (B )f (x )与x 同阶但非等价无穷小; (C )f (x )是比x 高阶的无穷小; (D )f (x )是比x 低阶的无穷小.
解 因为x x x
x x f x x x x x x x x 13lim 12lim 232lim )(lim 0000-+-=-+=→→→→
3ln 2ln )
1ln(lim 3ln )1ln(lim
2ln 00+=+++=→→u u t t u t (令2x -1=t , 3x -1=u ) .
所以f (x )与x 同阶但非等价无穷小, 故应选B . 3. 设f (x )的定义域是[0, 1], 求下列函数的定义域: (1) f (e x ); (2) f (ln x ); (3) f (arctan x ); (4) f (cos x ).
解 (1)由0≤e x ≤1得x ≤0, 即函数f (e x )的定义域为(-∞, 0]. (2) 由0≤ ln x ≤1得1≤x ≤e , 即函数f (ln x )的定义域为[1, e ].
(3) 由0≤ arctan x ≤1得0≤x ≤tan 1, 即函数f (arctan x )的定义域为[0, tan 1]. (4) 由0≤ cos x ≤1得2
222π
πππ+≤≤-
n x n (n =0, ±1, ±2, ? ? ?),
即函数f (cos x )的定义域为[2
,2
2ππππ+-n n ], (n =0, ±1, ±2, ? ? ?).
4. 设
??
?>≤=0 0
0)(x x x x f , ?
??>-≤=0 0 0)(2x x x x g , 求f [f (x )], g [g (x )], f [g (x )], g [f (x )]. 解 因为f (x )≥0, 所以f [f (x )]=f (x )?
??>≤=0 0
0x x x ;
因为g (x )≤0, 所以g [g (x )]=0; 因为g (x )≤0, 所以f [g (x )]=0; 因为f (x )≥0, 所以g [f (x )]=-f 2(x )?
?
?>-≤=0 0
02
x x x . 5. 利用y =sin x 的图形作出下列函数的图形: (1)y =|sin x |; (2)y =sin|x |; (3)
2
sin 2x y =.
6. 把半径为R 的一圆形铁片, 自中心处剪去中心角为α的一扇形后围成一无底圆锥. 试将这圆锥的体积表为α的函数.
解 设围成的圆锥的底半径为r , 高为h , 依题意有 R (2π-α)=2πr ,
π
απ2)
2(-=
R r ,
παπαπαπ244)2(2
2
222
2
2
-=--=-=R
R R r R h .
圆锥的体积为
παπαπαππ244)2(3122
22-?-?=R
R V
22234)2(24a R -?-=πααππ
(0<α<2π). 7. 根据函数极限的定义证明53
6lim
23=---→x x x x .
证明 对于任意给定的ε>0, 要使ε<----|53
6|
2x x x , 只需|x -3|<ε, 取δ=ε, 当0<|x -3|<δ时, 就有
|x -3|<ε, 即ε<----|53
6|
2x x x , 所以536lim 23=---→x x x x .
8. 求下列极限:
(1)2
21)1(1lim
-+-→x x x x ;
(2))1(lim 2x x x x -++∞
→;
(3)
1)1
232(lim +∞→++x x x x ; (4)3
0sin tan lim
x x x x -→;
(5)x x x x x c b a 10)3
(lim ++→(a >0, b >0, c >0); (6)x x x tan 2
)(sin lim π
→.
解 (1)因为01
)1(lim 221=+--→x x x x , 所以∞=-+
-→221)1(1lim x x x x .
(2))
1()
1)(1(lim )1(lim 2222
x x x x x x x x x x x x ++++-+=-++∞→+∞→
2
11111lim 1lim
2
2=++=++=+∞→+∞
→x x x x x x .
(3)21
2121
1)1
221(lim )1221(lim )1232(lim ++∞→+∞→+∞→++=++=++x x x x x x x x x x
21212)1
221()1221(lim ++++=+∞→x x x x
e x x x x x =++?++=∞→+∞→21212)1
221(lim )1221(lim .
(4)x
x x x x x x x x x x x x cos )cos 1(sin lim )1cos 1(sin lim sin tan lim 303030-=-=-→→→
21)2(2lim cos 2sin 2sin lim 32
0320=?=?=→→x
x x x x x x x x (提示: 用等价无穷小换). (5)x c b a c b a x
x x x x
x x
x x x x x x x x c b a c b a 3333010
)3
31(lim )3
(
lim -++?-++→→-+++=++, 因为
e c b a x x x c b a x x x x =-+++-++→33
0)3
31(lim ,
)111(lim 3133lim 00x
c x b x a x c b a x
x x x x x x x -+-+-=-++→→ ])1ln(1lim ln )1ln(1lim ln )1ln(1lim [ln 3
1000v c u b t a v u t +++++=→→→
3ln )ln ln (ln 3
1abc c b a =++=,
所以
3ln 103)3
(lim abc e c b a abc x x x x x ==++→.
提示: 求极限过程中作了变换a x -1=t , b x -1=u , c x -1=v . (6)
x
x x x x
x x x tan )1(sin 1
sin 12
tan 2
)]1(sin 1[lim )
(sin lim -?-→→-+=
π
π
, 因为 e x x x =-+-→1
sin 1
2
)]1(sin 1[lim π
,
x x x x x x x cos )
1(sin sin lim
tan )1(sin lim 2
2
-=-→
→ππ
01
sin cos sin lim )1(sin cos )
1(sin sin lim 2
22
=+-=+-=→→x x x x x x x x x ππ, 所以
1)(sin lim 0tan 2
==→e x x x π.
9. 设
?????≤+>=0
1sin )(2x x a x x
x x f , 要使f (x )在(-∞, +∞)连续, 应怎样选择数a ? 解 要使函数连续, 必须使函数在x =0处连续. 因为 f (0)=a ,
a x a x f x x =+=--→→)(lim )(lim 200, 01sin lim )(lim 00==++→→x
x x f x x ,
所以当a =0时, f (x )在x =0处连续. 因此选取a =0时, f (x )在(-∞, +∞)连续. 10. 设
?????≤<-+>=-0
1 )1ln(0
)(1
1
x x x e x f x , 求f (x )的间断点, 并说明间断点所属类形. 解 因为函数f (x )在x =1处无定义, 所以x =1是函数的一个间断点.
因为
0lim )(lim 111
1
==-→→-
-x x x e x f (提示
-∞=--→1
1lim 1x x ),
∞==-→→+
+1
11
1
lim )(lim x x x e x f (提示+∞=-+→1
1lim 1x x ),
所以x =1是函数的第二类间断点.
又因为
0)1ln(lim )(lim 0
0=+=--
→→x x f x x , e
e x
f x x x 1lim )(lim 110
==-→→+
+,
所以x =0也是函数的间断点, 且为第一类间断点.
11. 证明
()
11 2111lim
222=++???++++∞
→n n n n n .
证明 因为()
1
1 211122222+≤++???++++≤+n n n n n n n n n , 且 11
11lim lim
2=+=+∞
→∞→n n n n n n , 1111lim 1lim 22=+=+∞→∞→n
n n n n , 所以()
11 2111lim 222=++???++++∞→n
n n n n . 12. 证明方程sin x +x +1=0在开区间)2
,2(ππ-至少有一个根.
证明 设f (x )=sin x +x +1, 则函数f (x )在]2
,2 [ππ-上连续. 因为
2
121)2 (πππ-=+--=-f , 22121)2 (πππ+=++=f , 0)2
()2 (
,2 (ππ-
至少存在一点ξ, 使f (ξ)=0.
这说明方程sin x +x +1=0在开区间)2
,2 (ππ-
至少有一个根.
13. 如果存在直线L : y =kx +b , 使得当x →∞(或x →+∞, x →-∞)时, 曲线y =f (x )上的动点M (x , y )到直线L 的距离d (M , L )→0, 则称L 为曲线y =f (x )的渐近线. 当直线L 的斜率k ≠0时, 称L 为斜渐近线. (1)证明: 直线L : y =kx +b 为曲线y =f (x )的渐近线的充分必要条件是
x
x f k x x x )
(lim
)
,( -∞→+∞→∞
→=
, ])([lim
)
,( kx x f b x x x -=-∞→+∞→∞→.
(2)求曲线x e x y 1
)12(-=的斜渐近线.
证明 (1) 仅就x →∞的情况进行证明.
按渐近线的定义, y =kx +b 是曲线y =f (x )的渐近线的充要条件是
0)]()([lim =+-∞
→b kx x f x .
必要性: 设y =kx +b 是曲线y =f (x )的渐近线, 则
0)]()([lim =+-∞
→b kx x f x ,
于是有 0])([
lim =--∞
→x
b k x x f x x ?0)(lim =-∞→k x x f x ?x x f k x )
(lim
∞→=, 同时有
0])([lim =--∞
→b kx x f x ?])([lim kx x f b x -=∞
→.
充分性: 如果x
x f k x )
(lim ∞
→=, ])([lim kx x f b x -=∞→, 则
0])([lim ])([lim )]()([lim =-=--=--=+-∞
→∞
→∞
→b b b kx x f b kx x f b kx x f x x x ,
因此y =kx +b 是曲线y =f (x )的渐近线.
(2)因为212lim lim 1
=?-==∞→∞→x x x e x x x y k , 11)
1ln(lim
21)1(lim
2]2)12[(lim ]2[lim 01
1
=-+=--=--=-=→∞
→∞
→∞→t t e x x e x x y b t x
x x
x x ,
所以曲线x e x y 1
)12(-=的斜渐近线为y =2x +1.
总 习 题 二
1. 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格:
(1)f (x )在点x 0可导是f (x )在点x 0连续的____________条件. f (x )在点x 0连续是f (x )在点x 0可导的____________条件.
(2) f (x )在点x 0的左导数f -'(x 0)及右导数f +'(x 0)都存在且相等是f (x )在点x 0可导的_______条件. (3) f (x )在点x 0可导是f (x )在点x 0可微的____________条件. 解 (1)充分, 必要. (2) 充分必要. (3) 充分必要.
2. 选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论:
设f (x )在x =a 的某个邻域有定义, 则f (x )在x =a 处可导的一个充分条件是( ). (A )
)]()1([lim a f h
a f h h -++∞→存在; (B )h
h a f h a f h )
()2(lim
0+-+→存在;