当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。 当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。
矩阵的秩及其求法
第五节：矩阵的秩及其求法 一、矩阵秩的概念 1. k 阶子式 定义1 设 在A 中任取k 行k 列交叉处元素按原相对位置组成的 阶行列式，称为A 的一个k 阶子式。 例如 共有 个二阶子式，有 个三阶子式 矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为 而 为 A 的一个三阶子式。显然， 矩阵 A 共有 个 k 阶子式。 2. 矩阵的秩 定义2 设 有r 阶子式不为0，任何r +1阶子式(如果存在的话)全 为0 , 称r 为矩阵A 的秩，记作R (A )或秩(A )。 规定： 零矩阵的秩为 0 . 注意：(1) 如 R ( A ) = r ，则 A 中至少有一个 r 阶子式 所有 r + 1 阶子式为 0，且更高阶子式均为 0，r 是 A 中不为零的子式的最高阶数，是唯一的 . (2) 有行列式的性质， (3) R(A ) ≤m , R (A ) ≤n , 0 ≤R (A ) ≤min { m , n } . (4) 如果 An ×n , 且 则 R ( A ) = n .反之，如 R ( A ) = n ,则 因此，方阵 A 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n . 二、矩阵秩的求法 1、子式判别法(定义)。 例1 设 为阶梯形矩阵，求R (B )。 解 由于 存在一个二阶子式不为0，而任何三阶子式全为0，则 R (B ) = 2. 结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。 例如 一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”—— 非零行的行数。 () n m ij a A ?={}),min 1(n m k k ≤≤? ? ??? ??----=1 10145641321A 182423=C C 43334=C C 101 22--= D 1 0156 43213-=D n m ?k n k m c c () n m ij a A ?=0, r D ≠()(). T R A R A =0,A ≠0.A ≠??? ? ? ??=000007204321B 0 2 021≠????? ??=010*********A ????? ??=001021B ???? ? ??=100010011C 125034000D ?? ? = ? ? ??2 123508153000720 000 0E ?? ? ?= ? ??? ()3=A R ()2=B R ()3=C R ()2R D =()3 R E =
求矩阵的秩的步骤
矩阵的秩就是指这个矩阵经过行列变换过后，化为最简式，以后非零行或者是非零列的最小的数目，这里简单介绍一下，怎样求矩阵的秩。工具/原料 ?矩阵 ?matlab 方法/步骤 1.1 启动matlab程序。 2.2 在命令窗口任意输入一个矩阵a。 >>a=rand(9,9) 3.3 调用rank函数，按一下回车键即可求得矩阵的秩=9。 4.4 再任意输入一个矩阵b。 >>b=rand(5,8) 5.5 再次调用rank函数,即可求到矩阵的秩=5。 END 注意事项 ?当一个矩阵的秩等于五的时候，就表示矩阵当中有五个飞线性 相关的向量组。
?出现的字肯定是小于行数，或者是小于列数。 r3-2r1,r4-r1~ 1 1 2 2 1 0 2 1 5 -1 0 -2 -1 -5 1 0 0 -2 2 -2 r3+r2，交换r3 r4 ~ 1 1 2 2 1 0 2 1 5 -1 0 0 -2 2 -2 0 0 0 0 0 只是求秩就不用再计算，显然矩阵的秩为3 矩阵的秩一般有2种方式定义 1.用向量组的秩定义 矩阵的秩= 行向量组的秩= 列向量组的秩 2.用非零子式定义 矩阵的秩等于矩阵的最高阶非零子式的阶 单纯计算矩阵的秩时,可用初等行变换把矩阵化成梯形 梯矩阵中非零行数就是矩阵的秩 这个定义涉及到向量的极大线性无关组.设a1,a2……as为一个n维向量组,如果向量组中有r个向量线性无关,而任何r+1个向量都线性相关,那么这r个线性无关的向量称为向量组的一个极大线性无关组.
向量组的极大线性无关组中所含向量的个数,称为向量的秩. 矩阵的行向量的秩称为行秩.列向量的秩成为列秩.
求矩阵的秩的步骤
求矩阵的秩的步骤 在学习矩阵的秩之前，首先我们要先了解矩阵A的k阶子式：即在m×n矩阵A中，任取k行k列( k≤m，k≤n)，位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式。先在矩阵中的m行中任选k行，得到组合；再在矩阵中的n列任选k列，得到组合。将二者相乘，便是矩阵A的k阶子式计算公式。 现在我们就可以定义矩阵的秩：设在m×n矩阵A中有不为零的r阶子式D，且所有r+1阶子式（如果存在的话）均为零，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，阶数r称为矩阵A的秩，记作R(A)。特别地规定了零矩阵的秩等于0。举个例子，我们先假定一个3阶矩阵。由定义可得S不可能再有大于三阶的子阵，那么我们知道S的三阶子阵只有一个|S|，若计算出|S|≠0，那么S的秩就为3，记做R(S)=3；若是|S|=0，那就同理再看S的9个二阶子阵……当然，越高阶的矩阵的秩会越难计算，下面的视频来讲解行阶梯形矩阵在求解高阶矩阵的秩中的妙用。 学习矩阵的秩并归纳出矩阵秩的一些最基本的四个性质，具体证明过程详见课本，其中最主要的是第三条性质，它证明了两个等价矩阵的秩是相等的，因此将矩阵通过初等变换化为行阶梯形矩阵能大大简化矩阵秩的运算。 矩阵的子式定义：
在m×n矩阵A中，任取k行k列(k≤m，k≤n)，位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。 矩阵的秩定义： 设矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D，且所有r +1阶子式（如果存在的话）全等于零，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A)。 规定零矩阵的秩为零。 矩阵的秩基本性质： ①若A为m×n矩阵，则 0≤R(A)≤min(m, n) ②R(AT)=R(A)
用按列选主元消元法求矩阵A的秩
一、实验名称：项目二 按列选主元消元法 二、实验题目：用按列选主元消元法求矩阵A 的秩 11230216413267111612A -????--??=??--??---?? 三、实验程序： #include #include void main() { int i,j,k,row,b,d=2,flag,rank=0; double a[4][5]={{1,1,-2,3,0},{2,1,-6,4,-1},{3,2,-6,7,-1},{1,-1,-6,-1,2}}; double l[5]={0}; double max,temp; printf("原始矩阵为：\n"); for(i=0;i<4;i++) { for(j=0;j<5;j++) { printf("%lf ",a[i][j]); } printf("\n"); } for(k=0;k<3;k++) { printf("\n 第%d 次\n",k); max=a[k][k]; //选主元 for(i=k+1;i<4;i++) { if(fabs(a[i][k])>fabs(max)) { max=a[i][k]; row=i; } } if(row!=k) { //交换第i 行和第k 行元素
for(j=0;j<5;j++) { temp=a[row][j]; a[row][j]=a[k][j]; a[k][j]=temp; } for(i=0;i<4;i++) { for(j=0;j<5;j++) { printf("%f ",a[i][j]); } printf("\n"); } } //消元 for(b=k;b<=d;b++) { for(i=0;i<5;i++) { l[i]=a[b+1][k]*a[k][i]/a[k][k]; } for(j=0;j<5;j++) a[b+1][j]=a[b+1][j]-l[j]; for(i=0;i<4;i++) { for(j=0;j<5;j++) printf("a[%d][%d]=%6.4f ",i,j,a[i][j]); printf("\n"); } printf("\n"); } } //展示 printf("矩阵为：\n"); for(i=0;i<4;i++) { for(j=0;j<5;j++) { printf("%lf ",a[i][j]); } printf("\n");
求矩阵的秩的步骤
将该矩阵转换为行梯形矩阵，然后矩阵的秩等于非零行的数量。 在步骤矩阵中，选择了1,3行和3,4列。由元素在其交点处形成的二阶子矩阵的行列式是矩阵A的二阶子矩阵。 行等级是A的线性独立行的最大数量。也就是说，如果将矩阵视为行向量或列向量，则等级是这些行向量或列向量的等级，即包含在其中的向量数最大独立组。 扩展数据： 证明： 由AB构造的块矩阵和n阶恒等式en | AB O | | O En | A将以下两个矩阵相乘并相乘，然后将它们加到上两个矩阵中 | AB A | | 0 En |
相乘-B，在左侧矩阵中添加两个块 | 0 A | | -B En | 因此，R（AB）+ n = R（第一个矩阵）= R（最后一个矩阵）> = R（a）+ R（b） 即R（a）+ R（b）-N <= R（AB） 在数学中，矩阵是根据矩形阵列排列的一组复数或实数。最早的矩阵是由等式的系数和常数组成的方阵。这个概念最早是由19世纪的英国数学家凯利（Kelly）提出的。 矩阵是高等代数以及统计分析等应用数学中的常用工具。[2]在物理学中，矩阵应用于电路科学，力学，光学和量子物理学；在计算机科学中，矩阵还用于3D动画中。矩阵运算是数值分析领域中的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合，可以在理论上和实际应用中简化矩阵的运算。对于一些广泛使用的特殊形式的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角线矩阵，有特定的快速算法。关于矩阵理论的发展和应用，请参考矩阵理论。在天体物理学，量子力学等领域，将存在无穷维矩阵，这是矩阵的一种概括。
数值分析的主要分支致力于矩阵计算的有效算法的开发，这已经是一个世纪以来的主题，并且是一个不断扩展的研究领域。矩阵分解法简化了理论和实际计算。为特定矩阵结构（例如稀疏矩阵和近角矩阵）定制的算法可加快有限元方法和其他计算的速度。在行星理论和原子理论中存在无限矩阵。无穷矩阵的一个简单示例是函数的泰勒级数的导数算子矩阵[3]
矩阵的秩及其求法
矩阵的秩及其求法 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
第五节：矩阵的秩及其求法 一、矩阵秩的概念 1. k 阶子式 定义1 设 在A 中任取k 行k 列交叉处元素按原相对位置组成的 阶行列式，称为A 的一个k 阶子式。 例如 共有 个二阶子式，有 个三阶子式 矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为 而 为 A 的一个三阶子式。显然， 矩阵 A 共有 个 k 阶子式。 2. 矩阵的秩 定义2 设 有r 阶子式不为0，任何r +1阶子式(如果存在的话)全为0 , 称r 为矩阵A 的秩，记作R (A )或秩(A )。 规定： 零矩阵的秩为 0 . 注意：(1) 如 R ( A ) = r ，则 A 中至少有一个 r 阶子式 所有 r + 1 阶 子式为 0，且更高阶子式均为 0，r 是 A 中不为零的子式的最高阶数，是唯一的 . (2) 有行列式的性质， (3) R(A ) ≤m , R (A ) ≤n , 0 ≤R (A ) ≤min { m , n } . (4) 如果 An ×n , 且 则 R ( A ) = n .反之，如 R ( A ) = n ,则 因此，方阵 A 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n . () n m ij a A ?= {}) ,m in 1(n m k k ≤≤????? ??----=1101456413 21 A 182423=C C 43334=C C 10122--=D 1015643 213-=D n m ?k n k m c c ()n m ij a A ?=0, r D ≠()().T R A R A =0,A ≠0. A ≠
矩阵的秩及其求法
. 第五节：矩阵的秩及其求法 一、矩阵秩的概念 1. k 阶子式 定义1 设 在A 中任取k 行k 列交叉处元素按原相对位置组成的 阶行列式，称为A 的一个k 阶子式。 例如 共有 个二阶子式，有 个三阶子式 矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为 而 为 A 的一个三阶子式。显然， 矩阵 A 共有 个 k 阶子式。 2. 矩阵的秩 定义2 设 有r 阶子式不为0，任何r +1阶子式(如果存在的话)全 为0 , 称r 为矩阵A 的秩，记作R (A )或秩(A )。 规定： 零矩阵的秩为 0 . 注意：(1) 如 R ( A ) = r ，则 A 中至少有一个 r 阶子式 所有 r + 1 阶子式为 0，且更高阶子式均为 0，r 是 A 中不为零的子式的最高阶数，是唯一的 . (2) 有行列式的性质， (3) R(A ) ≤m , R (A ) ≤n , 0 ≤R (A ) ≤min { m , n } . (4) 如果 An ×n , 且 则 R ( A ) = n .反之，如 R ( A ) = n ,则 因此，方阵 A 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n . 二、矩阵秩的求法 1、子式判别法(定义)。 例1 设 为阶梯形矩阵，求R (B )。 解 由于 存在一个二阶子式不为0，而任何三阶子式全为0，则 R (B ) = 2. 结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。 例如 一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”—— 非零行的行数。 () n m ij a A ?={}),m in 1(n m k k ≤≤? ? ??? ??----=110145641321A 182423=C C 43334=C C 101 22--= D 1 0156 43213-=D n m ?k n k m c c () n m ij a A ?=0,r D ≠ ()(). T R A R A =0,A ≠0.A ≠??? ? ? ??=000007204321B 0 2 021≠????? ??=010*********A ????? ??=001021B ???? ? ??=100010011C 125034000D ?? ? = ? ? ??2 123508153000720 0000E ?? ? ?= ? ? ?? ()3=A R ()2=B R ()3=C R ()2R D =()3 R E =
求矩阵的秩的步骤
矩阵： 矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的发展和应用，请参考《矩阵理论》。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。 数值分析的主要分支致力于开发矩阵计算的有效算法，这是一个已持续几个世纪以来的课题，是一个不断扩大的研究领域。矩阵分解方法简化了理论和实际的计算。针对特定矩阵结构（如稀疏矩阵和近角矩阵）定制的算法在有限元方法和其他计算中加快了计算。无限矩阵发生在行星理论和原子理论中。无限矩阵的一个简单例子是代表一个函数的泰勒级数的导数算子的矩阵。 矩阵方法： 《矩阵方法》是“高等数学模块化系列教材”之一，是适合于经济管理、理工类各专业的公共课教材。《矩阵方法》只讲解矩阵的概念、矩阵的运算和矩阵的简单应用，计划18课时，1学分。《矩阵方法》分为两章和两个附录。 序言：
中国高等教育在“十一五”期间的一个主题是走向内涵发展的道路。对每个高等职业技术学院来讲，最重要的任务除了要建设一支具有相当水平的师资队伍，要构建一个对人才培养必须具备的高效的产学研结合体系之外，就是要有一个与高职定位相吻合的高等职业技术课程技术。这其中，基础课，特别是数学课是我们不可能回避、又是极为重要的课程。 在高等教育的精英阶段发展起来的高等专科学校，数学课遵循的是“必需、够用”的原则。当时，数学基本上就是“微积分”、“线性代数”、“概率论与数理统计”三门课，学时也都在150～200学时之间，内容基本上是本科生内容的简化。当高等教育进入大众化阶段后，高等职业技术学院的定位和学生生源发生了很大的变化。我们培养的人才是社会上各类岗位的技能型、应用型人才，而学生的数学基础明显薄弱，单凭主观想象和判断来对数学内容进行取舍遇到许多矛盾。因此，数学课的改革便成为高职教育的重要课题。.“必需、够用”在这种新形势下如何赋予新的内涵，并在此方针下进行数学课的改革是非常重要的。我们以为“必需、够用”不能以数学自身的学科系统来衡量，不能由数学教师的爱好来决定，也不能由学校统一规定课程的学时和内容。“必需、够用”要由每个专业的职业岗位需求来决定，要由每个专业的专业要求来决定，要由学生的实际基础来决定。为此，近几年来，我们进行了数学课的实用化、小型化、模块化的改革探索。这套系列教材便是这种改革的阶段性成果。
矩阵求秩
1. 这是一个算法的实现过程。首先需要了解什么是矩阵的秩，它的计算方法是啥。弄 清楚算法之后，用C语言实现即可。 2. 在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行 秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗一点说，如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。 3. 算法主要就是消元法，下面是例程： /*开始输入的m为矩阵行数，输入的n为矩阵列数*/ #include #include #include #define MAX 10 //最大行(列)数 typedef struct { int m,n; int a[MAX][MAX]; } matrix; void input_matrix(matrix *dat); void output_matrix(matrix dat); void exchang_row(int *a,int *b,int n); //交换两行 void mul_row(int *a,int k,int n); //将某一行乘以k void add_row(int *a1,int *a2,int k,int n); //将a2行的k倍加到a1行上 int rank_matrix(matrix dat,matrix *res); void main() { matrix a,b; int r; input_matrix(&a); r=rank_matrix(a,&b); system("cls"); printf("The original matrix:\n"); output_matrix(a); printf("After transforming:\n"); output_matrix(b); printf("\nr(A)=%d\n",r); getch(); } void input_matrix(matrix *dat) //输入矩阵 { int i,j; do { printf("m(1-%d)=",MAX);
求矩阵的秩的步骤
矩阵方法： 《矩阵方法》是“高等数学模块化系列教材”之一，是适合于经济管理、理工类各专业的公共课教材。《矩阵方法》只讲解矩阵的概念、矩阵的运算和矩阵的简单应用，计划18课时，1学分。《矩阵方法》分为两章和两个附录。第一章从实例中给出矩阵的概念，接着介绍矩阵的运算、矩阵变换和矩阵的一些相关属性；第二章为矩阵的应用，前两节介绍如何运用矩阵去解线性方程组，后三节介绍了三个要利用矩阵来分析问题的数学模型：线形规划、投入产出分析、价格弹性矩阵。书中打“*”号的内容供学生自学，每节后面都有练习题，每章后面有复习题，以便帮助读者复习巩固所学知识。附录1为数学实验，介绍Matlab数学软件在矩阵输入、矩阵运算以及在解方程中的命令实现，以便简化繁重的数值计算。附录2为各章节的习题参考答案。第一章由葛红军编写，第二章和附录由阳军编写。 序言： 中国高等教育在“十一五”期间的一个主题是走向内涵发展的道路。对每个高等职业技术学院来讲，最重要的任务除了要建设一支具有相当水平的师资队伍，要构建一个对人才培养必须具备的高效的产学研结合体系之外，就是要有一个与高职定位相吻合的高等职业技术课程技术。这其中，基础课，特别是数学课是我们不可能回避、又是极为重要的课程。
在高等教育的精英阶段发展起来的高等专科学校，数学课遵循的是“必需、够用”的原则。当时，数学基本上就是“微积分”、“线性代数”、“概率论与数理统计”三门课，学时也都在150～200学时之间，内容基本上是本科生内容的简化。当高等教育进入大众化阶段后，高等职业技术学院的定位和学生生源发生了很大的变化。我们培养的人才是社会上各类岗位的技能型、应用型人才，而学生的数学基础明显薄弱，单凭主观想象和判断来对数学内容进行取舍遇到许多矛盾。因此，数学课的改革便成为高职教育的重要课题。.“必需、够用”在这种新形势下如何赋予新的内涵，并在此方针下进行数学课的改革是非常重要的。我们以为“必需、够用”不能以数学自身的学科系统来衡量，不能由数学教师的爱好来决定，也不能由学校统一规定课程的学时和内容。“必需、够用”要由每个专业的职业岗位需求来决定，要由每个专业的专业要求来决定，要由学生的实际基础来决定。为此，近几年来，我们进行了数学课的实用化、小型化、模块化的改革探索。这套系列教材便是这种改革的阶段性成果。 本系列教材将高等数学分为5个小型化模块，分别为：《微积分》、《矩阵方法》、《概率与统计方法》、《集合初步》和《图的方法》，除了《微积分》为36学时外，其他课程均为18学时，前三门课程提供给任一专业选择，后两门课主要是为大量的信息类专业选择。
求矩阵的秩的步骤
求矩阵的秩的步骤 矩阵的秩计算方法：利用初等行变换化矩阵A为阶梯形矩阵B ，数阶梯形矩阵B非零行的行数即为矩阵A的秩。例题如下： 在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗一点说，如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。 矩阵的秩的性质： 1、矩阵的行秩，列秩，秩都相等。 2、初等变换不改变矩阵的秩。 3、矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb}。 4、P，Q为可逆矩阵，则r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)。 5、当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-
1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。 6、当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。 方阵(行数、列数相等的矩阵)的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵A的秩。通常表示为r(A)，rk(A)或。 m×n矩阵的秩最大为m和n中的较小者，表示为min(m,n)。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足（或称为“欠秩”）的。 设A是一组向量，定义A的极大无关组中向量的个数为A的秩。 定义1. 在m*n矩阵A中，任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。 例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式就是矩阵A的一个2阶子式。
矩阵的秩及其求法教学文案
矩阵的秩及其求法
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 第五节：矩阵的秩及其求法 一、矩阵秩的概念 1. k 阶子式 定义1 设 在A 中任取k 行k 列交叉处元素按原相对位置组成的 阶行列式，称为A 的一个k 阶子式。 例如 共有 个二阶子式，有 个三阶子式 矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为 而 为 A 的一个三阶子式。显然， 矩阵 A 共有 个 k 阶子式。 2. 矩阵的秩 定义2 设 有r 阶子式不为0，任何r +1阶子式(如果存在的话)全为0 , 称r 为矩阵A 的秩，记作R (A )或秩(A )。 规定： 零矩阵的秩为 0 . 注意：(1) 如 R ( A ) = r ，则 A 中至少有一个 r 阶子式 所有 r + 1 阶 子式为 0，且更高阶子式均为 0，r 是 A 中不为零的子式的最高阶数，是唯一的 . (2) 有行列式的性质， (3) R(A ) ≤m , R (A ) ≤n , 0 ≤R (A ) ≤min { m , n } . (4) 如果 An ×n , 且 则 R ( A ) = n .反之，如 R ( A ) = n ,则 因此，方阵 A 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n . () n m ij a A ?= {}) ,m in 1(n m k k ≤≤????? ??----=1101456413 21 A 182423=C C 43334=C C 10122--=D 1015643 213-=D n m ?k n k m c c ()n m ij a A ?=0, r D ≠()().T R A R A =0,A ≠0. A ≠
