高等代数-第四章-线性变换
第四章 线性变换
习题精解
1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：
1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；
3） 在P 3
中，A
),,(),,(2
33221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3
中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；
5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f
6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=
8） 在P n
n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n
n ?是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是. 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是.
3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk ,
A ≠)(αk k A()α.
4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有
A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++
=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β A =)(αk A ),,(321kx kx kx
),,2()
,,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-=
= k A )(α
故A 是P 3
上的线性变换.
5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令
)()()(x g x f x u +=则
A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f 故A 为][x P 上的线性变换.
6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则.
A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )
A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f
7)不是.例如取a=1,k=I,则
A (ka)=-i , k(A a)=i, A (ka )≠k A (a)
8)是.因任取二矩阵Y X ,n n P ?∈,则
A (=+=+=+BYC BXC C Y X
B Y X )()A X +A Y
A (k X )=k BXC k kX
B ==)()(A X
故A 是n n P ?上的线性变换.
2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A 表示将空间绕ox 轴由oy 向oz 方向旋转90度的变换,,以B 表示绕oy 轴向ox 方向旋转90度的变换,以C 表示绕oz 轴由ox 向oy 方向旋转90度的变换.证明:
A 4=
B 4=
C 4=E,AB ≠BA,A 2B 2=B 2A 2
并检验(AB )2=A 2B 2是否成立. 解 任取一向量a=(x,y,z),则有 1) 因为
A a=(x,-z,y), A 2a=(x,-y,-z) A 3a=(x,z,-y), A 4a=(x,y,z)
B a=(z,y,-x), B 2a=(-x,y,-z) B 3a=(-z,y,x), B 4a=(x,y,z)
C a=(-y,x,z), C 2a=(-x,-y,z) C 3a=(y,-x,z), C 4a=(x,y,z)
所以
A 4=
B 4=
C 4=E
2) 因为
AB (a)=A (z,y,-x)=(z,x,y) BA (a)=B (x,-z,y)=(y,-z,-x) 所以 AB ≠BA 3)因为
A 2
B 2(a)=A 2(-x,y,-z)=(-x,-y,z) B 2A 2(a)=B 2(x,-y,-z)=(-x,-y,z)
所以
A 2
B 2=B 2A 2
(AB )2(a)=(AB )(AB (a))_=AB (z,x,y)=(y,z,x)
A 2
B 2(a)=(-x,-y,z)
所以
(AB )2≠A 2B 2
3.在P[x] 中,A '
)(f x f =),(x B )()(x xf x f = 证明:AB-BA=E
证 任取∈)(x f P[x],则有
(AB-BA ))(x f =AB )(x f -BA )(x f =A ())(x xf -B ('
f ))(x =;
)(xf x f +)(x -'
xf )(x =)(x f 所以 AB-BA=E
4.设A,B 是线性变换,如果AB-BA=E,证明:
A k B-BA k =k A 1-k (k>1)
证 采用数学归纳法. 当k=2时
A 2B-BA 2=(A 2B-ABA)+(ABA-BA 2)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2A
结论成立.
归纳假设m k =时结论成立,即A m
B-BA m
=m A
1
-m .则当1+=m k 时,有
A 1+m B-BA 1+m =(A 1+m B-A m BA)+(A m BA-BA 1+m )=A m (AB-BA)+(A m B-BA m )A=A m E+m A 1-m A=
)1(+m A m
即1+=m k 时结论成立.故对一切1>k 结论成立. 5.证明:可逆变换是双射.
证 设A 是可逆变换,它的逆变换为A
1
-.
若a ≠b ,则必有A a ≠A b,不然设Aa=A b,两边左乘A 1
-,有a=b,这与条件矛盾.
其次,对任一向量b,必有a 使A a=b,事实上,令A 1
-b=a 即可.
因此,A 是一个双射.
6.设1ε,2ε, ,n ε是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换。证明：A 是可逆变换当且仅当A 1ε,A 2ε, ,A n ε线性无关.
A (1ε,2ε, ,n ε)=(A 1ε,A 2ε, ,A n ε)=(1ε,2ε, ,n ε)A
故A 可逆的充要条件是矩阵A 可逆,而矩阵A 可逆的充要条件是A 1ε,A 2ε, ,A n ε线性无关.故A 可逆的充要条件是A 1ε,A 2ε, ,A n ε线性无关. 7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵:
1) 第1题4)中变换A 在基1ε=(1,0,0),2ε=(0,1,0),3ε=(0,0,1)下的矩阵;
2) [o; 1ε,2ε]是平面上一直角坐标系,A 是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的
垂直投影,B 是平面上的向量对2ε的垂直投影,求A,B,AB 在基1ε,2ε下的矩阵; 3) 在空间P [x]n 中,设变换A 为)()1()(x f x f x f -+→ 试求A 在基i ε=!
1
)1()1(i i x x x +-- (I=1,2, ,n-1) 下的矩阵A; 4) 六个函数 1ε=e
ax
cos bx ,2ε=e
ax
sin bx
3ε=x e ax cos bx ,4ε=x e ax sin bx 1ε=221x e ax cos bx ,1ε=2
1
e ax 2x sin bx
的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空间,求微分变换D 在基i ε(i=1,2, ,6)下的矩阵;
5) 已知P 3
中线性变换A 在基1η=(-1,1,1),2η=(1,0,-1),3η=(0,1,1)下的矩阵是
???
?
? ??-121011101求A 在基1ε=(1,0,0),2ε=(0,1,0),3ε=(0,0,1)下的矩阵; 6) 在P 3
中,A 定义如下:
???
??--=-=-=)9,1,5()6,1,0()3,0,5(3
21ηηηA A A 其中
???
??-==-=)0,1,3()1,1,0()2,0,1(3
21ηηη 求在基1ε=(1,0,0),2ε=(0,1,0),3ε=(0,0,1)下的矩阵; 7) 同上,求A 在1η,2η,3η下的矩阵. 解 1) A 1ε=(2,0,1)=21ε+3ε
A 2ε=(-1,1,0)=-1ε+2ε A 3ε=(0,1,0)= 2ε
故在基1ε,2ε，3ε下的矩阵为???
?
? ??-001110012
2）取1ε=（1，0），2ε=（0，1）则A 1ε=
2
1
1ε+212ε，
A 2ε=
2
1
1ε+212ε
故A 在基1ε，2ε下的矩阵为A=?????
?
??2121212
1
又因为B 1ε=0，B 2ε=2ε所以B 在基1ε，2ε下的矩阵为B =???
?
??1000，
另外，（AB ）2ε=A （B 2ε）=A 2ε=
2
1
1ε+212ε
所以AB 在基1ε，2ε下的矩阵为AB =?????
?
?
?
210210
， 3）因为 )!
1()]
2([)1(,,!2)1(,,11210----=-===-n n x x x x x x n εεεε ，所以A 0110=-=ε
A 01)1(εε=-+=x x A )!
1()]2([)1()!1()]3([)1(1-----
----=
-n n x x x n n x x x n ε
=
)!
1()]
3([)1(----n n x x x {)]2([)1(---+n x x }
=2-n ε
，所以A 在基0ε,1ε, ,1-n ε下的矩阵为A =???
??
?
?
?
??011010 ，
4）因为 D 1ε=a 1ε-b 2ε,
D 2ε=b 1ε-a 2ε,6ε D 3ε=1ε+a 3ε-b 4ε, D 4ε=2ε+b 3ε+a 4ε, D 5ε=3ε+a 5ε-b 6ε, D 6ε=4ε+b 5ε+a 6ε
，所以D 在给定基下的矩阵为D =??????
??
?
?
?
?---00
0000010000100
001
00
01a b b a a b b a a
b b a
， 5）因为(1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)???
??
??--111101
011，所以 (1ε,2ε，3ε)=(1η,2η,3η)???
?
?
??---101110111=(1η,2η,3η)X ，
故A 在基1ε,2ε，3ε下的矩阵为
B =X 1
-AX=????? ??--111101
011????? ??-121011101????? ??---101110111=????
?
??--203022211.
6）因为(1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)???
?? ??--012110301，
所以A (1η,2η,3η)=A (1ε,2ε，3ε)???
?? ??--012110301,
但已知A (1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)???
?? ??----963110505故
A (1ε,2ε，3ε)=(1ε,2ε，3ε)????? ??----963110505????
? ??--0121103011
-
=(1ε,2ε，3ε)??
??? ??----963110505???????
?
??---717
172717672
737371 =(1ε,2ε，3ε)??
??
???
?
??-----7247
187
27727574
72072075 7）因为(1ε,2ε，3ε)=(1η,2η,3η)??
?
?? ??--0121103011
-
所以A (1η,2η,3η)=(1η,2η,3η)??
?
?? ??--0121103011
-????
?
??----963110505 =(1η,2η,3η)???
?
?
??---011101532。
8．在P
2
2?中定义线性变换A 1(X )=????
??d c b a X, A 2(X )=X ???? ??d c b a , A 2(X )= ???
?
??d c b a X
???
? ??d c b a , 求A 1, A 2, A 3在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵。 解 因
A 1E 11=a E 11+c E 12, A 1E 12=a E 12+c E 22, A 1E 21=b E 11+d E 21, A 1E 22= b E 21+d E 22,
故A 1在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵为
A 1=??????
?
?
?d c
d
c b a b a 0
0000000 又因
A 2E 11=a E 11+b E 12, A 2E 12= c E 11+d E 12, A 2E 21= a E 21+b E 22, A 2E 22= c E 21+d E 22,
故A 2在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵为
A 2=???
?
??
?
?
?d b c a d b c
a 00000000
又因
A 3E 11= a 2E 11+ab E 12+ac E 21+bc E 22 A 3E 12= ac E 11+ad E 12+c 2E 21+cd E 22 A 3E 21= ab E 11+b 2E 12+ad E 21+bd E 22 A 3E 22 = bc E 11+bd E 12+cd E 21+d 2E 22
故A 3在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵为
????
??
?
?
?=22223d bd
cd bc cd ad c ac bd b ad ab bc ab ac a A 9.设三维线性空间V 上的线性变换A 在基321,,εεε下的矩阵为
A=????
? ??3332
31
232221
131211
a a a a a a a a a 1) 求A 在基123,,εεε下的矩阵;
2) 求A 在基321,,εεεk 下的矩阵,其中且; 3) 求A 在基3221,,εεεε+下的矩阵. 解 1)因
A 3ε=333εa +a +223ε13a 1ε A 2ε=+332εa +222εa 112εa A 1ε=+331εa +221εa 111εa 故A 在基123,,εεε下的矩阵为
????
?
??=1112
13
212223
3132333a a a a a a a a a B 2)因
A 1ε=111εa +
+)(221
εk k
a 331εa A (k 2ε)=k 112εa +)(222εk a +332εka A 3ε=13a 1ε+
k
a 23
(2εk )+333εa 故A 在321,,εεεk 下的矩阵为
?????
? ?
?=3332
31232221
1312112a ka a k a a k a
a ka a B 3)因
A (21εε+)=(1211a a +)(31εε+)+(12112221a a a a --+)2ε+(3231a a +)3ε A 2ε=12a (21εε+)+(1222a a -)2ε+332εa A 3ε=13a (21εε+)+(1323a a -)2ε+333εa
故A 基3221,,εεεε+下的矩阵为
???
?
?
?
?
+----+-=3332
3231132312
2212
11222113
1212113a a a a a a a a a a a a a a a a B 10. 设A 是线性空间V 上的线性变换,如果A
ε1
-k ≠0,但A εk =0,求证
ε,A ε,, A ε1-k (k >0)线性无关.
证 设有线性关系
01
21=+++-εεεk k A l A l l
用A
1
-k 作用于上式,得
1l A
ε1
-k =0(因A 0=εn 对一切n k ≥均成立) 又因为A
ε1
-k ≠0,所以01=l ,于是有
01232=+++-εεεk k A l A l A l
再用A
2
-k 作用之,得2l A
ε1
-k =0.再由,可得2l =0.同理,继续作用下去,便可得
021====k l l l 即证ε,A ε,, A
ε1
-k (k >0)线性无关.
11.在n 维线性空间中,设有线性变换A 与向量ε使得A ε1
-n 0≠但,求证A 在某组下的矩阵
是