2007年山东省高考数学试卷(理科)
2007年山东省高考数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）若z=cosθ+isinθ（i为虚数单位），则z2=﹣1的θ值可能是（）A．B．C．D．
2．（5分）已知集合M={﹣1，1}，N=，则M∩N=（）A．{﹣1，1}B．{﹣1}C．{0}D．{﹣1，0}
3．（5分）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）
A．（1），（2）B．（1），（3）C．（1），（4）D．（2），（4）
4．（5分）设a∈，则使函数y=x a的定义域是R，且为奇函数的所有a的值是（）
A．1，3 B．﹣1，1 C．﹣1，3 D．﹣1，1，3
5．（5分）函数f（x）=sin（2x+）+cos（2x+）的最小正周期和最大值分别为（）
A．π，1 B． C．2π，1 D．
6．（5分）给出下列三个等式：f（xy）=f（x）+f（y），f（x+y）=f（x）f（y），
．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（）A．f（x）=3x B．f（x）=sinx C．f（x）=log2x D．f（x）=tanx
7．（5分）命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）
A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0 B．存在x∈R，x3﹣x2+1≤0
C．存在x∈R，x3﹣x2+1＞0 D．对任意的x∈R，x3﹣x2+1＞0
8．（5分）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：每一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第
二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；…第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班人数的百分比为x，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y，则从频率分布直方图中可以分析出x和y分别为（）
A．0.9，35 B．0.9，45 C．0.1，35 D．0.1，45
9．（5分）下列各小题中，p是q的充要条件的是（）
（1）p：m＜﹣2或m＞6；q：y=x2+mx+m+3有两个不同的零点．
（2）；q：y=f（x）是偶函数．
（3）p：cosα=cosβ；q：tanα=tanβ．
（4）p：A∩B=A；q：?U B??U A．
A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）
10．（5分）阅读右边的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量S和T的值依次是（）
A．2550，2500 B．2550，2550 C．2500，2500 D．2500，2550
11．（5分）在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是（）A．B．
C．D．
12．（5分）位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单
位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是．质点P移动5次后位于点（2，3）的概率为（）
A．B．
C．D．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）设O是坐标原点，F是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正向的夹角为60°，则为．
14．（4分）设D是不等式组表示的平面区域，则D中的点P（x，y）
到直线x+y=10距离的最大值是．
15．（4分）与直线x+y﹣2=0和曲线x2+y2﹣12x﹣12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是．
16．（4分）已知函数y=log a（x﹣1）+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在一次函数y=mx+n的图象上，其中最小值为．
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）设数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=（n∈N*）．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．
18．（12分）设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x2+bx+c=0实根的个数（重根按一个计）．
（I）求方程x2+bx+c=0有实根的概率；
（II）求ξ的分布列和数学期望；
（III）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2+bx+c=0有实根的概率．19．（12分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD ⊥DC，AB∥DC．
（Ⅰ）设E是DC的中点，求证：D1E∥平面A1BD；
（Ⅱ）求二面角A1﹣BD﹣C1的余弦值．
20．（12分）如图，甲船以每小时海里的速度向正北方向航行，乙船按固
定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°的方向B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？
21．（12分）已知椭圆C中心在原点、焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点的最大值为3，最小值为1．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N（M、N不是左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．
22．（14分）设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0．
（Ⅰ）当时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数n，不等式都成立．
请修改新增的标题
2007年山东省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）（2007?山东）若z=cosθ+isinθ（i为虚数单位），则z2=﹣1的θ值可能是（）
A．B．C．D．
【分析】先求出Z2，再利用复数相等的概念得到三角函数的等式，将答案代入验证即可．
【解答】解：z=cosθ+isinθ，所以Z2=cos2θ+2icosθsinθ﹣sin2θ=﹣1．
所以，将答案选项中的数值代入验证知D符合．
故选D
2．（5分）（2007?山东）已知集合M={﹣1，1}，N=，则M∩N=（）
A．{﹣1，1}B．{﹣1}C．{0}D．{﹣1，0}
【分析】N为指数型不等式的解集，利用指数函数的单调性解出，再与M求交集．求
【解答】解：?2﹣1＜2x+1＜22?﹣1＜x+1＜2?﹣2＜x＜1，即N={﹣1，0}
又M={﹣1，1}
∴M∩N={﹣1}，
故选B
3．（5分）（2007?山东）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）
A．（1），（2）B．（1），（3）C．（1），（4）D．（2），（4）
【分析】法一排除法，从选项看只要判断正方体的三视图都相同就可以选出正确答案．
法二直接法，把每一个几何体的三视图都找出来，然后可得答案．
【解答】解：法一：由于正方体的三视图都是相同图形，所以排除（1），由于A、B、C中都含有（1），
因而选项A、B、C都错误，可知选D．
故选D．
法二：正方体的三视图都是相同的正方形；
圆锥的三视图中正视图、侧视图相同是三角形，俯视图是圆；
三棱台的三视图都不相同，正视图是两个梯形，侧视图是一个梯形，
俯视图是外部三角形、内部三角形对应顶点连线的图形；
四棱锥的正视图与侧视图相同，是三角形，俯视图是有对角线的正方形．
故选D．
4．（5分）（2007?山东）设a∈，则使函数y=x a的定义域是R，且为奇函数的所有a的值是（）
A．1，3 B．﹣1，1 C．﹣1，3 D．﹣1，1，3
【分析】分别验证a=﹣1，1，，3知当a=1或a=3时，函数y=x a的定义域是R 且为奇函数．
【解答】解：当a=﹣1时，y=x﹣1的定义域是x|x≠0，且为奇函数；
当a=1时，函数y=x的定义域是R且为奇函数；
当a=时，函数y=的定义域是x|x≥0且为非奇非偶函数．
当a=3时，函数y=x的定义域是R且为奇函数．
故选A．
5．（5分）（2007?山东）函数f（x）=sin（2x+）+cos（2x+）的最小正周期和最大值分别为（）
A．π，1 B． C．2π，1 D．
【分析】化成y=Asin（ωx+φ）的形式，即y=cos2x进行判断．
【解答】解：∵=
=cos2x
∴原函数的最小正周期是=π，最大值是1
故选A．
6．（5分）（2007?山东）给出下列三个等式：f（xy）=f（x）+f（y），f（x+y）=f
（x）f（y），．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（）
A．f（x）=3x B．f（x）=sinx C．f（x）=log2x D．f（x）=tanx
【分析】依据指、对数函数的性质可以发现A，C满足其中的一个等式，而D满足，B不满足其中任何一个等式
【解答】解：f（x）=3x是指数函数满足f（x+y）=f（x）f（y），排除A．
f（x）=log2x是对数函数满足f（xy）=f（x）+f（y），排除C
f（x）=tanx满足，排除D．
故选B
7．（5分）（2007?山东）命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0 B．存在x∈R，x3﹣x2+1≤0
C．存在x∈R，x3﹣x2+1＞0 D．对任意的x∈R，x3﹣x2+1＞0
【分析】根据命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”是全称命题，其否定是对应的
特称命题，从而得出答案．
【解答】解：∵命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”是全称命题
∴否定命题为：存在x∈R，x3﹣x2+1＞0
故选C．
8．（5分）（2007?山东）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：每一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；…第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班人数的百分比为x，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y，则从频率分布直方图中可以分析出x和y分别为（）
A．0.9，35 B．0.9，45 C．0.1，35 D．0.1，45
【分析】频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的频率/组距，它们与频数成正比，小矩形的面积等于这一组的频率．建立相应的关系式，即可求得．【解答】解：从频率分布直方图上可以看出x=1﹣（0.06+0.04）=0.9，
y=50×（0.36+0.34）=35，
故选：A
9．（5分）（2007?山东）下列各小题中，p是q的充要条件的是（）
（1）p：m＜﹣2或m＞6；q：y=x2+mx+m+3有两个不同的零点．
（2）；q：y=f（x）是偶函数．
（3）p：cosα=cosβ；q：tanα=tanβ．
（4）p：A∩B=A；q：?U B??U A．
A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）
【分析】（1）中求出q的范围，可得p是q的充要条件，排除B，C，再判断（2），p中为分式，应考虑分母不等于0．
（3）中注意正切函数的定义域，（4）中，由A∩B=A可知A?B，由韦恩图可判．【解答】解：（1）q：y=x2+mx+m+3有两个不同的零点，△＞0，得m＜﹣2或m ＞6，即为p；排除B，C，
（2）由可得f（﹣x）=f（x）?q，反之，若y=f（x）是偶函数，可以有f（0）=0，p不成立；
故选D
10．（5分）（2007?山东）阅读右边的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量S和T的值依次是（）
A．2550，2500 B．2550，2550 C．2500，2500 D．2500，2550
【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：
该程序的作用是累加循环变量n的值，并将其保存在S、T中．
【解答】解：依据框图可得：
S=100+98+96+…+2=2550，
T=99+97+95+…+1=2500
故答案选A
11．（5分）（2007?山东）在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据，∴A是正确的，同理B也正确，再由D答案可变形为，通过等积变换判断为正确，从而得到答案．
【解答】解：∵，∴A是正确的，同理B也正确，
对于D答案可变形为，通过等积变换判断为正确故选C．
12．（5分）（2007?山东）位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是
．质点P移动5次后位于点（2，3）的概率为（）
A．B．
C．D．
【分析】从条件知质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，本题考查的是独立重复试验，因此质点P移动5次后位
于点（2，3）质点在移动过程中向右移动2次向上移动3次．
【解答】解：质点在移动过程中向右移动2次向上移动3次，
因此质点P移动5次后位于点（2，3）的概率为
故选B
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）（2007?山东）设O是坐标原点，F是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，
A是抛物线上的一点，与x轴正向的夹角为60°，则为．
【分析】先过A作AD⊥x轴于D，构造直角三角形，再根据与x轴正向的夹角为60°求出FA的长度，可得到A的坐标，最后根据两点间的距离公式可得答案．
【解答】解：过A作AD⊥x轴于D，令FD=m，则FA=2m，p+m=2m，m=p．∴．
故答案为：
14．（4分）（2007?山东）设D是不等式组表示的平面区域，则D中
的点P（x，y）到直线x+y=104．
【分析】首先根据题意做出可行域，欲求区域D中的点到直线x+y=10的距离最大值，由其几何意义为区域D的点A（1，1）到直线x+y=10的距离为所求，代入计算可得答案．
【解答】解：如图可行域为阴影部分，
由其几何意义为区域D的点A（1，1）到直线x+y=10的距离最大，即为所求，由点到直线的距离公式得：
d==4，
则区域D中的点到直线x+y=10的距离最大值等于4，
故答案为：4．
15．（4分）（2007?山东）与直线x+y﹣2=0和曲线x2+y2﹣12x﹣12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是（x﹣2）2+（y﹣2）2=2．
【分析】由题意可知先求圆心坐标，再求圆心到直线的距离，求出最小的圆的半径，圆心坐标，可得圆的方程．
【解答】解：曲线化为（x﹣6）2+（y﹣6）2=18，
其圆心到直线x+y﹣2=0的距离为．
所求的最小圆的圆心在直线y=x上，
其到直线的距离为，圆心坐标为（2，2）．
标准方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=2．
故答案为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=2．
16．（4分）（2007?山东）已知函数y=log a（x﹣1）+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在一次函数y=mx+n的图象上，其中最小值为8．
【分析】根据对数函数的性质，可以求出A点，把A点代入一次函数y=mx+n，得出2m+n=1，然后利用不等式的性质进行求解．
【解答】解：∵函数y=log a（x﹣1）+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，可得A（2，1），
∵点A在一次函数y=mx+n的图象上，
∴2m+n=1，∵m，n＞0，
∴2m+n=1≥2，
∴mn≤，
∴（）==≥8（当且仅当n=，m=时等号成立），
故答案为8．
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）（2007?山东）设数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．
【分析】（1）由a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=?当n≥2时，a1+3a2+32a3+…+3n﹣2a n﹣1=
，两式作差求出数列{a n}的通项．
（2）由（1）的结论可知数列{b n}的通项．再用错位相减法求和即可．
【解答】解：（1）∵a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=，①
∴当n≥2时，a1+3a2+32a3+…+3n﹣2a n﹣1=．②
①﹣②，得3n﹣1a n=，
所以（n≥2），
在①中，令n=1，得也满足上式．
∴．
（2）∵，
∴b n=n?3n．
∴S n=3+2×32+3×33+…+n?3n．③
∴3S n=32+2×33+3×34+…+n?3n+1．④
④﹣③，得2S n=n?3n+1﹣（3+32+33+…+3n），
即2S n=n?3n+1﹣．
∴．
18．（12分）（2007?山东）设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x2+bx+c=0实根的个数（重根按一个计）．
（I）求方程x2+bx+c=0有实根的概率；
（II）求ξ的分布列和数学期望；
（III）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2+bx+c=0有实根的概率．【分析】（I）由题意知，本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的基本事件总数为6×6，满足条件的事件是使方程有实根，则△=b2﹣4c≥0，对于c的取值进行列举，得到事件数，根据概率公式得到结果．
（II）由题意知用随机变量ξ表示方程x2+bx+c=0实根的个数得到ξ的可能取值0，1，2根据第一问做出的结果写出变量对应的概率，写出分布列和期望．
（III）在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2+bx+c=0有实根，这是一个条件概率，做出先后两次出现的点数中有5的概率和先后两次出现的点数中有5的条件下且方程x2+bx+c=0有实根的概率，根据条件概率的公式得到结果．【解答】解：（I）由题意知，本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的基本事件总数为6×6=36，
满足条件的事件是使方程有实根，则△=b2﹣4c≥0，即．
下面针对于c的取值进行讨论
当c=1时，b=2，3，4，5，6；
当c=2时，b=3，4，5，6；
当c=3时，b=4，5，6；
当c=4时，b=4，5，6；
当c=5时，b=5，6；
当c=6时，b=5，6，
目标事件个数为5+4+3+3+2+2=19，
因此方程x2+bx+c=0有实根的概率为．
（II）由题意知用随机变量ξ表示方程x2+bx+c=0实根的个数得到ξ=0，1，2
根据第一问做出的结果得到
则，，，
∴ξ的分布列为
∴ξ的数学期望．
（III）在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2+bx+c=0有实根，
这是一个条件概率，
记“先后两次出现的点数中有5”为事件M，
“方程ax2+bx+c=0有实根”为事件N，
则，，
∴．
19．（12分）（2007?山东）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC．
（Ⅰ）设E是DC的中点，求证：D1E∥平面A1BD；
（Ⅱ）求二面角A1﹣BD﹣C1的余弦值．
【分析】（1）由题意及图形所给的线段大小之间的关系，利用线线平行进而得到线面平行；
（2）利用图形中两两垂直的线和题中所给的线段的大小，建立空间直角坐标系，利用向量的知识求出二面角的大小．
【解答】解：（I）连接BE，则四边形DABE为正方形，
∴BE=AD=A1D1，且BE∥AD∥A1D1，
∴四边形A1D1EB为平行四边形，∴D1E∥A1B．
∵D1E?平面A1BD，A1B?平面A1BD，
∴D1E∥平面A1BD．
（II）以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
不妨设DA=1，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C1（0，2，2），A1（1，0，2）．
∴．
设为平面A 1BD的一个法向量，
由得
取z=1，则
设为平面C1BD的一个法向量，
由得，
取z 1=1，则
∵.．
由于该二面角A1﹣BD﹣C1为锐角，
所以所求的二面角A1﹣BD﹣C1的余弦值为．
20．（12分）（2007?山东）如图，甲船以每小时海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°的方向B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？
【分析】连接A1B2，依题意可知A2B2，求得A1A2的值，推断出△A1A2B2是等边三角形，进而求得∠B1A1B2，在△A1B2B1中，利用余弦定理求得B1B2的值，进而求得乙船的速度．
【解答】解：如图，连接A 1B2，，，
△A1A2B2是等边三角形，∠B1A1B2=105°﹣60°=45°，
在△A1B2B1中，由余弦定理得
B1B22=A1B12+A1B22﹣2A1B1?A1B2cos45°
=
，．
因此乙船的速度的大小为．
答：乙船每小时航行海里．
21．（12分）（2007?山东）已知椭圆C中心在原点、焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点的最大值为3，最小值为1．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N（M、N不是左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．
【分析】（Ⅰ）由题设条件可知解得，由此能够推导出椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）由方程组消去y，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，然后结合
题设条件利用根的判别式和根与系数的关系求解．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的长半轴为a，半焦距为c，
则解得
∴椭圆C的标准方程为．
（Ⅱ）由方程组消去y，
得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0
由题意：△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0
整理得：3+4k2﹣m2＞0 ①
设M（x1，y1）、N（x2，y2），
则，
由已知，AM⊥AN，且椭圆的右顶点为A（2，0）
∴（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=0
即（1+k2）x1x2+（km﹣2）（x1+x2）+m2+4=0
也即
整理得：7m2+16mk+4k2=0
解得：m=﹣2k或，均满足①
当m=﹣2k时，直线l的方程为y=kx﹣2k，过定点（2，0），舍去
当时，直线l的方程为，过定点，
故直线l过定点，且定点的坐标为．
22．（14分）（2007?山东）设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0．
（Ⅰ）当时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数n，不等式都成立．
【分析】（Ⅰ）先求函数的定义域，然后求出函数f（x）的导函数，利用二次函数的性质判定导函数的符号，从而确定函数f（x）在定义域上的单调性；（Ⅱ）需要分类讨论，由（Ⅰ）可知分类标准为b≥，0＜b＜，b≤0或f'（x）＜0．参数取某些特定值时，可只管作出判断，单列为一类；不能作出直观判断的，再分为一类，用通法解决，另外要注意由f'（x）=0求得的根不一定就是极值点，需要判断在该点两侧的异号性后才能称为“极值点”．
（Ⅲ）先构造函数h（x）=x3﹣x2+ln（x+1），然后研究h（x）在[0，+∞）上的单调性，求出函数h（x）的最小值，从而得到ln（x+1）＞x2﹣x3，最后令，即可证得结论．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=x2+bln（x+1）的定义域在（﹣1，+∞）
令g（x）=2x2+2x+b，则g（x）在上递增，在上递减，
g（x）=2x2+2x+b＞0在（﹣1，+∞）上恒成立，
2018年高考全国二卷理科数学真题(解析版)
2018年高考全国二卷理科数学真题（解析 版） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果. 详解：选D. 点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力. 2. 已知集合，则中元素的个数为 A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】分析：根据枚举法，确定圆及其内部整点个数. 详解：， 当时，； 当时，； 当时，； 所以共有9个，选A. 点睛：本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.
3. 函数的图像大致为 A. A B. B C. C D. D 【答案】B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像. 详解：为奇函数，舍去A, 舍去D; ， 所以舍去C；因此选B. 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 4. 已知向量，满足，，则 A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果. 详解：因为 所以选B. 点睛：向量加减乘： 5. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A. B. C. D. 【答案】A
2017年山东省高考数学试卷(理科)
2017年高考数学山东卷（理科） 一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分） 1、设函数24x y -=的定义域为A ，函数)1ln(x y -=的定义域为B ，则=B A （ ） A 、（1，2） B 、（1，2] C 、（－2，1） D 、[－2，1） 2、已知R a ∈，i 是虚数单位，若i a z 3+=，4=?z z ，则=a （ ） A 、1或－1 B 、7或7- C 、3- D 、3 3、已知命题p ：0>?x ，0)1ln(>+x ；命题q ：若b a >，则22b a >，下列命题为真命题的是（ ） A 、q p ∧ B 、q p ∧ C 、q p ∧ D 、q p ∧ 4、已知x 、y 满足约束条件?? ???≥+≤++≤+-0305303x y x y x ，则y x z 2+=的最大值是（ ） A 、0 B 、2 C 、5 D 、6 5、为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为a x b y +=，已知225101=∑=i i x ，160010 1=∑=i i y ，4=b ，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（ ） A 、160 B 、163 C 、166 D 、170 6、执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x 值为7，第二次 输入的x 值为9，则第一次、第二次输出的a 值分别为（ ） A 、0，0 B 、1，1 C 、0，1 D 、1，0 7、若0>>b a ，且1=ab ，则下列不等式成立的是（ ） A 、)(log 212b a b b a a +<<+ B 、b a b a b a 1)(log 2 2+<+< C 、a b b a b a 2)(log 12<+<+ D 、a b b a b a 21)(log 2<+<+ 8、从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次， 每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（ ） A 、185 B 、94 C 、95 D 、9 7
2007年全国高考数学-山东理科
2007年高考数学山东卷（理科）详细解析 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。 1 若cos sin z i θθ=+（i 为虚数单位），则21z =-的θ值可能是 （A ） 6π （B ） 4π （C ）3π （D ） 2 π 【答案】:D 【分析】：把2 π 代入验证即得。 2 已知集合{}1,1M =-，1124,2x N x x Z +?? =<<∈???? ，则M N ?= （A ）{}1,1- （B ） {}1- （C ）{}0 （D ） {}1,0- 【答案】:B 【分析】：求{}1124,1,02x N x x Z +?? =<<∈=-???? 。 3下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 （A ）(1),(2) （B ） (1),(3) （C ）(1),(4) （D ） (2),(4) 【答案】:D 【分析】：从选项看只要判断正方体的三视图都相同就可以选出正确答案。 4 设11,1,,32 a ? ?∈-??? ? ，则使函数y x α =的定义域为R 且为奇函数的所有α值为 （A ）1,3 （B ） 1,1- （C ）1,3- （D ） 1,1,3- 【答案】:A 【分析】：观察四种幂函数的图象并结合该函数的性质确定选项。 5 函数sin(2)cos(2)63 y x x π π =+ ++的最小正周期和最大值分别为 （A ）,1π （B ） π （C ）2,1π （D ） 2π【答案】:A 【分析】：化成sin()y A x ω?=+的形式进行判断即cos 2y x =。 6 给出下列三个等式：()()()f xy f x f y =+，()()()f x y f x f y +=， ()() ()1()() f x f y f x y f x f y ++= -。下列函数中不满足其中任何一个等式的是
2018年全国高考ii卷理科数学试题及答案
绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的、号填写在答题卡上。 2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果. 详解：选D. 点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力. 2. 已知集合，则中元素的个数为 A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】分析：根据枚举法，确定圆及其部整点个数. 详解：， 当时，； 当时，； 当时，； 所以共有9个，选A. 点睛：本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.
3. 函数的图像大致为 A. A B. B C. C D. D 【答案】B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像. 详解：为奇函数，舍去A, 舍去D; ， 所以舍去C；因此选B. 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 4. 已知向量，满足，，则 A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果. 详解：因为 所以选B. 点睛：向量加减乘： 5. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
2007年高考试题——山东卷数学文科含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试 （山东卷）文科数学 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项． 1．复数 43i 1+2i +的实部是（ ） A ．2- B ．2 C ．3 D ．4 2．已知集合11{11}| 242x M N x x +? ? =-=<<∈???? Z ，，，，则M N =（ ） A ．{11 }-， B ．{0} C ．{1}- D ．{1 0}-， 3．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ） A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．②④ 4．要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π? ? =- ?3?? 的图象（ ） A ．向右平移 π 6个单位 B ．向右平移 π 3个单位 C ．向左平移π 3 个单位 D ．向左平移π 6 个单位 5．已知向量(1 )(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （ ） A ．1 B C ．2 D ．4 6．给出下列三个等式： ()()()()()()f xy f x f y f x y f x f y =++=，， ()() ()1()() f x f y f x y f x f y ++= -．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ） A ．()3x f x = B ．()sin f x x = C ．2()log f x x = D ．()tan f x x = 7．命题“对任意的3 2 10x x x ∈-+R ，≤”的否定是（ ） ①正方形 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥
2005年高考理科数学试卷及答案(山东)
2005年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 理科数学（必修+选修II ） 第I 卷（共60分） 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ?= 一．选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项. （1） () () 2 2 1111i i i i -++ =+- （ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- （2）函数()10x y x -= ≠的反函数图像大致是 （ ） （ （3）已知函数sin cos 1212y x x ππ?? ? ?=- - ? ?? ?? ?，则下列判断正确的是（ ） （A ）此函数的最小周期为2π，其图像的一个对称中心是,012π?? ??? （B ）此函数的最小周期为π，其图像的一个对称中心是,012π?? ??? （C ）此函数的最小周期为2π，其图像的一个对称中心是,06π?? ??? （D ）此函数的最小周期为π，其图像的一个对称中心是,06π?? ??? （4）下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（ ）
（A ）()sin f x x =（B ）()1f x x =-+（C ）()1()2x x f x a a -= +（D ）2()ln 2x f x x -=+ （5 ）如果3n x ?? ? 的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31 x 的系数是（ ） （A ）7 （B ）7- （C ）21 （D ）21- （6）函数2 1sin(),10, (),0. x x x f x e x π-?-<（B ）(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--<+ （C ）(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--++<(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--++ （D ）(1)(1)log (1)log (1)a a a a +---+<(1)(1)log (1)log (1)a a a a +---+ （12）设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆2 2 14 y x +=的交点为A 、B 、，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ?的面积为 1 2 的点P 的个数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
2007年山东省普通高考分段表
2007年山东省普通高考分段表地区：全省 分数段 文史艺术文体育理工艺术理单独考试本段累计本段累计本段累计本段累计本段累计本段累计 710 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 700 0 0 0 0 0 0 2 3 0 0 0 0 695 0 0 0 0 0 0 4 7 0 0 0 0 690 0 0 0 0 0 0 2 9 0 0 0 0 685 0 0 0 0 0 0 7 16 0 0 0 0 680 0 0 0 0 0 0 13 29 0 0 0 0 675 1 1 0 0 0 0 34 63 0 0 0 0 670 4 5 0 0 0 0 46 109 0 0 0 0 665 16 21 0 0 0 0 87 196 0 0 1 1 660 25 46 0 0 0 0 150 346 0 0 2 3 655 29 75 0 0 0 0 262 608 0 0 5 8 650 63 138 1 1 0 0 371 979 1 1 12 20 645 112 250 1 2 0 0 518 1497 2 3 16 36 640 186 436 0 2 0 0 685 2182 1 4 36 72 635 253 689 0 2 0 0 894 3076 0 4 64 136 630 371 1060 0 2 0 0 1029 4105 1 5 86 222 625 523 1583 0 2 0 0 1420 5525 2 7 104 326 620 761 2344 2 4 0 0 1694 7219 0 7 149 475 615 1006 3350 2 6 0 0 2089 9308 4 11 151 626 610 1243 4593 3 9 0 0 2446 11754 0 11 204 830 605 1587 6180 5 14 0 0 2854 14608 1 12 218 1048 600 1899 8079 7 21 0 0 3444 18052 2 14 271 1319 595 2357 10436 5 26 0 0 4023 22075 0 14 274 1593 590 2716 13152 5 31 1 1 4514 26589 3 17 325 1918 585 2973 16125 15 46 1 2 5071 31660 1 18 350 2268 580 3523 19648 22 68 1 3 5727 37387 3 21 360 2628 575 3774 23422 14 82 4 7 6396 43783 5 26 398 3026 570 4139 27561 17 99 6 13 7048 50831 6 32 431 3457 565 4161 31722 43 142 5 18 7607 58438 6 38 497 3954
2005年高考理科数学 山东卷
2005年高考理科数学山东卷 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 ()()(B P A P B A P +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么 )(B A P ?=()(B P A P ? 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是最符合题目要求的 （1） 22 11(1)(1)i i i i -++=+- （A ）i (B) i - (C) 1 (D) 1- （2）函数1(0)x y x x -= ≠的反函数的图象大致是 （A ） (B) (C) (D) （3）已知函数sin()cos(),12 12 y x x π π =- - 则下列判断正确的是 （A ）此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是(,0)12π (B) 此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是(,0)12π (C) 此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是(,0)6π (D) 此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是(,0)6 π （4）下列函数中既是奇函数，又是区间[]1,1-上单调递减的是 （A ）()sin f x x = (B) ()1f x x =-+ (C) 1()()2x x f x a a -=+ (D) 2()2 x f x ln x -=+ （5）如果(3n x 的展开式中各项系数之和为128，则展开式中 31 x 的系数是 （A ）7 (B) 7- (C) 21 (D)21-
（6）函数21 10, sin(),()0., x x x f x x e π--< (B) (1)(1)log (1)log (1)a a a a +--<+ (C) (1)(1)(1)(1)log (1)log (1)log (1)log (1)a a a a a a a a +-+--++<-++ (D) (1)(1)(1)(1)log (1)log (1)log (1)log (1)a a a a a a a a +-+---+>--+ （12）设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆2 2 14 y x +=的交点为A 、B ，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ?的面积为 1 2 的点P 的个数为 （A ） 1 (B) 2 (C) 3 (D)4 第Ⅱ卷（共100分） 二、填空题：本大题共4小题， 每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上 (13)2222lim (1) n n n n C C n -→∞+=+__________
2018高考理科数学全国一卷试题及答案
2018高考理科数学全国一卷 一．选择题 1.设则( ) A. B. C. D. 2、已知集合 ,则( ) A. B. C. D. 3、某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区系农村建设前后 农村的经济收入构成比例。得到如下 饼图: 则下面结论中不正确的是( ) A.新农村建设后,种植收入减少 B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后,养殖收入增加一倍 D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4、记为等差数列的前项和,若,则( ) A.-12 B.-10 C.10 D.12 5、设函数,若为奇函数,则曲线在点处的切线方程为( ) A. B. C. D. 6、在中,为边上的中线,为的中点,则( ) A. B. C. D. 7、某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如下图。圆柱表面上的点M在正视图 上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上, 从M到N的路径中,最短路径的长度为( ) A. B. C. D. 8、设抛物线的焦点为,过点且斜率为的直线与交于两点,则( ) A.5 B.6 C.7 D.8
9、已知函数,,若存在个零点,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 10、下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个车圈构成,三个半圆的直径分别为直角三角形 的斜边,直角边.的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ,在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别记为,则( ) A. B. C. D. 11、已知双曲线,为坐标原点,为的右焦点,过的直线 与的两条渐近线的交点分别为若为直角三角形,则( ) A. B. C. D. 12、已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面所成的角都相等,则截此正方体所得截面面积的最大值为( ) A. B. C. D. 13、若满足约束条件则的最大值为。 14、记为数列的前n项的和,若,则。 15、从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数字填写答案) 16、已知函数,则的最小值是。 三解答题： 17、在平面四边形中, 1.求; 2.若求 18、如图,四边形为正方形,分别为的中点,以 为折痕把折起,使点到达点的位置,且. 1. 证明:平面平面; 2.求与平面所成角的正弦值
2020届山东省新高考高三优质数学试卷分项解析 专题05 三角函数与解三角形(原卷版)
专题5 三角函数与解三角形 1.近几年高考在对三角恒等变换考查的同时，对三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与三角函数的图象和性质结合考查，先利用三角公式进行化简，然后进一步研究三角函数的性质.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度以中档以下为主. 2.高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理，以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等． 预测2020年将突出考查恒等变换与三角函数图象和性质的结合、恒等变换与正弦定理和余弦定理的结合. 一、单选题 1．（2020届山东省潍坊市高三上期中）sin 225?= （ ） A ．1 2 - B ．2 - C ． D ．1- 2．（2020届山东省泰安市高三上期末）“1a <-”是“0x ?∈R ，0sin 10+ 2018学年高三上期第二次周练 数学（理科） 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}=0123A ，，，， {}=21B x x a a A =-∈，，则=( )A B ? A. {}12， B. {}13， C. {}01 ， D. {}13-， 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（ ） A. i - B. i C. 1- D. 1 3．在等比数列{}n a 中， 13521a a a ++=， 24642a a a ++=， 则数列{}n a 的前9项的和9S =（ ） A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 4．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =以及曲线1x y e =-围成， 现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（ ） A. 1e B. 21 e e -- C. 11e - D. 11e - 5．在 52)(y x x ++ 的展开式中，含 2 5y x 的项的系数是（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 6．已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的 体积为 ( ) A. 36π+ B. 66π+ C. 312π+ D. 12 7．已知函数 ())2log(x a x f -= 在 )1,(-∞上单调递减，则a 的取值范围是( ) A. 11<< 精心整理2010年山东省高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）（2010?山东）已知全集U=R，集合M={x||x﹣1|≤2}，则C M=（） U A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1≤x≤3}C．{x|x＜﹣1，或x＞3} D．{x|x≤﹣1，或x≥3} 【考点】补集及其运算． 【专题】集合． 【分析】由题意全集U=R，集合M={x||x﹣1|≤2}，然后根据交集的定义和运算法则进行计算． ∴C U 故选C． 2．（5，其中 A．﹣ 故选B． 3．（5 A B C D 平行于同一直线的两个平面平行，两个平面可能相交，B错误． 垂直于同一平面的两个平面平行，可能相交，C错误． 故选D． 【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，属基础题．4．（5分）（2010?山东）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）=（） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 【考点】奇函数． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】首先由奇函数性质f（0）=0求出f（x）的解析式，然后利用定义f（﹣x）=﹣f（x）求f（﹣1）的值． 【解答】解：因为f（x）为定义在R上的奇函数， 所以f（0）=20+2×0+b=0， 解得b=﹣1， 所以当x≥0时，f（x）=2x+2x﹣1， 又因为f（x）为定义在R上的奇函数， 所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（21+2×1﹣1）=﹣3， 故选A． 【点评】本题考查奇函数的定义f（﹣x）=﹣f（x）与基本性质f（0）=0（函数有意义时）．5．（5分）（2010?山东）已知随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），若P（ξ＞2）=0.023，则P A． 而P 则P 故P 故选：C 6．（5 1 A． 可． 解：由题意知（ 故选：D 数、方差公式是解答好本题的关键． 7．（5分）（2010?山东）由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（） A．B．C．D． 【考点】定积分在求面积中的应用． 【专题】函数的性质及应用． 1（x2﹣x3）【分析】要求曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求∫ dx即可． 【解答】解：由题意得，两曲线的交点坐标是（1，1），（0，0）故积分区间是[0，1] 1（x2﹣x3）dx═， 所求封闭图形的面积为∫2018高考理科数学模拟试题
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