数学分析》第十一章反常积分复习自测题[1]

第十一章 反常积分复习自测题

一、体会各类反常积分（无穷积分、瑕积分和混合反常积分）的特点，能准确地判定所给反常积分的类型；熟习并熟练掌握各类反常积分收敛和发散的含义，并用各类反常积分收敛和发散的含义解决下面的问题：

1、正确地判断下列反常积分的敛散性：

（1）

1

d p a

x x +∞?

（0a >）；（2）01d a p x x ?（0a >）；（3）01d p

x x +∞?（0a >）

。 2、正确地判断下列反常积分的敛散性： （1）

1d (ln )p

a

x x x +∞?

（1a >）；（2）11d (ln )a p x x x ?（1a >）；（3）11

d (ln )p x x x +∞?。 3、探索下列反常积分的敛散性，若收敛，并求其值： （1）

20

1d 1x x +∞+?

；（2）21d 1x x

+∞-∞+?；（3）10x ?；（4）11

x -?

。

4、用定义据理说明下面的关系：（反常积分的牛顿—莱布尼茨公式、分部积分法、换元法、奇偶

函数的积分特征）

（1）若函数()f x 在[,)a +∞上连续，()F x 为()f x 在[,)a +∞上的原函数，记

()lim ()x F f x →+∞

+∞=，

则无穷积分

()d a

f x x +∞?

收敛?()lim ()x F f x →+∞

+∞=存在，且

()d ()

a

f x x F x a

+∞+∞=?

。

（2）若函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，()F x 为()f x 在(,)-∞+∞上的原函数，记

()lim ()x F f x →+∞

+∞=，()lim ()x F f x →-∞

-∞=，

则无穷积分

()d f x x +∞-∞

?

收敛?()lim ()x F f x →+∞

+∞=和()lim ()x F f x →-∞

-∞=都存在，且

()d ()

a

f x x F x a

+∞+∞=?

。

（3）若函数()f x 和()g x 都在[,)a +∞上连续可微，且lim ()()x f x g x →+∞

存在，则无穷积分

()()d a

f x

g x x +∞'?

收敛?()()d a

f x

g x x +∞'?

收敛，且

()

()()d ()()()()d a

a

f x

g x x f x g x f x g x x a +∞+∞+∞''=-?

?

，

其中()()lim ()()x f g f x g x →+∞

+∞+∞=。

（4）若函数()f x 在[,)a +∞上连续，()x t ?=在[,)αβ（其中β为有限数或+∞）上连续可导，且严格单调递增，([,))[,)a ?αβ=+∞，则无穷积分()d a

f x x +∞?

收敛?积分(())()d f t t t βα

??'?

收

敛，且

()d (())()d a

f x x f t t t βα

??+∞'=?

?

。

（5）设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，

若()f x 为偶函数，则

()d f x x +∞-∞

?收敛?0

()d f x x +∞?

收敛，且 0

()d 2()d f x x f x x +∞+∞-∞

=?

?

；

若()f x 为奇函数，则

()d f x x +∞-∞

?

收敛?0

()d f x x +∞

?

收敛，且()d 0f x x +∞-∞

=?

。

提示：注意由换元法可得

000

()d ,()d ()d ()d ()d ,x t

f t t f f x x f t t f t t f t t f +∞=-+∞+∞-∞

+∞

??=--=-=??-???

?

?

?为偶函数

为奇函数。

二、举例说明下面关系不一定成立：

1、瑕积分

()d b a

f x x ?

收敛不一定能推出瑕积分2()d b a

f x x ?；无穷积分()d a

f x x +∞?

收敛也不

一定能推出无穷积分

2()d a

f x x +∞?

收敛；

注：定积分的乘法性对反常积分不一定成立。 2、无穷积分

()d a

f x x +∞?

收敛不一定能推出无穷积分()d a

f x x +∞?

收敛；

注：注意与定积分的绝对值性质的区别。 3、设函数()f x 在[,)a +∞上连续，且

()d a

f x x +∞?

收敛，则lim ()0x f x →+∞

=不一定成立；

三、通过下面的问题探索lim ()x f x →+∞

的情况：

1、设函数()f x 定义在[,)a +∞上，且在任何[,][,)a u a ?+∞上可积，

()d a

f x x +∞?

收敛，若

lim ()x f x A →+∞

=存在，则lim ()0x f x →+∞

=；

2、利用1探索：

（1）设函数()f x 在[,)a +∞上单调，且

()d a

f x x +∞?

收敛，则lim ()0x f x →+∞

=；

（2）设函数()f x 在[,)a +∞上连续可导，且

()d a

f x x +∞?

与()d a

f x x +∞'?

都收敛，则

lim ()0x f x →+∞

=；

3、设函数()f x 在[,)a +∞上连续，且()d a

f x x +∞?

收敛，

则lim ()0x f x →+∞

=?()f x 在[,)a +∞上一致连续；

4、设函数()f x 在[,)a +∞上连续，且()d a

f x x +∞?

收敛，试探索下面的问题：

（1）证明：当u a >时，lim

()d 0u c u

u f x x +→+∞

=?

（其中c 为任意给定的正数）

，从而 1lim ()d 0a n a n

n f x x +++→∞

=?

；

提示：注意到无穷积分的定义即可。

（2）利用（1）和积分第一中值公式证明：在[,)a +∞中，存在严格递增的数列{n x }满足：

lim n n x →∞

=+∞，lim ()0n n f x →∞

=；

（3）类似于（1）方法证明：若函数()f x 在[,)a +∞上单调递增（减），且()d a

f x x +∞?

收敛，

则还有lim ()0x xf x →+∞

=。

注：注意到第三大题的第2小题（1），（3）表明：1

()()f x o x

=（x →+∞）。

提示：不妨设()f x 在[,)a +∞上单调递增，注意到下面的积分不等式以及无穷积分的定义即可：

当2u a >时，212

2

()d ()()d u u u u

f x x uf u f x x ≤≤?

?

。

5、若函数()f x 在[,)a +∞（0a >）上连续可微，且单调递增（减），则

()d a

f x x +∞?收敛?

()d a

x f x x +∞'?

收敛。

提示：利用第三大题的第4小题（3）以及反常积分的分部积分公式

()d d ()()

()d a

a

a

x f x x x f x xf x f x x a

+∞+∞+∞+∞'==-?

?

?

。

四、仔细体会并熟练掌握无穷积分和瑕积分的线性性、区间可加性和绝对值性质（注意体会性质的内容、含义以及在反常积分敛散性判别中的作用）；理解反常积分绝对收敛和条件收敛的含义；用适当性质解决下面的问题：

1、若无穷积分

()d a

f x x +∞?

收敛，无穷积分()d a

g x x +∞?

发散，则无穷积分

()()()d a

f x

g x x +∞±?发散；

提示：反证法。 2、判断

22

11d ln x x x x

+∞??+ ????

的敛散性；

3、利用适当性质说明：在无穷积分()d a

f x x +∞?

中，当()f x 同号时，

()d a

f x x +∞?

收敛等价于

与

()d a

f x x +∞?

收敛（即()d a

f x x +∞?

绝对收敛）

，因此，当()f x 同号时，()d a

f x x +∞

?敛散性的

判别等价于

()d a

f x x +∞?

敛散性的判别。

五、仔细体会无穷积分和瑕积分收敛的柯西准则，并用柯西准则解决下面的问题：

设函数()f x ，()g x 和()h x 都定义在[,)a +∞上，且它们在任何[,][,)a u a ?+∞上可积，若对任意[,)x a ∈+∞，有()()()g x f x h x ≤≤，则

（1）当()d a g x x +∞?

和()d a h x x +∞?都收敛时，()d a

f x x +∞?

也收敛；

（2）当()d a

g x x +∞

?

和

()d a

h x x +∞

?

都收敛，

且()d ()d a

a

g x x h x x +∞+∞=?

?

时，

()d a

f x x +∞?

收

敛，且

()d ()d ()d a

a

a

g x x f x x h x x +∞+∞+∞==?

??

。

提示：（1）用柯西准则；（2）可直接用定义和极限的迫敛性。

六、仔细体会并熟练掌握无穷积分和瑕积分绝对收敛的各种常用判别方法，熟悉柯西判别法中适当幂函数的两种常见的选择手段（等价量的代换手段、与幂函数变化快慢进行比较的手段）；养成在选择判别法之间，先观察反常积分的类型，被积函数是否同号的习惯。试用绝对收敛的判别法解决下面的问题：

判断下列反常积分的敛散性：

1、

20

sin d 1kx

x x +∞+?

，20cos d 1kx x x +∞+?，0sin d 1kx x x α+∞+?（2α≥），0cos d 1kx x x

α+∞+?（2α≥）； 2

、

1

n x +∞?

（0m >）

，1

n x +∞?（0m >）

，1

1

)d n

x

x +∞?（0m >）

，

1

1

sin

)d n x x α

+∞?

（0α>，0m >）

； 3、

1d x

x e x α+∞-?

，10

d x

x e x α-?

，1

ln(1)

d p x x x +∞+?

，10ln(1)d p

x x x +?；

4

、

10

x ?

，21

x ?

。

七、仔细体会并熟练掌握无穷积分收敛性的狄利克雷判别法和阿贝尔判别法，理解这两个判别法之间的内在关系（阿贝尔判别法可用狄利克雷判别法及无穷积分的性质导出），熟悉如何选择适当的变换将瑕积分转化为无穷积分。试解决下面的问题：

1、判断下面反常积分的收敛性（在收敛的情况下，如有可能，还要尽可能判断出是绝对收敛，还是条件收敛）

（1）

1

sin d p x

x x +∞?

，1cos d p x x x +∞?，1sin()d p

mx n x

x +∞+?1

cos()

d p

mx n x x +∞+?

，

（其中0p >，0m ≠和n 为常数）

； （2）

1

sin d x x x +∞?

，112

sin d x x x

+∞?，21sin d x x +∞?，2

1cos d x x +∞?，41sin d x x x +∞?； 提示：利用（1）或变量替换后再用（1）。

（3）

1

011

sin d x x x α?；

提示：作变量替换1

t x

=化为无穷积分后再用（1）。

2、设函数()f x 在[,)a +∞上单调递减，且lim ()0x f x →+∞

=（注意此条件蕴含了()0f x ≥，为什

么），则

（1）

()sin d a

f x x x +∞?

与

()cos d a

f x x x +∞?

都收敛；

提示：用狄里克雷判别法。 （2）若进一步有()d a

f x x +∞?收敛，则()sin d a

f x x x +∞?

与()cos d a

f x x x +∞?

都绝对收敛；若

进一步有

()d a

f x x +∞?

发散，则()sin d a

f x x x +∞?与()cos d a

f x x x +∞?

都条件收敛。

提示：类似于第七大题第1小题（1）的方法。

（3）若把函数()f x “在[,)a +∞上单调递减”改为“在[,)a +∞上单调递增”，上述结果是否有变化

注：此问题为第七大题第1小题（1）的一般情形。

3、设函数()f x 在[,)a +∞（0a >）上连续，且

()d a

xf x x +∞?

收敛，探索 ()d a

f x x +∞?

和

ln ()

d a

x

f x x x

+∞?

的收敛性。

提示：用阿贝尔判别法。

八、试讨论下列反常积分的敛散性（注意：先正确地判断类型；再注意混合反常积分敛散性的含义）：

1、10

()d 1x I x x

α

α-+∞=+?

； 2、0ln(1)

()d p

x I p x x +∞+=?； 3、0

sin ()d p

x

I p x x +∞=

?

（其中0p >）。

九、反常积分的典型计算问题：（注意：在反常积分值的计算中经常采用线性性、区间可加性、以及第一大题中涉及的牛顿—莱布尼茨公式、换元法和分部积分法）

1、计算瑕积分()()220

ln sin d ln cos d I x x x x π

π=

=?

?

（ln 22

π

=-

）的值；

提示：先用线性性，

()()()()2220

2

1

2ln sin d ln cos d ln

sin 2d 2ln 2ln sin 2d 2

I x x x x x x x x

π

πππ

π

=+==-

+??

?

?

对

()20

ln sin 2d x x π

?

用适当换元法和区间可加性，

()()()()22

2

00211ln sin 2d ln sin d ln sin d ln sin d 22t x

x x t t t t t t π

π

πππ=??==+ ???

?

???

其中对

()2

ln sin d t t π

π

?再用适当换元，()()20

2

ln sin d ln sin d t u

t t u u π

ππ

π=-=

??

。

2、利用1计算下列反常积分的值： （1）

()0

ln sin d x x x π

?

；

（2）0

sin d 1cos x x x x π-?；（3）()20ln tan d x x π

?；（4）20ln d 1x

x x

+∞+?。 提示：（1）用适当换元x t π=-和区间可加性推出

()()()2

2ln sin d ln sin d ln sin d 2x x x x x x x π

π

πππ?

?

=

+ ???

?

?

?。

（2）用分部积分法推出，

()()()0

00sin d dln 1cos ln 1cos ln 1cos d 01cos x x

x x x x x x x x

π

πππ=-=----?

??，

其中

()()00

ln 1cos lim ln 1cos 0x x x x x →-=-=，

()()2

ln 1cos d ln2sin d ln 22ln sin d x x x x x x π

π

π

π-==+?

?

?

。

（3）用线性性及1，并注意到()()()ln tan ln sin ln cos x x x =-。 （4）用换元tan x t =及（3）。 3、通过计算的方法探索无穷积分20

1

d (1)(1)

x x x α

+∞++?

与α的关系，并计算出它的值。 提示：先用区间可加性得，

12220

01111d d d (1)(1)

(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x ααα+∞+∞=+++++++?

??，

再用换元1x t =得，2

112201211d d d 11(1)(1)(1)(1)(1)(1)

t t x t t x x t t t t

α

ααα+∞+∞=-=++++++???， 从而

220

111d d arctan 1(1)(1)14

x x x x x x απ+∞+∞+∞===+++?

?，

表明

20

1

d (1)(1)

x x x α+∞++?

与α无关。

4、计算无穷积分

cos d ax e bx x +∞-?

和0

sin d ax e bx x +∞-?

的值，其中0a >。

提示：用分部积分法。

5、伏如兰积分问题：设函数()f x 在[0,)+∞上连续，0b a >>，按下面的步骤探索反常积分

()()

d f ax f bx x x

+∞-?

（称为伏如兰积分）的值：

（1）若lim ()x f x k →+∞=存在，则()0()()d (0)ln f ax f bx b

x f k x a

+∞-=-?；

（2）若无穷积分()d a f x x x +∞?收敛，则0()()d (0)ln f ax f bx b

x f x a

+∞-=?。

提示：首先可断定此积分为混合反常积分，因此，取01<<+∞，

10

011101100()()

()()()()d d d ()()()()

lim d lim d ()()()()lim d d ()()

lim d u u u u u

u f ax f bx f ax f bx f ax f bx x x x

x x x

f ax f bx f ax f bx x x

x x

f ax f bx f ax f bx x x x x f ax f bx x

x

εεεεε

ε+++

+∞+∞→+∞→→→+∞

→→+∞

---=+--=+--??=+ ???-=?

???????

再对

()()

d u

f ax f bx x x

ε

-?用线性性，变量替换t ax =，t bx =和区间可加性，

()()

()()

d d d ()()

d d ()()()()d d d d ()()

d d u

u u au bu a b b au au bu a b b au b bu a au f ax f bx f ax f bx x x x x x

x f t f t t t t t

f t f t f t f t t t t t t t t t f t f t t t t t

ε

εεεεεεεεεε-=-=-??

=+-+ ?

??

=-???????????

（1）注意到1

0t >，()f t 连续，对()d b a f t t t εε?和()d bu au f t t t

?用推广的积分第一中值公式，存

在[,]x a b εεε∈，[,]u x au bu ∈，使得

()

1d ()d ()ln b b a a f t b

t f x t f x t

t a εεεεε

ε==?

?， ()

1d ()d ()ln bu bu u u au

au f t b t f x t f x t t a

==?

?， （2）对

()

d b a f t t t ε

ε?用推广的积分第一中值公式，并注意到由无穷积分()d a f x x x +∞?收敛，可

推出()

lim d 0bu au u f t t t

→+∞=?。

高等数学重积分总结

第九章二重积分 【本章逻辑框架】 【本章学习目标】 ⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。 ⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。 ⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。 9.1 二重积分的概念与性质 【学习方法导引】 1．二重积分定义 为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。

在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D 成n 个小区域12,,,n σσσ???的分法要任意，二是在每个小区域i σ?上的点(,)i i i ξησ∈?的取法也要任意。有了这两个“任意”，如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限，才能称二元函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分存在。 2．明确二重积分的几何意义。 (1) 若在D 上(,)f x y ≥0，则(,)d D f x y σ??表示以区域D 为底，以 (,)f x y 为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地，当(,)f x y ＝1时，(,)d D f x y σ ??表示平面区域D 的面积。 (2) 若在D 上(,)f x y ≤0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重积分(,)d D f x y σ??的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积 (3)若(,)f x y 在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域上为负的，则(,)d D f x y σ??表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和 (即在Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积). 3．二重积分的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。有序性常用于比较两个二重积分的大小，估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围，在用估值不等式对一个二重积分估值的时候，一般情形须按求函数 (,)f x y 在闭区域D 上的最大值、最小值的方法求出其最大值与最小 值，再应用估值不等式得到取值范围。

高等数学反常积分练习题

测试一 一、名词解释 1.自由水 2.束缚水 3.水势 4.压力势 5.渗透势 6.衬质势 7.渗透作用 8.水通道蛋白 9.根压10.吐水现象 11.伤流现象12.蒸腾作用13.蒸腾拉力14.蒸腾速率15.蒸腾效率 16.蒸腾系数17.吸胀作用18.水分临界期 二、填空题 1. 植物散失水分的方式有种，即和。 2. 植物细胞吸水的三种方式是、和。 3. 植物根系吸水的两种方式是和。前者的动力是，后者的动力是。 4. 设甲乙两个相邻细胞，甲细胞的渗透势为- 16 × 10 5 Pa ，压力势为9 × 10 5 Pa ，乙细胞的渗透势为- 13 × 10 5 Pa ，压力势为9 × 10 5 Pa ，水应从细胞流向细胞，因为甲细胞的水势是，乙细胞的水势是。 5. 某种植物每制造10 克干物质需消耗水分5000 克，其蒸腾系数为，蒸腾效率为。 6. 把成熟的植物生活细胞放在高水势溶液中细胞表现，放在低水势溶液中细胞表现，放在等水势溶液中细胞表现。 7. 写出下列吸水过程中水势的组分 吸胀吸水，Ψ w = ；渗透吸水，Ψ w = ； 干燥种子吸水，Ψ w = ；分生组织细胞吸水，Ψ w =； 一个典型细胞水势组分，Ψ w = ；成长植株吸水，Ψ w = 。 8. 当细胞处于初始质壁分离时，Ψ P = ，Ψ w = ；当细胞充分吸水完全膨胀时，Ψ p = ，Ψ w =；在初始质壁分离与细胞充分吸水膨胀之间，随着细胞吸水，Ψ S ，Ψ P ，Ψ w 。 9. 蒸腾作用的途径有、和。 10. 细胞内水分存在状态有和。 11. 常用的蒸腾作用指标有、和。 12. 影响蒸腾作用的环境因子主要有、、和。

数学分析华东师大反常积分

数学分析华东师大反常 积分 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#

第十一章反常积分 §1 反常积分概念 一问题提出 在讨论定积分时有两个最基本的限制: 积分区间的有穷性和被积函数的有界性.但在很多实际问题中往往需要突破这些限制, 考虑无穷区间上的“积分”, 或是无界函数的“积分”, 这便是本章的主题. 例1 ( 第二宇宙速度问题) 在地球表面垂直发射火箭( 图 11 - 1 ) , 要使火箭克服地球引力无限远离地球, 试问初速度v0 至少要多大设地球半径为R, 火箭质量为m, 地面上的重力加速度为 g .按万有引力定律,在距地心x( ≥R) 处火箭所受的引力为 mg R2 F = . x2 于是火箭从地面上升到距离地心为r ( > R) 处需作的功为

r mg R ∫ ∫ 2 ∫ d x = m g R 2 1 - 1 .R x 2 R r 当 r → + ∞ 时 , 其 极限 mg R 就是 火箭 无限 远 离地 球 需作 的 功 .我们很自然地会把这极限写作上限为 + ∞的“ 积分”: 图 11 - 1 + ∞ mg R 2 d x = lim r mgR 2 R x 2 r → + ∞ R d x = m g R . x 2 最后 , 由机械能守恒定律可求得初速度 v 0 至少应使 1 2 2 mv 0 = mg R . 用 g = 9 .81 ( m 6s /2 ) , R = 6 .371× 106 ( m ) 代入 , 便得 v 0 = 2 g R ≈ 11 .2( k m 6s /) . 例 2 圆 柱形桶 的内壁高 为 h , 内半 径为 R , 桶底有 一半径为 r 的小孔 ( 图 11 - 2) .试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水 , 共需多少时间

高等数学(上)第五章定积分总结

第五章 定积分 内容：定积分的概念和性质、微积分基本公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。 要求：理解定积分的概念和性质。掌握牛顿－莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积分法，理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，理解广义积分的概念和计算方法。 重点：定积分的概念和性质；微积分基本公式；换元积分法、分部积分法。 难点：定积分的概念；变上限积分函数及其导数；换元积分法、分部积分法。 §1.定积分的概念 一、实例分析 1．曲边梯形的面积 设函数)(x f y =∈C[a , b ], 且)(x f y =>0. 由曲线0,,),(====y b x a x x f y 围成的图形称为曲边梯形. 如何定义曲边梯形的面积? (1) 矩形面积=底高. (2) 预备一张细长条的纸, 其面积底高. (3) 预备一张呈曲边梯形状的纸, 将其撕成许多细长条. (4) 启示: 将曲边梯形分割为许多细长条, 分割得越细, 误差越小. y =f (x ) x =a x =b y =f (x )

第i 个细长条面积)],,[()(11---=?∈??≈?i i i i i i i i i x x x x x x f S ξξ 曲边梯形面积: ∑=?≈ n i i i x f S 1 )(ξ 定积分概念示意图.ppt 定义: ),,2,1,max {()(lim 1 n i x x f S i n i i i =?=?=∑=→λξλ 抛开上述过程的几何意义，将其数学过程定义为定积分. 二、定积分的定义 1. 定义 设)(x f y =在[a , b ]有定义, 且有界. (1) 分割: 用分点b x x x a n =<<<= 10把[a , b ]分割成n 个小区间: } ,,2,1,max{,,,2,1],,[11n i x x x x n i x x i i i i i i =?=-=?=--λ记 (2) 取点: 在每个小区间],[1i i x x -上任取一点i , 做乘积: i i x f ?)(ξ. (3) 求和: ∑=?n i i i x f 1 )(ξ (4) 取极限: ∑=→?n i i i x f 1 )(lim ξλ 若极限存在, 则其为)(x f 在[a , b ]上的定积分, 记作: ? b a dx x f )(. 即: ∑? =→?=n i i i b a x f dx x f 1 )(lim )(ξλ [a , b ]: 积分区间；a ：积分下限；b ：积分上限； ∑=?n i i i x f 1 )(ξ积分和式. 问题: 定积分是极限值, 在求极限的过程中, 谁是常量, 谁是变量?

最新数学分析 第七讲 反常积分

第七讲 非黎曼积分（反常积分） 一、知识结构 我们知道黎曼积分要求积分区间有限，并且积分区间是闭区间（闭区域）. 下面研究积分区间无限,或积分区间不是闭区间的积分,我们称这样的积分为反常积分,所谓反常是指相对于黎曼积分的反常.对正常积分,我们主要研究它的计算问题,而对反常积分, 主要研究它的收敛问题. 1、 一元函数的反常积分 (1) 一元函数反常积分的概念和定义 我们知道黎曼积分要求积分区间是有限闭区间[]b a ,或有限闭区域D ，如果将积分区间[]b a ,换成无限区间),[+∞a 或非闭区间],(b a （a 是被积函数的瑕点）或()+∞,a ，由此产生的积分我们称为反常积分，反常积分是相对于黎曼积分所提出的，“反常”指将黎曼积分中的有限闭区间[]b a ,换成无限区间),[+∞a 或非闭区间],(b a （a 是被积函数的瑕点,即函数)(x f 在点 x 处无界）. 定义1 函数)(x f 在无限区间),[+∞a 连续，则定义 ? ? +∞→+∞ =A a A a dx x f dx x f )(lim )(，如果极限? +∞→A a A dx x f )(lim 存在，我们称反 常积分 ? +∞ a dx x f )(收敛. 定义2 函数)(x f 在非闭区间],(b a 连续，而在点a 右邻域内无界（a 是被积函数)(x f 的瑕点）即函数在点a 无界，则定义

?? ? ++→+→==b k a k b a b a dx x f dx x f dx x f )(lim )(lim )(0 ε ε,如果极限? +→+b a dx x f ε ε)(lim 0 存在，我们称反常积分 ? b a dx x f )(收敛. 函数)(x f 在点a 右邻域内无界的意思是：∞=+→)(lim x f a x .注意: 函数在点a 没有定义,但函数)(x f 在点a 右极限)(lim x f a x +→可以存在,这时a 不 是被积函数)(x f 的瑕点. 例如,函数 x x sin 在点0处没有定义,但1sin lim 0=+→x x x ,所以0=x 不是 积分?10sin dx x x 的瑕点. ?10sin dx x x 不是反常积分. 将积分?10sin dx x x 看 作推广的黎曼积分. 因为, 如果被积函数)(x f 在闭区间[]b a ,上仅有有限个第一类间断点, 则积分 ? b a dx x f )(为推广的黎曼积分,它也是收敛的. 定义3 函数)(x f 在开区间),(b a 内连续，b a ,都是函数)(x f 的瑕点，则定义 ? ? ??? -→+→-++=+=δ δε εb c c a b c c a b a dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f )(lim )(lim )()()(0 , 如果极限? +→+ c a dx x f ε ε)(lim 0 和? -→-δ δb c dx x f )(lim 0 均存在，我们称反常积分 ? b a dx x f )(收敛. 定义4 函数)(x f 在无限区间),(+∞a 连续，a 是函数)(x f 的瑕点，则 定义 ? ? ? ?? +∞→+→+∞ +∞ +=+=+A b A b a b b a a dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f )(lim )(lim )()()(0 ε ε, 如果极限? +→+ b a dx x f ε ε)(lim 0 和? +∞→A b A dx x f )(lim 均存在，我们称反常积分 ? +∞ a dx x f )(收敛.

高等数学重积分总结

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第九章二重积分【本章逻辑框架】 【本章学习目标】 ⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。 ⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。 ⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。 二重积分的概念与性质 【学习方法导引】 1．二重积分定义

为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。 在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D 成n 个小区域12,,,n σσσ???的分法要任意，二是在每个小区域 i σ?上的点(,)i i i ξησ∈?的取法也要任意。有了这两个“任意”，如果所对 应的积分和当各小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限，才能称二元函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分存在。 2．明确二重积分的几何意义。 (1) 若在D 上(,)f x y ≥0，则(,)d D f x y σ??表示以区域D 为底，以 (,)f x y 为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地，当(,)f x y ＝1时，(,)d D f x y σ ??表示平面区域D 的面积。 (2) 若在D 上(,)f x y ≤0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重积分(,)d D f x y σ??的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积 (3)若(,)f x y 在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域上为负的，则(,)d D f x y σ??表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在 Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积). 3．二重积分的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。有序性常用于比较两个二重积分的大小，估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围，在用估值不等式对一个二重积分估值的时候，一般情形须按求函数(,)f x y 在闭区域

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高等数学教案 §9 重积分 第九章 重积分 教学目的： 1. 理解二重积分、 三重积分的概念， 了解重积分的性质， 知道二重积分的中值定理。 2. 掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。 3. 掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。 8、会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等）。 教学重点： 1、 二重积分的计算（直角坐标、极坐标） ； 2、 三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。 3、二、三重积分的几何应用及物理应用。 教学难点： 1、 利用极坐标计算二重积分； 2、 利用球坐标计算三重积分； 3、 物理应用中的引力问题。 §9 1 二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 1 曲顶柱体的体积 设有一立体 它的底是 xOy 面上的闭区域 D 它的侧面是以 D 的边界曲线为准线而母 线平行于 z 轴的柱面 它的顶是曲面 z f(x y) 这里 f(x y) 0 且在 D 上连续 这种立体叫做 曲顶柱体 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积 首先 用一组曲线网把 D 分成 n 个小区域 1 2 n 分别以这些小闭区域的边界曲线为准线 作母线平行于 z 轴的柱面 这些柱面把原来的曲 顶柱体分为 n 个细曲顶柱体 在每个 i 中任取一点 ( i i ) 以 f ( ii ) 为 高而底为 i 的平顶柱体的体积为 f ( i i ) i (i 1 2n ) 这个平顶柱体体积之和 n V f ( i , i ) i i 1

可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值为求得曲顶柱体体积的精确值将分割加密只需取极限即 n V lim f ( i , i )i i 1 其中是个小区域的直径中的最大值 2平面薄片的质量 设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D它在点(x y)处的面密度为(x y)这里(x y) 0 且在 D 上连续现在要计算该薄片的质量M 用一组曲线网把 D 分成 n 个小区域 12n 把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量 (i i)i 各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值 n M( i , i )i i 1 将分割加细取极限得到平面薄片的质量 n M lim( i , i )i i 1 其中是个小区域的直径中的最大值 定义设f(x y)是有界闭区域 D 上的有界函数将闭区域 D 任意分成n 个小闭区域 12n 其中i 表示第i 个小区域也表示它的面积在每个i 上任取一点(i i )作和n f ( i , i )i i 1 如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时这和的极限总存在则称此极限为函数 f(x y)在闭区域 D 上的二重积分记作 f (x, y)d即 D

高等数学重积分总结

第九章 二重积分 【本章逻辑框架】 ⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。 ⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。 ⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。 9.1 二重积分的概念与性质 【学习方法导引】 1．二重积分定义 为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。 在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D 成n 个小区域12,,,n σσσ???的分法要任意，二是在每个小区域i σ?上的点 (,)i i i ξησ∈?的取法也要任意。有了这两个“任意”，如果所对应的积分和当各 小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限，才能称二元函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分存在。 2．明确二重积分的几何意义。

(1) 若在D 上(,)f x y ≥0，则(,)d D f x y σ??表示以区域D 为底，以(,)f x y 为曲 顶的曲顶柱体的体积。特别地，当(,)f x y ＝1时，(,)d D f x y σ??表示平面区域D 的面积。 (2) 若在D 上(,)f x y ≤0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重积分 (,)d D f x y σ??的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积 (3)若(,)f x y 在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域上为负的，则(,)d D f x y σ??表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy 平面之上 的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积). 3．二重积分的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。有序性常用于比较两个二重积分的大小，估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围，在用估值不等式对一个二重积分估值的时候，一般情形须按求函数(,)f x y 在闭区域D 上的最大值、最小值的方法求出其最大值与最小值，再应用估值不等式得到取值范围。 【主要概念梳理】 1.二重积分的定义 设二元函数f(x,y)在闭区域D 上有定义且有界. 分割 用任意两组曲线分割D 成n 个小区域12,,,n σσσ???，同时用i σ?表示它们的面积，1,2,,.i n =其中任意两小块i σ?和()j i j σ?≠除边界外无公共点。 i σ?既表示第i 小块,又表示第i 小块的面积. 近似、求和 对任意点(,)i i i ξησ∈? ,作和式1 (,).n i i i i f ξησ=?∑ 取极限 若i λ为i σ?的直径，记12max{,,,}n λλλλ=,若极限0 1 lim (,)n i i i i f λξησ→=?∑ 存在，且它不依赖于区域D 的分法，也不依赖于点(,)i i ξη的取法，称此极限为f (x,y )在D 上的二重积分. 记为

数学分析(华东师大)第十一章反常积分

r mg R ∫ ∫ 第 十 一 章 反 常 积 分 §1 反常积分概念 一 问题提出 在讨论定积分时有两个最基本的限 制 : 积分 区间 的有穷 性和 被积函 数的 有 界性 .但在很多实际问题中往往需要突 破这 些限制 , 考虑无 穷区 间上的“ 积分”, 或是无界函数的“积分”, 这便是本章的主题 . 例 1 ( 第二宇宙速度问题 ) 在地球表面垂直发射火箭 ( 图 11 - 1 ) , 要使火 箭克服地球引力无限远离地球 , 试问初速度 v 0 至少要多大 ? 设地球半径为 R, 火箭质量为 m, 地面上的重力加速度为 g .按万有引力定律 , 在距地心 x( ≥ R) 处火箭所受的引力为 mg R 2 F = . x 2 于是火箭从地面上升到距离地心为 r ( > R) 处需作的功为 2 ∫ d x = mg R 2 1 - 1 . R x 2 R r 当 r → + ∞ 时 , 其 极限 mg R 就是 火箭 无限 远 离地 球 需作 的 功 .我们很自然地会把这极限写作上限为 + ∞的“ 积分”: 图 11 - 1 + ∞ mg R 2 d x = lim r mgR 2 R x 2 r → + ∞ R d x = mg R . x 2 最后 , 由机械能守恒定律可求得初速度 v 0 至少应使 1 2 2 mv 0 = mg R . 用 g = 9 .81 ( m 6s /2 ) , R = 6 .371× 106 ( m ) 代入 , 便得 v 0 = 2 g R ≈ 11 .2( k m 6s /) . 例 2 圆 柱形桶 的内壁高 为 h , 内半 径为 R , 桶底有 一半径为 r 的小孔 ( 图 11 - 2) .试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水 , 共需多少时间 ?

高等数学二重积分总结.讲解学习

高等数学二重积分总 结.

第九章二重积分 【本章逻辑框架】 【本章学习目标】 ⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。 ⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。 ⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。 9.1 二重积分的概念与性质 【学习方法导引】 1．二重积分定义 为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的

质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。 在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D 成n 个小区域12, , , n σσσ??? 的分法要任意，二是在每个 小区域i σ?上的点(, i i i ξησ∈?的取法也要任意。有了这两个“任意”， 如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限，才能称二元函数(, f x y 在区域D 上的二重积分存在。 2．明确二重积分的几何意义。 (1 若在D 上(, f x y ≥0，则(, d D f x y σ??表示以区域D 为底，以 (, f x y 为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地，当(, f x y ＝1时，(, d D f x y σ ??表示平面区域D 的面积。 (2 若在D 上(, f x y ≤0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重积分(, d D f x y σ??的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积 (3若(, f x y 在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域上为负的，则(, d D f x y σ??表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和 (即在Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积.

数学分析教案(华东师大版)第十一章反常积分

第十一章反常积分 教学目的： 1.深刻理解反常积分的概念及其敛散性的含义； 2.熟练掌握无穷积分和瑕积分的性质与敛散性的判别。 教学重点难点：本章的重点是反常积分的含义与性质；难点是反常积分敛散性的判别。 教学时数：8学时 § 1 反常积分概念（2学时） 教学目的：深刻理解反常积分的概念。 教学重点难点：反常积分的含义与性质 一问题的提出: 例（P264）. 二两类反常积分的定义 定义1. 设函数定义在无穷区间上，且在任何有限 区间上可积，如果存在极限 （1） 则称此极限J为函数在上的无穷限反常积分（简称

无穷积分），记作,并称收敛. 如果极限（1）不存在，为方便起见，亦称发散. 定义2. 设函数定义在上，在点的任一右邻域内无界，但在任何内闭区间上有界且可积，如果存在 极 则称此极限为无界函数在上的反常积分，记作 并称反常积分收敛，如果极限不存在，这时也说反常积 分发散. 例1 ⑴讨论积分 , , 的敛散性 . ⑵计算积分. 例 2 讨论以下积分的敛散性 : ⑴; ⑵. 例3 讨论积分的敛散性 .

例4判断积分的敛散性 . 例5 讨论瑕积分的敛散性 ,并讨论积分的敛散性 . 三瑕积分与无穷积分的关系: 设函数连续 , 为瑕点. 有 , 把瑕积分化成了无穷积分;设, 有 ，把无穷积分化成了瑕积分. 可见 , 瑕积分与无穷积分可以互化. 因此 ,它们有平行的理论和结果 . §2. 无穷积分的性质与收敛判定（2学时） 教学目的：深刻理解反常积分敛散性的含义。 教学重点难点：反常积分敛散性的判别。 一无穷积分的性质 ⑴在区间上可积 , — Const , 则函数在区间 上可积, 且. ⑵和在区间上可积 , 在区间 上可积 , 且. ⑶无穷积分收敛的Cauchy准则:

数学分析11.1反常积分概念

第十一章 反常积分 1 反常积分概念 一、问题提出 例1：(第二宇宙速度问题)在地球表面垂直发射火箭，要使火箭克服地球引力无限远离地球，试问初速度v 0至少要多大？ 解：设地球半径为R ，火箭质量为m ，地面上的重力加速度为g. 按万有引力定律，在距地心x(≥R)处火箭所受的引力为F=22 x mgR . 于是火箭从地面上升到距离地心为r(>R)处需作的功为： ?r R 2 2x mgR dx=mgR 2?? ? ??-r 1R 1. 当r →+∞时，其极限mgR 就是火箭无限远离地球需作的功. 可表示为：?+∞ R 22 x mgR dx=?+→r R 2 2 ∞r x mgR lim dx=mgR. 又由机械能守恒定律可求得初速度v 0至少应满足：2 1 mv 02=mgR. 以g=9.81m/s 2, R=6.371×106m 代入，可得v 0=mgR ≈11.2km/s. 例2：圆柱形桶的内壁高为h ，内半径为R ，桶底有一半径为r 的小孔，问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水，共需多少时间？ 解：记桶中水液面到桶顶的距离为x ，则水从孔中流出的流速为： v=x)-2g(h ，其中g 为重力加速度. 设很小一段时间dt 内，桶中液面降低的微小量为dx ，则 πR 2 dx=v πr 2 dt ，即有dt= x) -2g(h r R 2 2 dx. ∴流完一桶水所需的时间为：

t f =?h 2 2 x) -2g(h r R dx ，又被积函数在[0,h)上无界，所以它的确切含义为： t f =? -→u 2 2 h u x) -2g(h r R lim dx=)u -h -h (g r R 2lim 2 2h u - →=g r R 2h lim 2 2h u - →. 二、两类反常积分的定义 定义1：设函数f 定义在无穷区间[a,+∞)上，且在任何有限区间[a,u] 上可积，如果存在极限?+→u a ∞u f(x )dx lim =J ，则称此极限J 为函数f 在[a,+∞)上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作J=?+∞a f(x )dx ，并称?+∞ a f(x )dx 收敛. 若极限不存在，则称?+∞ a f(x )dx 发散. 类似的，可定义f 在(-∞,b]的无穷积分：?-b ∞f(x )dx=?-→b u ∞u f(x )dx lim . 又有?+-∞∞f(x )dx=?+∞a f(x )dx +?-b ∞f(x )dx, 其中a 为任意实数， 仅当右边两个无穷积分都收敛时，?+-∞ ∞f(x )dx 才收敛. 例3：讨论无穷积分?+∞ 1p x dx 的收敛性. 解：当p=1时，?+∞ 1p x dx =?+→u 1∞u x dx lim =∞u lim +→lnu=+∞, 当p<1时，?+∞ 1p x dx =?+→u 1p ∞u x dx lim =??? ??-+→1u 1p -11lim 1-p ∞u =+∞, 当p>1时，?+∞ 1 p x dx =?+→u 1p ∞u x dx lim =??? ??-+→1u 1p -11lim 1-p ∞u =1 -p 1 , ∴当p ≤1时，?+∞ 1p x dx 发散于+∞; 当p>1时，?+∞1p x dx 收敛. 例4：讨论下列无穷积分的收敛性：

反常积分的敛散性判定方法

XX财经大学本科学年论文反常积分敛散性的判定方法 作者陈志强 学院统计与数学学院 专业数学与应用数学 年级2012级 学号122094102 指导教师魏运 导师职称教授 最终成绩75分

目录 摘要 (1) 关键词 (1) 引言----------------------------------------------------------------------------------------2 一、预备知识 (2) 1.无穷限反常积分 (2) 2.瑕积分 (3) 3.反常积分的性质 (3) 二、反常积分的收敛判别法 (4) 1无穷积分的收敛判别 (4) (1).定义判别法 (4) (2).比较判别法 (4) (3).柯西判别法 (5) (4)阿贝尔判别法 (6) (5).狄利克雷判别法 (7) 2瑕积分的收敛判别.................................................. . (8) (1).定义判别法 (8) (2).定理判别法 (9) (3).比较判别法 (9) (4).柯西判别法 (9)

(5).阿贝尔判别法 (10) (6).狄利克雷判别法 (10)

参考文献 (11)

摘要 在很多实际问题中，要突破积分区间的有穷性和被积函数的有界性，由此得到了定积分的两种形式的推广：无穷限反常积分和瑕积分。我们将这两种积分统称为反常积分。因为反常积分涉及到一个收敛问题，所以反常积分的敛散性判定就显得非常重要了。本文将对反常积分的敛散性判定进行归纳总结，并给出了相关定理的证明，举例说明其应用，这样将有助于我们灵活的运用各种等价定理判断反常积分的敛散性。 关键词：反常积分瑕积分极限敛散性

同济大学(高等数学)-第十章-重积分

第十章 重积分 一元函数积分学中，我们曾经用和式的极限来定义一元函数()f x 在区间,a b ????上的定积分，并已经建立了定积分理论，本章将把这一方法推广到多元函数的情形，便得到重积分的概念. 本章主要讲述多重积分的概念、性质、计算方法以及应用. 第1节 二重积分的概念与性质 1.1 二重积分的概念 下面我们通过计算曲顶柱体的体积和平面薄片的质量，引出二重积分的定义. 1.1.1. 曲顶柱体的体积 曲顶柱体是指这样的立体，它的底是x Oy 平面上的一个有界闭区域D ，其侧面是以D 的边界为准线的母线平行于z 轴的柱面，其顶部是在区域D 上的连续函数(),z f x y =，且(),0f x y ≥所表示的曲面（图10—1）. 图10—1 现在讨论如何求曲顶柱体的体积. 分析这个问题，我们看到它与求曲边梯形的面积问题是类似的.可以用与定积分类似的方法（即分割、近似代替、求和、取极限的方法）来解决（图10—2）. 图10—2 (1)分割闭区域D 为n 个小闭区域

,n σσσ???12,,, 同时也用i Δσ表示第i 个小闭区域的面积，用()i d Δσ表示区域i Δσ的直径（一个闭区域的直径是指闭区域上任意两点间距离的最大值），相应地此曲顶柱体被分为n 个小曲顶柱体. (2)在每个小闭区域上任取一点 ()()()1122,, ,, , ,n n ξηξηξη 对第i 个小曲顶柱体的体积，用高为，()i i f ξη而底为i Δσ的平顶柱体的体积来近似代替. (3)这n 个平顶柱体的体积之和 1 (,)n i i i i f ξησ =?∑ 就是曲顶柱体体积的近似值. (4)用λ表示n 个小闭区域i Δσ的直径的最大值，即()max 1i i n λd Δσ≤≤=.当0λ→ (可理解为i Δσ收缩为一点)时，上述和式的极限，就是曲顶柱体的体积： 1lim (,).n i i i i V f λξησ→==?∑ 1.1.2 平面薄片的质量 设薄片在x Oy 平面占有平面闭区域D ，它在点，()x y 处的面密度是,()ρρx y =.设 ()0x y ρ>,且在D 上连续，求薄片的质量(见图10-3). 图10-3 先分割闭区域D 为n 个小闭区域 n σσσ???12,,, 在每个小闭区域上任取一点 ()()()1122,, ,, , ,n n ξηξηξη 近似地，以点,()i i ξη处的面密度,()i i ρξη代替小闭区域i Δσ上各点处的面密度，则得到第i 块小薄片的质量的近似值为,()i i i ρξηΔσ，于是整个薄片质量的近似值是 1 (,)n i i i i ρξησ =?∑ 用()max 1i i n λd Δσ≤≤=表示n 个小闭区域i Δσ的直径的最大值，当D 无限细分，即当0λ→时， 上述和式的极限就是薄片的质量M ，即 1lim (,)n i i i λi M ρξηΔσ→==∑. 以上两个具体问题的实际意义虽然不同，但所求量都归结为同一形式的和的极限.抽象出来就得到下述二重积分的定义. 定义1 设D 是x Oy 平面上的有界闭区域，二元函数,()z f x y =在D 上有界.将D 分为n

数学分析11反常积分总练习题

第十一章 反常积分 总练习题 1、证明下列等式： (1)?+1 1 -p 1x x dx=?∞++1-p 1x x dx ，p>0；(2)?∞++01-p 1x x dx=?∞++0-p 1 x x dx ，00，∴两个积分都收敛，令x=t 1 ，则 ? +1 1-p 1x x dx=?++→1u 1-p 0u 1x x lim =?++∞→1u 1p -1u 11t 1t lim d ??? ??t 1=?++∞→u 11-p u 11t t lim dt=?∞++1-p 1x x dx. (2)∵0

同济大学高等数学重积分

同济大学高等数学重积 分 标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]

第十章 重积分 一元函数积分学中，我们曾经用和式的极限来定义一元函数()f x 在区间,a b ????上的定积分，并已经建立了定积分理论，本章将把这一方法推广到多元函数的情形，便得到重积分的概念. 本章主要讲述多重积分的概念、性质、计算方法以及应用. 第1节 二重积分的概念与性质 二重积分的概念 下面我们通过计算曲顶柱体的体积和平面薄片的质量，引出二重积分的定义. 1.1.1. 曲顶柱体的体积 曲顶柱体是指这样的立体，它的底是x Oy 平面上的一个有界闭区域D ，其侧面是以D 的边界为准线的母线平行于z 轴的柱面，其顶部是在区域D 上的连续函数(),z f x y =，且(),0f x y ≥所表示的曲面（图10—1）. 图10—1 现在讨论如何求曲顶柱体的体积. 分析这个问题，我们看到它与求曲边梯形的面积问题是类似的.可以用与定积分类似的方法（即分割、近似代替、求和、取极限的方法）来解决（图10—2）. 图10—2 (1)分割闭区域D 为n 个小闭区域 同时也用i Δσ表示第i 个小闭区域的面积，用()i d Δσ表示区域i Δσ的直径（一个闭区域的直径是指闭区域上任意两点间距离的最大值），相应地此曲顶柱体被分为n 个小曲顶柱体. (2)在每个小闭区域上任取一点 对第i 个小曲顶柱体的体积，用高为，()i i f ξη而底为i Δσ的平顶柱体的体积来近似代替. (3)这n 个平顶柱体的体积之和 就是曲顶柱体体积的近似值. (4)用λ表示n 个小闭区域i Δσ的直径的最大值，即()max 1i i n λd Δσ≤≤=.当0λ→ (可理解为i Δσ收缩为一点)时，上述和式的极限，就是曲顶柱体的体积： 1.1.2 平面薄片的质量 设薄片在x Oy 平面占有平面闭区域D ，它在点，()x y 处的面密度是,()ρρx y =.设()0x y ρ>,且在D 上连续，求薄片的质量(见图10-3). 图10-3 先分割闭区域D 为n 个小闭区域 在每个小闭区域上任取一点 近似地，以点,()i i ξη处的面密度,()i i ρξη代替小闭区域i Δσ上各点处的面密度，则得到第i 块小薄片的质量的近似值为,()i i i ρξηΔσ，于是整个薄片质量的近似值是 用()max 1i i n λd Δσ≤≤=表示n 个小闭区域i Δσ的直径的最大值，当D 无限细分，即当0λ→时，上述和式的极限就是薄片的质量M ，即 1 lim (,)n i i i λi M ρξηΔσ→==∑.

反常积分的几种计算方法

目录 摘要 (1) 关键词 (1) A b s t r a c t (1) K e y w o r d s (1) 0前言 (1) 1反常积分的定义 (1) 1.1无穷积分的定义 (1) 1.2瑕积分的定义 (2) 2反常积分的计算方法 (3) 2.1利用Newton—Leibniz公式计算反常积分 (3) 2.2利用变量替换法计算反常积分 (3) 2.3利用分部积分法计算反常积分 (5) 2.4利用分段积分自我消去法计算反常积分 (7) 2.5利用方程法计算反常积分 (7) 2.6利用级数法计算反常积分 (9) 2.7利用待定系数法计算反常积分 (10) 结束语 (11) 参考文献 (11) 反常积分的几种计算方法 摘要:该文主要对反常积分的计算方法进行归纳、总结.重点描述了在进行计算时各种方法的灵活使用. 关键词:反常积分;变量替换;分部积分;级数法;待定系数法 Several calculation methods of abnormal integral Abstract:This paper mainly sums up the calculation methods of abnormal integral. This paper emphasizes on describing the flexible use of various methods in the calculation. Keywords: Abnormal integral; Variable substitution; subsection integral;

Series method; the method of undetermined coefficient 0前言 反常积分是微积分学中一类重要的积分，反常积分的计算是学习积分计算中的重难点。本文不仅介绍了常见的三大基本方法：Newton —Leibniz 公式、利用变量替换、利用分部积分法，还介绍了分段积分自我消去法、方程法、级数法和待定系数法等一些在解决问题时较适用的方法，通过引用一些经典例题使我们对这些方法有更加深刻的认识。但是在解决具体问题时要求我们注意各种方法的灵活性与相互渗透，这样可以简便计算。 1反常积分的定义 1.1无穷积分的定义 定义1设函数f 定义在无穷区间[)+∞,a 上,且在任何有限区间[]u a ,上可积,如果存在极限 ? =+∞→u a u J dx x f )(lim , )1( 则称此极限J 为函数f 在[)+∞,a 上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作 ?+∞ =a dx x f J )(, )1(' 并称?+∞a dx x f )(收敛.如果极限)1(不存在,为方便起见,亦称?+∞ a dx x f )(发散. 类似地,可定义f 在(]b ,∞-上的无穷积分： ? ? -∞→∞ -=b u u b dx x f dx x f )(lim )(. )2( 对于f 在()+∞∞-,上的无穷积分,它用前面两种无穷积分来定义： dx x f dx x f dx x f a a ?? ? +∞ ∞ -+∞ ∞ -+=)()()(. )3( 1.2瑕积分的定义