23二元一次方程组的相关概念(基础)知识讲解
二元一次方程（组）的相关概念（基础）知识讲解
【学习目标】
1.理解二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的含义；
2.会检验一组数是不是某个二元一次方程（组）的解.
【要点梳理】
要点一、二元一次方程
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． 要点诠释：二元一次方程满足的三个条件：
（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.
（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.
（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.
要点二、二元一次方程的解
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解． 要点诠释：
(1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来，如：2,5.
x y =??=?．
(2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．
要点三、二元一次方程组
把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 要点诠释：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如?
??=-=+52013y x x 也是二元一次方程组.
要点四、二元一次方程组的解
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
要点诠释：
（1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成x a y b =??=?
的形式． (2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组2526
x y x y +=??+=?无解，
而方程组1222x y x y +=-??+=-?
的解有无数个． 【典型例题】
类型一、二元一次方程
1．已知下列方程，其中是二元一次方程的有________．
(1)2x-5＝y ； (2)x-1＝4； (3)xy ＝3； (4)x+y ＝6； (5)2x-4y ＝7；
(6)102x +=；(7)251x y +=；(8)132x y +=；(9)280x y -=；(10)462
x y +=． 【思路点拨】按二元一次方程满足的三个条件一一检验．
【答案】(1)(4)(5)(8)(10)
【解析】只有(1)(4)(5)(8)(10)满足二元一次方程的概念．(2)为一元一次方程，方程中只含有一个未知数；(3)中含未知数的项的次数为2；(6)只含有一个未知数；(7)不是整式方程；(9)中未知数x 的次数为2．
【总结升华】判断一个方程是否为二元一次方程的依据是二元一次方程的定义，对于比较复杂的方程，可以先化简，再根据定义进行判断．
举一反三：
【变式】（2015春?桃园县校级期末）下列各方程中，是二元一次方程的是（ ）
A ．=y+5x
B ．3x+2y=2x+2y
C ．x=y 2+1
D ．
【答案】D ．
类型二、二元一次方程的解
2.（2016春?吴兴区期末）下列数组中，是二元一次方程x+y=7的解的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【思路点拨】二元一次方程x+y=7的解有无数个，所以此题应该用排除法确定答案，分别代入方程组，使方程左右相等的解才是方程组的解．
【答案】B
【解析】
解：A 、把x=﹣2，y=5代入方程，左边=﹣2+5≠右边，所以不是方程的解；故本选项错误；
B 、把x=3，y=4代入方程，左边=右边=7，所以是方程的解；故本选项正确；
C 、把x=﹣1，y=7代入方程，左边=6≠右边，所以不是方程的解；故本选项错误；
D 、把x=﹣2，y=﹣5代入方程，左边=﹣7≠右边，所以不是方程的解．故本选项错误． 故选B ．
【总结升华】考查二元一次方程的解的定义，要求理解什么是二元一次方程的解，并会把x ，y 的值代入原方程验证二元一次方程的解．
举一反三：
【变式】若方程24ax y -=的一个解是21x y =??
=?，则a= . 【答案】3
3.已知二元一次方程3142
x y +=． (1)用含有x 的代数式表示y ；(2)用含有y 的代数式表示x ；
(3)用适当的数填空，使2_______
x y =-??=?是方程的解．
【思路点拨】用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，就是把要表示的未知数当未知数，把其他的未知数当已知数，然后再将方程变形．
【答案与解析】
解：(1)将方程变形为3y ＝22x -，化y 的系数为1，得236x y =-． (2)将方程变形为232
x y =-，化x 的系数为1，得46x y =-． (3)把x ＝-2代入236
x y =-得， y ＝1． 【总结升华】用含x 的代数式表示y ，其实质表示为“y ＝含x 的代数式”的形式．在进行方程的变形过程中，有效地利用解一元一次方程的方法技巧很重要．
举一反三：
【变式】已知：2x +3y =7，用关于y 的代数式表示x ，用关于x 的代数式表示y ．
【答案】
解：（1）2x =7－3y ， 732y x -=；（2）3y =7－2x ，723
x y -= 类型三、二元一次方程组及方程组的解
4.（2015春?道外区期末）下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C ．
【解析】解：A 是二元二次方程组，故A 不是二元一次方程组；
B 是三元一次方程组，故B 不是二元一次方程组；
C 是二元一次方程组，故C 是二元一次方程组；
D 不是整式方程，故D 不是二元一次方程组；
【总结升华】本题考查了二元一次方程组，含有两个未知数，且每个未知数的次数都是1的方程式二元一次方程，两个二元一次方程组成的方程组．
5.判断下列各组数是否是二元一次方程组4221x y x y +=??+=-?
①②的解． （1）35x y =??=-? （2）21
x y =-??=?
【答案与解析】
解：（1）把35x y =??=-?代入方程①中，左边＝2，右边＝2，所以35x y =??=-?
是方程①的解．
把x ＝3，y ＝-5代入方程②中，左边＝3(5)2+-=-，右边＝1-，左边≠右边，所以35
x y =??=-?不是方程②的解． 所以35x y =??=-?
不是方程组的解． （2）把21x y =-??=?代入方程①中，左边＝-6，右边＝2，所以左边≠右边，所以21
x y =-??=?不
是方程①的解，
再把21x y =-??=?代入方程②中，左边＝x+y ＝-1，右边＝-1，左边＝右边，所以21x y =-??=?
是方程②的解，但由于它不是方程①的解，所以它也不是方程组的解．
【总结升华】检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.
举一反三：
【变式】写出解为12x y =??=-?
的二元一次方程组． 【答案】
解：此题答案不唯一，可先任构造两个以12x y =??
=-?为解的二元一次方程，然后将它们用“{”联立即可，现举一例：
∵ x ＝1，y ＝-2，
∴ x+y ＝1-2＝-1．
2x-5y ＝2×1-5×(-2)＝12．
∴ 12512
x y x y +=-??-=?就是所求的一个二元一次方程组．
注：任选的两个方程，只要其对应系数不成比例，联立起来即为所求．