教材习题4答案部分(p126)
答案4.1
解:将和改写为余弦函数的标准形式,即
2
3
4c o s (190)A 4c o s (190180)A 4c o s (10)A 5s i n (10)A 5c o s (1090)A 5c o s (80)A i t t t i t t t ωωωωωω
=-+?=+?-?=+?=+?=+?-?=-?
电压、电流的有效值为
123100270.7V , 1.414A
22
452.828A , 3.54A
22
U I I I ========
初相位
1
2
3
10,100,10,80u
i i i ψψψψ====-
相位差
1
1
1010090u
i ?ψψ=-=-=- 1
1
u i u i 与正交,滞后于;
2
2
10100u
i ?ψψ=-=?-?= u
与同相;
3
3
10(80)90u
i ?ψψ=-=?--?= u
与正交,u 超前于
答案4.2
()()()().
2222
a 10c o s (10)V -8
b 610a r
c t g 10233.1V ,102c o s (233.1)V -6
-20.8c 0
.220.8a r c t g 20.889.4A ,20.8c o s (89.4)A 0.2
d 30180A ,302c o s (180)A m u t U
u t I i t I i t ωωωω=
-?=+∠=∠?=+?=+∠=∠-?=-?=
∠?=+?
答案6.3
解:(a)利用正弦量的相量表示法的线性性质得:
1
12
21,U I n U I n ==- (b)磁通相量通常用最大值表示,利用正弦量的相量表示法的微分性质得:
m j m U N ω=Φ
(c) 利用正弦量的相量表示法的线性性质与微分性质得:
j U R I L I ω=+
答案4.3
解:电压表和电流表读数为有效值,其比值为阻抗模,即
22()/R L U I ω+=
将已知条件代入,得
2222100V (2π50)15A 100V (2π100)10R L R L ?+??=???
?+??=?Ω?
联立方程,解得
13.7m H ,5.08L R ==Ω
答案4.4 解:
(a) RC 串联电路中电阻电压与电容电压相位正交,各电压有效值关系为
2222
21
5040V 30V U UU =-=-= 电流的有效值为
30V
3A 10C C
U I I X ==
==Ω (b)
302A 60V C C
UX I ==Ω?= 60V
1.2A
50R U I R ===Ω
RC 并联电路中电阻电流与电容电流相位正交,总电流有效值为
2222
21.22.33C R I I I A A =+=
+= (c)
30130C CC
U X I A V ==Ω?= 由
30215C L C L L
L
U V UU X I I A X ==?===Ω 并联电容、电感上电流相位相反,总电流为
1L C I I I A =-=
电阻电压与电容电压相位正交,总电压为:
2222
304050C R U U U V V =+=
+=
答案4.5略 答案4.6
解:设100V R U =
∠,则 S 10A ,1090V (1001090)V 10245V 10245V
2135A j -j 10(102135)A jA 190A R
R L L R R L C C R C U I U jX I R
U U U U I X I I I ==∠==∠=+=∠?+∠?=∠?∠?=
==∠?Ω
=+=∠?+∠?==∠
所求电流有效值为
S 1A I =。
答案4.7
解:电压源和电流源的相量分别为
00
S S
100V ,100A U I =∠=∠ 对节点①和②列相量形式节点电压方程
()1
n 1n 21S 2n 12n 2S 21(j 1S )1S j j 1S j 1S C U U C U g U L U C U I g U ωωωω?
++-?=-??
?-?++=+?
由图可知受控源控制量
21n U U =
解得
n 1n 2
j 10V 10j 10V U U ==- 012
12n n (10j 20)V 22.36116.57V U U U =-=-+=∠ 受控电流源的电压为
()012
22.362c o s 116.57V u t ω=+ 答案4.8
解:相量模型如图(b)所示。
i
U +-
o
U +-
G
G
j C ω+
-U (b )
j C
ω①②
对节点①、②列节点电压方程:
1n n 2i (j j +)j j C C G U C U C U ωωωω
+-= (1) 1
n n 2-j +(j )0C U C G U ωω
+= (2) 联立解得
0n2i 1
903U U =∠ 又因为
n2o U U = 所以
0o i 1
903
U U =∠ 即o u 越前于i u 的相位差为o 90。
答案4.9
解:对含运算放大器的电路宜列写节点电压方程:
33
n 1n 2
111(j 101μF )(j 101u F )01k1k Ω1k Ω
U U ++?-+?=Ω (1) 2o n U U = (2) 由端口特性得
o
1S 10V 2
n U U ==
∠ (3) 将式(2)(3)代入(1)得
V 43.18258.1V 25.0j 5.1o
-∠=-=U 输出电压瞬时值为
()o
1.58c o s 18.43V u t ω=- 答案4.10
解:图示电路容抗
11
11000.01
C
X C ω=-=-Ω=-Ω?, 感抗
(1000.01)1L
X L ω==?Ω=Ω 列节点电压方程
S 1S 2
1
111[]1j (1)11j 1j (1)1n U U U ++=+Ω+-ΩΩΩ+ΩΩ+-ΩΩ
(1) 将
S 1S 2
220V U U ==∠?代入(1)式 解得
1
518.43V n U =∠ 1S 1
2A
1j (1)2n U U I -+=-=Ω+-Ω 电流
c o s (100)A
i t = 答案4.11
解:由阻抗的串、并联等效化简规则得
21j ()
1(j )//()1j 2j ()L R R L C C Z R L R C R L C
ωωωωωω++-=++=
+- 当C L R /=时,由上式得R Z =,且与频率无关。 答案4.12
解:(1)求开路电压O C
U
对图(a)电路列节点电压方程
12121
11
1()S 20A 20j 10j 1011S S 0.1S j 10j 10n n n n U U U U U ?+?-?=∠??--??
?-?+?=??--?(1)(2)
受控源控制量1U 即为节点电压n 1
U
,即
1n1U U = (3) 将式(3)代入式(2)再与式(1)联立解得
n 140V U =-,n 2O C 402135V UU ==∠? (2)求等效阻抗Z 在ab 端外施电压源a b
U
,求输入电流I ,a b
U
与I 的比值即为等效阻抗Z 。
由节点②得
11
11
0.1S 2010U U I I U =-?=-ΩΩ 又
1
a b 1
(20j 10)(20j 10)20
U U I =-Ω=-? 得
1
a b
i
1(20j 10)2022.36153.4311()2010
U
U Z I U -?===∠?Ω- 答案4.13
解:对图(a)电路做戴维南等效,如图(b)所示。
O C U in
Z +
-U
(b)
i j 1/(j )Z L C ωω=
+ (1) S
OC j I U C
ω=
(2) 由图(b)可知,当i 0Z =时,电阻两端电压U 与电阻R 无关,始终等于
O C (0
)U R ≠。 由式(1)解得
1/
100r a d /s L C ω==
将式(3)代入式(2)得
O C
1
100A 1090V j 100r a d /s 0.01F U U ==∠??=∠-?? 102c o s 90V u t ω=-()
答案4.14
解:先对图(a)电路ab 端左侧电路作戴维南等效,如图(b)所示。
R
C
O C U i
Z I
(b )
令
3
2000r a d /s 210H 4L
X L ω
-==??=Ω 得等效阻抗
i
4j 48//8//j 42(1j )4j 4Z Ω?Ω
=ΩΩΩ==+ΩΩ+Ω 由
OC
i 1
j U i Z R C
ω=
++
知,欲使电流有效值为最大,电容的量值须使回路阻抗虚部为零,即:
01
2]j 1Im[=-=++C
C R Z i
ωω 等效后电路如图(b)所示。
解得
1250μF 2C ω
==
答案4.15
解:应用分压公式,输出电压o
U
可表示为
o n 1n 2
U U U =- i i 1
j 12j U C U R C
ωω=-?+
i i i j 1
21j 2(j 1)U U C R U C R C R ωωω-=-=++
当 0=R , o U 超前于U 180; 当 1
R C ω=,o U 超前于U ?90;
当 ∞→R , o U 与U 同相位。
即当R 由零变到无穷时,o
U 超前于U 相位差从180到0变化。
答案4.16略
答案4.17略
答案4.18略
答案4.19
解:网络N 的等效阻抗
(10j 10)//(j 20)(10j 10)(j 20)(10j 10)(j 20)20010j 10j 2010j 10
Z '=+Ω-Ω
+?-+?-=Ω=Ω=∠Ω
+-- 输入电流
2A 30U
I Z
=
='+ 网络N 的平均功率为
2'2
R e [](2A )2080W
P I Z =?=?Ω= 无功功率
2'2
I m [](2A )00
Q I Z =?=?= 功率因数
c o s c o s 01λ?=== 视在功率
/c o s 80V A
S P ?== 答案4.20
解:等效阻抗
2236V 3.610A
L U Z R X I ==+==Ω (1) 由平均功率R I P 2=得
22
288W 2.88(10A )
P R I ===Ω 将式(2)代入式((1)解得
2
2223.62.882.16L
X Z R =-=-Ω=Ω 所以等效阻抗为
j (2.88j 2.16)L
Z R X =+=+Ω 当314r a d /s ω=时,负载的等效电阻和等效电感分别为
2.88R =Ω,2.166.88m H
314r a d /s
L X L ωΩ=== 注释:功率表的读数等于电压线圈电压有效值、电流线圈电流有效值及电压与电流相位差夹角余弦三者之积。
答案4.21
解:方法一:
平均功率11c
o s P U I ?=,可推出电压与电流的相位差? 11
500W a r c c o s a r c c o s
60
100V 10A
P
U I ??
===? 设1100A I ?=∠,则110060V U ?
=
∠ 负载端电压相量
()211
5j 536.690V U U I ?
=-Ω+Ω=∠ 有效值为
23
6.6V U = 负载阻抗
L 21
/j 3.66Z U I ==Ω 方法二:
图(a)电路可表示成图(b)形式。
Ω
5j Ω
51
U 1I R X
(b )
电源输出的平均功率等于所有电阻吸收的平均功率,由此得
22
(5)10(5)
P I R R =Ω+=Ω+500W = 解得
0R =
又因
2211
100(5)(5)10U Z R X I ==+++= 解得 3.66X =Ω
所以负载阻抗
j j 3.66Z R X =+=Ω 负载端电压
213.66V U I Z ==
答案4.22略
答案4.23
解:功率表的读数等于电压线圈电压有效值、电流线圈电流有效值以及上述电压、电流相位差夹角余弦三者之积。对图示电路,功率表读数表达式为
2
W a b2A B c o s R e []P U I UI ?*
== (1) 下面分别计算2ab I U 和。设1000V
U ?
=∠,端口等效阻抗 ()()i 30(j 20)//(10j 10)j 2010j 103050j 2010j 10Z =
Ω+-Ω+Ω-Ω?+Ω=Ω+=Ω
-Ω++Ω
1i /20A I U Z ?
==
∠ 由分流公式得
()()1
2
j 202j 2A j 2010j 10I I -Ω==--Ω++Ω (2) 则
()a b 12
301080j 20V U I I =Ω?+Ω?=- (3) 将式(2)、(3)代入式(1)得功率表的读数为
()()2W A B
R e []R e [80j 202j 2]200W P U I *
==-+= 说明:本题功率表的读数也等于两个电阻吸收的平均功率之和,但这是由于
题中已知条件导致的一种巧合。
答案4.24略
答案4.25略
答案4.26
解:电路总平均功率为
40W 10040W 1008000W P PP =+=?+?=日光灯白炽灯
日光灯的功率因数角
()
a r c c o s0.560?==?
白炽灯的功率因数为1,不存在无功功率,因此两种灯的总无功功率为:
t g 6928.2v a r Q P ?
=?=日光灯
视在功率
22
10583V A
S P Q =+= 总电流
/48.1A
I S U == 总功率因数
/0.756
P S λ== 并联电容后,电路的功率因数角为
a r c c o s 0.925.84?'==?
电容的并联接入不改变平均功率,而无功功率变为
t g 3874.58v a r
Q P ?
''== 并联电容后总功率的变化量等于电容上的无功功率,即
3053.6v a r C
Q Q Q '=-=- 因为2
C Q C U ω=-
,所以 ()()
22
3053.6v a r
201F 2π50r a d /s 220V C Q C U μω-===?? 并联电容后的总电流为: 8000W 40.40A
220V 0.9
P I U λ'==='? 答案4.27
解:设
11
2000V a r c c o s 0.836.86U ?
?
=∠==, ()()1
11111
1C 115A 536.86A /(j 100)j 2A 4j A 4.1214.0410240j 10V 240.22.394.12A 240.2V
C P I I I U I U I I I U I U I U ?λ===∠-=
∠-=-Ω==+=-=∠-=+=
-=∠-==,,, 答案4.28
解:对原电路做戴维南等效,如图(b )所示。
Z
S
u Ω
2F 1μF
5.0μr i
i
O C
U Z
i
Z (b )
(a )
(1)求输入阻抗,由图(c )得:
Ω
2I
Ω
-2j I
r Ω-j +
-x
U Ω2I
+
-
U Ω-2j I
r Ω-j +
-
O C
U S
U
(c )
(d )
①
1I 2
I x
I
12i i
j (1j )113j
()()()2j 222(1j )j (0.8j 0.4)1(3j )2
x x x
i x U I r I I I I I I I j I I U I Z R X I I
=-
Ω?+=-Ω?=++=+-Ω??+=-Ω-Ω-Ω=+===-Ω-
(2)求开路电压,如图(d )所示:
O C S
S S 2//(j 2)2//(j 2)(j )2//(j 2)(j )1j (0.4j 0.2)2V =0.21026.57V 1j 3
U U r I U U r U =
-Ω-Ω=-Ω-Ω+-ΩΩ-Ω+-Ω+==-∠-+ (3)求最大功率:
根据最大功率传输定理,当i (0.8j 0.4)L Z Z *
==
+Ω时,L
Z 可获得最大功率:
22O C m a x i
(0.210)W 0.125W 440.8U P R ===? 答案4.29
解:L 、C 及2R 的等效阻抗
2L
2/(j )j 1/(j )R C Z L R C ωωω=++
当L 、C 改变时,L
Z
的实部及虚部均发生变化,根据最大功率传输定理知,
当L S Z R *
=,2R 可获得最大功率, 即
2S 2222221()01()R R R C R C L R C ωωωω?
=?+???-=?+?
联立解得
2S 2
2S /10.0194F 0.485m H R R C R L R RC μω?-=
=???==?
此时
2
S
m a x
S 1V 2m W 44125U P R ===?Ω
答案4.30略
答案4.31略 答案4.32略 答案4.33略 答案4.34
解:方法一:
设o
1200V
U =∠,各支路电流如图(a)所示 1
R 3R 3
j X 2
j X 1
j X *
*
M
X j -
+U A B
1
I
2I 3I (a)
列支路电流方程如下:
12311112122122333j j j j j j (j )M M M I I I U R I X I X I X I XI X I XI R X I ?=+?=++++??+=+?
解得
14.2749.04A I =∠-?,2
1.911712
2.475A I =∠-?。 A B 1111M2
j j 83.636.58V U R I X I X I =++=∠-
所以电压有效值为
A B 83.63V U =
方法二:
应用互感消去法,图(a)电路可等效成图(b)所示。
1
R 3
R 3
j X -
+U A B
(b)
j M
X -m 1
I m 2
I 1j()
M X X +2j()
M X X +
列网孔电流方法
112m 12m 2
2m 1332[j ()j ()]j ()j ()[j j j ()]0M M M M M M R X X X X I X X I U X X I X R XX X ?++++-+=?-++-++++=?(1)(2) 将已知条件代入,得
12
12
(12j 34)161200V -j 16(8j 16)0I j I I I ?+Ω-Ω=∠?
Ω++=? 解得
m 1m 2A B 11m 1m 24.2749.04A 3.8222.47A [j ()](j )M M I I U R X X I X I =
∠-=
∠-=+++-
83.636.58V =∠-
所以有效值
A B 83.63V U =
。 注释:对含互感的电路宜用支路电流法或回路电流法列写方程。
答案4.35
答案4.36
解:应用支路电流法,如图所示
**M
1
L
2
L R
S
u i 1
i 1l 2
l
列KVL 方程
1211j j j
j S S M I L I R I U M I L I U ωωωω?++=?
+=?(1)(2)
方程(1)乘L ,方程(2)乘M ,二者相减消去得电流I 与输入电压S
U
的关系
表达式
1S
2
112()j ()L M U I R L L L M ω-=+-
由上式可见:当12M L L =即互感为全耦合时,1S 1
L M I U RL -=,I 与S
U 同相且与频率无关。i 的有效值为
S 11
()/()I U L MR L =- 答案4.37
解:由理想变压器的阻抗变换关系得
2L L
Z n Z '= 当变比n 改变时Z '的模改变而阻抗角不变,此时获得最大功率条件是模匹
配,即
2
L S L R Z nZ '==
由此求得:
2
S 22L
5141612R n Z Ω===+Ω
5.0=n
设0
1000V S U =
∠,则理想变压器原端电流: 1
L
1000101018.4A 54j 33S
S U I R Z ∠?===∠-?'+++ 副端电流为 21
5
10-18.4A 3
I n I =-=-∠ 负载吸收的最大平均功率为
22
m a x 2
51016()16444.44W 3
P I =?Ω=?= 答案4.38
解:方法一:
*
*
S
U 1R (b )
1
I 1
j L ω2j L ωM
ωj +
_
O C
U *
*
1
L 2
L M
S
U L
Z 1R (a )
由12
M
k L L =
得 12
0.211H 0.2H M kL L ==?=
(1)求开路电压,电路如图(b)所示。
S 1111111
j (j )U R I L I R L I ωω
=+=+
可得
S
11120V 20V 245A j (10j 10)10245A U I R L ω
??
====∠-++Ω∠ (1)
O C 1j U M I ω=,
将(1)式代入,得
O C j 100.2245V 2245V U ??
=???∠-=∠ 2
i 211
()
j (0.2j 9.8)j M Z L R L ωωω=+=
+Ω+ 方法二:
L
Z (d )
o c
U i
Z 'L
Z (c )
图(a)电路从ab 端口看进去,可等效成电感与阻抗串联电路,如图(d)所示。 令
2
L 11
2L ()j j M Z R L L Z ωωω'==-+
得L
(0.2j 9.8)Z =-Ω时,负载消耗功率最大。
22S
m a x 1
(20V )10W 4410U P R =
==?Ω