数理统计例题(1)
例题解析（1）
例1设随机变量X 和Y 相互独立，),(~),,(~2
22211σμσμN Y N X 。
1621,,,X X X 是X 的一个样本，1021,,,Y Y Y 是Y 的一个样本，测得数据
∑∑∑∑========10
1
2
10
1
16
1
2
16
1
72,18,563,84i i i i i i
i i y y x x
（1）分别求21,μμ的矩估计量；（2）分别求2
221σσ，的极大似然估计值； （3）在显著水平05.0=α下检验假设 2
2210σσ≤：H ，22211σσ>：H 。
解 （1）用样本一阶原点矩估计总体一阶矩，即得1μ和2μ的矩估计值：
8.1101?,25.5161?10
1
21611=====∑∑==i i i i y x x μμ
。 （2）正态总体),(~2σμN X 的参数2σ的极大似然估计量为
∑=-==n i i X X n 1
22
)(1?σ
。因此2
221σσ和的极大似然估计值为 625.716161)(161?1611222
21
=??
? ??-=-=∑∑==i n i i i x x x x σ
96.316101)(101?1011222
22
=??
? ??-=-==∑∑==i n i i i y y y y σ
（3）是21,μμ未知，双总体方差的假设检验。待检假设2
2210σσ≤：H ； 2
2
211σσ>：H ，是在05.0=α下的单侧检验。 因为4.4)(91,31.8)(1511
21221221
=-==-=∑∑==n i n i i y y S x x S 。所以F 同机量得 值
847.14.415
.822
21===S S F
查F 分布表，得01.391505.0=），（F .经比较知，01.3)9,15(847.105.0=<=F F ，故接
受0H ，认为2
221σσ不比大。
例2 有三台机器，生产同一种规格的铝合金薄板，测量三台机器所生产的 薄板厚度（单位：厘米），得结果如表所示。
机器1 机器2 机器3 0.236 0.257 0.258 0.238 0.253 0.264 0.248 0.255 0.259 0.245 0.254 0.267 0.243 0.261 0.262
试考察机器对薄板厚度有无显著的影响）（05.0=α。
解 检验假设3210μμμ==：H 。i μ是各台机器生产的薄板总体的均值。 经计算15,5,3321=====n n n n s ，
8102.4,8.3,963912.03
1
23
15
1
2
===∑∑∑=?==j j j i ij
T T x 。
3
001245.015
12
315
1
2
=-
=∑∑==T x S j i ij T ， 3
001053.015151312
2 =-=∑=?j j A T T S , 000192.0=-=E T E S S S .
因为92.3293.821205.0=<=比），（F F ，故拒绝0H ，认为各台机器生产的薄板厚度有显著差异。
在进行方差分析时，还常要对未知参数进行估计。下面写出常用的几个估计：
①s
n S E
-=2?σ
是的无偏估计。 ②j j x x ?==μμ
?,?分别是j μμ,的无偏估计。 ③x x j j -=?σ
?是j δ的无偏估计，且∑=0j j n δ。
④两总体),.(2σμj N 与),(2σμK N 的均差值k j μμ-的置信度为α-1的置信区间为
))11()((2k j E k j n n S s n t x x +--??α 。
例3 求上例中未知参数j j δμσ，，2的点估计及均值差的置信度为0.95的 置信区间。
解 000016.03
15000192
.0?2=-=-=s n S E σ
， 262.0??256.0?240.0?332211======???x x x μ
μμ，，， 011.0?253.0?1-=-===?x x x δμ，， 又由1788.2315025.0=-）（t ，
36
10256.15
2
101611--?=??=+k
j E n n S （， 知0055.01112025.0=+k j E n n S t （）（，
故323121μμμμμμ---及，的置信度为0.95的置信区间分别为
（0.242-0.256 0.0055）=（-0.0195，-0.0085）， （0.242-0.262 0.0055）=（-0.0255，-0.0145）， （0.256-0.262 0.0055）=（-0.0115，-0.0005）。
例4 某工厂在生产一种产品时使用了三种不同的催化剂和四种不同的原
试在05.0=α下检验不同催化剂和原料对压强有无显著影响。
解 设i α为因素A 在水平i A 的效应，j β为因素B 在水平j β的效应。待检验 假设
032101===ααα：H ，
0432102====χβββ：H 。
因为43==s r ，，所以
67.984364
31159402
=??-=）（T S ，
17.2543643163466412
=??-?=）（A S ，
34.693644
3147732312
=??-?=）（B S ，
16.4=--=B A T E S S S S 。 列出方差分析表如下
因为35.3376.4)6,3(16.18145.62(05.005.0=<==<=比比，），F F F F ，所以拒绝
01H 和02H ，认为催化剂和原料的影响都是显著的。
例5 设关于某设备的使用年限x 和支出的维修费用（单位：千元）y 如下 所示：
求（1
）关于x 的回归方程，2σ的无偏估计；
（2）检验回归是否显著，并求7=x 时，维修费用y 的0.95预测区间。 解 （1）左散点图（略），数据分布呈直线趋势。列计算表：
并计算下列数据：
，
）（1020519012
11
2=?-=??? ??-=∑∑==n i i n
i i
xx x n x l 3
.12252051
3.1121111
=??-=??? ????? ??-=∑∑∑===n i i n i i n
i i i xy y x n y x l 78.15255178.14012
2
11
2=?-=??? ??-=∑∑==）（n i i n
i i yy
y n y l ，
解得 23.110
3.12?===xx xy l l b
， 08.0423.15?1?1
=?-=-=∑=x b y n a
n
i i 。 所以，线性回归方程为
x y
23.108.0?+=。 2σ的无偏估计为
8837.0)3.11223.178.140(3
1)?(21?2=?-=--=xy
yy l b l n σ
。 （2）将70=x 代入回归方程得69.8?0=y
。 因为35.2)3(,5025.0==t n ，所以0y 的置信度为0.95的置信区间为
))(11?)2(?2020xx l x x n n t y
-++-±σα（ )893.11,487.5()45.194.035.269.8(=??±=。
计算t 统计量
187.13908837
.023
.1??===xx l b t σ。 因为187.131824.3)3(025.0=<=t t ，故知回归效果是显著的。
例6（单因素方差分析）下表给出了小白鼠在接种三种不同菌型伤寒杆菌后的存
活天数，问
三种菌型的平均存活天数有无显著差异？
表4-3
计算：222.6,444.7,22.7,4321====X X X X
()()8889.66)168(27
144894225129691271)(9111224
53351517667
,65,3622
12
322211212
3219
12
3219
1
=-++=??? ??-++=??? ??-==++=++=====?=∑∑∑
∑∑=====r
i i r i i r
i i
i
A j ij i j ij i S S S S S n n S Q SS SS SS x SS S S S x S
()6667.1788889.667778.1117778.1112222.11125335151769
3
12
3
1=+=+==-+
+=-=∑∑==A E T i i i i E Q Q Q S SS Q 列成表格 如下，其中，27,3==n r 657
.424
7778.1114445.332
8889
.6612
2==-===-=
r n Q S r Q S E E A A
1809.76574
.44445.33220===E A S S F ，查表 ()40.324,205.0=F
对给定的显著水平05.0=α，查表
,
40.3)24,2(05.0=F 因
40.3)24,2(1809.705.0=>=F F ，故拒绝0H ，即认为这三种不同菌型的伤寒杆菌的平均存活天数有显著差异。
关于未知求2σ， i μ，i δ（i ＝1,2,3）的参数估计
2
?σ＝6574.42
==-E E S r n Q
222.2222.6000.4?11-=-=-=X X δ 000.1222.6222.7?2
2=-=-=X X δ 222.1222.6444.7?3
3=-=-=X X δ i μ的区间估计
26
.4)24,1(),1(05.005.0==-F r n F
i μ的置信区间为
（)),1(2r n F n S X i
E
i -α
)),1(2r n F n S i
E
-α=9/657.4X 26.4=3.065
置信区间为的，，%95321μμμ
(0.936,7.065), (4.158,10.287), (4.380,10.509)
的置信区间为的－均值之差αμμ-1k i （2
2
i 11)
(E
k
i k S n n r n t X X +-α －） )(2
r n t -α=0624.2)24(025.0=t
)
(2
r n t -α211E k
i S n n +=2.0640100.265.49
2
=??
的置信区间为
的－，95%,323,121μμμμμμ--∴ （－5.322， －1.123）；（－5.544， －1.345）； （－2.322， 1.878）
例7.（正交试验）为了制造轴承，寻求新钢种最佳等温淬火工艺。考察试验指标是径向抗压负荷与硬度，对试验指标有影响的主要因素：加热温度（单位：C 0），
等温温度
（单位：C 0），淬火返修次数（单位：次），将因素列如下表。
因为是3元素3水平，选择正交表)3(49L 合适。
确定试验方案 在上表中，每一个横行就代表了一个试验条件，共有9个试验条件。等1号试验条件是：加热温度是900C 0（1A ），等温温度是250C 0（)1B ，返修次数是2次（3C ），记作为 311C B A ，类似地第2号试验条件是 ,112C B A ，第9号试验条件是333C B A 。
试验方案的实施 按正交表中的试验条件严格操作。将各次的试验结果记录下并列如下表中。
其中 jk T ——第j 列因素水平)3,2,1(=k k ，3
jk jk T T =——第j 列因素水平k 的
3次试验指标的平均
例 ,6.194.87.55.5)(11=++=负荷T 对因素B ，有硬度25.573/)325.57(23=?=T 。
2.633
1
==∑=k jk j
T S （负荷）——各因素的3个水平的负荷之和
15.5831)(3
1
==∑=k jk j T S 硬度——各元素的3个水平平均硬度。
)(负荷j R ={
}{}3
13
1min max ≤≤≤≤-k jk jk k T T j R （硬度）={
}{}jk k jk k T T 3
13
1min max ≤≤≤≤-
正交试验结果的分析
1.直接看：（1）比较9次试验的负荷：抗压负荷最高的试验条件是232C B A ，
即第8号试验，其次是131C B A （第7号试验），123C B A （第6号试验），112C B A （第2号试验）。（2）再比较9次试验的硬度是：硬度的高低主要取决于等温温度，加热温度和返修次数对硬度无明明显影响。综合考虑，等2号试验的条件问好。 2.计算分析；（1）负荷 因素A 平均负荷是C T 01288067.7→=
因素B 平均负荷是27.823=T 因素C 平均负荷是87.731=T
由此分析出132C B A 是最好的试验条件。但这个条件在表中没有出现。 类似 （1）硬度——C AB 1
根据每个因素对试验指标的影响不同，区分出主次。由上表可见 主——————— 次
负荷??
?C
C
A C
B 0
8800270次
水平因素
硬度???各水平
各水平
水平因素
250C
C A B
用极差大小来区分主次：若某因素的极越大，则该因素对指标的影响就越大。结果可以看出是因素B 。综合平衡考虑：硬度不能低于)(58HRC
在这一条件下高负荷的好水平组合为122C B A 。试验结果的分析很分别的在正交表中进行。 3.方差分析
这是3元素3水平的无重复试验设计问题。
其效应模型为
是相互独立
各约束条件i j k i j k k k j j i i
i j k k j i i j k N Y εσεγβα
εγβαμ),,0(~0,0,023
1
31
3
1
--===++++=∑∑∑===
设921,,,Y Y Y 表示从第1号试验到第9号试验的试验指标。 具体效应模型表示如下
9
33398232871317612365322542214321332112213111εγβαμεγβαμεγβαμεγβαμεγβαμεγβαμεγβαμεγβαμεγβαμ++++=++++=++++=++++=++++=++++=++++=++++=++++=Y Y Y Y Y Y Y Y Y
检验假设 0
:0:0
:321033210232101=========γγγβββαααH H H
总离差平方()∑∑===-=4
1
9
1
2
j j i i t SS Y Y SS
其中j SS ——第j 列的离差平方和，由于正交表具有均衡分散性和综合可
比性的特点，所以2
91312
9
1)(913133∑∑∑===-=???
? ?
?-=i i i jr r jr
j Y T Y T SS ()??????
??????????? ??-+++??? ??-+++???
?
?-++=??
? ??-+??? ??-+??? ??-=∑∑∑===29
19632918
522917412
132
1221119139139133]
333[3i i i i i i Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y E Y T
Y T Y T E SS E =()
22
3222123σααα+++
同理 ()()
2232221223σβββ+++=SS E ()()
2232221323σγγγ+++=SS E
()242σ=SS E
记A SS SS =1——为因素A 的平方和 B SS SS =2——为因素B 的平方和
C SS SS =3——为因素C 的平方和。 4SS ——1C SS 则
χ
σχσ~),
13(~2
22
1
C C
SS SS -)13(~),
13(~),
19(~22
22
22
---χσχσχσB
A
t
SS SS SS
)13(~22-χσC SS ，)13(~221-χσC SS
当01H 为真时，检验统计量)2,2(~2
/2
/1F SS SS F C A A =
分布；
当02H 为真时，检验统计量)2,2(~2
/2
/1F SS SS F C B B =
分布；
当03H 为真时，检验统计量)2,2(~2
/2
/1F SS SS F C C C =
分布。
若给定显著系性水平α，拒绝域()2,2αF F ≥， 当拒绝01H ，则认为因素A 对试验指标有显著影响； 当拒绝02H ，则认为因素B 对试验指标有显著影响； 当拒绝03H ，则认为因素C 对试验指标有显著影响；
利用正交表进行方差分析时，要确定自由度可以用如下方法。
t SS n f =-=1）总试验组数（总；
正交表每列的自由度
正交表总的自由度1-=该列数字种数列f
即每个因素平方和的自由度1-=该因素水平数因素f 正交表总的自由度=各自由度之和，即∑=列总f f ； 正交表空白列的自由度=误差平方和的自由度。
若无空白列，则将最小的离差平方和作为误差平方和，即 {}j k
j C SS SS ≤≤=1min 1。
将例7的关于抗压负荷的方差列如下表
效应是未知参数，应先求效应估计值，效应估计值大的所对应的水平是好
水平。
前面已经分析过因素C A ,对试验指标的影响不显著，可以认为
0,0321321======γγγααα，所以
()()()()()()3
987232654221
32121333333βμβμβμ+=++=+=++=+=++=Y Y Y E T E Y Y Y E T E Y Y Y E T E 由于Y =μ
? 所以Y T Y T Y T -=-=-=3?,3?,?233222211βββ， 比较3
21?,?,?βββ的大小，只需比较232221,,T T T 的大小，得出 80.2423=T 最大，故因素B 的3水平是好水平。结合直接看和计算分析，确定好的工艺条件为132C B A
数理统计习题数理统计练习题
数理统计 一、填空题 1．设n X X X ,,21为母体X 的一个子样，如果),,(21n X X X g ， 则称),,(21n X X X g 为统计量。 2．设母体 ),,(~2 N X 已知，则在求均值 的区间估计时，使用的随机变量为 3．设母体X 服从方差为1的正态分布，根据来自母体的容量为100的子样，测得子样均值为5，则X 的数学期望的置信水平为95%的置信区间为 。 4．假设检验的统计思想是 。 小概率事件在一次试验中不会发生 5．某产品以往废品率不高于5%，今抽取一个子样检验这批产品废品率是否高于5%， 此问题的原假设为 。 6．某地区的年降雨量),(~2 N X ，现对其年降雨量连续进行5次观察，得数据为： (单位：mm) 587 672 701 640 650 ，则2 的矩估计值为 。 7．设两个相互独立的子样2121,,,X X X 与51,,Y Y 分别取自正态母体)2,1(2 N 与 )1,2(N ， 22 21,S S 分别是两个子样的方差，令2 2222121)(,S b a aS ，已知)4(~),20(~22 2221 ，则__________, b a 。 8．假设随机变量)(~n t X ，则 2 1 X 服从分布 。 9．假设随机变量),10(~t X 已知05.0)(2 X P ，则____ 。 10．设子样1621,,,X X X 来自标准正态分布母体)1,0(N ， X 为子样均值，而 01.0)( X P ， 则____ 11．假设子样1621,,,X X X 来自正态母体),(2 N ，令 16 11 10 1 43 i i i i X X Y ，则Y 的 分布
概率与数理统计典型例题
《概率与数理统计》 第一章 随机事件与概率 典型例题 一、利用概率的性质、事件间的关系和运算律进行求解 1.设,,A B C 为三个事件，且()0.9,()0.97P A B P A B C ==U U U ，则()________.P AB C -= 2.设,A B 为两个任意事件，证明：1|()()()|.4 P AB P A P B -≤ 二、古典概型与几何概型的概率计算 1.袋中有a 个红球，b 个白球，现从袋中每次任取一球，取后不放回，试求第k 次 取到红球的概率.（a a b +） 2.从数字1,2,,9L 中可重复地任取n 次，试求所取的n 个数的乘积能被10整除的 概率.（58419n n n n +--） 3.50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱，每个部件用3只铆钉，若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太 弱，从而成为不合格品，试求10个部件都是合格品的概率.（19591960 ） 4.掷n 颗骰子，求出现最大的点数为5的概率. 5.（配对问题）某人写了n 封信给不同的n 个人，并在n 个信封上写好了各人的地址，现在每个信封里随意地塞进一封信，试求至少有一封信放对了信封的概率. （01(1)! n k k k =-∑）
6.在线段AD上任取两点,B C，在,B C处折断而得三条线段，求“这三条线段能构成三角形”的概率.（0.25） 7.从(0,1)中任取两个数，试求这两个数之和小于1，且其积小于 3 16 的概率. （13 ln3 416 +） 三、事件独立性 1.设事件A与B独立，且两个事件仅发生一个的概率都是 3 16 ，试求() P A. 2.甲、乙两人轮流投篮，甲先投，且甲每轮只投一次，而乙每轮可投两次，先投 中者为胜.已知甲、乙每次投篮的命中率分别为p和1 3 .（1）求甲取胜的概率； （2）p求何值时，甲、乙两人的胜负概率相同？（ 95 ; 5414 p p p = + ） 四、条件概率与积事件概率的计算 1.已知10件产品中有2件次品，现从中取产品两次，每次取一件，去后不放回，求下列事件的概率：（1）两次均取到正品；（2）在第一次取到正品的条件下第二次取到正品；（3）第二次取到正品；（4）两次中恰有一次取到正品；（5）两次中 至少有一次取到正品.（28741644 ;;;; 45954545 ） 2.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的数字不再重复，试求下列事件的概率：（1）拨号不超过3次而接通电话；（2）第3次拨号才接通电话.（0.3；0.1） 五、全概率公式和贝叶斯公式概型 1.假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件为一等品；第二箱内装30件，其中18件为一等品，现从两箱中随意挑选出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回），试求：（1）先取出的零件是一等品的概率；（2）在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品 的概率.（2690 ; 51421 ） 2.有100个零件，其中90个一等品，10个二等品，随机地取2个,安装在一台设备上，若2个零件中有i个（0,1,2 i=）二等品，则该设备的使用寿命服从参
数理统计试题及答案
数理统计考试试卷 一、填空题(本题15分,每题3分) 1、总体得容量分别为10,15得两独立样本均值差________; 2、设为取自总体得一个样本,若已知,则=________; 3、设总体,若与均未知,为样本容量,总体均值得置信水平为得置信区间为,则得值为________; 4、设为取自总体得一个样本,对于给定得显著性水平,已知关于检验得拒绝域为2≤,则相应得 备择假设为________; 5、设总体,已知,在显著性水平0、05下,检验假设,,拒绝域就是________。 1、; 2、0、01; 3、; 4、; 5、。 二、选择题(本题15分,每题3分) 1、设就是取自总体得一个样本,就是未知参数,以下函数就是统计量得为( )。 (A) (B) (C) (D) 2、设为取自总体得样本,为样本均值,,则服从自由度为得分布得统计量为( )。 (A) (B) (C) (D) 3、设就是来自总体得样本,存在, , 则( )。 (A)就是得矩估计(B)就是得极大似然估计 (C)就是得无偏估计与相合估计(D)作为得估计其优良性与分布有关 4、设总体相互独立,样本容量分别为,样本方差分别为,在显著性水平下,检验得拒绝域为( )。 (A) (B) (C) (D) 5、设总体,已知,未知,就是来自总体得样本观察值,已知得置信水平为0、95得置信区间为(4、71,5、69),则取显著性水平时,检验假设得结果就是( )。 (A)不能确定(B)接受(C)拒绝(D)条件不足无法检验 1、B; 2、D; 3、C; 4、A; 5、B、 三、(本题14分) 设随机变量X得概率密度为:,其中未知 参数,就是来自得样本,求(1)得矩估计;(2)得极大似然估计。 解:(1) , 令,得为参数得矩估计量。 (2)似然函数为:, 而就是得单调减少函数,所以得极大似然估计量为。 四、(本题14分)设总体,且就是样本观察值,样本方差,
硕士生《数理统计》例题及答案
《数理统计》例题 1.设总体X 的概率密度函数为： 2 2 1)(ββ x e x f -= )0(>β 试用矩法和极大似然法估计其中的未知参数β。 解：（1）矩法 由于EX 为0， πβββββ βββββββ2 00 2 2 2 22 2 1][) ()2 (2) ()2(21 2)(2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = +-=- =- - ===???? ?∞ +-∞+- ∞ +- - ∞ +- ∞ ++∞ ∞ -dx e xe e d x x d xe dx e x dx x f x EX x x x x x πβ2 222 1= -=X E EX DX 令2S DX =得：S π β2 ?= （2）极大似然法 ∑= ==- =- ∏ n i i i x n n i x e e L 1 2 22 2 1 11 1 β ββ β ∑=- -=n i i x n L 1 22 1 ln ln ββ 2 31 ln 2n i i d L n x d βββ==-+∑ 令0ln =β d L d 得∑==n i i x n 1 2 2?β
2. 设总体X 的概率密度函数为： ?? ???<≥--=αα βαββαφx x x x ,0),/)(exp(1 ),;( 其中β>0，现从总体X 中抽取一组样本，其观测值为（2.21，2.23，2.25，2.16，2.14，2.25，2.22，2.12，2.05，2.13）。试分别用矩法和极大似然法估计其未知参数βα和。 解：（1）矩法 经统计得：063.0,176.2==S X β αβαβ φα β α α β ααβ α β α α β α α +=-=+-=-===∞ +-- ∞ +-- ∞ +-- -- ∞ +-- ∞ +∞ +∞-?? ? ?x x x x x e dx e xe e xd dx e x dx x x EX ][) (1 )( ) (222][) (1 222 22 2βαβαβαβ β α α αβ α β α α β α α ++=+=+-=-==--∞ +∞ +-- --∞ +-- ∞ +?? ?EX dx e x e x e d x dx e x EX x x x x 222)(β=-=EX EX DX 令???==2S DX X EX 即???==+2 2S X ββα 故063.0?,116.2?===-=S S X βα （2）极大似然法 ) (1 1 1),;(αβ β α β β βα---- == =∏X n n X n i e e x L i )(ln ln αβ β-- -=X n n L )(ln ,0ln 2αβ βββα-+-=??>=??X n n L n L 因为lnL 是L 的增函数，又12,,,n X X X α≥L 所以05.2?)1(==X α
数理统计复习题第五章
第五章 大数定律与中心极限定理 一、 典型题解 例1设随机变量X 的数学期望()(){}2,3E X u D X X u σσ==-≥方差，求P 的大小区间。 解 令3εσ=，则有切比雪夫不等式有： ()() ()22 221 ,339D X P X E X P X E X σεσεσ????-≥≤ -≥≤=????有 例2在n 次独立试验中，设事件A 在第i 次试验中发生的概率为()1,2,....i p i n = 试证明：A 发生的频率稳定于概率的平均值。 证 设X 表示n 次试验中A 发生的次数，引入新的随机变量0i A X A ?=??1,发生? ，不发生 ()12,...i n =， ，则X 服从()01-分布，故 ()()(),1i i i i i i i E X p D X p p p q ==-=， 又因为 () ()2 2 4140i i i i i i i i p q p q p q p q -=+-=-≥， 所以 ()()1 1,2, (4) i i i D X p q i n =≤ = 由切比雪夫大数定理，对,o ε?>有()11lim 1n i i n i p X E X n ε→∞ =?? -<=???????? ∑ 即 11lim 1n i n i X p p n n ε→∞ =?? -<=???? ∑ 例 3 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学 生无家长，1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为。若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布。（1）求参加会议的家长数X 超过450的概率；（2）求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率。 解（1）以()400,,2,1 =k X k 记第k 个学生来参加会议的家长数，则k X 的分布律为 k X 0 1 2 k P 0.05 0.8 0.15
概率论与数理统计题库及答案
概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成 立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （ ）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）．
数理统计试题及答案
一、填空题（本题15分，每题3分） 1、总体得容量分别为10，15得两独立样本均值差________； 2、设为取自总体得一个样本，若已知,则=________； 3、设总体，若与均未知，为样本容量，总体均值得置信水平为得置信区间为，则得值为________； 4、设为取自总体得一个样本，对于给定得显著性水平，已知关于检验得拒绝域为2≤，则相应得备择假设为________； 5、设总体，已知，在显著性水平0、05下，检验假设,，拒绝域就是________。 1、； 2、0、01； 3、； 4、； 5、。 二、选择题（本题15分，每题3分） 1、设就是取自总体得一个样本，就是未知参数，以下函数就是统计量得为（ ）。 （A ） （B ） （C ） （D ） 2、设为取自总体得样本，为样本均值，，则服从自由度为得分布得统计量为（ ）。 （A ） （B ） （C ） （D ） 3、设就是来自总体得样本，存在， , 则（ ）。 （A ）就是得矩估计 （B ）就是得极大似然估计 （C ）就是得无偏估计与相合估计 （D ）作为得估计其优良性与分布有关 4、设总体相互独立，样本容量分别为，样本方差分别为，在显著性水平下，检验得拒绝域为（ ）。 （A ） （B ） （C ） （D ） 5、设总体，已知，未知，就是来自总体得样本观察值，已知得置信水平为0、95得置信区间为（4、71，5、69），则取显著性水平时，检验假设得结果就是（ ）。 （A ）不能确定 （B ）接受 （C ）拒绝 （D ）条件不足无法检验 1、B ； 2、D ； 3、C ； 4、A ； 5、B 、 三、（本题14分） 设随机变量X 得概率密度为：，其中未知 参数，就是来自得样本，求（1）得矩估计；（2）得极大似然估计。 解：(1) θθθ322)()(022 ===??∞+∞-x d x x d x f x X E ， 令，得为参数得矩估计量。 (2)似然函数为：),,2,1(,022),(1212n i x x x x L i n i i n n n i i i Λ=<<==∏∏==θθθθ， ， 而就是得单调减少函数，所以得极大似然估计量为。
数理统计复习题第八章
第七章 假设检验 三、典型题解 例1：某车间用一台包装机包装葡萄糖, 包得的袋装糖重是一个随机变量, 它服从正态分布.当机器正常时, 其均值为0.5千克, 标准差为0.015千克.某日开工后为检验包装机是否正常, 随机地抽取它所包装的糖9袋, 称得净重为(千克): 0.498 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512, 问机器是否正常? 解: 根据样本值判断5.05.0≠=μμ还是.提出两个对立假设 0100:5.0:μμμμ≠==H H 和 选择统计量：)1,0(~/0 N n X Z σμ-= 取定0.05a =，则/20.025 1.96,z z a ==又已知 9, 0.015, n s ==由样本计算得0.511x =， 2.2 1.96=>，于是拒绝假设 0H , 认为包装机工作不正常. 例2：某工厂生产的固体燃料推进器的燃烧率服从正态分布),(2 σμN ， s cm s cm /2,/40==σμ，现用新方法生产了一批推进器，从中随机取25n =只，测得燃 烧率的样本均值为s cm x /25.41=.设在新方法下总体均方差仍为s cm /2，问这批推进器的燃烧率是否较以往生产的推进器的燃烧率有显著的提高？（取显著性水平05.0=α） 解：根据题意需要检验假设 00 :40H m m ?（即假设新方法没有提高了燃烧率）, 10 :H m m >（即假设新方法提高了燃烧率）, 这是右边检验问题，拒绝域为 0.05 1.645x z z = ?，由 3.125 1.645 x z = =>可得z 值落到拒绝域中故在显著性水平0.05 a =下拒绝0 H . 即认为这批推进器的燃烧率较以往有显著提高. 例3：某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的平均长度为10.5cm, 标准差是0.15cm, 今
应用数理统计试题库
一 填空题 1 设 6 21,,,X X X 是总体 ) 1,0(~N X 的一个样本， 26542321)()(X X X X X X Y +++++=。当常数C = 1/3 时，CY 服从2χ分布。 2 设统计量)(~n t X ，则~2X F(1,n) ， ~1 2 X F(n,1) 。 3 设n X X X ,,,21 是总体),(~2 σu N X 的一个样本，当常数C = 1/2（n-1） 时， ∑-=+-=1 1 212 )(n i i i X X C S 为2σ的无偏估计。 4 设)),0(~(2σεε βαN x y ++=，),,2,1)(,(n i y x i i =为观测数据。对于固定的0x ， 则0x βα+~ () 2 0201,x x N x n Lxx αβσ?? ? ?- ???++ ??? ?????? ? 。 5．设总体X 服从参数为λ的泊松分布，，2，2，， 为样本，则λ的矩估计值为?λ ＝ 。 6．设总体2 12~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，μ、σ2 未知，则σ2的置信度为1－α的 置信区间为 ()()()()22 2212211,11n S n S n n ααχχ-??--????--???? 。 7．设X 服从二维正态),(2∑μN 分布，其中??? ? ??=∑??? ? ??=8221, 10μ 令Y ＝X Y Y ???? ??=???? ??202121，则Y 的分布为 ()12,02T N A A A A μ??= ??? ∑ 。 8．某试验的极差分析结果如下表（设指标越大越好）： 表2 极差分析数据表
医药数理统计习题及答案汇编
学习好资料 第一套试卷及参考答案 一、选择题 ( 40 分) 1、根据某医院对急性白血病患者构成调查所获得的资料应绘制 ( B ) A 条图B 百分 条图或圆图C 线图D 直方图 2、均数和标准差可全面描述D 资料的特征 A 所有分布形式E负偏态分布C正偏态分布D正态分布和近似正态分布 3、要评价某市一名5岁男孩的身高是否偏高或偏矮，其统计方法是( A ) A 用该市五岁男孩的身高的95%或99%正常值范围来评价 B 用身高差别的假设检 验来评价 C 用身高均数的95%或99%的可信区间来评价 D 不能作评价 4、比较身高与体重两组数据变异大小宜采用( A ) A 变异系数 B 方差 C 标准差 D 四分位间距 5、产生均数有抽样误差的根本原因是( A ) A. 个体差异 B. 群体差异 C. 样本均数不同 D. 总体均数不同 6、男性吸烟率是女性的10 倍，该指标为( A ) (A)相对比(B)构成比(C)定基比(D )率 7、统计推断的内容为( D ) A.用样本指标估计相应的总体指标 B.检验统计上的“检验假设” C. A和B均不是 D. A和B均是 8、两样本均数比较用t 检验，其目的是检验( C ) A两样本均数是否不同B两总体均数是否不同 C 两个总体均数是否相同 D 两个样本均数是否相同 9、有两个独立随机的样本，样本含量分别为n i和住，在进行成组设计资料的t 检 验时，自由度是( D ) (A) n i+ n2 (B) n i+ n2 - C) n1+ n2 +1 D) n1+ n2 -2 10、标准误反映( A ) A 抽样误差的大小 B 总体参数的波动大小 C 重复实验准确度的高低 D 数据的离散程度 11、最小二乘法是指各实测点到回归直线的(C) A垂直距离的平方和最小E垂直距离最小 C纵向距离的平方和最小D纵向距离最小 12、对含有两个随机变量的同一批资料, 既作直线回归分析, 又作直线相关分析。 令对相关系数检验的t值为t r，对回归系数检验的t值为t b, 二者之间具有什么关系？( C) A t r >t b B t r 数理统计期末试题 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 数理统计期末练习题 1. 在总体)4,6.7(N 中抽取容量为n 的样本,如果要求样本均值落在)6.9,6.5(内的概率不小于0.95,则n 至少为多少 2．设n x x ,,1 是来自)25,( N 的样本,问n 多大时才能使得95.0)1|(| x P 成立 3. 由正态总体)4,100(N 抽取两个独立样本,样本均值分别为y x ,,样本容量分别15,20,试求 )2.0|(| y x P . 5.设161,,x x 是来自),(2 N 的样本,经计算32.5,92 s x ,试求)6.0|(| x P . 6.设n x x ,,1 是来自)1,( 的样本,试确定最小的常数c,使得对任意的0 ,有 )|(|c x . 7. 设随机变量 X~F(n,n),证明 )1(X 9．设21,x x 是来自),0(2 N 的样本,试求2 21 21 x x x x Y 服从 分布. 10.设总体为N(0,1),21,x x 为样本,试求常数k ,使得 .05.0)()()(2212212 21 k x x x x x x 11．设n x x ,,1 是来自 ),(2 1 N 的样本,m y y ,,1 是来自),(22 N 的样本,c,d 是任意两个不为0的常数,证明),2(~) ()(2 221 m n t s y d x c t m d n c 其中 2 22 22,2 )1()1(y x y x s s m n s m s n s 与 分别是两个样本方差. 12．设121,,, n n x x x x 是来自),(2 N 的样本,11,n n i i x x n _ 2 21 1(),1n n i n i s x x n 试求常数c 使得1n n c n x x t c s 服从t 分布,并指出分布的自由度 。 13．设从两个方差相等的正态总体中分别抽取容量为15,20的样本,其样本方差分别为, ,2 22 1s s 数理统计期末练习题 1. 在总体)4,6.7(N 中抽取容量为n 的样本,如果要求样本均值落在)6.9,6.5(内的概率不小于0.95,则n 至少为多少 2．设n x x ,,1 是来自)25,(μN 的样本,问n 多大时才能使得95.0)1|(|≥<-μx P 成立 3. 由正态总体)4,100(N 抽取两个独立样本,样本均值分别为y x ,,样本容量分别15,20,试求 )2.0|(|>-y x P . 5.设161,,x x 是来自),(2 δμN 的样本,经计算32.5,92 ==s x ,试求)6.0|(|<-μx P . 6.设n x x ,,1 是来自)1,(μN 的样本,试确定最小的常数c,使得对任意的0≥μ,有α≤ ++-+P k x x x x x x 11．设n x x ,,1 是来自 ),(2 1σ μN 的样本,m y y ,,1 是来自),(22σμN 的样本,c,d 是任意两个 不为0的常数,证明),2(~)()(2 221-+-+-=+m n t s y d x c t m d n c ωμμ其中2 2222,2)1()1(y x y x s s m n s m s n s 与-+-+-=ω分别是两个样本方差. 12．设121,,,+n n x x x x 是来自),(2 σμN 的样本,11,n n i i x x n ==∑_ 2 21 1(),1n n i n i s x x n ==--∑试求常数 c 使得1n n c n x x t c s +-=服从t 分布,并指出分布的自由度 。 13．设从两个方差相等的正态总体中分别抽取容量为15,20的样本,其样本方差分别为,,2 22 1s s 试求 ).2(22 2 1>S S p 14. 某厂生产的灯泡使用寿命)250,2250(~2 N X ,现进行质量检查,方法如下：随机抽取若干个灯泡,如果这些灯泡的平均寿命超过2200h,就认为该厂生产的灯泡质量合格,若要使检查能通过的概率不低于0.997,问至少应检查多少只灯泡？ 典型例题分析 例1．分别从方差为20和35的正态总抽取容量为8和10的两个样本，求第一个样本方差是第二个样本方差两倍的概率的范围。 解 以21 S 和22 S 分别表示两个（修正）样本方差。由22 22 12σσy x S S F =知统计量 22 2 1222175.13520S S S S F == 服从F 分布，自由度为（7，9）。 1） 事件{}2 2 212S S =的概率 {}{}05.32035235 20222221222122 2 1 ===??? ????==??????===F P S S P S S P S S P 因为F 是连续型随机变量，而任何连续型随机变量取任一给定值的概率都等于0。 2） 现在我们求事件{}二样本方差两倍第一样本方差不小于第=A 的概率： {} {}5.322 221≥=≥=F P S S P p 。 由附表可见，自由度9,721==f f 的F 分布水平α上侧分位数),(21f f F α有如下数值： )9,7(20.45.329.3)9,7(025.005.0F F =<<=。 由此可见，事件A 的概率p 介于0.025与0.05之间；05.0025.0< 解 由随机变量2χ分布知，随机变量σ/12S n ）（-服从2χ分布，自由度 1-=n v ，于是，有 {}{}95.0)1(5.1)1(5.1)1(2,05.0222 2=≤≥-≤=? ?????-≤-=v v v P n P n S n P χχχσ 其中2v χ表示自由度1-=n v 的2χ分布随机变量，2 ,05.0v χ是自由度为1-=n v 的水 平05.0=α的2χ分布上侧分位数（见附表）。我们欲求满足 2,05.015.1v n χ≥-）（ 的最小1+=v n 值，由附表可见 2 26,05.0885.3839)127(5.1χ=>=-， 22505.0652.375.401265.1，）（χ=<=-。 于是，所求27=n 。 例3．假设随机变量X 在区间[]1,+θθ上有均匀分布，其中θ未知： )(1n X X ，， 是来自X 的简单随机样本，X 是样本的均值，{} n X X X ,,min 1)1( =是最小观察值。证明 21?1-=X θ 和 11?12+-=n X ） （θ 都是θ的无偏估计量。 解 由X 在[]1,+θθ上均匀分布，知2/)12(+==θEX EX i 。 1） 由 θθθθ=-+=-+=-=∑∑==2 121212221211?111n i n i i n EX n E ， 可见1?θ是θ的无偏估计量。 2） 为证明2?θ是θ的无偏估计。我们先求统计量)1(X 的概率分布。 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。 数理统计 一、填空题 1．设n X X X ,,21为母体X 的一个子样，如果),,(21n X X X g ， 则称),,(21n X X X g 为统计量。 2．设母体σσμ),,(~2 N X 已知，则在求均值μ的区间估计时，使用的随机变量为 3．设母体X 服从方差为1的正态分布，根据来自母体的容量为100的子样，测得子样均值为5，则X 的数学期望的置信水平为95%的置信区间为 。 4．假设检验的统计思想是 。 小概率事件在一次试验中不会发生 5．某产品以往废品率不高于5%，今抽取一个子样检验这批产品废品率是否高于5%， 此问题的原假设为 。 6．某地区的年降雨量),(~2 σμN X ，现对其年降雨量连续进行5次观察，得数据为： (单位：mm) 587 672 701 640 650 ，则2 σ的矩估计值为 。 7．设两个相互独立的子样2121,,,X X X 与51,,Y Y 分别取自正态母体)2,1(2 N 与 )1,2(N ， 22 21,S S 分别是两个子样的方差，令2 2222121)(,S b a aS +==χχ，已知)4(~),20(~22 2221χχχχ，则__________,==b a 。 8．假设随机变量)(~n t X ，则 21 X 服从分布 。 9．假设随机变量),10(~t X 已知05.0)(2 =≤λX P ，则____=λ 。 10．设子样1621,,,X X X 来自标准正态分布母体)1,0(N ， X 为子样均值，而 01.0)(=>λX P ， 则____=λ 11．假设子样1621,,,X X X 来自正态母体),(2 σμN ，令∑∑==-=16 11 10 1 43i i i i X X Y ，则Y 的 分布 第一套试卷及参考答案 一、选择题（40分） 1、根据某医院对急性白血病患者构成调查所获得的资料应绘制（ B ） A 条图 B 百分条图或圆图C线图D直方图 2、均数和标准差可全面描述 D 资料的特征 A 所有分布形式Ｂ负偏态分布Ｃ正偏态分布Ｄ正态分布和近似正态分布 3、要评价某市一名5岁男孩的身高是否偏高或偏矮，其统计方法是（ A ） A 用该市五岁男孩的身高的95%或99%正常值范围来评价 B 用身高差别的假设检验来评价 C 用身高均数的95%或99%的可信区间来评价 D 不能作评价 4、比较身高与体重两组数据变异大小宜采用（A ） A 变异系数 B 方差 C 标准差 D 四分位间距 5、产生均数有抽样误差的根本原因是（ A ） A.个体差异 B. 群体差异 C. 样本均数不同 D. 总体均数不同 6. 男性吸烟率是女性的10倍，该指标为（A ） （A）相对比（B）构成比（C）定基比（D）率 7、统计推断的内容为（ D ） A.用样本指标估计相应的总体指标 B.检验统计上的“检验假设” C. A和B均不是 D. A和B均是 8、两样本均数比较用t检验，其目的是检验（ C ） A两样本均数是否不同B两总体均数是否不同 C两个总体均数是否相同D两个样本均数是否相同 9、有两个独立随机的样本，样本含量分别为n1和n2，在进行成组设计资料的t检验时，自由度是（D ） （A）n1+ n2（B）n1+ n2–1 （C）n1+ n2 +1（D）n1+ n2 -2 10、标准误反映（A ） A 抽样误差的大小 B总体参数的波动大小 C 重复实验准确度的高低 D 数据的离散程度 11、最小二乘法是指各实测点到回归直线的 (C) Ａ垂直距离的平方和最小Ｂ垂直距离最小 Ｃ纵向距离的平方和最小Ｄ纵向距离最小 12、对含有两个随机变量的同一批资料,既作直线回归分析,又作直线相关 分析。令对相关系数检验的t值为t r ，对回归系数检验的t值为t b ， 二者之间具有什么关系？（C） 例题解析（1） 例1设随机变量X 和Y 相互独立，),(~),,(~2 22211σμσμN Y N X 。 1621,,,X X X 是X 的一个样本，1021,,,Y Y Y 是Y 的一个样本，测得数据 ∑∑∑∑========10 1 2 10 1 16 1 2 16 1 72,18,563,84i i i i i i i i y y x x （1）分别求21,μμ的矩估计量；（2）分别求2 221σσ，的极大似然估计值； （3）在显著水平05.0=α下检验假设 2 2210σσ≤：H ，22211σσ>：H 。 解 （1）用样本一阶原点矩估计总体一阶矩，即得1μ和2μ的矩估计值： 8.1101?,25.5161?10 1 21611=====∑∑==i i i i y x x μμ 。 （2）正态总体),(~2σμN X 的参数2σ的极大似然估计量为 ∑=-==n i i X X n 1 22 )(1?σ 。因此2 221σσ和的极大似然估计值为 625.716161)(161?1611222 21 =?? ? ??-=-=∑∑==i n i i i x x x x σ 96.316101)(101?1011222 22 =?? ? ??-=-==∑∑==i n i i i y y y y σ （3）是21,μμ未知，双总体方差的假设检验。待检假设2 2210σσ≤：H ； 2 2 211σσ>：H ，是在05.0=α下的单侧检验。 因为4.4)(91,31.8)(1511 21221221 =-==-=∑∑==n i n i i y y S x x S 。所以F 同机量得 值 847.14.415 .822 21===S S F 查F 分布表，得01.391505.0=），（F .经比较知，01.3)9,15(847.105.0=<=F F ，故接 受0H ，认为2 221σσ不比大。 数理统计试题库-----填空题（每题3分） 第一章 1. 设()211~,X N μσ，() 2 22~,Y N μσ相互独立，样本容量分别为12,n n ，则 ()Var X Y -= 。 2. 设1234,,,X X X X 是来自正态总体2 (0,2)N 的简单随机样本， 221234(2)(34)X a X X b X X =-+-，则a = ， b = 时，统计量2~(2)X χ。 3．设1234,,,X X X X 是来自正态总体2 (0,3)N 的简单随机样本， 221234(2)()X a X X b X X =-+-，则a = ，b = 时，统计量2~(2)X χ。 4. 设总体()2X k χ，12,, ,n X X X 是取自该总体的一个样本，则1 n i i X =∑服从2χ分布， 且自由度为 。 5.设12345,,,,X X X X X 是来自正态总体(0,1)N 的简单随机样本，22 12()X a X X =+，则 a = 时，统计量X 服从2χ分布，其自由度为 。 6.设12345,,,,X X X X X 是来自正态总体(0,1)N 的简单随机样本 ， X =，则a = 时，统计量X 服从t 分布，其自由度为 。 7．X 服从正态分布，1-=EX ，2 5EX =，12,, ,n X X X 是来自总体X 的一个样本， 则1 1n i i X X n ==∑服从的分布为 。 8. 设随机变量 X 服从正态分布2 (0,3)N , 而 129,,,X X X 是来自X 的样本，则 统计量()2221291 9 U X X X = +++服从 。 9. 设随机变量 X 和 Y 相互独立且都服从正态分布2 (0,3)N , 而 129,,,X X X 和 129,, ,Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，则统计量 29 22 2 1 921Y Y Y X X X U ++++++= 服从 。 10. 设12,, ,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，已知(1,2,3,4)k k EX k α== 则当 概率论经典考试题型 一，选择题 1 设A 、B 为互不相容的事件,且()0,()0,P A P B >>下面四个结论中, 正确的是( ) (A)(|)0P B A > (B)(|)0P A B = (C)(|)()P A B P A =(D)()()()P AB P A P B = 如果A 、B 为互不相容的事件,且 ()0,()0,P A P B >>则上述不正确的是（ ） 2 总体),(~2 σμN X ，n X X X ,,,21 是来自总体的样本, ∑==n k k X n X 1 1，则n X /σμ- ~ ( ） (A) ),(2σμN (B) )1,0(N (C) )(n t (D) )1(-n t 3. 已知相互独立的随机变量 ~(1,16), Y ~(2,9), (2)X N N D X Y -=则 。 4. 设3.0)(=A P , 6.0)(=B P , 且事件A 与B 互不相容, ()P A B ?=则 。 5. 已知随机变量X 的概率密度为 2,0,()0,0.x ae x f x x -?>=?≤? 则a = . 6. 设随机变量X 满足2(),()E X D X μσ==, 则由切比雪夫不等式,有{||3}P X μσ-≥≤ 。 7．设总体),(~2σμN X ，2,σμ未知， n X X X ,,,21 是来自总体 X 的样本, 则 μ的矩估计量是 ，2σ最大似然估 计量 。 8 电路由电池A 、B 及两个并联的电池C 、D 串联而成, 设电池A, B, C, D 损坏与否是 相互独立的, 且它们损坏的概率依次为0.3, 0.2, 0.2, 0.5, 求这个电路发生间断的概率. 9 已知(,)X Y 的联合分布率如下: 求（1）边缘分布率; (2))(),(X D X E ; (3) Z X Y =+的分布率。 ； 数理统计考试试卷 一、填空题（本题15分，每题3分） 1、总体)3,20(~N X 的容量分别为10，15的两独立样本均值差~Y X -________； 2、设1621,...,,X X X 为取自总体)5.0,0(~2N X 的一个样本，若已知0.32)16(2 01.0=χ,则 }8{16 1 2∑=≥i i X P =________； 3、设总体),(~2 σμN X ，若μ和2σ均未知，n 为样本容量，总体均值μ的置信水平为 α-1的置信区间为),(λλ+-X X ，则λ的值为________； 4、设n X X X ,...,,21为取自总体),(~2σμN X 的一个样本，对于给定的显著性水平α，已知关于2σ检验的拒绝域为χ2 ≤)1(21--n αχ，则相应的备择假设1H 为________； 5、设总体),(~2σμN X ，2σ已知，在显著性水平下，检验假设00:μμ≥H ,01:μμ数理统计期末试题
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