09-16大学生数学竞赛真题(非数学类)

2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、填空题（每小题5分，共20分）

1．计算=--++??y x y

x x y

y x D

d d 1)

1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.

2．设)(x f 是连续函数，且满足?

--

=20

22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.

3．曲面22

22

-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则

=2

2d d x

y

________________.

二、（5分）求极限x

e

nx x x x n

e e e )(

lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数.

三、（15分）设函数)(x f 连续，?

=

10

d )()(t xt f x g ，且A x

x f x =→)

(lim

，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.

四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：

（1）??

-=---L

x y L

x y

x ye y xe x ye y xe

d d d d sin sin sin sin ；

（2）2sin sin 2

5

d d π?

≥--L

y y

x ye y xe .

五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x

x e xe y -+=2，x

x x e e xe y --+=23是某二阶常系

数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.

六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22

++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3

1

.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.

七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n

, 且n

e

u n =)1(, 求函数项级数∑∞

=1

)(n n

x u

之和.

八、（10分）求-

→1x 时, 与∑∞

=0

2

n n x

等价的无穷大量.

2010年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、（25分，每小题5分）

（1）设2

2(1)(1)(1),n

n x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞

（2）求2

1lim 1x x

x e

x -→∞

??

+ ???

。 （3）设0s >，求0

(1,2,)sx n I e x dx n ∞

-=

=?

。

（4）设函数()f t 有二阶连续导数，1(,)r g x y f r ??

== ???

，求2222g g x y ??+??。

（5）求直线10:0x y l z -=??=?

与直线2213

:421x y z l ---==

--的距离。

二、（15分）设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数，并且

()0,lim ()0,lim ()0,x x f x f x f x αβ→+∞

→-∞

''''>=>=<且存在一点0x ，使得0()0f x <。

三、（15分）设函数()y f x =由参数方程2

2(1)()

x t t t y t ψ?=+>-?

=?所确定，其中()t ψ具有二阶导数，曲线()y t ψ=与2

2

1

3

2t u y e du e

-=+

?

在1t =出相切，求函数()t ψ。

四、（15分）设1

0,,n

n n k k a S a =>=

∑证明：

（1）当1α>时，级数

1n n n

a S α+∞

=∑收敛； （2）当1α≤且()n s n →∞→∞时，级数1n

n n

a S α+∞

=∑发散。

五、（15分）设l 是过原点、方向为(,,)αβγ，（其中222

1)αβγ++=的直线，均匀椭球

222

2221x y z a b c

++≤，其中（0,c b a <<<密度为1）绕l 旋转。 （1）求其转动惯量；

（2）求其转动惯量关于方向(,,)αβγ的最大值和最小值。

六、(15分)设函数()x ?具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上，曲

线积分

42

2()c

xydx x dy

x y ?++?

的值为常数。

（1）设L 为正向闭曲线2

2

(2)1,x y -+=证明

42

2()0;c

xydx x dy

x y

?+=+?

（2）求函数()x ?；

（3）设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求42

2()c

xydx x dy

x y ?++?

。

2011年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一． 计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分）

（1）.求11cos 0

sin lim x

x x x -→?? ???

；

（2）.求1

11lim ...12n n n n n →∞??+++

?+++?

?；

（3）已知()2ln 1arctan t

t x e y t e

?=+?

?=-??，求22d y dx 。

二．（本题10分）求方程

()()2410x y dx x y dy +-++-=的通解。

三．（本题15分）设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且

()()()'"0,0,0f f f 均不为

0，证明：存在唯一一组实数123,,k k k ，使得

()()()()

1232

230lim

0h k f h k f h k f h f h

→++-=。

四．（本题17分）设

222

1222:1x y z a b c

∑++=，其中0

a b c >>>，

2222:z x y ∑=+，Γ为1∑与2∑的交线，求椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点

距离的最大值和最小值。

五．（本题16分）已知S 是空间曲线2231

x y z ?+=?=?绕y 轴旋转形成的椭球面的上半

部分（0z ≥）取上侧，∏是S 在(),,P

x y z 点处的切平面，(),,x y z ρ是原点到

切平面∏的距离，,,λμν表示S 的正法向的方向余弦。计算：

（1）(),,S

z

dS x y z ρ??；（2）()3S z x y z dS λμν++??

六．（本题12分）设f(x)是在

(),-∞+∞内的可微函数，且()()f x mf x <、，

其中01m <<，任取实数0a ，定义()1ln ,1,2,...,n n a f a n -==证明：

()11

n

n n a

a ∞

-=-∑绝对收敛。

七．（本题15分）是否存在区间

[]0,2上的连续可微函数

f(x)，满足

()()021f f ==，

()()2

01,1f

x f x dx ≤≤?、

？请说明理由。

2012年 第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、（本大题共5小题，每小题6分共30分）解答下列个体（要求写出要求写出重要步骤）

(1) 求极限2

1

)!(lim n n n ∞

→

(2) 求通过直线?

??=+-+=+-+034550

232:z y x z y x l 的两个互相垂直的平面1π和2π，使其中

一个平面过点)1,3,4(-。

(3) 已知函数by

ax e

y x u z +=),(，且

02=???y

x u

。确定常数a 和b ，使函数),(y x z z =满足方程

02=+??-??-???z y

z

x z y x z (4) 设函数)(x u u =连续可微，1)2(=u ，且udy u x udx y x )()2(3+++?在右半平面与路径无关，求),(y x u 。

(5) 求极限dt t

t t

x x x x cos sin lim 13+?++∞→

二、（本题10分）计算dx x e x sin 20

-∞+?

三、求方程50121

sin

2-=x x

x 的近似解，精确到0.001.

四、（本题12分）设函数)(x f y =二阶可导，且0)(>''x f ，0)0(=f ，

0)0(='f ，求u

x f u f x x 330sin )()

(lim

→，其中u 是曲线)(x f y =上点))(,(x f x P 处的切线在x 轴上的截距。

五、（本题12分）求最小实数C ，使得满足1)(10

=?dx x f 的连续函数)(x f 都

有 C dx x f ≤?)(1

六、（本题12分）设)(x f 为连续函数，0>t 。区域Ω是由抛物面22y x z += 和球面2222t z y x =++)0(>z 所围起来的部分。定义三重积分 dv z y x f t F )()(222++=???Ω

求)(t F 的导数)(t F ''

七、（本题14分）设n n a ∑∞

=1与n n b ∑∞

=1

为正项级数，证明：

（1）若()01

lim 11>-++∞→n n

n n n b b a a ，则级数n n a ∑∞

=1收敛； （2）若()01

lim 11<-++∞→n n

n n n b b a a ，且级数n n b ∑∞=1发散，则级数n n a ∑∞

=1发散。

2013年 第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、 解答下列各题（每小题6分共24分，要求写出重要步骤）

1.

求极限(

lim 1sin n

n →∞

+.

2.证明广义积分

sin x

dx x

+∞

?

不是绝对收敛的 3.设函数()y y x =由323322x x y y +-=确定，求()y x 的极值。

4.

过曲线)0y x =

≥上的点A 作切线，使该切线与曲线及x 轴所围成的平面图形

的面积为3

4

，求点A 的坐标。

二、（满分12）计算定积分2

sin arctan 1cos x

x x e I dx x

π

π

-?=

+?

三、（满分12分）设()f x 在0x =处存在二阶导数()0f ''，且

()0lim 0x f x x →=。证明 ：级数1

1n f n ∞=??

???∑收敛。

四、（满分12分）设()()(),0f x f x a x b ππ'≤≥>≤≤，证明

()2

sin b

a

f x dx m

≤

?

五、（满分14分）设∑是一个光滑封闭曲面，方向朝外。给定第二型的曲面积分()()()33323I x x dydz y y dzdx z z dxdy ∑

=-+-+-??。试确定曲

面∑，使积分I 的值最小，并求该最小值。

六、（满分14分）设()()

2

2a a

C

ydx xdy

I r x

y

-=+?

，其中a 为常数，曲线C 为椭

圆222x xy y r ++=，取正向。求极限()lim a r I r →+∞

七（满分14分）判断级数()()

1111212n n n n ∞

=+

++++∑

的敛散性，若收敛，求其和。

2014年 全国大学生数学竞赛预赛试题

一、 填空题(共有5小题，每题6分，共30分)

1. 已知x

e y =1和x

xe y =1是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是___

_________________________________

2. 设有曲面2

2

2:y x z S +=和平面022:=++z y x L 。则与L 平行的S 的切平面方程

是_______________________________ 3. 设函数)(x y y =由方程?

-???

??=

x

y dt t x 1

24sin π所确定。求==0

x dx dy _______________ 4. 设∑=+=

n

k n k k

x 1

)!1(。则=∞→n n x lim ______________________ 5. 已知3

1

)(1lim e x x f x x

x =??

? ??

++→。则=→20)(lim x x f x ____________________

二、 （本题12分）设n 为正整数，计算?

-??

?

??=

1

21ln cos π

n e dx x dx d I 。

三、 （本题14分）设函数)(x f 在]1,0[上有二阶导数，且有正常数B A ,使得

B x f ≤|)("|。证明：对任意]1,0[∈x ，有2

2|)('|B A x f +

≤。

四、 （本题14分）（1）设一球缺高为h ，所在球半径为R 。证明该球缺体积为

2)3(3

h h R -π

。球冠面积为Rh π2；（2）设球体12

)1()1()1(222≤-+-+-z y x 被平面6:=++z y x P 所截得小球缺为Ω，记球冠为∑，方向指向球外。求第二型曲面积分

??∑

++=zdxdy ydzdx xdydz I

五、 （本题15分）设f 在],[b a 上非负连续，严格单增，且存在],[b a x n ∈，使得

?-=

b a

n

n n dx x f a b x f )]([1)]([。求n n x ∞→lim

六、 （本题15分）设2222221n n n n n n n A n ++++++= 。求??

?

??-∞→n n A n 4lim π

2015年 第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、填空题（每小题6分，共5小题，满分30分）

（1）极限2222sin sin sin lim 12n n n n n n n n πππ→∞

??

?++

+= ?+++ ?

?

?

. （2）设函数(),z z x y =由方程,0z z F x y y x ??

+

+= ??

?所决定，其中(),F u v 具有连续偏导

数，且0u v xF yF +≠。则z z

x

y x y

??+=?? . （3）曲面2

2

1z x y =++在点()1,1,3M -的切平面与曲面所围区域的体积是 .

（4）函数()[)[)

3,5,00.0,5x f x x ?∈-?=?∈??在(]5,5-的傅立叶级数在0x =收敛的值是 .

（3）设区间()0,+∞上的函数()u x 定义域为的()2

xt u x e dt +∞

-=

?

，则()u x 的初等函数表

达式是 .

二、（12分）设M 是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程。

三、（12分）设()f x 在(),a b 内二次可导，且存在常数,αβ，使得对于(),x a b ?∈，有

()()()f x f x f x αβ'=+，则()f x 在(),a b 内无穷次可导。

四、（14分）求幂级数()()30211!

n

n n x n ∞

=+-+∑的收敛域，及其和函数。

五、（16分）设函数()f x 在[]0,1上连续，且()()1

1

0,1f x dx xf x dx ==?

?。试证：

（1）[]00,1x ?∈使()04f x > （2）[]10,1x ?∈使()14f x =

六、（16分）设(),f x y 在2

2

1x y +≤上有连续的二阶偏导数，且222

2xx xy yy f f f M ++≤。

若

()()()0,00,0,00,00,x y f f f ===证明：

(

)221

,4

x y f x y dxdy +≤≤

??

。

2016年 第八届全国大学生数学竞赛

一、填空题（每小题5分，满分30分）

1、若()f x 在点x a =可导，且()0f a ≠，则()1lim n

n f a n f a →∞

????+ ? ???

?= ? ???

.

2、若()10f =，()1f '存在，求极限()()

2

20

sin cos tan 3lim

1sin x x f x x x

I e

x

→+=-.

3、设()f x 有连续导数，且()12f =，记()

2x z f e y =，若z

z x

?=?，求()f x 在0x >的表达式.

4、设()sin 2x f x e x =，求02

n a <<π

，()

()40f

.

5、求曲面2

2 2

x z y =+平行于平面220x y z +-=的切平面方程.

二、（14分）设()f x 在[]0,1上可导，()00f =，且当()0,1x ∈，()01f x '<<， 试证当()0,1a ∈，()()

()2

30

a

a

f x dx

f x dx >?

?.

三、（14分）某物体所在的空间区域为2

2

2

:22x y z x y z Ω++≤++，密度函数为

222x y z ++，求质量()

222M x y z dxdydz Ω

=++???.

四、（14分）设函数()f x 在闭区间[]0,1上具有连续导数，()00f =，()11f =，

证明：()10

111

lim 2n n k k n f x dx f n n →∞=????-=- ? ?????∑?.

五、（14分）设函数()f x 在闭区间[]0,1上连续，且()1

0I f x dx =≠?，证明：在()

0,1内存在不同的两点12,x x ，使得()()12112

f x f x I

+=.

六、设()f x 在(),-∞+∞可导，且()(

)(2f x f x f x =+=. 用Fourier 级数理论证明()f x 为常数.

全国大学生数学竞赛预赛试题

第一届全国大学生数学竞赛预赛试题 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算__ ，其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设是连续函数，且满足, 则____________. 3．曲面平行平面的切平面方程是__________. 4．设函数由方程确定，其中具有二阶导数，且，则_____. 二、（5分）求极限，其中是给定的正整数. 三、（15分）设函数连续，，且，为常数，求并讨论在处的连续性. 四、（15分）已知平面区域，为的正向边界，试证： （1）；（2） . 五、（10分）已知，，是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 六、（10分）设抛物线过原点.当时,,又已知该 抛物线与轴及直线所围图形的面积为.试确定,使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小. 七、（15分）已知满足, 且, 求函 数项级数之和. 八、（10分）求时, 与等价的无穷大量.

第二届全国大学生数学竞赛预赛试题 一、（25分，每小题5分） （1）设其中求（2）求。 （3）设，求。 （4）设函数有二阶连续导数，，求。 （5）求直线与直线的距离。 二、（15分）设函数在上具有二阶导数，并且 且存在一点，使得,证明：方程在恰有两个实根。 三、（15分）设函数由参数方程所确定，其中具 有二阶导数，曲线与在出相切，求函数。 四、（15分）设证明：（1）当时，级数收敛； （2）当且时，级数发散。 五、（15分）设是过原点、方向为，（其中的直线，均 匀椭球，其中（密度为1）绕旋转。（1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于方向的最大值和最小值。 六、(15分)设函数具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线上，曲线积分的值为常数。（1）设为正向闭曲线

原创!!全面大学生数学竞赛试题

2011年数学竞赛练习题C_3解答 1. 设数列{}n x 满足： 11 sin (2)sin 11 n n x n n n <<+++， 则1 1lim 1n k n k x n →∞==+∑_______。 11 sin (2)sin 111 n n n x n x n n <<+∴→++解 ； Q 1 1 1 1lim lim lim lim 1111n n k k n k k k n n n n k x x n n x n n n n n ==→∞→∞→∞→∞ =∴=?=?=+++∑∑∑ 2.设曲线()y f x =与sin y x =在原点相切， 则极限lim n ________。 (0)0,(0)1n n f f '===已知有： 2. 设(1n n a b =+， 其中,n n a b 为正整数，lim n n n a b →∞=__ 2224 113 (1) 1)3)(13)3) )()3) ) n n n n n n n C C C C C C =+++ =+++++ 224 41133(1(1)() n n n n n C C C C =++-++ (1=+(1=n n n n n n a b a b a b -所以，若则解得：

lim =n n n n n a b →∞∴= 3. 设()f x 有连续导数且0 () lim 0x f x a x →=≠， 又20 ()()()x F x x t f t dt =-?， 当0x →时()F x '与n x 是同阶无穷小， 则n =________。 2020 ()()()()()x x x F x x t f t dt x f t dt tf t dt =-=-? ?? 20 ()2()()()x F x x f t dt x f x xf x '=+-? 0() lim 0x F x x →'=显然 20 2 02()()() lim x x x f t dt x f x xf x x →+-?考虑： 2()() lim lim ()x x x f t dt f x f x x →→-=+? 2()() lim lim ()x x x f t dt f x f x x →→-=+? 2()() lim lim 0x x x f t dt f x x x →→=-+?0a =-≠ 2n ∴= 5. ()f x ∞设在[1,+)上可导，下列结论成立的是：________。 +lim ()0()x f x f x →∞ '=∞A.若，则在[1,+)上有界；

全国大学生数学竞赛试题及答案

河北省大学生数学竞赛试题及答案 一、(本题满分10 分) 求极限))1(21(1 lim 222222--++-+-∞→n n n n n n Λ。 【解】 ))1(21(12 22222--++-+-= n n n n n S n Λ 因 21x -在]1,0[上连续，故dx x ?1 02-1存在，且 dx x ? 1 2 -1=∑-=∞→-1 21 .)(1lim n i n n n i ， 所以，= ∞ →n n S lim n dx x n 1lim -11 2∞→-? 4 -1102π ==?dx x 。 二、(本题满分10 分) 请问c b a ,,为何值时下式成立.1sin 1 lim 22 0c t dt t ax x x b x =+-?→ 【解】注意到左边得极限中，无论a 为何值总有分母趋于零，因此要想极限存在，分子必 须为无穷小量，于是可知必有0=b ，当0=b 时使用洛必达法则得到 22 022 01)(cos lim 1sin 1lim x a x x t dt t ax x x x x +-=+-→→?， 由上式可知：当0→x 时，若1≠a ，则此极限存在，且其值为0；若1=a ，则 21)1(cos lim 1sin 1lim 22 220-=+-=+-→→?x x x t dt t ax x x x b x ， 综上所述，得到如下结论：;0,0,1==≠c b a 或2,0,1-===c b a 。 三、(本题满分10 分) 计算定积分? += 2 2010tan 1π x dx I 。

【解】 作变换t x -= 2 π ，则 =I 22 20π π = ?dt ， 所以，4 π= I 。 四、(本题满分10 分) 求数列}{1n n - 中的最小项。 【解】 因为所给数列是函数x x y 1- =当x 分别取ΛΛ,,,3,2,1n 时的数列。 又)1(ln 21-=--x x y x 且令e x y =?='0， 容易看出：当e x <<0时，0<'y ；当e x >时，0>'y 。 所以，x x y 1-=有唯一极小值e e e y 1)(-=。 而3 3 1 2 132> ? <

历届全国大学生数学竞赛预赛试卷

全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、填空题（每小题5分，共20分） 1． 计算()ln(1) d y x y x y ++=??，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足22 ()3()d 2f x x f x x =--? ，则()f x =. 3．曲面2 222 x z y =+-平行平面022=-+z y x 的切平面方程是. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且 1≠'f ，则=22d d x y . 二、（5分）求极限x e nx x x x n e e e )(lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(x f 连续，10()() g x f xt dt =?，且A x x f x =→) (lim 0，A 为常数，求()g x '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证： （1）??-=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 2 5d d π?≥--L y y x ye y xe . 五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时，0≥y ，又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3 1.试确定 c b a ,,，使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小. 七、（15分）已知)(x u n 满足1()()1,2,n x n n u x u x x e n -'=+=L ，且n e u n =)1(，求 函数项级数∑∞ =1 )(n n x u 之和.

大学生数学竞赛真题非数学类

2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f ,则=)(x f ____________. 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则 =2 2d d x y ________________. 二、（5分）求极限x e nx x x x n e e e )( lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(x f 连续，? =10 d )()(t xt f x g ， 且A x x f x =→) (lim 0 ，A 为常数， 求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证： （1）?? -=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 2 5 d d π? ≥--L y y x ye y xe . 五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数 线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22 ++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3 1 .试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小. 七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1Λ=+='-n e x x u x u x n n n ,且n e u n =)1(,求函数项级数 ∑∞ =1 )(n n x u 之和. 八、（10分）求- →1x 时,与 ∑∞ =0 2 n n x 等价的无穷大量.

全国大学生数学竞赛决赛试题(非数学类)

首届全国大学生数学竞赛决赛试卷 （非数学类） 考试形式： 闭卷 考试时间： 150 分钟 满分： 100 分. 一、 计算下列各题（共20分，每小题各5分，要求写出重要步骤）. (1) 求极限1 21lim (1)sin n n k k k n n π-→∞=+∑. (2) 计算 2∑其中∑ 为下半球面z =0a >. (3) 现要设计一个容积为V 的一个圆柱体的容器. 已知上下两底的材料费为单位面积a 元，而侧面的材料费为单位面积b 元.试给出最节省的设计方案：即高与上下底的直径之比为何值时所需费用最少？ (4) 已知()f x 在11,42?? ???内满足 331()sin cos f x x x '=+，求()f x .

二、（10分）求下列极限 (1) 1lim 1n n n e n →∞????+- ? ? ?????； (2) 111lim 3n n n n n a b c →∞??++ ? ? ???, 其中0,0,0a b c >>>. 三、（10分）设()f x 在1x =点附近有定义，且在1x =点可导， (1)0,(1)2f f '==. 求 220(sin cos )lim tan x f x x x x x →++. 四、（10分） 设()f x 在[0,)+∞上连续，无穷积分0()f x dx ∞?收敛. 求 0 1lim ()y y xf x dx y →+∞?.

五、五、（12分）设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可微，且 1(0)(1)0,12f f f ??=== ???. 证明：(1) 存在 1,12ξ??∈ ???使得()f ξξ=；(2) 存在(0,)ηξ∈使得()()1f f ηηη'=-+. 六、（14分）设1n >为整数， 20()1...1!2!!n x t t t t F x e dt n -??=++++ ????. 证明: 方程 ()2n F x =在,2n n ?? ???内至少有一个根.

历届全国大学生数学竞赛真题及答案非数学类

高数竞赛预赛试题（非数学类） （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书 及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 11 10 det d d =??? ? ? ?-=， v u u v u u u y x y x x y y x D D d d 1ln ln d d 1) 1ln()(????--= --++ ????----=---=10 2 1 00 0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln ( u u u u u u u u u u v v u u v u u u u u ? -=1 2 d 1u u u （*） 令u t -=1，则21t u -= dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-， ?+--=0 1 42d )21(2(*)t t t ? +-=10 42d )21(2t t t 1516513 2 21 053= ??????+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 解: 令? = 20 d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ， A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得34= A 。因此3 10 3)(2-=x x f 。 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.

历届全国大学生数学竞赛真题

高数竞赛预赛试题（非数学类） 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln ) (y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则 =2 2d d x y ________________. 二、（5分）求极限x e nx x x x n e e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(x f 连续，?=10d )()(t xt f x g ，且A x x f x =→) (lim 0，A 为常数，求) (x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证： （1）?? -=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 2 5 d d π? ≥--L y y x ye y xe . 五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线 与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3 1 .试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小. 七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n , 且n e u n =)1(, 求函数项级数 ∑∞ =1 )(n n x u 之和. 八、（10分）求- →1x 时, 与∑∞ =0 2 n n x 等价的无穷大量.

大学生数学竞赛习题及详细解答

一、 填空题（每小题4分，共40分） 1. 设 ? ????? +=∞→x t x x t t f 2)11(lim )(，则=')(t f ． 解：)(t f t x x x t 2)11(lim ?? ???? +=∞ →t te 2=，t t t e t te e t f 222)21(2)(+=+='∴． 2. 设曲线L 的方程为t e x 2=，t e t y --=，则L 的拐点个数为 ． 解：)(2 1213-22t t t t t t e e e e x y dx dy += += ' '=--， )32(4 12/)32(2 15-423-22 2 t t t t t t t e e e e e x dx dy dx y d +- =--= '' ?? ? ??=--． 02 2

09-16大学生数学竞赛真题(非数学类)

2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则 =2 2d d x y ________________. 二、（5分）求极限x e nx x x x n e e e )( lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(x f 连续，? = 10 d )()(t xt f x g ，且A x x f x =→) (lim ，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证： （1）?? -=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 2 5 d d π? ≥--L y y x ye y xe . 五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系 数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.

大学生数学竞赛(非数)试题及答案

大学生数学竞赛（非数学类）试卷及标准答案 考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分. 一、填空（每小题5分，共20分）. 计算)cos 1(cos 1lim 0x x x x --+→= . (2)设() f x 在2x =连续，且2 ()3 lim 2 x f x x →--存在，则(2)f = . (3)若tx x x t t f 2)1 1(lim )(+=∞→，则=')(t f . (4)已知()f x 的一个原函数为2ln x ，则()xf x dx '?= . （1） 2 1. (2) 3 . (3)t e t 2)12(+ . (4)C x x +-2 ln ln 2. 二、（5分）计算 dxdy x y D ??-2 ，其中 1010≤≤≤≤y x D ，：. 解： dxdy x y D ?? -2= dxdy y x x y D )(2 1:2 -??<+ ?? ≥-2 2:2 )(x y D dxdy x y -------- 2分 =dy y x dx x )(2 210 -??+dy x y dx x )(1 2102??- -------------4分 姓名： 身份证号 所在院校： 年级 专业 线 封 密 注意：1.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效. 2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.

= 30 11 -------------5分. 三、（10分）设)](sin[2 x f y =，其中f 具有二阶 导数，求22dx y d . 解： )],(cos[)(2 22x f x f x dx dy '=---------------3分 )](sin[)]([4)](cos[)(4)](cos[)(22 222222222 2x f x f x x f x f x x f x f dx y d '-''+'=-----7分 = )]}(sin[)]([)](cos[)({4)](cos[)(222222222x f x f x f x f x x f x f '-''+'---------10 分. 四、（15分）已知3 1 23ln 0 = -?? dx e e a x x ，求a 的值. 解： )23(232123ln 0 ln 0 x a x a x x e d e dx e e --- =-??? ---------3分 令t e x =-23，所以 dt t dx e e a a x x ?? -- =-?231ln 0 2 123---------6分 =a t 231 2 33 2 21-?-------------7分 =]1)23([31 3--?-a ，-----------9分 由3123ln 0=-??dx e e a x x ，故]1)23([313--?-a =31 ，-----------12分 即3)23(a -=0-----------13分 亦即023=-a -------------14分 所以2 3 =a -------------15分.

全国大学生数学竞赛(数学类)模拟试题一

全国大学生数学竞赛(数学类)模拟试题 一、解答题（本题满分10分） 1、下面的说法可以用作()0 lim x x f x A →=的定义吗？ “00,0,:0x x x εδδ?>?>?<-<，有()f x A εδ-<”。 正确的给以证明，不正确的举例说明。 2、求sin sin sin lim sin x t x t x t x -→?? ??? ，记此极限为()f x 。求()f x 的间断点并指出其类型。 二、（本题满分10分） 证明数列{}n x 是收敛的并求其极限，其中{}n x 满足：10x <()11n n n c x x c x ++=+，1c >。 三、（本题满分10分） 设()f x 在[),a +∞()0a >内连续，且满足Lipschitz 条件，即存在0L >，使得 [)12,,x x a ?∈+∞，有()()1212f x f x L x x -≤-，证明()f x x 在[),a +∞内有界且一致连续。 四、（本题满分10分）

若()f x 在[],a b 上连续，且()f x 在[],a b 上每点处都取极值，则()f x 恒等于某个常数。 五、（本题满分10分） 记()[]()()(){}:0,10,00,11E f f x f f x f f =≥==在上连续，。 （i ）求(){}1 0inf :f x dx f E ∈?； （ii ）不存在g E ∈，使得()1 0o g x dx =?。 六、（本题满分15分） 设()f t 在[],a x 上连续，(),a x ξ∈，使得()()()x a f t dt f x a ξ=-? 若()f t 在t a =可导，且()0f a '≠，则1 lim 2a a x a ξξ→-=-。 七、（本题满分15分） 已知向量组m ααα,,,21 线性无关，向量s βββ,,,21 都可用m ααα,,,21 表出， 即1 (1,2,,)m i ij j j c i s βα===∑ 求证：s βββ,,,21 线性相关的充分必要条件是矩阵m s ij c C ?=)(的秩s C R <)(.

[实用参考]大学生数学竞赛试题(专业组).doc

优质参考文档 优质参考文档 大学生数学竞赛试题(数学专业组) 1.求平面10Ax By Cz +++=与椭球222 2221x y z a b c ++=之间的最短距离（ 令h = ，m =，试用代数式表示并讨论平面在椭球外面的条件。（10分） 2.利用定积分求极限221lim n n k n n k →∞=+∑.（10分） 3.证明：若函数()f x 在[,]a b 连续，在(,)a b 内存在二阶导数，且()()0f a f b ==，()0f c >,其中 a c b <<，则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使()0f ξ''<。 （10分） 4.证明：函数 1nx n ne ∞-=∑在(0,)+∞内连续.（10分） 5. 求积分3 1(1)x ?;1311(2)d x x x e e +∞+-+?.（10分） 6.设(,,)L x y z 为从原点到球面2222x y z R ++=上的点(,,)P x y z 的切平面的距离，求积分 (,,)d L x y z S ∑ ??，其中∑为球面2222x y z R ++=.（10分） 7.证明下列命题： (1).如果多项式(),()f x g x 不全为零，证明： ()((),())f x f x g x 与()((),()) g x f x g x 互素。 (2).证明：0x 是()f x 的k 重根的充分必要条件是1000()()()0k f x f x f x -'====而0()0k f x ≠.（10分） 8.设数域K 上的n 级矩阵A 的),(j i 元为j i b a - （1）.求A ; (2).当2≥n 时，2121,b b a a ≠≠.求齐次线性方程组0=AX 的解空间的维数和一个基。（10分） 9.设A 是数域R 上n 维线性空间V 上的一个线性变换，用I 表示V 上的恒等变换，证明： n rank rank =+++-?=)()(23A A I A I I A .（10分） 10.设矩阵11111,1112a A a a β???? ? ?== ? ? ? ?-???? ，已知线性方程组AX β=有解但不唯一，试求：(1)a 的值；(2) 正交矩阵Q ，使T Q AQ 为对角矩阵，其中T Q 表示Q 的转置（求Q 和T Q AQ ）.（10分）

全国大学生数学竞赛练习题(解析)

9月11日练习题（解析） 1 设()f x 在[0,1]上二阶可导，且(0)(1)f f =，求证：(0,1),ξ?∈使得 2()(1)()f f ξξξ'''=- 解 令2()(1)()F x x f x '=-，则()F x 连续，由于(0)(1)f f =，故(0,1)c ?∈，使 ()0f c '= 故(1)()0F F c ==，因此(,1)(0,1)c ξ?∈?，使 ()0F ξ'= 即 2(1)()2(1)()0f f ξξξξ'''---= 故 2()(1)()f f ξξξ'''=- 2 设()f x 在[0,1]上连续， 1 10 0()0,()1f x dx xf x dx ==? ?，考虑积分101 ()()2 x f x dx -?，证明： （1）存在[0,1]ξ∈，使()4f ξ≥ （2）存在[0,1]ξ∈，使()4f ξ= 证明（1）利用广义积分中值定理，[0,1]ξ?∈，使 1 1 00 1()()2I xf x dx f x dx =-?? 1010 1 1121021()()21 ()2 1() 2 11()221 () 4 x f x dx x f x dx f x dx f x dx x dx f ξξξ= -≤- =- ??????=-+-?? ? ???????=??? ?? 因此()4f ξ≥ （2）因为()f x 在[0,1]上连续，故()f x 在[0,1]上连续，由（1）. 1[0,1]ξ?∈，使 1()4f ξ≥

根据积分中值定理，2[0,1]ξ?∈，使 1 20 ()()f x dx f ξ=? 故2()0f ξ=.因此根据介值定理，在1ξ与2ξ之间存在ξ，使 ()4[0,1]f ξξ=∈ 3（1）设(,,)u u x y z =，若0x y z xu yu zu '''++=，试证明在球坐标下u 仅为,θ?的函数； （2）设(,)z z x y =，若y x z z x y ''=，试证明z 仅为r 的函数，其中r = 证明 （1）由于 (,,)(cos sin ,sin sin ,cos )u u x y z u r r r θ?θ??== cos sin sin sin cos u u u u r x y z θ?θ??????=++???? 1()0u u u x y z r x y z ???=++=??? （2）由于 (,)(cos ,sin )z z x y z r r θθ== (sin )cos z z z r r x y θθθ???=-+??? 0z z y x x y ??=-+=?? 故z 仅为r 的函数 4 求 4 8 12 4812 15! 9! 13! 13!7!11!15! ππππππ+ + + +++++ 的值 解设分子为p ，分母为q ，则有 5 9 3 7 11 3 sin 05! 9! 3! 7! 11! p q πππππππππ-=+ + +- - - -== 故原式= 2p q π= 5 雨水从屋檐上滴入下面的一圆柱形水桶中，当下雨停止时，桶中雨水以与水深的平方根成正比的概率向桶外渗漏，如果水面高度在1h 内由开始的90cm 减少至88cm ，问需要多少时间桶内的水全部渗漏掉

历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类

前三届高数竞赛预赛试题（非数学类） （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书 及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 11 10 det d d =??? ? ? ?-=， v u u v u u u y x y x x y y x D D d d 1ln ln d d 1) 1ln()(????--= --++ ????----=---=10 2 1 00 0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln ( u u u u u u u u u u v v u u v u u u u u ? -=1 2 d 1u u u （*） 令u t -=1，则21t u -= dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-， ?+--=0 1 42d )21(2(*)t t t ? +-=10 42d )21(2t t t 15165132 21 53= ??????+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 解: 令? = 20 d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ， A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得3 4= A 。因此310 3)(2-=x x f 。 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面22 22 -+=y x z 在

历年全国大学生高等数学竞赛真题及答案

第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算____________，其中区域由直线与两坐标轴所 围成三角形区域. 解 令，则，， （*） 令，则，，，， 2．设 是连续函数，且满足, 则____________. 解 令，则， , 解得。因此。 3．曲面平行平面的切平面方程是__________. 解 因平面的法向量为，而曲面在处的法向量为，故与平行，因此，由 =--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(D 1=+y x v x u y x ==+ ,v u y v x -==,v u v u y x d d d d 1110det d d =??? ? ??-=v u u v u u u y x y x x y y x D D d d 1ln ln d d 1) 1ln()(????--= --++????----=---=10 2 1 00 0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln ( u u u u u u u u u u v v u u v u u u u u ? -=1 2 d 1u u u u t -=121t u -=dt 2d t u -=42221t t u +-=)1)(1()1(2t t t u u +-=-?+--=01 42d )21(2(*)t t t ? +-=10 4 2 d )21(2t t t 1516513 2 21 053=??????+-=t t t )(x f ?--=2 2 2d )(3)(x x f x x f =)(x f ? = 2 d )(x x f A 23)(2--=A x x f A A x A x A 24)2(28d )23(2 2-=+-=--=?3 4= A 3103)(2 - =x x f 22 22 -+=y x z 022=-+z y x 022=-+z y x )1,2,2(-22 22 -+=y x z ),(00y x )1),,(),,((0000-y x z y x z y x )1),,(),,((0000-y x z y x z y x )1,2,2(-

全国大学生数学竞赛简介

全国大学生数学竞赛 第一届 2009年，第一届全国大学生数学竞赛由中国数学会主办、国防科学技术大学承办。该比赛将推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才。 第二届 2011年3月，历时十个月的第二届全国大学生数学竞赛在北京航空航天大学落幕。来自北京、上海、天津、重庆等26个省(区、市)数百所大学的274名大学生进入决赛，最终，29人获得非数学专业一等奖，15人获数学专业一等奖。这次赛事预赛报名人数达3万余人，已成为全国影响最大、参加人数最多的学科竞赛之一。 竞赛用书 该比赛指导用书为《大学生数学竞赛指导》，由国防科技大学大学数学竞赛指导组组织编写，已经由清华大学出版社出版。 竞赛大纲 中国大学生数学竞赛竞赛大纲 (2009年首届全国大学生数学竞赛) 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。 1.竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 1.竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。（一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下： Ⅰ、数学分析部分 1.集合与函数 2. 1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性 定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 3. 2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、 上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推广.

2018全国大学生数学竞赛模拟赛试题(非数学类)

2018全国大学生数学竞赛模拟赛试题（非数学类） 一、填空题（每题5分，共30分） 1．0ln d 0lim x t t x x +→?= 2．设,11()1,1 x xe x f x x x ??<<=??≥?，则1()d x f t t ?=? 3．设222sin 4xy z x y z +=+?，则z z x y ???=?? 4．曲线21,2||y x y x =+=绕x 轴旋转所围成的旋转体的体积是 5．设Ω是球体2224x y z ++≤，则222(68)d d d x y z x y z Ω ++=??? 6．幂级数1(32)n n n x x ∞ =?∑的收敛区间是 二（10分） 已知奇函数()f x 在点00x =处可导，非零数列{}{}n n αβ、都收敛，分析极限lim [()()]n n n n f f n n αβ→∞+是否存在。若存在，极限是什么。 三（10分）设()f x ''在[,]a b 上存在，a c b <<，证明：存在(,)a b ξ∈，使得()()()1()()()()()()()2 f a f b f c f a b a c b a b c c a c b ξ''++=?????? 四（10分） 设()y y x =是由方程33()y x y x +=所确定的隐函数，求3d x y ? 五（10分） 计算极限221lim sin()n n k n k k n →∞=∑的近似值，精确到410? 六（10分） 已知()([0,2])f x x ∈是一个二次可微函数，而且()|()|1k f x ≤，1,2k =，证明2 0|(1)()d |1x f x x ?≤? 七（10分）设()f x 为正值连续函数，试证不等式d ()d ()L y x xf y y f x ?+≥? 22a π，其中L 是圆周222()()(0)x a y a a a ?+?=>，取逆时针方向。

第十届(2018)全国大学生数学竞赛(非数学类)预赛试题

第十届全国大学生数学竞赛（非数学类）预赛试题及 一、填空题（本题满分24分, 共4小题, 每小题6分) （1）设(0,1),α∈则() lim (1)n n n αα→+∞ +-=＿＿＿＿＿＿＿. （2）若曲线()y y x =由+cos +sin 1 y x t t e ty t =?? +=?确定，则此曲线在0t =对应点处的切线方程为 （3）23/2 ln((1) x dx x ++?= （4）2 01-cos lim x x →=＿＿＿＿＿＿＿. f t ()0t ≠(1)0f =二 (本题满分8分) 设函数在时一阶连续可导，且，求函数f x -y 22()，使得曲线积分 2222 L ?y (2-f (x -y ))???? dx +xf (x -y )dy 与路径无关，其中L 为任一不与直=±y x 线相交的分段光滑闭曲线.

f x ()0,11)3(f x ≤≤三 (本题满分14分) 设 在区间[ ]上连续，且 .证明： 11 14 1) 3f (x )dx dx (f x ?≤≤? . 四 (本题满分12分)计算三重积分 22 ??? x +y ()dV （V ） （V ），其中是由222x +y +(z -2)≥4，222x +y +(z -1)≤9，0z ≥所围成的空心立体.

五 (本题满分14分) 设(,)f x y 在区域D M ≤，11(,)A x y ，22(,)B x y 是D 内两点，线段AB 包含在D 内。证明：1122|(,)(,)|||f x y f x y M AB -≤，其 AB ||AB 中表示线段的长度. )0(f x >六(本题满分14分) 证明：对于连续函数，有1 1 ln f (x )dx ≥? ?ln f (x )dx .