2b f a -0
x
D C
B
A
α P · α L β
4斜二测画法的步骤:
(1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴;
(2).平行于y 轴的线长度变半,平行于x ,z 轴的线长度不变; (3).画法要写好。
5 用斜二测画法画出长方体的步骤:(1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成图 1.3 空间几何体的表面积与体积 (一 )空间几何体的表面积
1棱柱、棱锥的表面积: 各个面面积之和
2 圆柱的表面积
3 圆锥的表面积2
r rl S ππ+= 4 圆台的表面积22R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积2
4R S π=
(二)空间几何体的体积
1柱体的体积 h S V ?=底 2锥体的体积 h S V ?=底3
1
3台体的体积 h S S S S V ?++=)3
1下下上上( 4球体的体积
33
4R V π=
第二章 直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1
1 平面含义:平面是无限延展的
2 平面的画法及表示
(1)平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成450
,且横边画成邻边的2倍长(如图)
(2)平面通常用希腊字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面、平面等。 3 三个公理:
(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 符号表示为
A ∈L
B ∈L => L α A ∈α
B ∈α
公理1作用:判断直线是否在平面内
(2)公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 符号表示为:A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α,
使A ∈α、B ∈α、C ∈α。
公理2作用:确定一个平面的依据。
(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直
线。
符号表示为:P ∈α∩β =>α∩β,且P ∈L 公理3作用:判定两个平面是否相交的依据
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系:
2
22r rl S ππ+=L A
·
α C ·
B
· A · α
相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;
平行直线:同一平面内,没有公共点;
异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 2 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设
a 、
b 、
c 是三条直线
a ∥
b
c ∥b
强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补
4 注意点:
① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定,与O 的选择无关,为简便,点O 一般取在两直线中的一条上;
② 两条异面直线所成的角θ∈(0, ); ③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a ⊥b ; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;
⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系:
(1)直线在平面内 —— 有无数个公共点
(2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点
指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用a α来表示
a α a ∩α a ∥α
2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。 简记为:线线平行,则线面平行。 符号表示:
a α
b β => a ∥α a ∥b
2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。
符号表示:
a β
b β
a ∩
b = P β∥α a ∥α
共面直线
=>a ∥c 2
b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种:
(1)用定义;
(2)判定定理;
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为:线面平行则线线平行。
符号表示:
a∥α
a β a∥b
α∩β= b
作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。
符号表示:
α∥β
α∩γ= a a∥b
β∩γ= b
作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定
1、定义
如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线L与平面α互相垂直,记作L⊥α,直线L叫做平面α的垂线,平面α叫做直线L的垂面。如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
L
p
α
2、判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。
注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭 l β
B
α
2、二面角的记法:二面角αβ或αβ
3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。
2.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。
2性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 本章知识结构框图
第三章 直线与方程
3.1直线的倾斜角和斜率
3.1倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角的概念:当直线l 与x 轴相交时, 取x 轴作为基准, x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°.
2、 倾斜角α的取值范围: 0°≤α<180°. 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°.
3、直线的斜率:
一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,也就是 k = α
⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = 0°=0; ⑵当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l 的倾斜角α一定存在,但是斜率k 不一定存在. 4、 直线的斜率公式:
给定两点P1(x11)2(x22)1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率: 斜率公式: 2121 3.1.2两条直线的平行与垂直
1、两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,那么它们平行,即
注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提,结论并不成立.即如果k12, 那么一定有L1∥L2
2、两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的斜率互为负倒数,那么它们互相垂直,即 3.2.1 直线的点斜式方程
1、 直线的点斜式方程:直线l 经过点)
,(000y x P ,且斜率为k )(00x x k y y -=-
2、、直线的斜截式方程:已知直线l 的斜率为k ,且与y 轴的交点为),0(b b kx y +=
3.2.2 直线的两点式方程
1、直线的两点式方程:已知两点)
,(),,(222211y x P x x P 其中),(2121
y y x x ≠≠ 1212
平面(公理1、公理2、公理3、公理4)
空间直线、平面的位置关系 平面与平面的位置关系
直线与平面的位置关系
()()2
2
122221PP x x y y =-+-2、直线的截距式方程:已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ,与y 轴的交点为B ),0(b ,其中
0,0≠≠b a
3.2.3 直线的一般式方程
1、直线的一般式方程:关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax (A ,B 不同时为0)
2、各种直线方程之间的互化。 3.3直线的交点坐标与距离公式
3.3.1两直线的交点坐标 1、给出例题:两直线交点坐标
L1 :342=0 L1:2 +2=0
解:解方程组 3420
2220
x y x y +-=??
++=? 得 2,2
所以L1与L2的交点坐标为M (-2,2) 3.3.2 两点间距离 两点间的距离公式
3.3.3 点到直线的距离公式 1.点到直线距离公式:
点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为:2
2
00B
A C
By Ax d +++=
2、两平行线间的距离公式:
已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l :01=++C By Ax ,
2l 02=++C By Ax ,则1l 与2l 的距离为2
2
21B
A C C d +-=
第四章
圆与方程
4.1.1 圆的标准方程
1、圆的标准方程:2
2
2
()()x a y b r -+-=
圆心为A(),半径为r 的圆的方程
2、点00(,)M x y 与圆2
2
2
()()x a y b r -+-=的关系的判断方法: 2200()()x a y b -+->2r ,点在圆外
(
1
)
(2)2200()()x a y b -+-=2
r ,点在圆上 (3)2200()()x a y b -+-<2
r ,点在圆内
4.1.2 圆的一般方程
1、圆的一般方程:02
2
=++++F Ey Dx y x
2、圆的一般方程的特点:
(1)①x2和y2的系数相同,不等于0. ②没有这样的二次项.
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ,因之只要求出这三个系数,圆的方程就确定了.
(3)、与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。 4.2.1 圆与圆的位置关系
1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.
设直线l :0=++c by ax ,圆C :022=++++F Ey Dx y x ,圆的半径为r ,圆心)2
,2(E
D --到直线的距离为d ,则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点:
(1)当r d >时,直线l 与圆C 相离;(2)当r d =时,直线l 与圆C 相切; (3)当r d <时,直线l 与圆C 相交; 4.2.2 圆与圆的位置关系 两圆的位置关系.
设两圆的连心线长为l ,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点:
(1)当21r r l +>时,圆1C 与圆2C 相离;(2)当21r r l +=时,圆1C 与圆2C 外切; (3)当<-||21r r 21r r l +<时,圆1C 与圆2C 相交;
(4)当||21r r l -=时,圆1C 与圆2C 内切;(5)当||21r r l -<时,圆1C 与圆2C 内含; 4.2.3 直线与圆的方程的应用
1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系;
2、过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤:
第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;
第二步:通过代数运算,解决代数问题; 第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论. 4.3.1空间直角坐标系
1、点M 对应着唯一确定的有序实数组),,(z y x ,x 、y 、z 分别是P 、Q 、R 在x 、
y 、z 轴上的坐标
2、有序实数组),,(z y x ,对应着空间直角坐标系中的一点
O y
x
M
M'
R
P
Q
3、空间中任意点M 的坐标都可以用有序实数组),,(z y x 来表示,该数组叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标,记M ),,(z y x ,x 叫做点M 的横坐标,y 叫做点M 的纵坐标,z 叫做点M 的竖坐标。 4.3.2空间两点间的距离公式
1、空间中任意一点),,(1111z y x P 到点),,(2222z y x P 之间的距离公式
2
2122122121)
()()(z z y y x x P P -+-+-=
O y
z
x
M
P 1
P 2
N
M 1N 2N 1M 2H
高中数学必修3知识点
第一章算法初步
1.1.1算法的概念
1、算法概念:
在数学上,现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤,这些程序或步骤必须是明确和有效的,而且能够在有限步之内完成.
2. 算法的特点:
(1)有限性:一个算法的步骤序列是有限的,必须在有限操作之后停止,不能是无限的.
(2)确定性:算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果,而不应当是模棱两可.
(3)顺序性与正确性:算法从初始步骤开始,分为若干明确的步骤,每一个步骤只能有一个确定的后继步骤,前一步是后一步的前提,只有执行完前一步才能进行下一步,并且每一步都准确无误,才能完成问题.
(4)不唯一性:求解某一个问题的解法不一定是唯一的,对于一个问题可以有不同的算法.
(5)普遍性:很多具体的问题,都可以设计合理的算法去解决,如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.
1.1.2程序框图
1、程序框图基本概念:
(一)程序构图的概念:程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。
一个程序框图包括以下几部分:表示相应操作的程序框;带箭头的流程线;程序框外必要文字说明。(二)构成程序框的图形符号及其作用
程序框名称功能
起止框
表示一个算法的起始和结束,是任何流程图不
可少的。
输入、输出框
表示一个算法输入和输出的信息,可用在算法
中任何需要输入、输出的位置。
处理框赋值、计算,算法中处理数据需要的算式、公式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内。
判断框
判断某一条件是否成立,成立时在出口处标明
“是”或“Y”;不成立时标明“否”或“N”。
高考数学知识点总结(文科)
高中数学知识点总结(文科) 1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如:集合,,,、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么? 2. 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。 {} {}如:集合,A x x x B x ax =--===||22301 若,则实数的值构成的集合为B A a ? (答:,,)-??? ??? 1013 3. 注意下列性质: {} ()集合,,……,的所有子集的个数是;1212a a a n n ()若,;2A B A B A A B B ??== (3)德摩根定律: ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==, 4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法) 如:已知关于的不等式的解集为,若且,求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()(∵,∴ ·∵,∴ ·,,)335 30555 50 1539252 2∈----≥?∈? ? ????M a a M a a a 5. 可以判断真假的语句叫做命题,逻辑连接词有“或”,“且”和()()∨∧ “非”().? 若为真,当且仅当、均为真p q p q ∧ 若为真,当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨ 若为真,当且仅当为假?p p 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么? (互为逆否关系的命题是等价命题。) 原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗?映射f :A →B ,是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性,哪几种
人教版高中数学总复习[知识点整理及重点题型梳理]推理与证明、数学归纳法
推理与证明、数学归纳法 编稿:辛文升 审稿:孙永钊 【考纲要求】 1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用. 2.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理. 3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异. 4.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点. 5.了解间接证明的一种基本方法——反证法;了解反证法的思考过程、特点. 6.了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 【知识网络】 【考点梳理】 【推理与证明、数学归纳法407426 知识要点】 考点一:合情推理与演绎推理 1.推理的概念 根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫做推理.从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设)叫做前提,一部分是由已知推出的判断,叫做结论. 2.合情推理 根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理称为合情推理. 合情推理又具体分为归纳推理和类比推理两类: (1)归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象具有这 推 理 与 证 明 归纳 推 理 证 明 合情推理 演绎推理 数学归纳法 综合法 分析法 直接证明 类比 间接证明 反证法
些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理.简言之,归纳推理是由部分到整体、个别到一般的推理,归纳推理简称归纳. (2)类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理,简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理,类比推理简称类比. 3.演绎推理 从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论.简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理. 三段论是演绎推理的一般模式,它包括: (1)大前提——已知的一般原理; (2)小前提——所研究的特殊情况; (3)结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断. 要点诠释: 合情推理与演绎推理的区别与联系 (1)从推理模式看: ①归纳推理是由特殊到一般的推理. ②类比推理是由特殊到特殊的推理. ③演绎推理是由一般到特殊的推理. (2)从推理的结论看: ①合情推理所得的结论不一定正确,有待证明。 ②演绎推理所得的结论一定正确。 (3)总体来说,从推理的形式和推理的正确性上讲,二者有差异;从二者在认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑,它们又是紧密联系,相辅相成的。合情推理的结论需要演绎推理的验证,而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的;演绎推理可以验证合情推理的正确性,合情推理可以为演绎推理提供方向和思路. 考点二:直接证明与间接证明 1.综合法 (1)定义:综合法是中学数学证明中最常用的方法,它是从已知到未知,从题设到结论的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发,经过一系列的中间推理,最后导出所要求证的命题.综合法是一种由因索果的证明方法,又叫顺推法. (2)综合法的思维框图: 用P 表示已知条件,1i Q i =(,2,3,...,n )为定义、定理、公理等,Q 表示所要证明的结论,则综合法可用框图表示为: 1P Q ?()→12Q Q ?()→23Q Q ?()→.........n Q Q ?() 2.分析法 (1) 定义:一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判断一个明显成立的条件(已知条件,定理,定义,公理)为止.这种证明方法叫做分析法.分析法又叫逆推法或执果索因法. (2)分析法的思维框图: 1Q P ?()→12P P ?()→23P P ?() →.........得到一个明显成立的条件. 3.反证法
[实用参考]大学数学公式总结大全
导数公式: 基本积分表: 三角函数的有理式积分:
一些初等函数: 两个重要极限: 三角函数公式: ·诱导公式: ·和差角公式:·和差化积公式: 2 sin 2sin 2cos cos 2cos 2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2cos 2sin 2sin sin β αβαβαβ αβαβαβ αβαβαβ αβ αβα-+=--+=+-+=--+=+α ββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±?= ±?±= ±=±±=±1 )(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(
·倍角公式: ·半角公式: ·正弦定理:·余弦定理: ·反三角函数性质: 高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式:中值定理与导数应用: 曲率: 定积分的近似计算: 定积分应用相关公式: 空间解析几何和向量代数: 多元函数微分法及应用 微分法在几何上的应用: 方向导数与梯度: 多元函数的极值及其求法: 重积分及其应用: 柱面坐标和球面坐标: 曲线积分: 曲面积分: 高斯公式:
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系:常数项级数: 级数审敛法: 绝对收敛与条件收敛: 幂级数: 函数展开成幂级数: 一些函数展开成幂级数: 欧拉公式: 三角级数: 傅立叶级数: 周期为的周期函数的傅立叶级数: 微分方程的相关概念: 阳光怡茗工作室https://www.docsj.com/doc/4512121826.html, 一阶线性微分方程: 全微分方程: 二阶微分方程: 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法:
数学归纳法.知识点梳理
课题:数学归纳法 备课教师:沈良宏参与教师:郭晓芳、龙新荣审定教师:刘德清 1、教学重点:能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 2、教学难点:学归纳法中递推思想的理解. 3、学生必须掌握的内容: 1.数学归纳法的定义 一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤: (1)证明当n=n0时命题成立. (2)假设当n=k(k∈N+且k≥n0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立. 在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立,这种证明方法称为数学归纳法. 2.数学归纳法的适用范围 适用于证明一个与无限多个正整数有关的命题. 3.数学归纳法的步骤 (1)(归纳奠基)验证当n=n0(n0为命题成立的起始自然数)时命题成立; (2)(归纳递推)假设当n=k(k∈N+,且k≥n0)时命题成立,推导n=k+1时命题也成立. (3)结论:由(1)(2)可知,命题对一切n≥n0的自然数都成立. 注意:用数学归纳法证明,关键在于两个步骤要做到“递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉”,因此必须注意以下三点: (1)验证是基础.数学归纳法的原理表明:第一个步骤是要找一个数n0,这个n0就是我们要证明的命题对象的最小自然数,这个自然数并不一定就是“1”,因此“找准起点,奠基要稳”是正确运用数学归纳法要注意的第一个问题. (2)递推是关键.数学归纳法的实质在于递推,所以从“k”到“k+1”的过程,必须把归纳假设“n=k”时命题成立作为条件来导出“n=k+1”时命题成立,在推导过程中,要把归纳假设用上一次或几次,没有用上归纳假设的证明不是数学归纳法. (3)正确寻求递推关系.数学归纳法的第二步递推是至关重要的,那么如何寻找递推关系呢?①在第一步验证时,不妨多计算几项,并正确写出来,这样对发现递推关系是有帮助的;②探求数列的通项公式时,要善于观察式子或命题的变化规律,观察n处在哪个位置;③在书写f(k+1)时,一定要把包含f(k)的式子写出来,尤其是f(k)中的最后一项.除此之外,多了哪些项,少了哪些项都要分析清楚. 4、容易出现的问题: (1)混淆数学归纳法与归纳法; (2)忽视第一步的归纳基础,数学归纳法的解题步骤有两步,第一步是归纳基础,第二步是归纳假设,在证明命题成立时,归纳假设这部分是一个难点,学生往往比较重视第二步的证明,却对忽视了归纳基础。常见的错误有: ①没有写第一步,而是直接假设成立,进行第二步归纳假设的证明; ②有写第一步,但是只是形式上写一下归纳基础,并没有进行验证是否成立,容易发生第一步是不成立的情况。因为第一步往往是正确的,而且是比较显然的,所以学生容易忽视它,但是就像玩多米诺骨牌游戏一样,如果第一块骨牌没有办法倒下,那么就算后面的骨牌排得多么整齐都不会倒下. 5、解决方法: 针对数学归纳法的特殊证明思路和特点,讲解清楚数学归纳法的概念及它的特征和相关要点,并结合学生的课堂反应,课堂多注重基础,多找出有代表性的典例适时强化学生理解
大学高等数学所有公式大全.
大学高等数学公式 ·积的关系: sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·平方关系: sin^2(α+cos^2(α=1 tan^2(α+1=sec^2(α cot^2(α+1=csc^2(α ·倒数关系: tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边
正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数: cos(α+β=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β=(tanα+tanβ/(1-tanα·tanβ tan(α-β=(tanα-tanβ/(1+tanα·tanβ ·三角和的三角函数: sin(α+β+γ=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sin γ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ- sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ/(1-tanα·tanβ- tanβ·tanγ-tanγ·tanα ·辅助角公式:
Asinα+Bcosα=(A^2+B^2^(1/2sin(α+t,其中 sint=B/(A^2+B^2^(1/2 cost=A/(A^2+B^2^(1/2 tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2^(1/2cos(α-t,tant=A/B ·倍角公式: sin(2α=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα cos(2α=cos^2(α-sin^2(α=2cos^2(α-1=1-2sin^2(α tan(2α=2tanα/[1-tan^2(α] ·三倍角公式: sin(3α=3sinα-4sin^3(α cos(3α=4cos^3(α-3cosα ·半角公式: sin(α/2=±√((1-cosα/2 cos(α/2=±√((1+cosα/2 tan(α/2=±√((1-cosα/(1+cosα=sinα/(1+cosα=(1-cosα/sinα ·降幂公式
数学归纳法知识总结
数学归纳法知识总结 1、运用数学归纳法证明命题要分两步,第一步是归纳奠基(或递推基础),第二步是归纳递推(或归纳假设),两步缺一不可二易错点 1、归纳起点易错(1)n未必是从n=1开始例用数学归纳法证明:凸n边形的对角线条数为点拔:本题的归纳起点n=3(2)n=1时的表达式例用数学归纳法证明,在验证n=1时,左边计算所得的式子是() A、1 B、 C、 D、点拨 n=1时,左边的最高次数为1,即最后一项为,左边是,故选B 2、没有运用归纳假设的证明不是数学归纳法例1 用数学归纳法证明:错证:(1)当n=1时,左=右=1,等式成立(2)假设当n=k时等式成立,则当n=k+1时,综合(1)(2),等式对所有正整数都成立点拨:错误原因在于只有数学归纳法的形式,没有数学归纳法的“实质”即在归纳递推中,没有运用归纳假设3 从 n=k到n=k+1增加项错误例1 已知n是正偶数,用数学归纳法证明时,若已假设n=k(且为偶数)时命题为真,,则还需证明()
A、n=k+1时命题成立 B、 n=k+2时命题成立 C、 n=2k+2时命题成立 D、 n=2(k+2)时命题成立点拨:因n是正偶数,故只需证等式对所有偶数都成立,因k的下一个偶数是k+2,故选例2 用数学归纳法证明不等式的过程中,由k推导到k+1时,不等式左边增加的式子是点拨:求即可当 n=k时,左边,n=k+1时,左边,故左边增加的式子是,即三 知识应用用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题,其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、整除性问题、几何问题等1 用数学归纳法证明等式例1 用数学归纳法证明等式:例2 用数学归纳法证明:2 用数学归纳法证明不等式例3用数学归纳法证明不等式例 4、证明不等式(n∈N)、3 用数学归纳法证明整除问题例5 求证:能被6 整除、例6 证明:能被整除4 用“归纳猜想证明”解决数列问题例7在数列中,,(1)写出;(2)求数列的通项公式例8 在数列中,,其中,求数列的通项公式5用“归纳猜想证明”解决几何问题例 9、n个半圆的圆心在同一条直线l上,这n个半圆每两个都相交,且都在直线l的同侧,问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧?四 练习巩固
数学归纳法知识点大全(综合)
数学归纳法 数学归纳法是用于证明与正整数n 有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法.在数学竞赛中占有很重要的地位. (1)第一数学归纳法 设)(n P 是一个与正整数有关的命题,如果 0n n =(N n ∈01.数学归纳法的基本形式)时,)(n P 成立; ②假设),(0N k n k k n ∈≥=成立,由此推得1+=k n 时,)(n P 也成立,那么,根据①②对一切正整数0n n ≥时,)(n P 成立. (2)第二数学归纳法 设)(n P 是一个与正整数有关的命题,如果 ①当0n n =(N n ∈0)时,)(n P 成立; ②假设),(0N k n k k n ∈≥≤成立,由此推得1+=k n 时,)(n P 也成立,那么,根据①②对一切正整数0n n ≥时,)(n P 成立. 2.数学归纳法的其他形式 (1)跳跃数学归纳法 ①当l n ,,3,2,1Λ=时,)(,),3(),2(),1(l P P P P Λ成立,
②假设k n =时)(k P 成立,由此推得l k n +=时,)(n P 也成立,那么,根据①②对一切正整数1≥n 时,)(n P 成立. (2)反向数学归纳法 设)(n P 是一个与正整数有关的命题,如果 )(n P 对无限多个正整数n 成立; ②假设k n =时,命题)(k P 成立,则当1-=k n 时命题)1(-k P 也成立,那么根据①②对一切正整数1≥n 时,)(n P 成立. 例如,用数学归纳法证明: 为非负实数,有 在证明中,由 真,不易证出 真;然而却很容易证出 真,又容易证明不等式对无穷多个 (只要 型的自然数)为真;从而证明 ,不等式成立. (3)螺旋式归纳法 P (n ),Q (n )为两个与自然数 有关的命题,假如 ①P(n0)成立; ②假设 P(k) (k>n0)成立,能推出Q(k)成立,假设 Q(k)成立,能推出 P(k+1)成立; 综合(1)(2),对于一切自然数n (>n0),P(n),Q(n)都成立;
大学高数常用公式大全
高等数学公式 导数公式: 基本积分表: 三角函数的有理式积分: 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=, , , a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππ
高中文科数学公式及知识点总结大全(精华版)
高中文科数学公式及知识点速记 一、函数、导数 1、函数的单调性 (1)设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数; ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导,若0)(>'x f ,则)(x f 为增函数;若0)(<'x f ,则)(x f 为减 函数. 2、函数的奇偶性 对于定义域内任意的x ,都有)()(x f x f =-,则)(x f 是偶函数; 对于定义域内任意的x ,都有)()(x f x f -=-,则)(x f 是奇函数。 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称。 3、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f ',相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. *二次函数: (1)顶点坐标为24(,)24b ac b a a --;(2)焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+- 4、几种常见函数的导数 ①' C 0=;②1 ' )(-=n n nx x ; ③x x cos )(sin '=;④x x sin )(cos ' -=; ⑤a a a x x ln )(' =;⑥x x e e =' )(; ⑦a x x a ln 1)(log ' = ;⑧x x 1)(ln ' = 5、导数的运算法则 (1)' ' ' ()u v u v ±=±. (2)' ' ' ()uv u v uv =+. (3)'' '2 ()(0)u u v uv v v v -=≠. 6、会用导数求单调区间、极值、最值 7、求函数()y f x =的极值的方法是:解方程()0f x '=.当()00f x '=时: (1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么()0f x 是极大值; (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么()0f x 是极小值. 指数函数、对数函数 分数指数幂 (1)m n a =0,,a m n N *>∈,且1n >). (2)1m n m n a a - = = (0,,a m n N * >∈,且1n >). 根式的性质 (1)当n a =;
数学归纳法案例分析
数学归纳法案例分析 一、内容提要 数学归纳法是高中数学中的一个重点和难点内容,也是一种重要的数学方法,数学归纳法这一方法,贯通了高中数学的几大知识点:不等式,数列,三角函数,平面几何等。通过对它的学习,能起到以下几方面的作用:提高学生的逻辑思维、推理能力;培养学生辩证思维素质,全面提高学生数学能力;培养学生科学探索的创新精神,提高学生综合素质。 二、教学设计 根据本节课的内容和学生的实际水平,我采用的引导发现法和感性体验法进行教学。 在引出的《数学归纳法》这个课题后,我通过一个盒子中的十个乒乓球和等差数列的通项公式,导出完全归纳法和不完全归纳法这两个概念,又通过的两个例子促进学生对“ 递推关系” 的理解,明了两个概念的必要性,为数学归纳法的应用前提和场合提供形象化的参照物。 同点做准备时抓住这两个问题的类似之处,由具体到抽象,引导学生掌握本堂课的重点,为进一步突出难。 三、设计理念 1 、初步掌握归纳与推理的能力;培养大胆猜想,小心求证的辩证思维素质。 2 、掌握了自主探索问题、自主学习的方法。 3 、培养学生对于数学内在美的感悟能力。 四、教学片断 师:问题1 :这个盒子里有十个乒乓球,如何证明里面的球全为白色? 问题2 :请大家回忆,课本是如何得出等差数列的通项公式的?
教师引导学生明了以上两个问题的异同点。由此,得出归纳法的概念,同时指明了完全归纳法与不完全归纳法的区别。 师:若盒子里的乒乓球有无数个,如何证明它们全是白色球呢? 生:①证明第一次拿出的乒乓球是白色的;②构造一个命题并证明,此命题的题设是:“ 若某一次拿出的球是白色的” ,结论是:“ 下次拿出的球也是白色的” 。以上两步都被证明,则盒子中的乒乓球全是白色的。 教师引导学生讨论:以上两个步骤如果都得到证明,是否能说明全部的乒乓球都是白色的?由此,得出数学归纳法的基本概念。 师:这种思考方法能不能用来证明第二个问题呢? 生:能,学生对比上一问题与此问题类似之处,进而得出数学归纳法的证题思路和步骤。 让学生用数学归纳法证明第二人个问题( 略) 。 师再强调数学归纳法的“ 奠基步骤” 和“ 递推步骤” 这“ 两个步骤” 以及“ 一个结论” 。 师引导学生总结: ①教学归纳法是一种完全归纳的证明方法,它适用于与自然数有关的问题。 ②两个步骤、一个结论缺一不可否则结论不能成立。 ③在证明递推步骤时,必须使用归纳假设,必须进行恒等变换。 五、课后反思 ? 通过一个生活事例和一个课本公式的比较,引导学生讨论,促使学生主动思维。? 通过本节课的教学也使学生掌握递推原理,提高学生的逻辑思维和推理能力。? 本节课的结构可以,对学生的学法指导不错,让学生清楚学习数学归纳法的用途,指明的方向。 对数学归纳法的解题步骤可再介绍具体一点
高考文科数学知识点总结
原命题若p 则q 逆命题 若q 则p 互为逆否 互 逆否互 为逆 否否 互 集合与简易逻辑 知识回顾: (一) 集合 1. 基本概念:集合、元素;有限集、无限集;空集、全集;符号的使用. 2. 集合的表示法:列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征:确定性、互异性、无序性. 3 ⑴①一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真. 否命题?逆命题. ②一个命题为真,则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. (二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.含绝对值不等式的解法 (1)公式法:c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法. (2)定义法:用“零点分区间法”分类讨论. (3)几何法:根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 特例① 一元一次不等式ax>b 解的讨论; 2 (三)简易逻辑 1、命题的定义:可以判断真假的语句叫做命题。 2、逻辑联结词、简单命题与复合命题: “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词;不含有逻辑联结词的命题是简单命题;由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。 构成复合命题的形式:p 或q(记作“p ∨q ” );p 且q(记作“p ∧q ” );非p(记作“┑q ” ) 。 3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断 (1)“非p ”形式复合命题的真假与F 的真假相反;
(2)“p 且q ”形式复合命题当P 与q 同为真时为真,其他情况时为假; (3)“p 或q ”形式复合命题当p 与q 同为假时为假,其他情况时为真. 4、四种命题的形式: 原命题:若P 则q ; 逆命题:若q 则p ; 否命题:若┑P 则┑q ;逆否命题:若┑q 则┑p 。 6、如果已知p ?q 那么我们说,p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件。 若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件,记为p ?q. 函数 知识回顾: (一) 映射与函数 1. 映射与一一映射 2.函数 函数三要素是定义域,对应法则和值域,而定义域和对应法则是起决定作用的要素,因为这二者确定后,值域也就相应得到确定,因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. (二)函数的性质 ⒈函数的单调性 定义:对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1f(x 2),则说f(x) 在这个区间上是减函数. 若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,则就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数. 2.函数的奇偶性 4. 判断函数单调性(定义)作差法:对带根号的一定要分子有理化,例如: 指数函数与对数函数 指数函数及其性质 2 212221212 2 2 22121) ()()(b x b x x x x x b x b x x f x f x ++++-= +- += -)(
浅谈数学归纳法在高考中的应用
1、数学归纳法的理论基础 数学归纳法,人类天才的思维、巧妙的方法、精致的工具,解决无限的问题。它体现的是利用有限解决无限问题的思想,这一思想凝结了数学家们无限的想象力和创造力,这无疑形成了数学证明中一道绚丽多彩的风景线。它的巧妙让人回味无穷,这一思想的发现为后来数学的发展开辟了道路,如用有限维空间代替无限维空间(多项式逼近连续函数)用有限过程代替无限过程(积分和无穷级数用有限项和答题,导数用差分代替)。 1.1数学归纳法的发展历史 自古以来,人们就会想到问题的推广,由特殊到一般、由有限到无限,可人类对无限的把握不顺利。在对无穷思考的过程中,古希腊出现了许多悖论,如芝诺悖论,在数列中为了确保结论的正确,则必须考虑无限。还有生活中一些现象,如烽火的传递,鞭炮的燃放等,触动了人类的思想。 安提丰用圆周内接正多边形无穷地逼近圆的方法解决化圆为方;刘徽、祖冲之用圆内接正多边形去无穷地逼迫圆,无穷的问题层出不穷,后来古希腊欧几里得对命题“素数的个数是无穷的”的证明,通过了有限去实现无限,体现了数学归纳法递推思想。但要形成数学归纳法中明确的递推,清晰的步骤确是一件不容易的事,作为自觉运用进行数学证明却是近代的事。 伊本海塞姆(10世纪末)、凯拉吉(11世纪上叶)、伊本穆思依姆(12世纪末)、伊本班纳(13世纪末)等都使用了归纳推理,这表明数学归纳法使用较普遍,尤其是凯拉吉利用数学归纳法证明 22 333 (1)124n n n +++??????+= 这是数学家对数学归纳法的最早证明。 接着,法国数学家莱维.本.热尔松(13世纪末)用"逐步的无限递进",即归纳推理证明有关整数命题和排列组合命题。他比伊斯兰数学家更清楚地体现数学归纳法证明的基础,递进归纳两个步骤。 到16世纪中叶,意大利数学家毛罗利科对与全体和全体自然数有关的命题的证明作了深入的考察在1575年,毛罗利科证明了 21n n a a n ++= 其中1231,2k a k =+++?????? =?????? 他利用了逐步推理铸就了“递归推理”的思路,成为了较早找到数学归纳中“递 归推理”的数学家,为无限的把握提供了思维。 17世纪法国数学家帕斯卡为数学归纳法的发明作了巨大贡献,他首先明确而清晰地阐述数学归纳法的运用程序,并完整地使用数学归纳法,证明了他所发
最新高三数学知识点总结
最新高三数学知识点总结 精品学习高中频道为各位同学整理了高三数学知识点总结,供大家参考学习。更多各科知识点请关注新查字典数学网高中频道。 1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的确定性、互异性、无序性。 中元素各表示什么? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。 3. 注意下列性质: (3)德摩根定律: 4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法) 的取值范围。 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么? (互为逆否关系的命题是等价命题。) 原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗?映射f:AB,是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射? (一对一,多对一,允许B中有元素无原象。) 8. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同? (定义域、对应法则、值域)
9. 求函数的定义域有哪些常见类型? 10. 如何求复合函数的定义域? 义域是_____________。 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗? 12. 反函数存在的条件是什么? (一一对应函数) 求反函数的步骤掌握了吗? (①反解x;②互换x、y;③注明定义域) 13. 反函数的性质有哪些? ①互为反函数的图象关于直线y=x对称; ②保存了原来函数的单调性、奇函数性; 14. 如何用定义证明函数的单调性? (取值、作差、判正负) 如何判断复合函数的单调性? 15. 如何利用导数判断函数的单调性? 值是( ) A. 0B. 1C. 2D. 3 a的最大值为3) 16. 函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么? (f(x)定义域关于原点对称) 注意如下结论:
数学归纳法经典练习及解答过程
数学归纳法经典练习及 解答过程 文稿归稿存档编号:[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-
第七节数学归纳法 知识点数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立. (2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.易误提醒运用数学归纳法应注意: (1)第一步验证n=n0时,n0不一定为1,要根据题目要求选择合适的起始值. (2)由n=k时命题成立,证明n=k+1时命题成立的过程中,一定要用到归纳假设,否则就不是数学归纳法. [自测练习] 1.已知f(n)=1 n + 1 n+1 + 1 n+2 +…+ 1 n2 ,则( ) A.f(n)中共有n项,当n=2时,f(2)=1 2 + 1 3 B.f(n)中共有n+1项,当n=2时,f(2)=1 2 + 1 3 + 1 4 C.f(n)中共有n2-n项,当n=2时,f(2)=1 2 + 1 3 D.f(n)中共有n2-n+1项,当n=2时,f(2)=1 2 + 1 3 + 1 4 解析:从n到n2共有n2-n+1个数,所以f(n)中共有n2-n+1项,且f(2)=1 2 + 1 3 + 1 4 ,故选D. 答案:D
2.(2016·黄山质检)已知n 为正偶数,用数学归纳法证明1-12+13-14+…+1 n +1 = 2? ???? 1n +2+1n +4 +…+12n 时,若已假设n =k (k ≥2为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证n =( )时等式成立( ) A .k +1 B .k +2 C .2k +2 D .2(k +2) 解析:根据数学归纳法的步骤可知,则n =k (k ≥2为偶数)下一个偶数为k +2,故选B. 答案:B 考点一 用数学归纳法证明等式| 求证:(n +1)(n +2)·…·(n +n )=2n ·1·3·5·…·(2n -1)(n ∈N *). [证明] (1)当n =1时,等式左边=2,右边=21·1=2,∴等式成立. (2)假设当n =k (k ∈N *)时,等式成立,即(k +1)(k +2)·…·(k +k )=2k ·1·3·5·…·(2k -1). 当n =k +1时,左边=(k +2)(k +3)·…·2k ·(2k +1)(2k +2) =2·(k +1)(k +2)(k +3)·…·(k +k )·(2k +1) =2·2k ·1·3·5·…·(2k -1)·(2k +1) =2k +1·1·3·5·…·(2k -1)(2k +1). 这就是说当n =k +1时,等式成立. 根据(1),(2)知,对n ∈N *,原等式成立. 1.用数学归纳法证明下面的等式: 12-22+32-42+…+(-1)n -1·n 2=(-1)n -1n ?n +1? 2 . 证明:(1)当n =1时,左边=12=1, 右边=(-1)0 ·1×?1+1? 2 =1, ∴原等式成立. (2)假设n =k (k ∈N *,k ≥1)时,等式成立,
(完整版)高中数学不等式知识点总结
选修4--5知识点 1、不等式的基本性质 ①(对称性)a b b a >?> ②(传递性),a b b c a c >>?> ③(可加性)a b a c b c >?+>+ (同向可加性)d b c a d c b a +>+?>>, (异向可减性)d b c a d c b a ->-?<>, ④(可积性)bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a <>0, ⑤(同向正数可乘性)0,0a b c d ac bd >>>>?> (异向正数可除性)0,0a b a b c d c d >><> ⑥(平方法则) 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦(开方法则)0,1)a b n N n >>∈>且 ⑧(倒数法则) b a b a b a b a 110;110>?<< >> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈,,(当且仅当a b =时取""=号). 变形公式:22 .2a b ab +≤ ②(基本不等式) 2a b +≥()a b R +∈,,(当且仅当a b =时取到等号). 变形公式: a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大),要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. ③(三个正数的算术—几何平均不等式) 3a b c ++≥()a b c R +∈、、(当且仅当a b c ==时取到等号).
④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈, (当且仅当a b c ==时取到等号). ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> (当且仅当a b c ==时取到等号). ⑥0,2b a ab a b >+≥若则(当仅当a=b 时取等号) 0,2b a ab a b <+≤-若则(当仅当a=b 时取等号) ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1,(其中000)a b m n >>>>,, 规律:小于1同加则变大,大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时,或 22. x a x a a x a -<< ⑨绝对值三角不等式 . a b a b a b -≤±≤+ 3、几个著名不等式 ①平均不等式:1122a b a b --+≤≤≤+,,a b R +∈(,当且仅当a b =时取"" =号). (即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均). 变形公式: 2 22;22a b a b ab ++??≤≤ ??? 222().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式: 222212121...(...).n n a a a a a a n +++≥+++ ③二维形式的三角不等式: ≥1122(,,,). x y x y R ∈ ④二维形式的柯西不等式: 22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时,等号成立.
文科高考数学必背公式
文科高考数学必背公式
文科高考数学必背公式 高中数学诱导公式全集: 常用的诱导公式有以下几组: 公式一: 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z) 公式二: 设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三:
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四: 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五: 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα
公式六: π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系:sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα
高中数学专题复习数学归纳法的解题应用知识点例题精讲
数学归纳法的解题运用 【高考能力要求】 数学归纳法是证明与自然数有关的问题,在近年的高考题中,一般不作单独的考题,而是以应用为主,且常与数列、函数、不等式、导数等结合起来进行考查,主要考查归纳、猜想、证明的数学思想方法,若出现在押轴题中则往往难度较大,分值为7分左右。涉及的主要解题方法是先求出它的前几项,找出其规律、归纳出其共有形式(如问题的一般规律、结构特征等),才能作出正确的猜想,然后用数学归纳法加以证明.其解题模式是:归纳?猜想?证明。在用数学归纳法证明时,要注意正确掌握数学归纳法原理和证明步骤,特别在证明不等式时要注意结合不等式证明的放缩法、分析法等方法。 【例题精讲】 【例1】已知函数)(x f 满足1)1(),0,,()()(=≠∈+=f b R b a b x af x xf ,且使 x x f =)(成立的实数x 是唯一的。 (1) 求函数)(x f 的解析式、定义域、值域; (2) 如果数列{}n a 的前n 项和为n S ,且12) (++= n a f n S n n ,试求此数列的通项公式。 分析:(1)由1)1(=f 及x x f =)(有唯一解建立关于b a ,的方程组,解出b a ,即可;(2)利用n n n S S a -=++11将已知条件转化为1+n a 与n a 的递推关系式,从而猜想出 n a 的表达式并用数学归纳法加以证明。 解:(1)a x b x f -= )(,∵ b a f =-?=11)1( ① 由x x f =)(得 02=--b ax x 有唯一解,∴ 042=+=?b b ② 由①②得 1,2-==b a ,∴x x f -= 21 )(,其定义域为{}2|≠x x ,值域为{}0|≠y y
数学归纳法的应用
数学归纳法的应用 姓名 甘国优 指导教师 赵慧炜 中文摘要:数学归纳法是数学中一种非常普遍的证题的方法,其应用极为广泛.本次主要简述了数学归纳法的简略步骤:观察(探索)﹑归纳﹑猜想﹑证明于一体的数学思想,体现出数学归纳法的证题思路.并归纳总结了数学归纳法解决代数恒等式﹑几何等方面的一些简单应用问题的方法,对应用中常见的误区加以剖析,以及介绍一些证题方法技巧,有助于提高对数学归纳法的应用能力. 关键词:数学归纳法;步骤;证明方法. Abstract: Mathematical induction is a common evidence method in mathematics, it is have very broad application. In this paper, author research into the step of the Mathematical induction , it includes summariz ,evidence and guess embody the idea of the evidence of mathematical induction. Also at here ,we summariz the method of the mathematical induction application in solve algebra identities , geometric ,order and portfolio ,and so on .also analyze the common errors on application and into duct skill of the proof ,proof of skills introduced. It is help to increased the level of the Mathematical induction’s application . Key words :Mathematical induction; Steps ; Proof. 引言 演绎和归纳是人在思维过程中两个完全相反的过程.同时又是数学思维中两种基本的方法.数学归纳法是一种重要的数学证明方法,他有着其他方法所不能代替的作用,也是证明与自然数有关的数学命题的一种完全归纳法.我们在学习运用数学归纳法应具备两个条件:①当1n =时,这个命题为正确的(奠基),②当n k =时,这个命题也为正确的.推出当+1n k =时,这个命题也为正确的(递推).通过“递推”链接,实现从特殊到一般的转化,抽象的进行数学归纳.首先