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2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 (IV)

2020-2021学年高二数学上学

期期末考试试题 (IV)

xx.01

注意事项：

1．答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）

1. 命题“(0,

x π

?∈，sin 1x <”的否定是 ▲ ．

2. 已知直线l 过点()()11

20A ,B ,、,则直线l 的斜率为 ▲ ． 3. 一质点的运动方程为210S t =+（位移单位：m ；时间单位：s ），则该质点在3t =时

的瞬时速度为 ▲ /m s ．

4. 课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4128、、, 若用分层抽样的方法抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为 ▲ 个.

5. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线28y x =的准线方程为 ▲ ．

6. 执行如图所示的伪代码，若输出的y 的值为10，则输入的x 的值是 ▲ ．

7.若R a ∈,则“3a =-”是“直线1l ：10ax y +-=与2l ：

()1240a x ay +++=垂直”的 ▲ 条件．

（注：在“充要”、“既不充分也不必要”、“充分不必要”、“ 必要不充分”中选填一个） 8. 函数()332f x x x =-+的单调递减区间为 ▲ ．

9. 已知椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>左焦点为F 1，左准线为l ，若过F 1且垂直于x 轴的弦的

长等于点F 1到l 的距离，则椭圆的离心率是 ▲ ．

10. 有一个质地均匀的正四面体木块4个面分别标有数字1234,,,.将此木块在水平桌面上抛两次，则两次看不到．．．

的数字都大于2的概率为 ▲ ． 11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线

x y m m -=+的一个焦点为()30,，则双曲线的渐近线方程为 ▲ ．

Read x

If x <3 Then 2y x ← Else

1y x ←+ End If Print y

（第6题）

12. 已知可导函数()f x 的定义域为R ，()12f =，其导函数()f x '满足()23f x x '>,则不等式()3281f x x <+的解集为 ▲ ．

13. 已知圆()2

2:16C x y +-=，AB 为圆C 上的两个动点，且22AB =，G 为弦AB

的中点.直线20l :x y --=上有两个动点PQ ，且2PQ =.当AB 在圆C 上运动时，

PGQ ∠恒为锐角，则线段PQ 中点M 的横坐标取值范围为 ▲ ．

14．函数()x

f x x e a =-在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是 ▲ ．

二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15.（本小题满分14分）

已知m 为实数.命题p ：方程

1313x y m m +=--表示双曲线；命题q ：对任意x R ∈，29

(2)04

x m x +-+

>恒成立. （1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题“p 或q ”为真命题、“p 且q ”为假命题，求实数m 的取值范围．

16．（本小题满分14分）

某商场亲子游乐场由于经营管理不善突然倒闭。在进行资产清算时发现有3000名客户办理的充值会员卡上还有余额. 为了了解客户充值卡上的余额情况，从中抽取了300名客户的充值卡余额进行统计．其中余额分组区间为[)500,600，[)600,700，[)700,800，[)800,900，

[]900,1000，其频率分布直方图如图所示，请你解答下列问题：

（1）求a 的值；

（2）求余额不低于900元的客户大约为多少人？

（3）根据频率分布直方图，估计客户人均损失多少？(用组中值代替各组数据的平均值)．

17.（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy 中，直线:420l kx y k ---=，k R

∈

(1)直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由;

(2)已知点(2,0),(1,0)A B -，若直线l 上存在点P 满足条件2PA PB =，求实数k 的取值范围.

18.（本小题满分16分）

xx 扬州市政府打算在如图所示的某“葫芦”形花坛中建一喷泉，该花坛的边界是两个半径为12米的圆弧围成，两圆心1O 、2O 之间的距离为12米．在花坛中建矩形喷泉，四个顶点A ，

B ，

C ，

D 均在圆弧上，12O O AB ⊥于点M ．设2AO M

，

(1)4

当

时, 求喷泉ABCD 的面积S ;

(2) 求cos θ为何值时，可使喷泉ABCD 的面积S 最大?.

19．（本小题满分16分）

已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的长轴长为22，离心率为22

(1)求椭圆C 的方程；

(2)过动点(0,)(0)M m m >的直线交x 轴于点N ，交椭圆C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交椭圆C 于另一点Q ，延长QM 交椭圆C 于点

B .

①设直线PM 、QM 的斜率分别为,'k k ，证明

k '

为定值; ②求直线AB 斜率取最小值时，直线PA 的方程. 20．（本小题满分16分）

已知函数ln ()1x

f x x =

+ ,

()(1)()x m x f x x ?=+- ()m R ∈ (1) 求()f x 在1=x 处的切线方程；

(2) 当0m >时，求()x ?在[]1,2上的最大值； (3) 求证：()f x 的极大值小于1.

扬州市xx 第一学期期末调研测试试题

高二数学参考答案

一、填空题：

1. (0,)2x π

?∈，sin 1x ≥ 2．-1 3．6 4. 2 . 5. 2x =- 6. 3

7．充分不必要 8.()1,1- (写成[]1,1-[)(]1,1,1,1--也算对) 9．

10．

14 .11．52y x =±

12． 12,?

?-∞ ??

? 13. ()()03,,-∞+∞ 14(]

)23,e e ,?-∞+∞?.．

二、解答题：

15．解：（1）若命题p 为真命题，则()()3130m m --<，即m 的取值范围是

m <<. …………………………………………………………………4分

（2）若命题q 为真命题，则0?<，解得15m -<<．即()1,5m ∈-．…………7分 ∵命题“p 或q ”为真命题、“p 且q ”为假命题，∴p 和q 中有且仅有一个正确．

若p 真q 假，则1

3315m m m ?<

??≤-≥?或，解得m φ∈； ………………………………10分

若p 假q 真，则13

15m m m ?

≤≥???-<

或，解得113m -<≤或35m ≤<．………………13分所以，综上所述：m 的取值范围为[)11,3,53

??- ?

．………………………………14分

16. 解：（1）由()1000.00050.0020.0040.0011a ?++++=，解得0.0025a =……4分（2）余额在[]900,1000之间的频率为0.1，故可估计余额不低于900元的客户大约为

30000.1300?=(人) ………………………………………………………………………8分

（3）客户人均损失的估计值为：

5500.056500.27500.48500.259500.1765?+?+?+?+?=(元)…………………14分

(注: 若仅有列式,没有前面文字说明,必需要答,否则扣1分) 17．解：(1) 解：假设直线l 过定点(,)a b ，

则420,k(2)40ka b k a b ---=---=即

关于k R ∈恒成立， ………2分

2040

a b -=?∴?+=?，

24a b =?∴?=-?， ………4分所以直线l 过定点，定点坐标为(2,4)- ………6分 (2) 已知点(2,0),(1,0)A B -，设点(,)P x y ，则2

(2),(1)PA x y PB x y =++=-+，

2PA PB =，224PA PB ∴=， 2222(2)4[(1)]x y x y ∴++=-+

所以点(,)P x y 的轨迹方程为圆2

(2)4x y -+=， ………10分又点(,)P x y 在直线:420l kx y k ---=上，

所以直线:420l kx y k ---=与圆2

(2)4x y -+=有公共点， ………12分设圆心到直线的距离为d ，则2

|2042|

k k d r k ---=

≤=+，

解得实数k 的范围为3k ≤-或3k ≥. ……… 14分

18．解: (1) 在直角2AO M Δ中，12sin

=624

AM π

=，212cos =12cos

=624

O M π

θ=，

则12212AD =+，B 2AM=122A = ………2分所以AB AD=122(122+12)=288+1442S =? （平方米） ………3分答：矩形ABCD 的面积S 为288+1442平方米. ………4分 (2)在直角2AO M Δ中，12sin AM θ=，212cos O M θ=，则24cos 12AD θ=+，

所以矩形ABCD 的面积24sin (24cos 12)288(2sin cos sin )S θθθθθ=+=+，………8分

………10分

令()2sin cos sin f θθθθ=+，0

，

则2'()2cos2cos 4cos cos 2f θθθθθ=+=+-， ………12分令'()0f θ=，得331cos 8θ-=．设0331cos 8

θ-=，且0

，

列表如下：

()00,θ

0θ

0(,)3

πθ

'()f θ +

0 -

()f θ

↗ 极大值 ↘

所以当0θθ=时, ()f θ最大, 即S 最大．

此时0331cos 8θ-= ………………15分

答：当331cos 8θ-为时，喷泉ABCD 的面积S 最大 ………………16分

19. 解： (1)由题意得: 2222,

c a a == 222,1,211a c b a c ===-=-=所以 ………2分

212

x y +=故椭圆方程为， ………4分

(2) ①设0000(,),(0,0)P x y x y >>，由M(0,m)，可得00(,2),(,2)P x m Q x m - 所以直线PM 的斜率002m m m k x x -=

= ，直线QM 的斜率00

23'm m m

k x x --==-.……6分此时

13k k =-'，所以k k '为定值1

-. ………8分 ②设1122(,),(,)A x y B x y ，直线PA 的方程为y kx m =+，直线QB 的方程为

3y kx m =-+.

联立22

y kx m x y =+???+=??，整理得

222

2+14220k x kmx m ++-=（），由22222012168(1)(21))02221k m m k m x x k ??=--+>??-=

?+?

，可得2

1202221m x k x -=+（），2112

21m y kx m k m k x -=+=++（）同理222022181m x k x -=+（），22220

33181m y kx m k m k x -=-+=-++（）. ………10分

所以221222032(1)(21181k m x x k k x --=++)(），221222

2222

318121m m y y k k k x k x ---=+++（）（）， 222

2122222

00244612(1)8(1)2118121181k k y y k m k m k k x k k x ++-=-=-++++()(）()(），

所以212126111

(6)44AB

y y k k k x x k k

-+===+- ， ………12分由00,0m x >>，可知0k >，所以1

626k k

≥ ，当且仅当66k =时取得等号. 由0(,2)P x m ，00,0m x >>在椭圆C :2

212x y +=上得2028x m =-，2028m m k x m

==-

此时

28m m =

-，即77m =， ………14分

由0?>得，2

21m k <+，所以66k =，7

m =符号题意. 所以直线

的斜率的最小值，直线

的方程为

67y x =

………16分 ②法2：同上可得21202221m x k x -=+（）；2220

22181m x k x -=+（）………10分

因为12

112212

,y ,3AB y y k kx m y kx m x x -=

=+=-+-

所以()()12

121212

33AB

kx m kx m x kx k x x x x +--++==

--222

200222200

22223211812222211m m k k k x k x m m k x k x --+++=---

++（）（）（）（18） 22223211811121181k

k k k k k +++=

++（）（）（）（）

26111(6)44k k k k

+==+………12分

下面同解法1.

20. 解：（Ⅰ）

(1)ln 1ln ()(1)(1)x x x

x x f x x x +-+-'==++， …………2分 1(1)2f '∴

=，()f x ∴在1=x 处的切线方程为1

(1)(1)2y f x -=-, 即210x y --=

…………4分

（2）()ln x m x x ?=-,(0m >), 令()10m

x x

?'=

-=，得x m =，在区间(0,)m 上， ()0x ?'>，函数()x ?是增函数；

在区间(,)m +∞上，

()0x ?'<，函数()x ?是减函数; …………6分故当[]max 0<1,(x)1,2,()(1) 1.m x ???≤==-时在上递减当max 1<2,(),()()ln .

m x x m m m m ???<==-时先增后减故

当[]max 2,()1,2,()(2)mln2-2.m x x ???≥==时在上递增此时 …………10分

(3)

1ln ()(1)+

-'=+x

x f x x ，令1()1ln =+-g x x x ， 211()0'=--

()1ln =+-g x x x 在(0,)+∞上单调递减，(1)20=>g ，

221

()10=-

，所以存在唯一的20(1,)∈x e ， …………12分

当0(0,)∈x x 时，()0'>f x ，

当0(,)∈+∞x x 时，()0'

是0(,)+∞x ，其中20(1,)∈x e ，所以函数()f x 有极大值. …………14分

函数()f x 的极大值是000ln ()1

+x f x x ，由0()0'=f x ，得001

1ln 0+-=x x ，所以000000

1ln 1

()11+

===++x x f x x x x ，因为20(1,)∈x e ，所以011

所以()f x 的极大值小于1. …………16分【感谢您的阅览，下载后可自由编辑和修改，关注我每天更新】