a第7讲-第8讲第3章 泊松过程

一．假定某天文台观察到的流星流是一个泊松过程, 据以往资料统计为每小时平均观察到 3 颗流星.试求:

( 1 ) 在上午 8 点到 12 点期间, 该天文台没有观察到流星的概率 .

( 2 ) 下午( 12 点以后)该天文台观察到第一颗流星的时间的分布函数 .

二．设电话总机在]

X是具有强度

,0(t内接到电话呼叫数)

(t

λ的泊松过程，求

（每分钟）2

=

（1）两分钟内接到2次呼叫的概率；

（2）“第二分钟内收到第2次呼叫”的概率。

维纳过程

如果它满足

给定实随机过程,}0),({≥t t W ;

)2(是平稳的独立增量过程;0)),(,0()()( ,0 )3(2

>??≥>σσ且～增量

对任意的s t N s W t W s t .

0)0()1(=W 则称此过程为维纳过程.

3. 维纳过程的特征

).

,min(),(),(2t s t s R t s B W W σ==;

0),,0()( 2>σσ且～t N t W ).

,min()]()()(()([(2

a t a s a W s W a W s W E ??=??σ,

,0+∞<<≤?t s a （１）（２）)]

()())(()([(a W t W a W s W E ??,

t s <令))]()()()())(()([(a W s W s W t W a W s W E ?+??=))]

()())(()([(s W t W a W s W E ??=))]()())(()([(a W s W a W s W E ??+).(2a s ?=σ

五.平稳过程

定义2.12,,,,,21T t t t N n n ∈∈L ))

(,),(),((21n t X t X t X n L 变量维随机))

(,),(),((21h t X h t X h t X n +++L 和具有相同的分布函数, 则称随机过程}),({T t t X ∈具有平稳性, 并同时称此过程为严平稳随机过程,(或狭义平稳过程).

与

常数若对为随机过程设τ?∈,}),({T t t X ,,,,21时当T t t t n ∈+++τττL 严平稳过程的任意有限维概率分布不随时间的推移而改变.

,

}),({是严平稳过程若T t t X ∈,时间无关则它的一维概率分布与它的二维概率分布, 21的时间间隔有关只与 t .

与时间起点无关

{}.,),(,,,);()]()([),(,,)2( );

()]([)(,)1( ,),( 简称为平稳过程平稳过程广义或弱为宽则称的取值无关而与的大小有关即其相关函数仅与对关的常数无与对如果

是二阶矩过程设X t s s t s t R t X s X E t s R T t s t const m t X E t m T t T t t X X X X X X ??==∈?===∈?∈=.

}),({,为平稳序列则称平稳过程为离散集若T t t X T ∈13.2定义

试讨论它的平稳性

相位周期过程为随机称定义变量上均匀分布的随机是服从区间的连续函数是一个周期为设随机相位周期过程例.)(),,(),()(.],0[,)()( t X t t s t X T T t s +∞?∞∈Φ+=Φ解φ

φφΦΦd )()()]([)]([)(∫∞

∞?+=+==p t s t s E t X E t m X u u s T u u s T t s T T T t t T ∫∫∫==+=+0

0d )(1d )(1d )(1φφ,

)(无关的常数是一个与t t m X

[])()(),(ττ+=+t X t X E t t R X []

)()(Φ++Φ+=τt s t s E φφφτd p t s t s )()()(Φ∞

∞∫++Φ+=φφτφ∫+++=T t s t s T 0

d )()(1u u s u s T T t t

∫++=d )()(1τu u s u s T T ∫+=0

d )()(1τ,有关其值仅与τ.

是一平稳过程因而随机相位周期过程

t

c c 且对任意的给出由不同的电流符号信号是在电报信号传输中随机电报信号例,,,)( ????

??????2121~)(c c t X {}的平稳性试讨论过程为为是强度内的变号次数在设的时间是随机的电流变换符号任意的持续时间而电流的发送又有一个0),(,)(],0[)(,,≥t t X Poisson t N t t X λ:解0,0)(2

121)]([()(≥=?+==t c c t X E t m X

:解)]

()([),(ττ+=+t X t X E t t R X {}{}

2222)()()()()(c t X t X P c c t X t X P c ?=+?+=+=ττ{}{}为奇数为偶数)()()(22ττN P c N P c ?+=0,0)(2

121)]([()(≥=?+==t c c t X E t m X τλτλτλτλ?∞=+?∞=∑∑+?=e k c e k c k k k k 01

22022)!12()()!2()(,),(无关与t t t R X τ+{}是平稳过程

随机电报信号0),(≥∴t t X ,

e !)(e 220-2τλτλτλ?∞==?=∑c k c k k ???????

??2121~)(c c t X

,

),(无关与t t t R X τ+{}是平稳过程

随机电报信号0),(≥∴t t X 关于平稳过程更详细的讨论在第六章

τλτλτλτλ?∞=+?∞=∑∑+?=e

k c e k c k k k k 01

22022)!12()()!2()(,

e !)(e 220-2τλτλτλ?∞==?=∑c k c k k ???????

??2121~)(c c t X

第三章泊松过程

§3.1 泊松过程的的定义和例子1.问题的提出

下列事件随时间的推移迟早会重复出现.

(1) 自电子管阴极发射的电子到达阳极;

(2) 机器零件发生故障;

(3) 要求服务的顾客到达服务站.

2. 问题的分析与求解

将电子、顾客等看作时间轴上的质点,电子到达阳极、顾客到达服务站等事件的发生相当于质点出现.因此研究的对象可以认为是随时间推移,陆续地出现在时间轴上的许多质点所构成的随机的质点流.

.

,],0(0,)(出现的质点数时间轴上内表示在时间间隔 用t t t N ≥.

,}0),({称为 续的随机过程、时间连是一个状态取非负整数 ≥t t N 计数过程

计数过程的一个典型样本函数

定义 3.1 称随机过程{}0),(≥t t N 为计数过程；若)(t N 表示到时刻t 为止已发生的A 事件"的总数，且)(t N 满足下列条件：

（1）()0≥t N

（2）()t N 取正整数

（3）若则,t s <)()(t N s N ≤；

（4）当t s <时，)()(s N t N ?等于区间],(t s 中""A 事件发生的次数。

?独立增量计数过程

对于t 1< t 2 < …< t n ，N (t 2) -N (t 1),

N (t 3) -N (t 2), …, N (t n )-N (t n-1) 独立

?平稳增量计数过程

在(t , t+s ]内(s >0)，事件A 发生的次数

N (t+s ) -N (t )仅与时间间隔s 有关，而

与初始时刻t 无关

定义 3.2 称计数过程{}0),(≥t t X 为具有参数0>λ的泊松过程，若它满足下列条件：

（1）0)0(=X

（2）)(t X 是平稳独立增量过程；

（3）在任一长度为t 的区间中，事件A 发生的次数服从参数0>t λ的泊松分布，

即对任意0,≥t s ，有

{}L ,1,0,!)()()(===?+?n n t e n s X s t X P n t λλ Poisson 分布λ

λ?==e k k X P k !)(教材有误,)]([t t X E λ=,/)]([t t X E =λ

☆注：

(1)泊松过程是平稳增量过程

(2)由E[X(t)]=λt ,知λ=E[X(t)]/ t

故λ表示过程的强度

例在(0, t]内接到服务台咨询电话的次数X(t)，在(0, t]内到某火车站售票处购买车票的旅客数X(t)等

定义 3.3 称计数过程{}0),(≥t t X 为具有参数0>λ的泊松过程，若它满足下列条件：

由定义中条件(3)，在充分小的时间间隔内，最多有一个事件发生，有两个或两个以上事件同时发生可能性极小。

（1）0)0(=X

（2）)(t X 是独立、平稳增量过程；

（3）)(t X 满足下列两式：

{})(1)()(h o h t X h t X P +==?+λ

{})(2)()(h o t X h t X P =≥?+

定义3.2?定义3.3

定义 3.2 称计数过程{}0),(≥t t X 为具有参数0>λ的泊松过程，若它满足下列条件：

（1）0)0(=X

（2）)(t X 是平稳独立增量过程；

（3）在任一长度为t 的区间中，事件A 发生的次数服从参数0>t λ的泊松分布，

定义3.3 （1）0)0(=X

（2）)(t X 是独立、平稳增量过程；

（3）)(t X 满足下列两式：

{})(1)()(h o h t X h t X P +==?+λ

{})(2)()(h o t X h t X P =≥?+

随机过程poisson过程 中科大

Poisson 过程 1.考虑电子管中的电子发射问题.设单位时间内到达阳极的电子数目N 服从参数为λ的Poisson 分布,而每个电子携带的能量各自不相关且与N 独立,并均服从于区间[1,2]上的均匀分布.记单位时间内阳极接收的能量为S .求S 的期望和方差. 2.设{X (t ),t ≥0}为一个独立增量过程,且X (0)=0,分别记V (t ),R (t,s )为{X (t ),t ≥0}的方差函数和协方差函数,证明:R (t,s )=V (min {t,s }). 3.设N (t )是一强度为λ的Poisson 过程,s,t >0,试求: (a)P(N (s )=k |N (s +t )=n )=?k =1,...,n ; (b)E[N (s )N (s +t )]=? (c)Cov(N (s ),N (s +t ))=? (d)E[N (s +t )|N (s )]的期望和分布; (e)E[W k |N (t )=n ]=?E[W k ]=?(W k 为第k 个事件发生的时刻) 4.某路口蓝车,白车和黄车的到达分别为强度λ1,λ2和λ3的Poisson 过程,且相互独立.试求:(a)第一辆蓝车到达的平均时间和第一辆车到达的平均时间; (b)蓝车首先到达的概率; (c)蓝车先于黄车但落后于白车的概率; (d)在相继到达的两辆蓝车之间,恰有k 辆车到达的概率以及数学期望; (e)在t 0处观察到一辆黄车,在接下来恰有k 辆蓝车连续到达的概率以及数学期望. 5.设要做的试验的次数服从参数为λ的Poisson 分布,试验有n 个可能的结果,每次试验出现第j 个结果的概率为p j ,∑n j =1p j =1.若各次试验相互独立,并以X j 记第j 个结果发生的次数,试求E[X j ]、Var[X j ],j =1,...,n .又问X j 服从什么分布？且X 1,...,X n 是否相互独立？为什么？ 6.某人甲负责订阅杂志.设前来订阅杂志的人数服从强度为6的Poisson 过程,每人分别以概率1/2,1/3,1/6订阅1季,2季,3季杂志,且各人的选择相互独立.现以N i (t )表示(0,t ]时段内订阅i 季杂志的人数,i =1,2,3. 1

随机过程作业

第三章 随机过程 A 简答题： 3-1 写出一维随机变量函数的均值、二维随机变量函数的联合概率密度（雅克比行列式）的定义式。 3-2 写出广义平稳（即宽平稳）随机过程的判断条件，写出各态历经随机过程的判断条件。 3-3 平稳随机过程的自相关函数有哪些性质功率谱密度有哪些性质自相关函数与功率谱密度之间有什么关系 3-4 高斯过程主要有哪些性质 3-5 随机过程通过线性系统时，输出与输入功率谱密度之间的关系如何 3-6 写出窄带随机过程的两种表达式。 3-7 窄带高斯过程的同相分量和正交分量的统计特性如何 3-8 窄带高斯过程的包络、正弦波加窄带高斯噪声的合成包络分别服从什么分布 3-9 写出高斯白噪声的功率谱密度和自相关函数的表达式，并分别解释“高斯”及“白”的含义。 3-10 写出带限高斯白噪声功率的计算式。 B 计算题： 一、补充习题 3-1 设()()cos(2)c y t x t f t πθ=?+，其中()x t 与θ统计独立，()x t 为0均值的平稳随机过程，自相关函数与功率谱密度分别为：(),()x x R P τω。 ①若θ在（0，2π）均匀分布，求y()t 的均值，自相关函数和功率谱密度。 ②若θ为常数，求y()t 的均值，自相关函数和功率谱密度。 3-2 已知()n t 是均值为0的白噪声，其双边功率谱密度为：0 ()2 N P ω= 双，通过下图()a 所示的相干解调器。图中窄带滤波器（中心频率为c ω）和低通滤波器的传递函数1()H ω及2()H ω示于图()b ，图()c 。

试求：①图中()i n t （窄带噪声）、()p n t 及0()n t 的噪声功率谱。 ②给出0()n t 的噪声自相关函数及其噪声功率值。 3-3 设()i n t 为窄带高斯平稳随机过程，其均值为0，方差为2 n σ，信号[cos ()]c i A t n t ω+经过下图所示电路后输出为()y t ，()()()y t u t v t =+，其中()u t 是与cos c A t ω对应的函数，()v t 是与()i n t 对应的输出。假设()c n t 及()s n t 的带宽等于低通滤波器的通频带。 求()u t 和()v t 的平均功率之比。

复合泊松过程应用问题

课程名称：《随机过程》 课程设计（论文） 题目: 复合泊松过程应用问题 学院：理学院 专业：数学与应用数学 班级：数学11-1班 学生姓名： abc 学生学号： abc 指导教师： abc 2013 年 12 月 9 日

目录 任务书 (3) 摘要 (4) 第一章绪论 (5) 第二章复合泊松过程的基本理论 (5) 2.1 复合泊松过程的定义及物理意义 (5) 2.2 复合泊松过程的实例 (5) 2.3 与复合泊松过程有关的的命题 (6) 2.4 复合泊松过程恒等式 (8) 2.5复合泊松过程的可加性及证明 (8) 第三章问题描述及分析计算 (10) 3.1 以复合泊松过程为模型的问题 (10) 3.2典型例题的具体分析 (10) 第四章MATLAB程序及运行结果 (11) 4.1 典型1,2的matlab程序 (11) 4.2 问题小结 (13) 第五章结论 (13) 第六章参考文献 (13) 评阅书 (14)

课程设计任务书

摘要 泊松过程是由法国著名数学泊松（Poisson, Simeon-Denis）（1781—1840）证明的。1943年 C.帕尔姆在电话业务问题的研究中运用了这一过程，后来Α.Я.辛钦于50年代在服务系统的研究中又进一步发展了它。现在泊松过程在物理学、地质学、生物学、医学、天文学、金融、服务系统和可靠性理论等领域中都有广泛的应用。非齐次泊松过程和复合泊松过程作为泊松过程推广的一种，其应用更是广泛，那么本文主要讲的是复合泊松过程的应用及其推广。 本文通过应用复合泊松过程的定义、基本理论，及其可加性的重要定理分析生活中的实际问题，并模拟复合泊松过程的模型，利用MATLAB软件进行求解，最后进行问题的分析，给出合理总结及误差分析。在实际问题中，通过结合复合泊松过程的性质，定理和概率论，各种模型的分布等知识去更好的解决，提出实用性建议。 关键字：复合泊松过程 MATLAB软件概率论模型分布

a第7讲-第8讲第3章 泊松过程

一．假定某天文台观察到的流星流是一个泊松过程, 据以往资料统计为每小时平均观察到 3 颗流星.试求: ( 1 ) 在上午 8 点到 12 点期间, 该天文台没有观察到流星的概率 . ( 2 ) 下午( 12 点以后)该天文台观察到第一颗流星的时间的分布函数 . 二．设电话总机在] X是具有强度 ,0(t内接到电话呼叫数) (t λ的泊松过程，求 （每分钟）2 = （1）两分钟内接到2次呼叫的概率； （2）“第二分钟内收到第2次呼叫”的概率。

维纳过程 如果它满足 给定实随机过程,}0),({≥t t W ; )2(是平稳的独立增量过程;0)),(,0()()( ,0 )3(2 >??≥>σσ且～增量 对任意的s t N s W t W s t . 0)0()1(=W 则称此过程为维纳过程.

3. 维纳过程的特征 ). ,min(),(),(2t s t s R t s B W W σ==; 0),,0()( 2>σσ且～t N t W ). ,min()]()()(()([(2 a t a s a W s W a W s W E ??=??σ, ,0+∞<<≤?t s a （１）（２）)] ()())(()([(a W t W a W s W E ??, t s <令))]()()()())(()([(a W s W s W t W a W s W E ?+??=))] ()())(()([(s W t W a W s W E ??=))]()())(()([(a W s W a W s W E ??+).(2a s ?=σ

五.平稳过程 定义2.12,,,,,21T t t t N n n ∈∈L )) (,),(),((21n t X t X t X n L 变量维随机)) (,),(),((21h t X h t X h t X n +++L 和具有相同的分布函数, 则称随机过程}),({T t t X ∈具有平稳性, 并同时称此过程为严平稳随机过程,(或狭义平稳过程). 与 常数若对为随机过程设τ?∈,}),({T t t X ,,,,21时当T t t t n ∈+++τττL 严平稳过程的任意有限维概率分布不随时间的推移而改变.

泊松过程

第二讲 泊松过程 1．随机过程和有限维分布族 现实世界中的随机过程例子： 液体中，花粉的不规则运动：布朗运动；股市的股票价格； 到某个时刻的电话呼叫次数； 到某个时刻服务器到达的数据流数量，等。 特征：都涉及无限多个随机变量，且依赖于时间。 定义（随机过程） 设有指标集T ，对T t ∈都有随机变量)(t X 与之对应，则称随机变量族 }),({T t t X ∈为随机过程。 注 一个随机过程是就是一个二元函数E T t X →?Ωω:),(。固定ω，即考虑某个事件相 应的随机变量的值，得到函数R T t X →:),(ω称为样本函数或轨道或一个实现。映射的值域空间E 称为状态空间。 例 随机游动(离散时间，离散状态) 质点在直线上每隔单位时间位置就发生变化，分别以概率p 或概率p -1向正或负向移动一个单位。如果以n S 记时刻n 质点所处的位置，那么就得到随机过程{,0}n S n ≥。这里指标集},1,0{ =T ，状态空间},1,0,1,{ -=E 。 如果记n X 为时刻n ，质点的移动，那么{,1}n X n ≥也是随机过程。 两个过程的区别：{}n S 不独立；{}n X 独立； 两个过程的关系：01 n n k k S S X ==+ ∑ 习题 计算n ES 和n DS （设00S =）。 提示 利用∑== n k k n X S 1 ，其中k X 是时刻k 的移动方式。 习题 设从原点出发，则()/2()/2()/2 ,2()0, 21n k n k n k n n C q p n k i P S k n k i +-+?+===?+=-?。 例 服务器到达的数据流(连续时间，离散状态) 在],0[t 内，到达服务器的数据包个数记为)(t N ，那么}0),({≥t t N 也是个随机过程， 其指标集}{+ ∈=R t T ，状态空间},1,0{ =E 。

自相关函数与偏自相关函数

自相关函数与偏自相关函数 上一节介绍了随机过程的几种模型。实际中单凭对时间序列的观察很难确定其属于哪一种模型，而自相关函数和偏自相关函数是分析随机过程和识别模型的有力工具。 1、自相关函数定义 在给出自相关函数定义之前先介绍自协方差函数概念。由第一节知随机过程{t x }中的每一个元素t x ，t = 1, 2, … 都是随机变量。对于平稳的随机过程，其期望为常数，用μ表示，即 ()t E x μ=，1,2,t =L 随机过程的取值将以 μ 为中心上下变动。平稳随机过程的方差也是一个常量 2()t x Var x σ=，1,2,t =L 2x σ用来度量随机过程取值对其均值μ的离散程度。 相隔k 期的两个随机变量t x 与t k x -的协方差即滞后k 期的自协方差，定义为： (,)[()()]k t t k t t k Cov x x E x x γμμ--==-- 自协方差序列：k γ，0,1,2,k =L 称为随机过程{t x }的自协方差函数。当k = 0 时，2 0()t x Var x γσ==。 自相关系数定义：k ρ= 因为对于一个平稳过程有：2 ()()t t k x Var x Var x σ-== 所以2 20 (,) t t k k k k x x Cov x x γγρσσγ-= = =，当 k = 0 时，有01ρ=。 以滞后期k 为变量的自相关系数列k ρ（0,1,2,k =L ）称为自相关函数。因为k k ρρ-=，即(,)t k t Cov x x -= (,)t t k Cov x x +，自相关函数是零对称的，所以实际研究中只给出自相关函数的正半部分即可。

应用随机过程实验2-泊松过程

应用随机过程实验2 —泊松过程 一.准备知识 1.泊松过程 2.非齐次泊松过程 3. 复合泊松过程 二.作业 1. 设()1X t 和()2X t 分别是参数为1λ和2λ的相互独立的泊松过程， （1）模拟()1X t 和()2X t ，并画图； （2）生成随机过程()()()12Y t =X +X t t ，并画图； （3）计算(){}Y t ,t 0≥ 的平均到达率与+1λ2λ的相对误差。 2. 设到达某商店的顾客组成强度为λ的泊松过程，每个顾客购买商品的概率为p ，且与其他顾客是否购买商品无关，假设每位购买商品的顾客的花费i X 独立同分布，且服从正态分布2X (,)i N μσ:，1,2,3,i =L ，令()Y t 是t 时刻购买商品的顾客数，()Z t 是t 时刻商品的营业额，0t ≥ ， （1）试模拟随机过程(){},0Y t t ≥，并画图，计算随机过程(){},0Y t t ≥ 的均值函数与pt λ的相对误差； （2）试模拟随机过程(){},0Z t t ≥，并画图，计算随机过程(){}t ,t 0Z ≥ 的均值函数与pt λμ的相对误差。

3. 某路公共汽车从早晨5时到晚上9时有车发出，乘客流量如下：5时按平均乘客为200人/小时计算；5时至8时乘客平均到达率线性增加，8时到达率为1400人/小时；8时至18时保持平均到达率不变；18时到21时到达率线性下降，到21时为200人/小时，假定乘客数在不重叠的区间内是相互独立的，令()X t 是t 时刻到达公共汽车的总人数， （1）计算早晨5时到晚上9时的乘客到达率，并画图； （2）模拟从早晨5时到晚上9时的乘客到达过程(){}X t ,t 0≥。

随机过程期末复习题

随机过程期末复习题库（2015） 一、填空题 1.对于具有常数均值的二阶矩过程，为宽平稳过程当且仅当二元函 数只与有关, 而与和无关。 2.对于具有常数均值的二阶矩过程，为宽平稳过程当且仅当二元函 数只与有关, 而与和无关。 3.设随机变量服从泊松分布，且，则 2 . 4.已知随机变量的二阶矩存在，且的矩母函数为，则. 5.已知随机变量的二阶矩存在，且的特征函数为，则 . 6.设是平稳序列，其协方差函数为，请给出的均值具有遍 历性的一个充分条件：． 7.设是平稳过程，其协方差函数为，请给出的均值具有遍历性 的一个充分条件：． 8.已知平稳过程的均值，协方差函数为，则该过程的自相关函数 ． 9.设为两个随机事件，，则 0.6 ． 10.设为二随机变量，，则 2 ． 11.已知随机变量的矩母函数为，则服从的分布是参数为的 泊松分布． 12.是二维正态分布，即，． 13.设随机变量的数学期望均存在，则． 14.为随机事件，随机变量的数学期望存在，则 ． 15.在强度为的泊松过程中，相继事件发生的间隔时间是相互独立的随机变量，且服从均 值为的同一指数分布. 16.设是强度为的泊松过程，表示第个事件发生的时刻，则的分布函 数为. 17.设是强度为的泊松过程，表示第个事件发生的时刻，则． 18.设是强度为的泊松过程，表示第个事件发生的时刻，则

． 解由定理3.2.3，在已知的条件下，事件发生的个时刻的条件联合分布函数与个在区间上相互独立同均匀分布的随机变量的顺序统计量的联合分布函数相同．故对，有 从而， 19.是强度为的泊松过程，表示第个事件与第个事件发 生的时间间隔.则. 解题思路：注意到与独立，且同服从参数为的指数分布即得． 20.设，是速率为的泊松过程. 则对于， . 21.设，是速率为的泊松过程. 对于， . 解对于，有 增量与独立 22.是强度为的泊松过程，表示第个事件与第个事件发 生的时间间隔.则对，. 解题思路：注意到与独立，且同服从参数为的指数分布即得． 23.设是强度为的泊松过程，表示第个事件与第个事件发 生的时间间隔，则. 24.设是强度为的泊松过程，表示第个事件发生的时刻，则 . 25.设是强度为的泊松过程，表示第个事件发生的时刻，则服从参 数为和的分布. 26.非齐次泊松过程，其强度函数为，则 . 解对于，有

概率统计讲课稿第十二章第五节平稳过程的相关函数与谱密度

第十二章 第五节 平稳过程的相关函数与 谱密度 一、 相关函数的性质 平稳过程)(t X 的自相关函数 )(τX R 是仅依赖于参数间距τ的函数。它有如下性质： 性质1 )(τX R 是偶函数， 即)(τ-X R )(τX R =； （事实上)]()([)(ττ+=t X t X E R X ， )]()([)(ττ-=-t X t X E R X )()]()([ττττX R t X t X E =+--= ） 性质2 2 )0(|)(|X X X R R ψ=≤τ ， 2 )0(|)(|X X X C C στ=≤， 就是说，自相关函数)(τX R 和自协方差函数 )(τX C 都在 0=τ 处达到最大值。事实上 （利用不等式|)(|XY E 2 1 2 2 1 2 ] [][EY EX ?≤） | )]()([||)(|ττ+=t X t X E R X )0()]([)]([21 2 2 1 2 X R t EX t EX =+≤τ，

| ))]()(())()([(||)(|τττ+-+?-=t EX t X t EX t X E C X 2 1 2 2 1 2 ] ))()(([]))()(([ττ+-+?-≤t EX t X E t EX t X E 2 )0(X X C σ== 。 性质3 )(τX R 非负定。即对任意实数n τττ,,,21Λ和任意函数)(τg 有 0)()()(1 ,≥-∑=j i j i n j i X g g R ττττ 。 事实上 )()()(1,j i j i n j i X g g R ττττ-∑= )()()]()([1 ,j i j i n j i g g X X E ττττ∑== 0)]()([21 ≥=∑=i i n i g X E ττ。 性质4 如果)(t X 是以T 为周期的周期平稳过程，即满足 )()(t X T t X =+，那么，)(τX R 也是以 T 为周期的函数。 事实上 )]()([)(T t X t X E T R X ++=+ττ

随机过程第三章 泊松过程

第三章 泊松过程 3.1 泊松过程 定义3.1 计数过程：随机过程{}(),0N t t ≥称为一个计数过程，若()N t 表示从0到时 刻t 为止某一事件A 发生的总数，它是一个状态取非负整数、时间连续的随机过程。计数过程满足以下条件： （1）()0N t ≥，且取值非负整数； （2）若s t <，则()()N s N t <； （3）对于s t <，()()N t N s -表示时间区间(,]s t 内事件A 发生的次数。 如果在不相交的时间区间中发生的事件个数是独立的，则称计数过程有独立增量过程。如时刻t 已发生的事件A 的次数即()N t ，必须独立于时刻t 和t s +之间所发生的事件数即 (()())N t s N t +-。 如果在任一时间区间内发生的事件A 的次数的分布只依赖于时间区间的长度，则称计数过程为平稳增量过程。即对一切12t t <及0s >，在区间12(,]t s t s ++中事件A 的发生次数即21(()())N t s N t s +-+与区间12(,]t t 中事件A 的发生次数即21(()())N t N t -具有相同的分布，则过程有平稳增量。 泊松过程是计数过程的最重要类型之一，其定义如下。 定义3.2 泊松过程：计数过程{}(),0N t t ≥称为参数为λ(0λ>)的泊松过程，如果满 足： （1）()0N t =； （2）过程有独立增量； （3）在任一长度为t 的区间中事件的个数服从均值为t λ的泊松分布。即对一切s ，0t ≥， {}()(),0,1,2,! n t t P N t s N s n e n n λλ-+-=== 从条件（3）可知泊松过程有平稳增量且[()]E N t t λ=，于是可认为λ是单位时间内发生事件A 的平均次数，一般称λ是泊松过程的强度或速率。 为确定一个任意的计数过程是泊松过程，必须证明它满足上述三个条件。其中，条件

第十二章 平稳随机过程

第十二章平稳随机过程 平稳随机过程是一类应用相当广泛的随机过程．本章在介绍平稳过程概念之后，着重在二阶矩过程的范围内讨论平稳过程的各态历经性、相关函数的性质以及功率谱密度函数和它的性质． §1 平稳随机过程的概念 在实际中，有相当多的随机过程，不仅它现在的状态，而且它过去的状态，都对未来状态的发生有着很强的影响．有这样重要的一类随机过程，即所谓平稳随机过程，它的特点是：过程的统计特性不随时间的推移而变化．严格地说，如果对于任意的 和任意实数A，当时，n维随机变量 具有相同的分布函数，则称随机过程具有平稳性，并同时称此过程为平稳随机过程，或简称平稳过程． 平稳过程的参数集T，一般为 ．当定义在离散参数集上时，也称过程为平稳随机序列或平稳时间序列．以下若无特殊声明，均认为参数集． 在实际问题中，确定过程的分布函敷，并用它来判定其平稳性，一般是很难办到的．但是，对于一个被研究的随机过程，如果前后的环境和主要条件都不随时间的推移而变化，则一般就可以认为是平稳的． ．376． 恒温条件下的热噪声电压过程以及第十章§1例2、例3都是平稳过程的例子．强震阶段的地震波幅、船舶的颠簸过程、照明电网中电压的波动过程以及各种噪声和干扰等等在工程上都被认为是平稳的． 与平稳过程相反的是非平稳过程．一般，随机过程处于过渡阶段时总是非平稳的．例如，飞机控制在高度为丸的水平面上飞行，由于受到大气湍流的影响，实际飞行高度H（他）应在A水平面上下随机波动，H（他）可看作是平稳过程，但论及的时间范围必须排除飞机的升降阶段(过渡阶段)，因为在升降阶段内由于飞行的主要条件随时间而发生变化，因而H(t)的主要特征也随时间而变化着，也就是说在升降阶段内过程II(t)是非平稳的．不过在实际问题中，当仅仅考虑过程的平稳阶段时，为了数学处理的方便，我们通常把平稳阶段的时间范围取为一oo<他<+oo．

随机过程题库1

随机过程综合练习题 一、填空题（每空3分） 第一章 1．n X X X ,,21是独立同分布的随机变量，i X 的特征函数为)(t g ，则 n X X X 21的特征函数是 。 2． )(Y X E E 。 3． X 的特征函数为)(t g ，b aX Y ，则Y 的特征函数为 。 4．条件期望)(Y X E 是 的函数， （是or 不是）随机变量。 5．n X X X ,,21是独立同分布的随机变量，i X 的特征函数为)(t g i ，则 n X X X 21的特征函数是 。 6．n 维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性 。 第二章 7．宽平稳过程是指协方差函数只与 有关。 8．在独立重复试验中，若每次试验时事件A 发生的概率为)10( p p ，以)(n X 记进行到n 次试验为止A 发生的次数， 则},2,1,0),({ n n X 是 过程。 9．正交增量过程满足的条件是 。 10．正交增量过程的协方差函数 ),(t s C X 。 第三章 11． {X(t), t ≥0}为具有参数0 的齐次泊松过程，其均值函数为 ； 方差函数为 。 12．设到达某路口的绿、黑、灰色的汽车的到达率分别为1 ，2 ，3 且均为泊松过程，它们相互独立，若把这些汽车合并成单个输出过程(假定无长度、无延时)，相邻绿色汽车之间的不同到达时间间隔的概率密度是 ，汽车之间的不同到达时刻间隔的概率密度是 。 13．{X(t), t ≥0}为具有参数0 的齐次泊松过程，

n s X s t X P )()( 。 ,1,0 n 14．设{X(t), t ≥0}是具有参数0 的泊松过程，泊松过程第n 次到达时间W n 的数学期望是 。 15．在保险的索赔模型中，设索赔要求以平均2次/月的速率的泊松过程到达保险公司．若每次赔付金额是均值为10000元的正态分布，求一年中保险公司的平均赔付金额 。 16．到达某汽车总站的客车数是一泊松过程，每辆客车内乘客数是一随机变量．设各客车内乘客数独立同分布，且各辆车乘客数与车辆数N(t)相互独立，则在[0，t]内到达汽车总站的乘客总数是 （复合or 非齐次）泊松过程． 17．设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2min 内到达的顾客不超过3人的概率是 ． 第四章 18． 无限制随机游动各状态的周期是 。 19．非周期正常返状态称为 。 20．设有独立重复试验序列}1,{ n X n 。以1 n X 记第n 次试验时事件A 发生，且 p X P n }1{，以0 n X 记第n 次试验时事件A 不发生，且p X P n 1}0{，若有 1,1 n X Y n k k n ，则}1,{ n Y n 是 链。 答案 一、填空题 1．)(t g n ； 2．EX ； 3．)(at g e ibt 4．;Y 是 5． n i i t g 1 )(； 6．等价 7．时间差； 8．独立增量过程； 9． 0)()()()(3412 t X t X t X t X E 10．}),(min{2 t s X 11．t t ;； 12． 000 )(11t t e t f t 00)()()(321321t t e t f t 13．t n e n t !)( 14． n 15．240000 16．复合； 17．43 71 e

a第8讲第3章 泊松过程2

作业： 设在[0, t)时段内乘客到达某售票处的数目为一强度λ（人/分）的泊松过程，试求： 是5.2 = （1）在5分钟内有10位乘客到达售票处的概率； （2）第10位乘客在5分钟内到达售票处的概率； （3）相邻两乘客到达售票处的平均时间间隔。

第三章泊松过程(2)

定义 3.2 称计数过程{}0),(≥t t X 为具有参数0>λ的泊松过程，若它满足下列条件： （1）0)0(=X （2）)(t X 是平稳独立增量过程； （3）在任一长度为t 的区间中，事件A 发生的次数服从参数0>t λ的泊松分布， 定义3.3 （1）0)0(=X （2）)(t X 是独立、平稳增量过程； （3）)(t X 满足下列两式： {})(1)()(h o h t X h t X P +==?+λ {})(2)()(h o t X h t X P =≥?+ {} L ,1,0,!) ()()(===?+?n n t e n s X s t X P n t λλ

,)]([)(t t X E t m X λ==t t X D t X λσ==)]([)(2)]1(exp[][)()(?==iu t iuX X e t e E u g λ), ,min(),(t s t s B X λ=) ( ),1()]()([),(t s t s t X s X E t s R X <+==λλ数字特征

定理3.2 . ,},2,1,{,}0),({ 的同一个指数分布且服从参数是相互独立的随机变量则其时间间隔的泊松过程为强度设λλL =≥n T t t X n .,2,10. ,0,0 ,e )(L =???≤>=?i t t t f t T i λλ{}L ,2,1,0,!)()()(===?+?n n t e n s X s t X P n t λλ{}L ,2,1,0,! )()(===?n n t e n t X P n t λλ