高数ⅡA卷答案 Document number:PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998
广东海洋大学2014—2015学年第二学期
《高等数学Ⅱ》课程试题参考答案(A 卷)
一、填空题(每空3分,共21分) 1. 若)()(x g x f 是的一个原函数,则?=dx x g )(C x f +)( .
2. =?x x
dt t dx d sin 22cos 42cos 2)cos(sin cos x x x x -? . 3. 已知?+=C x F dx x f )()(,则=--?
dx e f e
x x
)(C e F x +--)(
4. 设x x f sin )(=时,则='?dx x x f )ln (
C x +)sin(ln 5. 设是连续的奇函数,)(x f 则=?-dx x f l
l )( 0 6. 改变二次积分的积分次序,??=
1
00),(y dx y x f dy ??
10
1),(x
dy y x f dx
7.
方程032=-'-''y y y 的通解是x
x e c e c y -+=231
二、计算下列积分(每小题6分,共36分)
1. 解:C x x x d x dx x x +==??ln ln )(ln ln 1ln 1 …………(6分)
2. 解:C x x x x x x dx +-+-=--+-=-+??)2
1
(ln 31)211131)2)(1(( (或 C x x ++-=)1
2
(ln
3
1 ) …………(6分) 3. 解: dx x e e x e d x xdx e x x x x ???----+-=-=cos sin )(sin sin …(3
分)
= )(cos sin x x
e d x e
x --?-- ………(4分)
=xdx e e x x x
x x sin cos sin ?------e ………(5分)
所以,C x x e xdx e x x
++-=--?)cos (sin 2
1sin ………(6分) 4. 解: dt t dx t x t x 233
3,22=-==+,则令 ……(1
分)
C x x x C t t t dt t t t dt t x dx +++++-+=+++-=++-=+=++???3
3322
22321ln 323)1(2
31ln 332
311131321)(……(6分)
5. 解:2sin sin cos cos cos 2
2
20
20
=-=-=???
ππ
π
ππ
π
π
x x xdx dx x dx x (6
分) 6. 解:1sin 2sin 2cos 20)cos sin (1
01
11
2
==+=+??
-x dx x dx x x x …(6
分)
三、计算下列各题(每小题5分,共15分).
1.xy e z xy sin +=,求y
z x z ????,.
解:
xy y ye x
z
xy cos +=?? …………(3分) cos xy z
xe x xy y
?=+? …………(5分) 2.)2
ln(y
x z +=,求 22x
z
??和y x z ???2.
解:2
221y x y
y z y x x z +=??+=??, …………(2分) 2222222(2(1)
,)y x y y x z y x x z +-=???+-=?? …………(5分)
3. )643ln(z y x u
-+=,求du .
解:dz z
y x dy z y x dx z y x du 6436
64346433-+-+-++-+=
…(5分)
四、计算重积分(每小题5分,共10分). 1. ??-+D
dxdy x y x )(2
2,其中D 是由直线2=x 、x y =及x y 2=所围成的
区域.
解:原式=??-+x
x dy x y x dx 22220)( ………(3分) =dx x x )3
10(
23
2
0-? ………(4分) =3
32
………(5分)
2. dxdy y x D
??+22sin ,其中}4),({2
222ππ≤+≤=y x y x D .
解:原式 =220sin d r r dr π
π
πθ?? ………(3分) = -26π ………(5分) 五、求解微分方程(8分).
3)1(1
2+=+-x x y dx dy 解:
3)1()(1
2
)(+=+-=x x q x x p , ………(2分) 利用公式法,得所求微分方程的通解为:
])1([1
231
2C dx e
x e
y dx x dx x +?
+?
=+-
+? ………(6分)
)2
1()1(2
2
C x x x +++= ………(8分)
六、三个正数之和为21,问三个数为何值时才使三者之积最大(10分)
解:设三个正数分别为z y x ,,,依题意得:xyz u =,满足21=++z y x 设)21(),,(-+++=z y x xyz z y x L λ ………(4分)
因为??????
?=-++==+==+==+=0
2100
L 0z y x L xy L xz yz L z y x λ
λλλ 得7===z y x ………(9分)
由于只有一个驻点,所以当7===z y x 时,三者之积u 最大。…(10分)