兰州大学高等数学期末考试学习资料资料

2020-2021第一学期高等数学问题答疑资料1．函数的有界性是什么什么是实数的完备性？

函数的有界性是数学术语。

设函数f(x)的为D，f（x）在集合D上有定义。

如果存在数K1，使得f(x)≤K1对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有上界。

反之，如果存在数字K2，使得f(x)≥K2对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有下界，而K2称为函数f(x)在D上的一个下界。

如果存在正数M，使得|f(x)|≤M 对任意x∈D都成立，则称函数在D上有界。如果这样的M不存在，就称函数f(x)在D上无界；等价于，无论对于任何正数M，总存在x1属于X，使得|f(x1)|>M，那么函数f(x)在X上无界。

此外，函数f(x)在X上有界的是它在X上既有上界也有下界。

一般来说，连续函数在具有。

2．本课程的学习方法之类的问题。

首先，理解概念。概念是事物本质的反映，是相应数学知识点的精确描述。在高等数学中，一个知识点的概念涉及到两方面：一个是定义，一个是性质。只有熟练掌握这两点，学习者才算是深刻理解了这个知识点的概念。其次，掌握定理。对于定理除了要掌握它的题设与结论之外，还要搞清楚它的适用范围，这样才能做到有的放矢。第三，多做习题。俗话说，熟能生巧。熟练掌握例题练习题，对于学习者来说，无论是掌握基本概念，还是攻克相关习题，都起到将事半功倍的效果。第四，理清脉络。要对所学的知识有个整体的把握，及时总结,以形成知识体系。这样，学习者不仅能够加深对所学知识的理解，而且能够熟练运用所学知识求解实际应用问题。

3．如何求函数式中的自变量取值范围？

a、解析式为整式的，自变量可取任意实数；

b、解析式是分式的，自变量应取母不为0的实数；

c、解析式是二次根式或偶次根式的，自变量取被开方数不小于0的实数等；

d、对于函数解析式复杂的复合函数，应全面考虑，使其解析式中各式都有意义。

如y=1/x+根（3x-1），其取值为x≥1/，对于有实际意义的函数，应当根据实际意义确定其自变量的。

函数变量跟整型等其他变量一样，本身没有实际意义，只是用来代替目标。函数变量分为自变量和因变量。自变量是在一定内（定义域）随意取值的变量，因变量指是自变量取值后根据函数法则得到的变量。

4．闭区间上连续函数的性质

闭区间上连续函数的性质有界性与最大值最小值定理；零点定理与介值定理；一直连续性定理。

5．课程的重要性

《高等数学》是一门十分重要的公共基础理论课。通过学习，一方面要系统掌握基本的概念和方法技巧，包含函数和极限、一元函数微积分、微分方程、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分、无穷级数等，另一方面要着眼于培养自己的抽象概括、逻辑推理、空间想象及自学等方面的能力，特别是具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，为学习后续课程奠定必要的数学基础。当今科学、技术、经济飞速发展，数学已日益渗透到各个科技领域，学习任何一门学科都会用到或多或少用到一些数学知识。随着当今社会计算机应用的普遍化，社会实践日趋数量化，数学的应用日趋技术化，数学已不再是一门科学，而越来越成为一门技术。

6．函数的基本性质

奇偶性、周期性、单调性、有界性。

7．导数与极限的关系

1、定义不同

导数：当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'（x0）或df（x0）/dx。

极限：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程。

此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。

2、本质不同

一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。

极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。

8．无穷级数

无穷级数是研究有次序的可数或者无穷个数函数的和的收敛性及和的数值的方法，理论以数项级数为基础，数项级数有发散性和收敛性的区别。只有无穷级数收敛时有一个和，发散的无穷级数没有和。

用解析的形式来逼近函数，一般就是利用比较简单的函数形式，逼近比较复杂的函数，最为简单的逼近途径就是通过，即通过加法运算来决定逼近的程度，或者说控制逼近的过程，这就是无穷级数的思想出发点。

9．第一类间断点以及第二类间断点

第一类间断点是指函数f（x）的左极限以及右极限都存在，则称作第一类间断点，而非第一类间断点的间断点都称作第二类间断点。

10．二阶导数的意义

一、斜线、斜率变化的速度二、函数的凹凸性。

11．函数与方程、不等式的区别

以一次函数y=ax+b为例来说明三者之间的关系。Y=ax+b为一次函数，他的图像为一条直线。当y确定为某个值时，比如0=ax+b，1=ax+b。。。等，便成为了方程式，表示已知图像的纵坐标来求对应的横坐标。而不等式的形式为

ax+b>0或者ax+b<0等，在图像上表示在y=0的上面或者下面。

12．幂函数

幂函数形如g(x)=x^a ,即底数是变量,指数是常量.定义域和值域随a的不同而不同,但是在(0,+∞)上总有定义.

13．最值的求法

1、求函数的一阶导数为零的点

2、求出函数定义域的边界点

3、求出不可导点4将几类点进行比较，得出最值点。

14．极值的求法

求出一阶导数为零的点，并且二阶导数的左导数与右导数一致的点即为极值点。

15．函数的有界性

设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在一个正常数M，使得对于任意的xèD,都有|f(x)|<=M，则称函数y=f(x)在D上有界。

16．判定函数的奇偶性