首届全国大学生数学竞赛决赛试卷
(非数学类)
考试形式: 闭卷 考试时间: 150 分钟 满分: 100 分.
一、 计算下列各题(共20分,每小题各5分,要求写出重要步骤).
(1) 求极限1
21lim (1)sin n n k k k n n π-→∞=+∑.
(2)
计算
2∑其中∑
为下半球面z =0a >.
(3) 现要设计一个容积为V 的一个圆柱体的容器. 已知上下两底的材料费为单位面积a 元,而侧面的材料费为单位面积b 元.试给出最节省的设计方案:即高与上下底的直径之比为何值时所需费用最少?
(4) 已知()f x 在11,42?? ???内满足
331()sin cos f x x x '=+,求()f x .
二、(10分)求下列极限 (1) 1lim 1n n n e n →∞????+- ? ? ?????; (2) 111lim 3n
n n n n a b c →∞??++ ? ? ???, 其中0,0,0a b c >>>.
三、(10分)设()f x 在1x =点附近有定义,且在1x =点可导, (1)0,(1)2f f '==. 求
220(sin cos )lim tan x f x x x x x
→++.
四、(10分)
设()f x 在[0,)+∞上连续,无穷积分0()f x dx ∞?收敛. 求 0
1lim ()y y xf x dx y →+∞?.
五、五、(12分)设函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可微,且
1(0)(1)0,12f f f ??=== ???. 证明:(1) 存在
1,12ξ??∈ ???使得()f ξξ=;(2) 存在(0,)ηξ∈使得()()1f f ηηη'=-+.
六、(14分)设1n >为整数,
20()1...1!2!!n x t
t t t F x e dt n -??=++++ ????. 证明: 方程
()2n F x =在,2n n ?? ???内至少有一个根.
七、(12分)是否存在1中的可微函数()f x 使得 2435(())1f f x x x x x =++--?若存在,请给出一个例子;若不存在,请给出证明.
八、(12分)设()f x 在[0,)∞上一致连续,且对于固定的[0,)x ∈∞,当自然数n →∞时()0f x n +→. 证明: 函数序列{():1,2,...}f x n n +=在[0,1]上一致收敛于0.