—下学期期末考试 高二数学(理科)试卷
考试说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟。
(1) 答题前,考生先将自己的姓名、班级填写清楚,考条粘贴到指定位置。 (2) 选择题用2B 铅笔作答。
(3) 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,在草稿纸、试题上答题无效。 (4) 保持卡面清洁,不得折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀。
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.设i 是虚数单位,复数
i
ai
-+21为纯虚数,则实数a 为 A . 2 B .-2 C .2
1
- D .21
2.已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ,,(4)0.84P ξ=≤,则(0)P ξ=≤( ) A .0.16
B .0.32
C .0.68
D .0.84
3.已知变量呈线性相关关系,回归方程为,则变量是( ) A .线性正相关关系 B . 线性负相关关系 C . 由回归方程无法判断其正负相关 D .不存在线性相关关系
4.下面几种推理是类比推理的是
( )
A .两条直线平行,同旁内角互补,如果A ∠和
B ∠是两条平行直线的同旁内角,则
180=∠+∠B A
B .由平面向量的运算性质,推测空间向量的运算性质
C .某校高二级有20个班,1班有51位团员,2班有53位团员,3班有52位团员,由此
可以推测各班都超过50位团员 D .一切偶数都能被2整除,100
2是偶数,所以100
2
能被2整除
y x ,x y 25.0^
-=y x ,
5.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,2AB BC ==,11AA =则1BC 与平面11BB D D 所
成角的正弦值为 ( )
A
6. 在2012年12月30日那天,佳木斯市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查,5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示:
a x y +-=2.3,则a =( )
A .24
B .35.6
C .40.5
D .40
7.已知A 、B 、C 是不共线的三点,O 是平面ABC 外一点,则在下列条件中,能得到点M 与A 、B 、C 一定共面的条件是( ) A.111
222
OM OB OB OC =
++ B.OC OB OA OM ++= C.113
3
OM OA OB OC =-+ D.OC OB OA OM --=2
8、直三棱柱111ABC A B C -中,若90BAC ∠=?,1AB AC AA ==,则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于( )
A . 30°
B . 45°
C .60°
D .90°
9.由数字0,1,2,3,4,5可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有( ) A.72 B.60 C.48 D.52
10.随机变量,若
,则
的值为
A.
B.
C. D.
11.将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同的分法的总数为 ( )
A .6
B .7
C .8
D .12
12.在的展开式中,含项的系数为 ( )
A .30
B .-20
C .-15
D .
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在答题卡相应的位置上)
13.若二项式22n
x x ?
?+ ??
?的展开式共7项,则该展开式中的常数项为 .
14.五名高二学生中午打篮球,将校服放在篮球架旁边,打完球回教室时由于时间太紧,只有两名同学拿对自己衣服的不同情况有_____________种.(具体数字作答)
15.不等式|x +1|-2>0的解集是 .
16.在极坐标系中,圆
的圆心到直线
的距离
是 .
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17、(本小题满分10分) 已知函数 (1)解不等式
(2)若不等式的解集为空集,求a 的取值范围。 18、(本小题满分12分)
已知在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为???=-=t
y t x 33
,(t 为参数),以坐标原点为
极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为03cos 42
=+-θρρ (Ⅰ)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;
)2()1(5x x --3
x 30-4sin ρθ=()
6
R π
θρ=
∈()|1||22|.f x x x =-++()5;f x >()()f x a a R <∈
(Ⅱ)设点P 是曲线C 上的一个动点,求它到直线l 的距离d 的取值范围.
19. (本小题满分12分)
某工厂在试验阶段大量生产一种零件。这种零件有、两项技术指标需要检测,设各项技术指标达标与否互不影响。若有且仅有一项技术指标达标的概率为,至少一项技术指标达标的概率为
.按质量检验规定:两项技术指标都达标的零件为合格品. (Ⅰ)求一个零件经过检测为合格品的概率是多少?
(Ⅱ)任意依次抽出5个零件进行检测,求其中至多3个零件是合格品的概率是多少? (Ⅲ)任意依次抽取该种零件4个,设表示其中合格品的个数, 求与. 20.(本小题满分12分)
延迟退休年龄的问题,近两年引发社会广泛关注,延迟退休年龄的事已是一种必然的趋势,然而反对的声音也随之而起,现对某市工薪阶层关于“延迟退休年龄”的态度进行调查,随机抽调了50人,他们月收入的频数分布及对“延迟退休年龄”持反对态度的人数如下表
(1)由以上统计数据填写下面的22?列联表,问能否在犯错误的概率不超过01.0的前提下认为月收入以5千元为分界点的“延迟退休年龄”的态度有差异?
参考公式:2
2
(),()()()()
n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -=
=+++++++ A B 5
12
11
12
ξE ξD ξ
(2)若对在[)2,1,[)3,2的被调查对象中各随机选取两人进行追踪调查,记选中4人中赞成“延迟退休年龄”的人数为X ,求随机变量X 的分布列及数学期望. 21、(本小题满分12分)
在边长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 是BC 的中点,F 是DD 1的中点, (1) 求点A 到平面A 1DE 的距离; (2) 求证:CF ∥平面A 1DE,
(3) 求二面角E -A 1D -A 的平面角大小的余弦值。
(第21题图)
22(本小题满分12分)
如图,在直三棱柱中.
(Ⅰ)若为中点,求证:平面平面;
(Ⅱ)在上是否存在一点,使得二面角的大小为60°.
111C B A ABC -22,901====∠AC BC AA ACB o
D 1AA 1B CD ⊥11B C D 1AA D
11B CD C --C 1
A 1
C
C 1
B 1
A 1
B
A
D
C
(第22题图)
理科参考答案
二、填空题
13. 60 14. 20 15. (-∞,-3)∪(1,+∞) 16.
三、解答题
17.解:(1)
的解集为
……5分 (2) ,的解集为空集,则 ……10分
18、解:(I )直线l 的普通方程为:0333=+-y x ; …………3分
曲线的直角坐标方程为1)2(2
2
=+-y x …………6分
(II )设点)sin ,cos 2(θθ+P )(R ∈θ,则
2
|
35)6
cos(2|2
|
33sin )cos 2(3|++
=
+-+=π
θθθd
所以d 的取值范围是]2
2
35,2235[+- …………12分
3???
?
???-<--≤≤-+>+=)1(13)11(3)1(13)(x x x x x x x f ∴5)(>x f }?
??-<>
2或34
x x x [)+∞∈,2)(x f a x f <)(()R a ∈(]2,∞-∈a
19.解:(Ⅰ)设、两项技术指标达标的概率分别为、
由题意得: …………3分
解得:或,∴. 即,一个零件经过检测为合格品的概率为. …………6分
(Ⅱ)任意抽出5个零件进行检查,其中至多3个零件是合格品的概率为
………………10分 (Ⅲ)依题意知~B(4,),, ……………12分
20.解:(1)2
2
50(33203) 6.27 6.63510403218
K ?-=
≈??。不能在犯错误的概率不超过01.0的前提下认为月收入为5千元为分界点的“延迟退休年龄”的态度有差异。 …………6分
(2)在[)2,1中有5人,赞成1人,在[)3,2中有10人,赞成2人,则X 的可能取值为3,2,1,0
∴
4
()5
E X =
………………12分 21、(1)分别以DA,DC,DD 1为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则A (2,0,0), A 1(2,0,2),E(1,2,0),
A B 1P 2P 121212
5(1)(1)12
111(1)(1)12
P P P P P P ?
?-+-?=????--?-?=
??1232,43P P =
=1223,34P P ==12
1
2
P PP ==1
2
5
5
455
5111312216
C C ????--= ? ?
????ξ121422E ξ=?=11
4122
D ξ=??=
D(0,0,0), C(0,2,0), F(0,0,1), 则
()()12,0,2,1,2,0,DA DE ==
设平面A 1DE 的法向量是(),,,n a b c =
则122020
n DA a c n DE a b ??=+=???=+=??, 取()2,1,2,n =-
点A 到平面A 1DE 的距离是
4
9
DA n d n
?=
=
。 -----------4分 (2)()0,2,1CF =-,
220,CF n CF n ?=-+=∴⊥,所以,CF ∥平面A 1DE 。 (7)
分
(3)()0,2,0DC =是面AA 1D 的法向量,1
cos 3
DC n
DC n θ?== ……………12分
22(Ⅰ)如图,以为原点,所在直线为 轴建立空间直角坐标系. 则. 即 ……2分 由得
由得 ………………4分 又
∴平面 又平面
∴平面平面 ………………6分
C 1CA CB CC 、、x y z 、、11(0,0,0),(1,0,0),(0,2,2),(0,0,2),(1,0,1)C A B C
D )1,0,1(),01,1(),0,2,0(111=-==DC B C 0000)1,0,1()0,2,0(11=++=?=?B C B C ⊥110000)1,0,1()1,0,
1(1=++=?-=?CD DC CD DC ⊥11
11DC C B C =CD ⊥11B C D CD ?1B CD 1B CD ⊥11B C D
(Ⅱ)当时二面角的大小为60°. ……………7分
设,则点坐标为, 设平面的法向量为
则由 令得 (8)
分
又∵为平面的法向量 则由
…………
10分 解得
. ∴在上存在一点满足题意………………12分
1AD AA =11B CD C --AD a =D (1,0,)a 1(1,0,),(0,2,2)CD a CB ==1B CD (,,)m x y z =10220
00
m CB y z x az m CD ??=+=?????+=?=???1z =-(,1,1)m a =-(0,2,0)CB =1C CD 1cos 602
m CB m CB
a ?=?
=
?a =12
AD AA ==
1AA D