《二项分布与超几何分布》
二项分布与超几何分布
★ 知 识 梳理 ★
1．条件概率：称)()()|(A P AB P A B P =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率。 特别提醒：
①0≤P （B|A ）≤1；
②P(B ∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。
2. 相互独立事件：如果事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
特别提醒：
①如果事件A 、B 是相互独立事件，那么，A 与_B 、_A 与B 、_A 与_
B 都是相互独立事件
②两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。我们把两个事件A 、B 同时发生记作A ·B ，则有P （A ·B ）= P （A ）·P （B ）
推广：如果事件A 1，A 2，…A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。即：P （A 1·A 2·…·A n ）= P （A 1）·P （A 2）·…·P(A n )
3.独立重复试验: 在同样的条件下，重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验.在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的.
4.如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率计算公式：
P n （k ）=C k n P k （1－P ）n －k ,其中，k =0,1,2，…,n 5.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是
k n k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．
于是得到随机变量ξ的概率分布如下： ξ
0 1 … k … n P n n q p C 00 111-n n q p C … k n k k n q p C - …
0q p C n n n 由于k n k k n q p C -恰好是二项展开式
011100)(q p C q p C q p C q p C p q n n n k n k k n n n n n n +++++=+--
中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，
记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数，并记k n k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．
6. 两点分布： X 0 1
P 1－p p
特别提醒： 若随机变量X 的分布列为两点分布, 则称X 服从两点分布,而称P(X=1)为成功率.
7. 超几何分布：
一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则
},,min{,,1,0,)(n M m m k C C C k X P n N
k n M N k M ====-- 其中，N M N n ≤≤,。 称分布列
X 0 1 … m
P n N n M N M C C C 00-- n N n M N M
C C C 11-- … n N
m n M N m M
C C C -- 为超几何分布列， 称X 服从超几何分布
★ 重 难 点 突 破 ★
1.重点：理解超几何分布及其导出过程.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，能理解n 次独立重复实验的模型及二项分布.
2.难点：能利用超几何分布, 二项分布及n 次独立重复实验解决一些简单的实际问题
3.重难点：.
(1) “互斥”与“独立”混同
问题1: 甲投篮命中率为O ．8，乙投篮命中率为，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少
错解 设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，则两人都恰好投中两次为事件A+B ，
P(A+B)=P(A)+P(B)： 2222330.80.20.70.30.825c c ?+?=
点拨: 本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑，将两人都恰好投中2次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和．
正确解答：设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，且A ，B 相互独立，则两人都恰好投中
两次为事件A·B，于是P(A·B)=P(A)×P(B)= 2222330.80.20.70.30.169c c ?+?≈．
（2）“条件概率P(B / A)”与“积事件的概率P(A·B)”混同
问题2:袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黄色球的概率．
错解 记“第一次取到白球”为事件A ，“第二次取到黄球”为事件B,”第二次才取到黄球”为事件C,所以P(C)=P(B/A)=6293
=. 点拨：本题错误在于P(A ?B)与P(B/A)的含义没有弄清, P(A ?B)表示在样本空间S 中,A 与B 同时发生的概率；而P （B/A ）表示在缩减的样本空间S A 中，作为条件的A 已经发生的条件下事件B 发生的概率。
正确答案：P （C ）= P(A ?B)=P （A ）P （B/A ）=46410915
?=。 ★ 热 点 考 点 题 型 探 析★
考点一： 条件概率,相互独立事件和独立重复试验
题型1. 条件概率
[例1] 一张储蓄卡的密码共有6位数，每位数字都可从0～9中任选，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：
⑴按第一次不对的情况下，第二次按对的概率；
⑵任意按最后一位数字，按两次恰好按对的概率；
⑶若他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率
[解题思路]：
⑴这是一个一般概率还是条件概率应选择哪个概率公式
⑵“按两次恰好按对”指的是什么事件为何要按两次隐含什么含义第一次按与第二次按有什么关系应选择哪个概率公式
⑶“最后一位是偶数”的情形有几种“不超过2次就按对”包括哪些事件这些事件相互之间是什么关系应选择用哪个概率公式
【名师指引】
⑴条件概率相当于随机试验及随机试验的样本空间发生了变化，事件A 发生的条件下事件B 发生的概率可以看成在样本空间为事件A 中事件B 发生的概率，从而得出求条件概率的另一种方法——缩减样本空间法 ⑵将条件概率的计算公式进行变形，可得概率的乘法公式)()()(A B P A P AB P =
【新题导练】
1.设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二等品，规定一、二等品为合格品．从中任取1 件，求 (1) 取得一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是一等品的概率．
题型2。相互独立事件和独立重复试验
[例2] (2010四川省成都市一诊)某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定．他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张．投票时，每人必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为13
，他们的投票相互没有影响．规定：若投票结果中至少有两张“同意”票，则决定对该项目投资；否则，放弃对该项目投资．
（Ⅰ）求此公司一致决定对该项目投资的概率；
（Ⅱ）求此公司决定对该项目投资的概率；
[解题思路]： 注意相互独立事件和独立重复试验恰有k 次发生的区别
【名师指引】 除注意事件的独立性外, 还要注意恰有k 次发生与指定第k 次发生的区别, 对独立重复试验来说,前者的概率为(1)k k n k n C p p --,后者的概率为(1)k n k p p --
【新题导练】
1. （湖南卷16）.（本小题满分12分）
甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试
合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是12，且面试是否合格互不影响.求：至少有1人面试合格的概率;
2．（山东卷18）
甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分， 答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为
32，乙队中3人答对的概率分别为2
1,32,32且各人正确与否相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分.
（Ⅰ）求随机变量ε分布列； (Ⅱ)用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P (AB ).
考点二: 两点分布与超几何分布
题型1: 两点分布与超几何分布的应用
[例3] 高二（十）班共50名同学，其中35名男生，15名女生，随机从中取出5名同学参加学生代表大会，所取出的5名学生代表中，女生人数X 的频率分布如何
[解题思路]：5名学生代表中，女生人数有6种情况.
[例4] 若随机事件A 在1次试验中发生的概率是p ，用随机变量ξ表示A 在1次实验中发生的次数。（1）求方差ξ
D
的最大值；（2）求ξ
ξE D 12-的最大值。 [解题思路]：
（1）由两点分布，分布列易写出，而要求方差ξD 的最大值需求得ξD 的表达式，转化为二次函数的最值问题；
（2）得到p
p p p p E D 1221)(2122--=--=-ξξ后自然会联想均值不等式求最值。 【名师指引】在超几何分布中,只要知道N,M 和n,就可以根据公式求出X 取不同m 值时的概率P(X=m).
【新题导练】
1．在一个口袋中装有30个球，其中有10个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.摸到4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率是多少
2．假定一批产品共100件，其中有4件不合格品，随机取出的6件产品中，不合格品数X 的概率分布如何 考点三: 独立重复试验与二项分布
题型1: 独立重复试验与二项分布的应用
[例6] 一口袋内装有5个黄球，3个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次时停止，停止时取球的次数ξ是一个随机变量，则)12(=ξP =______________。（填计算式）
[解题思路]：这是一个“12次独立重复试验恰有10次发生”的概率问题，同学们很容易由二项分布原理得到
2101012)8
5()83()12(C P ==ξ，这就忽视了隐含条件“第12次抽取的是红球”，此种解法的结果包含着第12次抽取到黄球。
[例7] 某人对一目标进行射击，每次命中率都是，若使至少命中1次的概率不小于，至少应射击几次
[解题思路]：“至多”，“至少”问题往往考虑逆向思维法
【名师指引】要熟练掌握二项分布的特征，更要注意挖掘题目信息中的隐含信息。
【新题导练】
1. 广东深圳外国语学校2009—2010学年高三月考理 某科研小组进行某项科学实验的成功率为3
2。那么连续对该项实验进行4次试验恰有3次成功的概率是_______。 2.广州市海珠区2009届高三上学期综合测试二(数学理)
某商场准备在国庆节期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从2种服装商品,2种家电商品,3种日用商品中,选出3种商品进行促销活动.
(Ⅰ)试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率;
(Ⅱ)商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高150元,同时,若顾客购买该商品,则允许有3次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得数额为m 的奖金.假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是21,请问:商场应将每次中奖奖金数额m 最高定为多少元,才能使促销方案对商场有利 ★ 抢 分 频 道 ★
基础巩固训练
1. (江苏省启东中学高三综合测试)口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，数列{}n a 满足：
???-=次摸到白球，
，第次摸到红球，第n n a n 1,1如果n S 为数列{}n a 的前n 项和，那么37=S 的概率为 ( ) A ．525
73231??? ?????? ??C B ．52273132??? ?????? ??C C ．52573131??? ?????? ??C D ．5
2573232??? ?????? ??C 2. (广东省韶关市2010届高三第一次调研考试)一台机床有
13的时间加工零件A, 其余时间加工零件B, 加工A 时,停机的概率是310,加工B 时,停机的概率是25
, 则这台机床停机的概率为( ) A. 1130 B. 307 C. 107 D. 10
1 3．(江苏省启东中学2010年高三综合测试)一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为8081
，则此射手每次射击命中的概率为（ ）
A. 13
B. 23
C. 14
D. 25
4．（2010福建卷5)某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为45,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是( ) A.16625 B. 96625 C. 192625 D. 256625
5．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3:2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ ）
()A 23332()55C ? ()B 22332()()53C ()C 33432()()55C ()D 33421()()33
C 6．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为8081
，则此射手的命中率为 ． 综合拔高训练
7．广东深圳外国语学校2009—2010学年高三月考理科数学试题
一袋中装有４个白球，２个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现３次停止，设停止时,取球次数为随机变量X ,则==)5(X P ________．
8．甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：
（1）2人都射中目标的概率；
（2）2人中恰有1人射中目标的概率；
（3）2人至少有1人射中目标的概率；
（4）2人至多有1人射中目标的概率
9．广东省佛山市三水中学2010届高三统考 (数学理)
某研究机构准备举办一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示
（1）从这50名教师中随机选出2名，问这2人使用相同版本教材的概率是多少
（2）若随机选出的2名教师都使用人教版教材，现设使用人教A版教材的教师人数为ξ，求随机变量ξ的分布列10．广东省深圳外国语学校2010届高三统测（数学理）
甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.
（Ⅰ）求甲、乙两人考试均合格的概率；
（Ⅱ）求甲答对试题数ξ的概率分布.