华师大版八年级下册数学知识点复习总结
华师大版数学八年级（下）
第16章分式
§16.1分式及基本性质
一、分式的概念
A叫做
1.分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子
B
分式。整式和分式统称有理式。
对于分式的概念的理解重点把握三点：
A中的A、B是整式；
（1）分式
B
（2）分母B中必须含有字母，这是区分整式与分式的主要依据；
（3）整式B≠0。
2.分式有意义、无意义的条件
（1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0；
（2）分式无意义的条件：分式的分母等于0。
3.分式的值为0的条件：
A=0的条件是：当分式的分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。即，使
B
A=0，B≠0。
4.分式的值为正或负的条件：
值为正：分子和分母同为正或同为负。值为负：分子和分母异号。
二、分式的基本性质
1.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或都除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
2.约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
确定公因式的方法：（1）如果分子、分母都是单项式：先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂；（2）如果分子、分母中至少有一个多项式就应先分解因式，然后找出它们的公因式再约分；
注意：约分一定要把公因式约完，化为最简分式。
3.最简分式：约分后，分子与分母不再有公因式，分子与分母没有公因式的分式称为最简分式。
通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。确定最简公分母的一般方法是：（1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。（2）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。
三、分式的符号法则：
B A B A B A B A --=--=--=）（1；B
A B A B A B A ---=-=-=-）（2
§16.2分式的运算
一、分式的乘除法
1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简。 即：).0,0(≠≠=?d b bd
ac d c
b a 2.分式的除法法则
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 即：).0,0,0(≠≠≠=?=÷d c b bc
ad c d b a d c b a
应用法则时要注意：（1）分式中的符号法则与有理数乘除法中的符号法则相同，即“同号得正，异号得负，多个负号出现看个数，奇负偶正”；（2）当分子分母是多项式时，应先进行因式分解，以便约分；（3）分式乘除法的结果要化简到最简的形式。
3.分式的乘方
分式的乘方等于把分子和分母分别乘方，用式子表示为：
).,0(为正整数n b b a b a n n n
≠=??? ??
提示：负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数。
二、分式的加减法
（一）同分母分式的加减法
1.法则：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减。
用式子表示： 2.注意事项：（1）“分子相加减”是所有的“分子的整体”相加减，各个分子都应有括号；当分子是单项式时括号可以省略，但分母是多项式时，括号不能省略；（2）分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式。
（二）异分母分式的加减法
1.法则：异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式后，再加减。用式子表示：
bd bc ad bd bc bd ad d c b a ±=±=±。 2.注意事项：（1）在异分母分式加减法中，要先通分，这是关键，把异分母分式的加减法变成同分母分式的加减法。（2）若分式加减运算中含有整式，应视其分母为1，然后进行通分。（3）当分子的次数高于或等于分母的次数时，应将其分离为整式与真分式之和的形式参与运算，可使运算简便。
四、分式的混合运算
注意事项：（1）有理数的运算顺序和运算规律对分式运算同样适用，要灵活运用交换律、结合律和分配律；（2）分式运算结果必须化到最简，能约分的要约分，保证运算结果是最简分式或整式。
§16.3 可化为一元一次方程的分式方程
一、分式方程基本概念
1.定义：方程中含有分式，并且分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
二、分式方程的解法
1.解分式方程的基本思想：化分式方程为整式方程。
方法是：方程两边都乘以各分式的最简公分母，约去分母，化为整式方程求解。 b
c a b c b a ±=±
2.解分式方程的一般步骤：
（1）去分母。即在方程两边都乘以各分式的最简公分母，约去分母，把原分式方程化为整式方程；
（2）解这个整式方程；
（3）验根。验根方法：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于0的根是原分式方程的根，使最简公分母为0的根是原分式方程的增根，必须舍去。
3.分式方程的增根。意义是：把分式方程化为整式方程后，解出的整式方程的根有时只是这个整式的方程的根而不是原分式方程的根，这种根就是增根，因此，解分式方程必须验根。
注意：分式方程的增根必须同时满足两个条件：
（1）增根使最简公分母为0；（2）增根使分式方程化为整式方程的跟。
4.利用增根的概念解题的步骤：先将分式方程化为整式方程，再由最简公分母为0求出增根，最后将增根代入所化的整式方程求解。
5.分式方程无解，应考虑两个方面：
（1）由分式方程化成整式方程后，此整式方程无解；（2）原分式方程有增根，方法同上。注意分式方程有增根与分式方程无解既有区别又有联系。
三、分式方程的应用
1.列分式方程解应用题的一般步骤如下：
（1）审题。理解题意，弄清已知条件和未知量；
（2）设未知数。合理的设未知数表示某一个未知量，有直接设法和间接设法两种；
（3）列方程。找出能够表示题目全部含义的等量关系，列出分式方程；
（4）解方程。求出未知数的值；
（5）检验。不仅要检验所求未知数的值是否为原方程的根，还要检验未知数的值是否符合题目的实际意。“双重验根”。
（6）写出答案。
可以简单地说成：审、设、列、解、验、答。
§16.4 零指数幂与负整数指数幂
一、零指数幂
1.定义：任何不等于零的实数的零次幂都等于1，即a0=1（a≠0）。
2.特别注意：零的零次幂无意义。即00无意义。若问当x=_____时，(x-2)0有意义。答案是：x≠2。
二、负整数指数幂
1.定义：任何不等于的数的-n（n为正整数）次幂，都等于这个数的n次幂的倒数，
1（a≠0，n为正整数）
即a-n=
n
a
2.注意事项：
（1）负整数指数幂成立的条件是底数不为0；
（2）正整数指数幂的所有运算法则均适用于负整式指数幂，即指数幂的运算可以扩大到整数指数幂范围；
包括：同底数幂的乘法（除法）、幂的乘方、积的乘方
三、用科学计数法表示绝对值小于1的数
1.规则：绝对值小于1的数，利用10的负整式指数幂，把它表示成a×10-n（n为正整数），其中1≤|a|＜10。
2.注意事项：
（1）n为该数左边第一个非零数字前所有0的个数（包括小数点前的那个零）。如-0.00021=-2.1×10-4
（2）注意数的符号的变化，在数前面有负号的，其结果也要写符号。
（3）写科学记数法的关键的是确定10n的指数n的值。
第17章函数及其图象
§17.1变量与函数
一、函数概念
1.常量和变量
在某一变化过程中，取值始终保持不变的量叫做常量，可以取不同数值的量叫做变量。
2.定义：在某个变化过程中，如果有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么，我们就说y是x的函数，其中x叫做自变量，y叫做因变量。
3.对函数概念的理解，主要抓住三点：
（1）有两个变量；
（2）一个变量的数值随另一个变量的数值的变化而变化；
（3）自变量每确定一个值，因变量就有一个并且只有一个值与其对应。
二、函数的表示法：（1）列表法；（2）图象法；（3）解析法。
三、求函数自变量的取值范围
1．实际问题中的自变量取值范围，按照实际问题是否有意义的要求来求。
2．用数学式子表示的函数的自变量取值范围
（1）解析式为整式的，自变量的取值范围是全体实数；
（2）解析式为分式的，自变量的取值范围是使分母不等于0的实数；
（3）解析式为二次根式时（算术平方根），自变量的取值范围是使被开方数为非负数的实数；解析式是立方根的，自变量的取值范围是全体实数。
（4）解析式同时出现分式和算术平方根，必须同时满足其有意义。
四、函数关系式：用来表示函数关系的等式叫做函数关系式（也叫解析式）。
五、函数值：指自变量取一个数值代入解析式求出的数值，称为函数值；实际上就是以前学的求代数式的值。
§17.2函数的图象
一、平面直角坐标系
1、定义：平面内画两条原点重合、互相垂直且有相同单位长度的的数轴，就组成了平面直角坐标系。通常把其中水平的数轴叫x轴或横轴，取向右的方向为正方向；铅直的数轴叫y轴或纵轴，取向上的方向为正方向；两数轴的交点O叫做坐标原点。
2、平面直角坐标系中的点与有序实数对一一对应。注意：横纵坐标不能颠倒。
3、平面直角坐标系中坐标的特征：
（1）象限内点的坐标特征：第一象限（+，+），第二象限（-，+），第三象限（-，-），第四象限（+，-）。
（2）x 轴上点的坐标（x ，0）；y 轴上点的坐标（0，y ）．原点坐标（0，0）
4、对称点的坐标特征（最好画图来看）
（1）关于x 轴对称的两点：横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的两点：横坐标互为相反数，纵坐标相同；
（2）关于原点对称的两点： 横坐标和纵坐标都互为相反数。
5.平移或平行点的坐标特征
（1）左右平移：纵坐标不变；上下平移：横坐标不变。
（2）平行于x 轴的直线上的点：横坐标不同，纵坐标相同；平行于y 轴的直线上的点：横坐标相同，纵坐标不同
6.象限角平分线上点的特征
（1）一三象限角平分线上的点：横坐标和纵坐标相同。
（2）二四象限角平分线上的点：横坐标和纵坐标互为相反数。
7、距离
（1）点到两坐标轴的距离：点A （a ，b ）到x 轴的距离为|b|，点A （a ，b ）到y
轴的距离为|a|。
（2）同一坐标轴上两点间的距离：x 轴上两点A （x 1,0）与B （x 2,0）之间的距离
为|x 1-x 2|；y 轴上两点A （0,y 1）与B （0,y 2）之间的距离为|y 1-y 2|
（3）象限内的点到原点的距离：A （a ，b ）到原点的距离为22b a +
（4）直角坐标系中任意两点间的距离：A （x 1,y 1）与B （x 2,y 2）之间的距离为：
221221）
（）（y y x x -+- 8.线段的中点坐标为两端点坐标和的一半。
二、函数的图象
1.作函数图象的方法：描点法。步骤：（1）列表；（2）描点；（3）连线。
在实际问题中画函数图象要注意自变量的取值范围。
2.判断一个点是否在函数图象上：将一个点的坐标代入函数关系式，如果适合函数关系式，那么这个点就在这个函数的图象上，反之则不在。
§17.3 一次函数
一、一次函数的定义
1.形如y=kx+b(k 、b 为常数，k ≠0)的函数，叫做一次函数。特别地，当b=0时，一次函数y=kx （k ≠0）也叫做正比例函数。
注意：（1）k ≠0这个条件不可忽略，非常重要；（2）自变量的取值范围一般情况下是任意实数；（3）正比例函数是一次函数的特殊形式。
“正比例函数”与“成正比例”的区别：
正比例函数一定是y=kx 这种形式，而成正比例则意义要广泛得多，它反映了两个量之间的固定正比例关系，如a+3与b-2成正比例，则可表示为：a+3=k （b-2）（k ≠0）
二、一次函数的图象
1.正比例函数和一次函数的图象都是一条直线，因此函数y=kx+b(k ≠0)和y=kx （k ≠0）的图象也可分别称为直线y=kx+b ，直线y=kx 。
2.根据“两点确定一条直线”，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再过两点作直线即可。
3.正比例函数的图象是通过原点的一条直线，因此正比例函数的图象也可以看成是关于原点成中心对称。
一般地，画一次函数的图象时，应先取它与两坐标轴的交点（0，b ）和（k
b -，0）；画正比例函数图象时，通常选取（0,0）和（1，k ）.
4.一次函数y=kx+b(k ≠0)中，k 和b 的作用：
k 决定图象的倾斜方向和倾斜程度，k 为正，向右倾斜，k 为负，向左倾斜；|k|越大，倾斜程度越大；当k 相同，b 不相同时，两直线平行。
b 决定图象与y 轴的交点位置，b>0时，与y 轴正半轴相交；b<0时，与y 轴负半轴相交；b=0时，直线经过坐标原点。
5.直线的平移
直线y=kx+b(k≠0)可由直线y=kx(k≠0)平移得到，当b>0时，把直线y=kx向上平移b个单位长度得到；当b<0时，把直线y=kx向下平移|b|个单位长度得到。
三、一次函数的性质
1.正比例函数的性质
正比例函数y=kx(k≠0)的性质：
（1）当k>0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大，这时函数图象从左到右上升。
（2）当k<0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小，这时函数图象从左到右下降。
2.一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)的性质
（1）当k>0时，①当b>0时，图象经过一、二、三象限，y随x的增大而增大，这时函数图象从左到右上升。②当b<0时，图象经过一、三、四象限，y随x的增大而增大，这时函数图象从左到右上升。
（2）当k<0时，①当b>0时，图象经过一、二、四象限，y随x的增大而减小，这时函数图象从左到右下降。②当b<0时，图象经过二、三、四象限，y随x的增大而减小，这时函数图象从左到右下降。
3.k、b的符号与一次函数的图象和性质关系如下表：
四、确定正比例函数好一次函数的解析式：待定系数法
一般步骤：（1）设函数的一般表达式；（2）把已知条件代入表达式，得到关于未知系数的方程；（3）解方程，求出未知系数（4）将求出的未知系数的值代回所设的函数表达式，即求得函数表达式。
五、一次函数（正比例函数）的应用：与方程的应用差不多，注意审题步骤。
§17.4 反比例函数
一、反比例函数
定义：一般地，形如y= k
x（k是常数，k≠0）的函数叫做反比例函数。自变量的
取值范围是不等于0的全体实数。
说明：
（1）反比例函数形如y= k
x（k≠0）也可表示为y=kx
-1或xy=k。
（2）将y= k
x转化为xy=k，由此可得反比例函数中的两个变量的积为定值，即
某两个变量的积为一定值时，则这两个变量就成反比例关系。
（3）“反比例函数”与“成反比例”之间的区别在于，前者是一种函数关系，而
后者是一种比例关系，不一定是反比例函数，如说s与t2成反比例，可设为s= k
t2(k
≠0的常数)，但这显然不是反比例函数。
二、反比例函数的图象
反比例函数y= k
x（k≠0）的图象时双曲线，它的两个分支分别在一、三象限或
二、四象限，这两个分支关于原点成中心对称。
画反比例函数的图象要注意：（1）自变量x的取值是x≠0，又k≠0，所以y≠0，即函数图象上的点的横纵坐标都不能为0，所以函数图象与两坐标轴没有交点，因此双曲线的两个分支不能连起来。画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限接近坐标轴，但永远不能达到坐标轴的变化趋势。（2）因为反比例函数的图象不是直线，故“两点法”不能用。（3）自变量的取值应尽量多取一些，这样才能较真实地反映图象的形状。
二、反比例函数y= k
x的性质
1.性质：（1）当k>0时，图象的两个分支位于一、三象限,在每个象限内，y随x 的增大而减小；
（2）当k<0时，图象的两个分支位于二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大；
注意：不能笼统地说反比例函数的“y随x的增大而增大或减小”，必须注意是在各自的象限内”
2.反比例函数的表达式中的几何意义
如图所示，若点A是反比例函数y= k
x上的点，
且AB垂直于x轴，垂足为B，AC垂直于y轴，
垂足为C，则S矩形ABOC=|k|，S△AOB=S△AOC= 1
2S矩形ABOC=
1
2|k|
3.用待定系数法求反比例函数表达式方法同求一次函数解析式。
A
B C
三、利用一次函数y 1=k 1x+b(k ≠0)和反比例函数y 2= x k 2(k ≠0)的图象解不等式 1.当k 1>0，k 2>0时，如图1所示，设函数图象交于N 、M ，横坐标分别为x 1、x 2，则不等式k 1x+b>x k 2（或y 1>y 2）的解集为x 1 k 2（或y 1 图1 图2 2.当k 1<0，k 2<0时，如图2所示，设函数图象交于M 、N ，横坐标分别为x 1、x 2，则不等式k 1x+b>x k 2（或y 1>y 2）的解集为x k 2（或y 1 三、反比例函数的应用。注意联系实际问题和用解决方程应用题的思路 §17.5 实践与探索 1.一次函数y=kx+b(k ≠0)与一元一次方程的联系 求直线y=kx+b(k ≠0)与x 轴的交点，令y=0，得到一元一次方程kx+b=0，解得 x=k b -，因此直线与x 轴的交点坐标为（k b -，0）. 由此可知，直线y=kx+b(k ≠0)与x 轴交点的横坐标就是方程kx+b=0(k ≠0)的解。 2.一次函数与一元一次不等式的联系。 （1）一元一次不等式kx+b>0(k ≠0)的解集<==>一次函数y=kx+b(k ≠0)的函数值y>0 的自变量的取值<==>函数图象在x 轴上方所有点（射线）的横坐标的集合。 （2）一元一次不等式kx+b<0(k ≠0)的解集<==>一次函数y=kx+b(k ≠0)的函数值y<0的自变量的取值<==>函数图象在x 轴下方所有点（射线，不含射线的端点）的横坐标的集合。 如果不等号含等于关系，这时不等式的解集包括与x 轴交点的横坐标。 3.两直线交点问题 把两一次函数看做是两个二元一次方程，联立组成方程组，方程组的解即为两直线的交点的坐标，x 的值为横坐标，y 的值为纵坐标，反之也成立。 4.利用函数的性质求最值问题。 第18章 平行四边形 §18.1平行四边形的性质 （一）平行四边形的有关概念 1、定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2、表示方法：专用符号：“ ”。 如图的平行四边形看表示为： ABCD ；读作：“平行四边形ABCD ” 3、平行四边形的“对边”是指：互相平行的两边；“对角”是指：“开口”相对的两角。 4、平行四边形的对角线：指两对角定点的连线。 （二）平行四边形的性质 1、平行四边形的对边相等，对角相等。 A B C D 2、平行四边形的对角线互相平分。 3、两平行线之间的距离处处相等。 4、平行四边形是中心对称图形。 5、S =底×高。 （二）平行线之间的距离 两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线之间的距离。两平行线之间的距离处处相等 §18.2平行四边形的判定 （一）判定方法 1、从边看： （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）； （2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 2、从角看：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 3、从对角线看：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 第19章矩形、菱形、与正方形 §19.1 矩形 一、矩形的性质 1、定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。 2、性质：矩形具有平行四边形的所有性质。 （1）矩形的四个角都是直角； （2）矩形的对角线相等且互相平分； （3）矩形既是轴对称图形又是中心对称图形； （4）S矩形=长×宽。 3、直角三角形的一个重要特性：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 二、矩形的判定方法 1、有一个角是直角的平行四边形是矩形； 2、对角线相等的平行四边形是矩形； 3、有三个角是直角的四边形是矩形。 §19.2 菱形 一、菱形性质 1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2、性质：菱形具有平行四边形的所有性质。 （1）菱形的四条边都相等； （2）菱形的对角线互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；（3）菱形既是轴对称图形又是中心对称图形； （4）S菱形=底×高= 1 2对角线①×对角线②。 二、菱形的判定方法 1、一组邻边相等的平行四边形是菱形； 2、四条边都相等的四边形是菱形； 3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 4、对角线互相垂直平分的四边形是菱形。 §19.3 正方形 一、正方形的性质 1、定义： （1）有一个内角是直角、一组邻边相等的平行四边形叫做正方形；（2）有一个内角是直角的菱形是正方形； （3）有一组邻边相等的矩形是正方形。 2、性质： （1）正方形具有平行四边、矩形和菱形的所有性质； （2）正方形既是轴对称图形又是中心对称图形； （3）S正方形=边长2= 1 2×对角线 2。 二、正方形的判定方法。用定义也可判定。 1、有一个角是直角的菱形是正方形； 2、有一组邻边相等的矩形是正方形； 3、对角线相等的菱形是正方形； 4、对角线互相垂直的矩形值正方形 三、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系 第20章数据的整理与初步处理 §20.1平均数 一、算术平均数的意义 二、加权平均数 三、中位数 1、定义：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列后，处在最中间位置的的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。 四、众数 1、定义：一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。 五、方差 1、定义：用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果通常称为方差。 2、算法：通常用S 2表示一组数据的方差，用x表示一组数据的平均数，x1、 x2、…x n表示各个数据，方差的计算式就是：S2= []2 2 2 2 1 ) ( ) ( ) ( 1 x x x x x x n n - + + - + -Λ 《数学》（八年级上册）知识点总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 2 2 c b a =+ 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 2 2 c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足2 2 2 c b a =+的三个正整数，称为勾股数。 第二章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如 3 π +8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 5、估算 华师大版八年级下册数学知识点总结 文件编码（GHTU-UITID-GGBKT-POIU-WUUI-8968） 八年级华师大版数学（下） 第16章 分式 §分式及基本性质 一、分式的概念 1、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。 2、对于分式概念的理解，应把握以下几点： （1）分式是两个整式相除的商。其中分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式；（3）分母不能为零。 3、分式有意义、无意义的条件 （1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0； （2）分式无意义的条件：分式的分母等于0。 4、分式的值为0的条件： 当分式的分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。即，使 B A =0的条件是：A=0， B ≠0。 5、有理式 整式和分式统称为有理式。整式分为单项式和多项式。 分类：有理式 单项式：由数与字母的乘积组成的代数式； 多项式：由几个单项式的和组成的代数式。 二、分式的基本性质 1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 ??????→? ???分式多项项单项式整式 用式子表示为：A B = A ·M B ·M = A ÷M B ÷M ，其中M （M ≠0）为整式。 2、通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。 通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。确定最简公分母的一般方法是： （1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。（2）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。 3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。 在约分时要注意：（1）如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、分母的公因式，即约去分子、分母系数的最大公约数，相同字母的最低次幂；（2）如果分子、分母中至少有一个多项式就应先分解因式，然后找出它们的公因式再约分；（3）约分一定要把公因式约完。 三、分式的符号法则： （1）－a b = a -b =－a b ；（2）-a -b =a b ；（3）－ -a -b =a b §分式的运算 一、分式的乘除法 1、法则： （1）乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。（意思就是，分式相乘，分子与分子相乘，分母与分母相乘）。 用式子表示： bd ac d c b a =? （2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，再与被除式相乘。 用式子表示： bc ad c d b a d c b a =?=÷ 初中数学知识点总结 一、基本知识 ㈠、数与代数A、数与式： 1、有理数 有理数：①整数→正整数/0/负整数 ②分数→正分数/负分数 数轴：①画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。 绝对值：①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 有理数的运算： 加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。③一个数与0相加不变。 减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。②任何数与0相乘得0。③乘积为1的两个有理数互为倒数。 除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②0不能作除数。 乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。 混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。 2、实数 无理数：无限不循环小数叫无理数 平方根：①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。 立方根：①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。③求一个数A的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开方数。 实数：①实数分有理数和无理数。②在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数，倒数，绝对值的意义完全一样。③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。 3、代数式 代数式：单独一个数或者一个字母也是代数式。 合并同类项：①所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。②把同类项合并成一项就叫做合并同类项。③在合并同类项时，我们把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。 4、整式与分式 整式：①数与字母的乘积的代数式叫单项式，几个单项式的和叫多项式，单项式和多项式统称整式。②一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。③一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。整式运算：加减运算时，如果遇到括号先去括号，再合并同类项。 幂的运算：AM+AN=A（M+N） （AM）N=AMN （A/B）N=AN/BN 除法一样。 整式的乘法：①单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作 第十一章 数的开方 11.1平方根与立方根（1） 【教学目标】：以实际问题的需要出发，引出平方根的概念，理解平方根的意义，会求某些数的平方根。 【教学重、难点】：重点：了解平方根的概念，求某些非负数的平方根。 难点：平方根的意义 【教具应用】：老师：三角板、小黑板 学生： 【教学过程】： 一、 提出问题，创设情境。 问题1、要剪出一块面积为25cm 2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？ 问题2、已知圆的面积是16πcm 2，求圆的半径长。 要想解决这些问题，就来学习本节内容 二、 自学提纲： 1、 你能解决上面两个问题吗？这两个问题的实质是什么？ 2、 看第2页，知道什么是一个数的平方根吗？ 3、 25的平方根只有5吗？为什么？ 4、 会求110的平方根吗？试一试 5、 －4有平方根吗？为什么？ 6、 想一想，你是用什么运算来检验或寻找一个数的平方根？ 7、 根据平方根的定义你能指出正数、0、负数的平方根的特征吗？ 8、 什么叫开平方？ 三、 能力、知识、提高 同学们展示自学结果，老师点拔 ① 情境中的两个问题的实质是已知某数的平方，要求这个数。 ② 概括：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。 如52＝25，（－5）2＝25 ∴25的平方根有两个：5和－5 ③ 根据平方根的意义，可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根。 ④ 任何数的平方都不等于－4，所以－4没有平方根。 ⑤ 0的平方等于0。所以0只有一个平方根为0。 ⑥ 概括：一个正数有两个平方根，它们互为相反数;0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。 ⑦ 求一个数a （a ≥0）的平方根的运算，叫做开平方。 四、 知识应用 1、 求下列各数的平方根 ① 49 ②1.69 ③81 16 ④（－0.2）2 2、 将下列各数开平方 ①1 ②0.09 ③（－ 5 3）2 五、 测评 1、 说出下列各数的平方根 ①81 ②0.25 ③125 4 2、 求未知数x 的值 ①（3x ）2＝16 ②（2x -1）2=9 六、 小结： 八年级华师大版数学（下） 第16章分式 §16.1分式及基本性质 一、分式的概念 A 1、分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 B 叫做分式。 3、分式有意义、无意义的条件 （1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0； （2）分式无意义的条件：分式的分母等于0。 4、分式的值为0的条件： A=0的条当分式的分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。即，使 B 件是：A=0，B≠0。 二、分式的基本性质 通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。 通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。确定最简公分母的一般方法是：（1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。（2）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。 约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。 在约分时要注意：（1）如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、分母的公因式，即约去分子、分母系数的最大公约数，相同字母的最低次幂；（2）如果分子、分母中至少有一个多项式就应先分解因式，然后找出它们的公因式再 约分；（3）约分一定要把公因式约完。 三、分式的符号法则： （1）－a b = a -b =－a b ；（2）-a -b =a b ；（3）－ -a -b =a b §16.2分式的运算 一、分式的乘除法 应用法则时要注意：（1）分式中的符号法则与有理数乘除法中的符号法则相同，即“同号得正，异号得负，多个负号出现看个数，奇负偶正”；（2）当分子分母是多项式时，应先进行因式分解，以便约分；（3）分式乘除法的结果要化简到最简的形式。 二、分式的加减法 （一）同分母分式的加减法 1、 用式子表示： 2、注意事项：（1）“分子相加减”是所有的“分子的整体”相加减，各个分子都应有括号；当分子是单项式时括号可以省略，但分母是多项式时，括号不能省略；（2）分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式。 （二）异分母分式的加减法 1、法则：异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式后，再加减。用式子表示： bd bc ad bd bc bd ad d c b a ±=±=±。 2、注意事项：（1）在异分母分式加减法中，要先通分，这是关键，把异分母分式的加减法变成同分母分式的加减法。（2）若分式加减运算中含有整式，应视其分母为1，然后进行通分。（3）当分子的次数高于或等于分母的次数时，应将其分离为整式与真分式之和的形式参与运算，可使运算简便。 四、分式的混合运算 注意事项：（1）有理数的运算顺序和运算规律对分式运算同样适用，要灵活运用交换律、结合律和分配律；（2）分式运算结果必须化到最简，能约分的要约b c a b c b a ±=± 知识点1：一元二次方程的基本概念 1．一元二次方程3x 2 +5x-2=0的常数项是-2. 2．一元二次方程3x 2 +4x-2=0的一次项系数为4，常数项是-2. 3．一元二次方程3x 2 -5x-7=0的二次项系数为3，常数项是-7. 4．把方程3x(x-1)-2=-4x 化为一般式为3x 2 -x-2=0. 知识点2：直角坐标系与点的位置 1．直角坐标系中，点A （3，0）在y 轴上。 2．直角坐标系中，x 轴上的任意点的横坐标为0. 3．直角坐标系中，点A （1，1）在第一象限. 4．直角坐标系中，点A （-2，3）在第四象限. 5．直角坐标系中，点A （-2，1）在第二象限. 知识点3：已知自变量的值求函数值 1．当x=2时,函数y=32-x 的值为1. 2．当x=3时,函数y=2 1-x 的值为1. 3．当x=-1时,函数y= 3 21-x 的值为1. 知识点4：基本函数的概念及性质 1．函数y=-8x 是一次函数. 2．函数y=4x+1是正比例函数. 3．函数x y 2 1-=是反比例函数. 4．抛物线y=-3(x-2)2 -5的开口向下. 5．抛物线y=4(x-3)2 -10的对称轴是x=3. 6．抛物线2)1(2 12+-=x y 的顶点坐标是(1,2). 7．反比例函数x y 2 = 的图象在第一、三象限. 知识点5：数据的平均数中位数与众数 1．数据13,10,12,8,7的平均数是10. 2．数据3,4,2,4,4的众数是4. 3．数据1，2，3，4，5的中位数是3. 知识点6：特殊三角函数值 1．cos30°= 2 3. 2．sin 2 60°+ cos 2 60°= 1. 3．2sin30°+ tan45°= 2. 4．tan45°= 1. 5．cos60°+ sin30°= 1. 八年级数学试题 2015.10.22 一、选择题(每小题3分，共36分) 1. 下列交通标志图案是轴对称图形的是（） 2.下列说法中正确的是( ) A.面积相等的两个图形是全等形 B.周长相等的两个图形是全等形 C.所有正方形都是全等形 D.能够完全重合的两个图形是全等形 3.点（3,2）关于x轴的对称点为( ) A.(3，-2) B.(-3，2) C.(-3，-2) D.(2，-3) 4. 如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要 添加一个条件是（） A. ∠BCA=∠F B. ∠B=∠E C. BC∥EF D. ∠A=∠EDF 5. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明∠A/O/B/=∠A O B的依据是 ( ) A.ASA B.SAS C.SSS D.AAS 6. 下列四种图形都是轴对称图形，其中对称轴条数最多的图形是 （） A. 等边三角形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 7.如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD=4，则点D到AB的距离是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 8. 一名同学想用正方形和圆设计一个图案，要求整个图案关于正方形的某条对角线对称，那么下列图案中不符合 ．．．要求的是( ) 9.如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=9cm，CF=4cm，则BD等于( ) A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm 10. 如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为( ) A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 11. 如图，正六边形ABCDEF关于直线l的轴对称图形是六边形A/B/C/D/E/F/.下列判断错误 ．．的是（）. A. AB=A/B/ B. BC//B/C/ C.直线l⊥BB/ D.∠A/=120° 12. 如图，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题(每小题3分，共24分) 13. 写出一个成轴对称图形的汉字：______________ 14.如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x= ． 八年级数学（上）知识点 人教版八年级上册主要包括三角形、全等三角形、轴对称、整式的乘除与分解因式和分式五个章节的内容。 第十一章三角形 一．知识框架 二．知识概念 1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。 4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。 5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。 6.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。 7.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。 8.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 9.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。 10.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。 11.公式与性质 三角形的内角和：三角形的内角和为180° 三角形外角的性质： 性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 多边形内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）·180° 多边形的外角和：多边形的内角和为360°。 多边形对角线的条数：（1）从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。 2013年华师大版八年级数学下册教案(全册) 四川省射洪中学八年级数学下册教案华师大版第17章分式 §com 分式的概念 教学目标 1经历实际问题的解决过程从中认识分式并能概括分式 2使学生能正确地判断一个代数式是否是分式 3能通过回忆分数的意义类比地探索分式的意义及分式的值如某一特定情况的条件渗透数学中的类比分类等数学思想 教学重点 探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件 教学难点 能通过回忆分数的意义探索分式的意义 教学过程 一做一做 1面积为2平方米的长方形一边长3米则它的另一边长为_____米 2面积为S平方米的长方形一边长a米则它的另一边长为________米 3一箱苹果售价p元总重m千克箱重n千克则每千克苹果的售价是___元二概括 形如 AB是整式且B中含有字母B≠0 的式子叫做分式其中A叫做分式的分 子B叫做分式的分母 整式和分式统称有理式即有理式整式分式 三例题 下列各有理式中哪些是整式哪些是分式 1 2 3 4 解属于整式的有24属于分式的有13 注意在分式中分母的值不能是零如果分母的值是零则分式没有意义例如在分式中a≠0在分式中m≠n 当取什么值时下列分式有意义 1 2 分析要使分式有意义必须且只须分母不等于零 解 1分母≠0即≠1 所以当≠1时分式有意义 2分母2≠0即≠- 所以当≠-时分式有意义 四练习 P5习题171第3题13 1．判断下列各式哪些是整式哪些是分式 9x4 2 当x取何值时下列分式有意义 1 2 3 3 当x为何值时分式的值为0 1 2 3 五小结 什么是分式什么是有理式 六作业 P5习题171第12题第3题24 七教学反思 §com 分式的基本性质 教学目标 1掌握分式的基本性质掌握分式约分方法熟练进行约分并了解最简分式的意义 2使学生理解分式通分的意义掌握分式通分的方法及步骤 教学重点 让学生知道约分通分的依据和作用学会分式约分与通分的方法 教学难点 1分子分母是多项式的分式约分 2几个分式最简公分母的确定 教学过程httpx kb1com 1分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以或除以同一个不等于零的整式分式的值不变 用式子表示是 其中M是不等于零的整式 与分数类似根据分式的基本性质可以对分式进行约分和通分 苏教版《数学》（八年级上册）知识点总结 第一章轴对称 1 轴对称图形和关于直线对称的两个图形 2 轴对称的性质 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连的线段的垂直平分线； 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等； 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 3 用坐标表示轴对称 点（x，y）关于x轴对称的点的坐标是(x,-y)，关于y轴对称的点的坐标是(-x,y)，关于原点对称的点的坐标是(-x,-y). 4 等腰三角形 等腰三角形的两个底角相等；（等边对等角） 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合；（三线合一） 一个三角形的两个相等的角所对的边也相等。（等角对等边） 5 等边三角形的性质和判定 等边三角形的三个内角都相等，都等于60度； 三个角都相等的三角形是等边三角形； 有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形； 推论： 直角三角形中，如果有一个锐角是30度，那么他所对的直角边等于斜边的一半。在三角形中，大角对大边，大边对大角。 第二章勾股定理、平方根 一、勾股定理： 1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 a 2＋ b 2＝ c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 A B C a b c 弦股 勾 勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个 三角形是直角三角形。 2. 勾股数：满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么 ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。） *附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13 3. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2 +b 2 =c 2 ，那么这个三角形是直角 三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五） 其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。 （2）有两个角互余的三角形是直角三角形。 用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是： （1）确定最大边（不妨设为c ）； （2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形； 若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边） 4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 勾股定理和 平方根 勾股定理 平方根 立方根 实数 近似数、 有效数字 判定直角三角形 勾股定理的验证 定义、性质 开平方运算 开立方运算 定义、性质 华师大版八年级下册数 学教学计划 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】 华师大版八年级下册数学教学计划 一、教学目标 1、知识与技能：主要内容包括“分式” “ 函数及其图象”“全等三角形” “平行四边形的判定” “数据的整理与初步处理”共五章，各章都力图讲清知识的来龙去脉，将知识的形成和应用过程呈现给同学们。 2、过程与方法： [1] 经历“观察----探索----猜测----证明”的学习过程，体验科学发现的一般规律。 [2] 通过探索、学习，使学生逐步学会正确、合理地进行运算，逐步学会观察、分析、综合、抽象，会用归纳、演绎、类比进行简单地推理。 3、情感态度与价值观：通过学习交流、合作、讨论的方式，积极探索，改进学生的学习方式，提高学习质量，逐步形成正确地数学价值观。 二、内容分析 第十七章分式是是代数式中重要的基本概念；分式的概念、分式的基本性质及约分、通分等变形，是全章的理论基础，分式的加、减、乘、除及乘方运算，是全章的重点内容，分式方程的概念，主要涉及可以化为一元一次方程的分式方程。解分式方程时，应用化归思想，并且要注意检验是必不可少的步骤。本章应尽可能采用类比方法学习，联系实际，培养学生有条理的思考与表达。同时培养学生的阅读理解和多角度思考问题的能力。 第十八章函数及其图象通过对变量的考察，体会函数的概念，并进一步研究一次函数、反比例函数。了解函数的有关性质和研究方法，并初步形成利用函数的观点认识现实世界 的意识和能力。在教材中，通过体现“问题情境——建立数学模型——概念、规律、应用与拓展”的模式，让学生从实际问题情境中抽象出函数以及一次函数、反比例函数的概念，并进行探索一次函数、反比例函数的图象及其性质，最后利用一次函数、反比例函数及其图象解决有关现实问题。 第十九章全等三角形主要介绍了三角形全等的性质和判定方法及直角三角形全等的特殊条件。更多的注重学生推理意识的建立和对推理过程的理解，学生在直观认识和简单说明理由的基础上，比较严格地证明全等三角形的性质，探索三角形全等的条件。 第二十章平行四边形的判定将在上册学习平行四边形性质的基础上，充分运用图形的变换探索发现判定平行四边形的方法，合理运用几何证明所得数学结论，努力实现合情推理与演绎推理的有机结合。 第二十一章数据的整理与初步处理是在前几册统计与概率内容的基础上，使学生学会选用合适统计图表，进行数据整理，清晰而又准确地表示所收集的数据，同时通过情境引入平均数、中位数与众数以及方差、极差与标准差，较为正确地比较所得数据，使学生掌握分析处理数据的基本方法，用数学语言表述自己的见解。 三、采取措施 1、认真学习钻研新课标，掌握教材；课堂内讲授与练习相结合，及时根据反馈信息，扫除学习中的障碍点。 2、认真备课、精心授课，抓紧课堂四十五分钟，认真上好每一堂课，争取充分掌握学生动态，努力提高教学效果。 精选教育类文档，如果您需要使用本文档，请点击下载，祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！ 马上就要中考了，祝大家中考都考上一个理想的高中！欢迎同学们下载，希望能帮助到你们！ 史上最全的初中数学知识点总结 第一章：实数 重要复习的知识点： 一、实数的分类： ?????? ???????????????????????????????????????无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 1、有理数：任何一个有理数总可以写成q p 的形式，其中p 、q 是互质的整数，这是有理数的重要特征。 2、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方 根，如2、34；特定结构的不限环无限小数，如 1.101001000100001……；特定意义的数，如π、45sin °等。 3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。 二、实数中的几个概念 1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 （1）实数a 的相反数是 -a ； （2）a 和b 互为相反数?a+b=0 2、倒数： （1）实数a （a ≠0）的倒数是a 1；（2）a 和b 互为倒数?1=ab ；（3）注意0没有倒数 3、绝对值： （1）一个数a 的绝对值有以下三种情况： ?????-==0,0, 00, a a a a a a （2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原 点的距离。 （3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。 4、n次方根 （1）平方根，算术平方根：设a≥0，称a 叫a的平方根，a叫a的算术平方根。 （2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 （3）立方根：3a叫实数a的立方根。 （4）一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。 三、实数与数轴 1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。 2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。实数和数轴上的点是一一对应 第17章 分式 §17.1.1 分式的概念 教学目标： 1、经历实际问题的解决过程，从中认识分式，并能概括分式 2、使学生能正确地判断一个代数式是否是分式 3、能通过回忆分数的意义，类比地探索分式的意义及分式的值如某一特定情况的条件，渗透数学中的类比，分类等数学思想。 教学重点： 探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件。 教学难点： 能通过回忆分数的意义，探索分式的意义。 教学过程： 一、做一做 （1）面积为2平方米的长方形一边长3米，则它的另一边长为_____米； （2）面积为S 平方米的长方形一边长a 米，则它的另一边长为________米； （3）一箱苹果售价p 元，总重m 千克，箱重n 千克，则每千克苹果的售价是___元； 二、概括： 形如 B A (A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母. 整式和分式统称有理式, 即有理式 整式，分式. 三、例题： 例1 下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1） x 1； （2）2 x ； （3）y x xy +2； （4）33y x -. 解：属于整式的有：（2）、（4）；属于分式的有：（1）、（3）. 注意：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义.例如，在分式a S 中，a ≠0；在分式n m -9中，m ≠n. 例2 当x 取什么值时，下列分式有意义？ （1） 11－x ； （2）3 22 +-x x . 分析 要使分式有意义，必须且只须分母不等于零. 解 （1）分母1－x ≠0，即x ≠1. 所以，当x ≠1时，分式 1 1 －x 有意义. （2）分母23+x ≠0，即x ≠-2 3 . 所以，当x ≠-23时，分式3 22 +-x x 有意义. 四、练习： P5习题17.1第3题（1）（3） 1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 2 38y y -，91-x 2. 当x 取何值时，下列分式有意义？ （1） （2） （3） 4522--x x x x 235-+2 3+x 初二下数学期末知识点回顾 分式 知识要点 1．分式的有关概念 设A 、B 表示两个整式．如果B 中含有字母，式子 B A 就叫做分式．注意分母B 的值不能为零，否则分式没有意义 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简 2、分式的基本性质 ,M B M A B A ??= M B M A B A ÷÷=（M 为不等于零的整式） 3．分式的运算 (分式的运算法则与分数的运算法则类似)． bd bc ad d c b a ±=± (异分母相加，先通分)； ;;bc ad c d b a d c b a b d ac d c b a =? =÷=? .)(n n n b a b a = 4．零指数)0(10 ≠=a a 5．负整数指数 ).,0(1 为正整数p a a a p p ≠= - 注意正整数幂的运算性质 n n n mn n m n m n m n m n m b a ab a a a a a a a a a ==≠=÷=?-+)(,)(),0(, 可以推广到整数指数幂，也就是上述等式中的m 、 n 可以是O 或负整数． 6、解分式方程的一般步骤：在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程．解这个整式方程．.验根，即把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，若结果不是0，说明此根是原方程的根；若结果是0，说明此根是原方程的增根，必须舍去． 7、列分式方程解应用题的一般步骤： （1）审清题意；（2）设未知数（要有单位）；（3）根据题目中的数量关系列出式子，找出相等关系，列出方程；（4）解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意；（5）写出答案（要有单位）。 1. (-5)0 =_____； 2. 3-2 =________；3. 当x_________时，分式 1x+1 有 意义； 第十六章 分式 16．1分式 16.1.1从分数到分式 一、 教学目标 1． 了解分式、有理式的概念. 2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点 1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 三、课堂引入 1．让学生填写P4[思考]，学生自己依次填出：710，a s ，33200，s v . 2．学生看P3的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 设江水的流速为x 千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为v +20100小时，逆流航行60千米所用时间v -2060小时，所以v +20100=v -2060. 3. 以上的式子v +20100，v -2060，a s ，s v ，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不 同点？ 五、例题讲解 P5例1. 当x 为何值时，分式有意义. [分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解 出字母x 的取值围. [提问]如果题目为：当x 为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例2. 当m 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) 1 -m m 32 +-m m 112+-m m [分析] 分式的值为0时，必须同时．． 满足两个条件：○1分母不能为零；○2分子为零，这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解. [答案] （1）m=0 （2）m=2 （3）m=1 六、随堂练习 1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 2 38y y -，91-x 2. 当x 取何值时，下列分式有意义？ （1） （2） （3） 3. 当x 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) 七、课后练习 1.列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是正是？哪些是分式？ (1）甲每小时做x 个零件，则他8小时做零件 个，做80个零件需 小时. （2）轮船在静水中每小时走a 千米，水流的速度是b 千米/时，轮船的顺流速度是 千米/时，轮船的逆流速度是 千米/时. (3)x 与y 的差于4的商是 . 2．当x 取何值时，分式 无意义？ 3. 当x 为何值时，分式 的值为0？ 八、答案： 六、1.整式：9x+4, 209y +, 54-m 分式： x 7 , 2 38y y -，91-x 2．(1）x ≠-2 （2）x ≠ （3）x ≠±2 3．（1）x=-7 （2）x=0 (3)x=-1 七、1．18x, ,a+b, b a s +,4y x -; 整式：8x, a+b, 4y x -; 分式：x 80, b a s + 2． X = 3. x=-1 4522--x x x x 235-+23 +x x x 57+x x 3217-x x x --221x 80 2332 x x x --12 312-+x x 八年级数学上册复习提纲 第11章数的开方 §11.1平方根与立方根 一、平方根 1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。（也叫做二次方根） 即：若x2=a，则x叫做a的平方根。 2、平方根的性质：（1）一个正数有两个平方根。它们互为相反数；（2）零的平方根是零；（3）负数没有平方根。 二、算术平方根 1、算术平方根的定义：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。 2、算术平方根的性质：（1）一个正数的算术平方根只有一个且为正；（2）零的算术平方根是零；（3）负数没有算术平方根；（4）算术平方根的非负性：a ≥0。 三、平方根和算术平方根是记号：平方根±a（读作：正负根号a）；算术平方根a（读作根号a） 即：“±a”表示a的平方根，或者表示求a的平方根；“a”表示a的算术平方根，或者表示求a的算术平方根。 其中a叫做被开方数。∵负数没有平方根，∴被开方数a必须为非负数，即：a≥0。 四、开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。其实质就是：已知指数和二次幂求底数的运算。 五、立方根 1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。（也叫做三次方根） 即：若x3=a，则x叫做a的立方根。 2、立方根的性质：（1）一个正数的立方根为正；（2）一个负数的立方根为负；（3）零的立方根是零。 3、立方根的记号：3a（读作：三次根号a），a称为被开方数，“3”称为根指数。 3a中的被开方数a的取值范围是：a为全体实数。 六、开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。其实质就是：已知指数和三次幂求底数的运算。 七、注意事项： 1、“±a”、“a”、“3a”的实质意义：“±a”→问：哪个数的平方是a；“a”→问：哪个非负数的平方是a；“3a”→问：哪个数的立方是a。 2、注意a和3a中的a的取值范围的应用。 如：若3 x有意义，则x取值范围是。（∵x-3≥0，∴x≥3） 初二数学知识点总结 函数的定义，函数的定义域、值域、表达式，函数的图像2 一次函数和正比例函数，及其表达式、增减性、图像3 从函数的观点看方程、方程组和不等式如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。形如y=kx+b（k，b 是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。正比例函数是一种特殊的一次函数。当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小。 一、、常量、变量在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量，数值始终不变的量叫做常量。 二、函数的概念函数的定义：一般的，在一个变化过程中如有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说x是自变量，y是x的函数、 三、函数中自变量取值范围的求法（1）用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。（2）用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。（3）用奇次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。 用偶次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一切实数。（4）若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再求其公共范围，即为自变量 的取值范围。（5）对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。 四、函数图象的定义一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。 五、用描点法画函数的图象的一般步骤 1、列表：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。注意：列表时自变量由小到大，相差一样，有时需对称。 2、描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。 3、连线：按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来。六、函数有三种表示形式（1）列表法（2）图像法（3）解析式法七、正比例函数与一次函数的概念：一般地，形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。 一般地，形如y=kx+b (k,b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数。、当b =0 时,y=kx+b 即为 y=kx，所以正比例函数是一次函数的特例、。八、正比例函数的图象与性质图象：正比例函数y= kx (k 是常数，k≠0) 的图象是经过原点的一条直线，称之为直线y= kx 。 性质：当k>0时,直线y= kx经过第三，一象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；当k<0时,直线y= kx经过二,四 八年级数学下册单元测试题及答案全套 第16章检测卷 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．使分式2 x －1有意义的x 的取值范围是( ) A ．x ≠0 B ．x >1 C ．x ＜1 D ．x ≠1 2．计算3x －2 x 的结果是( ) A.6x 2 B.6x C.52x D.1x 3．一种微粒的半径是0.000041米，0.000041这个数用科学记数法可表示为( ) A ．41×10－6 B ．4.1×10－ 5 C ．0.41×10－4 D ．4.1×10－ 4 4．如果把2y 2x －3y 中的x 和y 都扩大5倍，那么分式的值( ) A ．扩大5倍 B ．不变 C ．缩小为原来的1 5 D ．扩大4倍 5．分式方程1x ＝2 x －2的解为( ) A ．x ＝2 B ．x ＝－2 C ．x ＝－23 D ．x ＝2 3 6．已知a ＝????12－2 ，b ＝－????－12，c ＝(－2)3，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．b ＜a ＜c B ．b ＜c ＜a C ．c ＜b ＜a D ．a ＜c ＜b 7．化简a 2－4a 2＋2a ＋1÷a 2－4a ＋4（a ＋1）2－2 a －2的结果为( ) A.a ＋2a －2 B.a －4a －2 C.a a －2 D ．a 8．若关于x 的分式方程2x －a x －2＝12 的解为非负数，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥1 B ．a >1 C ．a ≥1且a ≠4 D ．a >1且a ≠4 9．甲、乙两人同时分别从A ，B 两地沿同一条公路骑自行车到C 地．已知A ，C 两地间的距离为110千米，B ，C 两地间的距离为100千米．甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时．结果两人同时到达C 地，求两人的平均速度．为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x 千米/时．由题意列出方程，其中正确的是( ) A.110x ＋2＝100x B.110x ＝100x ＋2 C.110x －2＝100x D.110x ＝100x －2 10．关于x 的分式方程5x ＝a x －5有解，则字母a 的取值范围是( )八年级数学上册 知识点总结
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