完全平方公式

年级八年级课题完全平方公式课型新授教学媒体多媒体

教学目标知识

技能

1．经历探索完全平方公式的过程，使学生感受从一般到特殊的研究方法，进一

步发展符号感和推理能力．

2．会推导完全平方公式，能说出公式的结构特征，并能运用公式进行简单计算．过程

方法

进一步培养学生用数形结合的方法解决问题的能力．

情感

态度

了解数学的历史，激发学习数学的兴趣．鼓励学生自己探索算法的多样化，有意

识地培养学生的创新能力．

教学重点(a±b)2＝a2±2ab＋b2的推导及应用．

教学难点完全平方公式的推导和公式结构特点及其应用．

教学过程设计

教学程序及教学内容师生行为设计意图一、复习旧知

探究，计算下列各式，你能发现什么规律？

（1）（p＋1）2 =（p＋1）（p＋1）＝_________；

（2）（m＋2）2=（m＋2）（m＋2）＝_________；

（3）（p－1）2 =（p－1）（p－1）＝_________；

（4）（m－2）2=（m－2）（m－2）＝_________．

答案：（1）p2+2p+1；（2）m2+4m+4；（3）p2－2p+1；（4）m2－4m+4．

二、探究新知

1.计算:（a+b）2 和（a－b）2 ；并说明发现的规律。（a+b）2=（a+b）（a+b）= a（a+b）+b（a+b）=a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2．

（a－b）2=（a－b）（a－b）=a（a－b）－b（a－b）=a2－ab －ab+b2=a2－2ab+b2．

2.归纳完全平方公式

两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍，即学生利用多项式与

多项式相乘的法则

进行计算，观察计算

结果，寻找一般性的

结论，并进行归纳

教师让学生利用多

项式的乘法法则进

行推理.

教师让学生用自己

的语言叙述所发现

的规律，允许学生之

间互相补充，教师不

急于概括．

这里是对前边

进行的运算的

复习，目的是

让学生通过观

察、归纳，鼓

励他们发现这

个公式的一些

特点，如公式

左右边的特

征，便于进一

步应用公式计

算

公式的推导既

是对上述特例

的概括，更是

从特殊到一般

的归纳证明，

在此应注意向

学生渗透数学

9801120010000)1100(9922=+-=-=()()()2

22228164244n mn m n n m m n

m ++=+??+=+

教学程序及教学内容

师生行为

设计意图 （a +b ）2=a 2+2ab +b 2，

（a －b ）2=a 2－2ab +b 2

3．归纳完全平方公式的特征： （1）左边为两个数的和或差的平方；

（2）右边为两个数的平方和再加或减这两个数的积的2倍．

4.【例1】运用完全平方公式计算： ⑴ ()24n m +； ⑵ 2

99 【解析】 (1) (2) 【点拨】展开后的式子有三项，能合并的要合并. 5．利用完全平方公式计算： （1）（－x +2y ）2； （2）（－x －y ）2； （3）（x +y －z ）2；

解析：（1）题可转化为（2y －x ）2或（x －2y ）2

，再运

用完全平方公式； （2）题可以转化为（x +y ）2，利用和的完全平方公式；

（3）题利用加法结合律变形为［（x +y ）－z ］2

，或［x +（y －z ）］2、［（x －z ）+y ］2

，再用完全平方公式计算；

思考 ⑴（a +b ）2与（－a －b ）2相等吗？为什么?

⑵（a －b ）2与（b －a ）2相等吗？为什么? ⑶（a －b ）2与a 2－b 2相等吗？为什么?

6．添括号：∵4+5+2与4+(5+2)的值相等;4-5-2与

4-(5+2)的值相等.所以可以写出下列两个等式: (1)4+5+2=4+(5+2) (2)4-5-2=4-(5+2) 左边没括号,右边有括号,也就是添了括号,?同学们可

不可以出添括号法则来呢? 添括号其实就是把去括号反过来。

学生分组讨论，合作交流，归纳完全平方公式的特征。

部分学生板演，然后学生交流分析过程：此题需灵活运用完全平方公式。

学生思考，教师点

拨。

学生在做题时，不

要鼓励他们直接套用公式，而应让学生理解每一步的运

算理由。

.分组讨论,最后。 师生行为 的思想方法：特例—归纳—猜

想—验证一用

数学符号表示．

在学习过程中，例题的设置是

由浅入深，让 每个学生感到学有所成，感 受到学习数学

的乐趣.整个过程贯穿完全平

方公式的结构特征及由一般

到特殊的思想的体验，亲身

经历了数学魅力所在.注意完

全平方公式中容易出现的问

题，让学生掌握。

教学程序及教学内容

设计意图 添括号法则是:

添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号;?如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号.

也是:遇"加"不变,遇"减"都变.

【例2】计算： ()()3232+--+y x y x ；

【解析】若用平方差公式，原式应=22)()(-.根

据公式特点，两个括号中相同的项为a ，相反的项为b ，只须把题中相同的项都填入第一个括号，把相反的项 (从同一个括号中择取) 都填入第二个括号.

解：

【点拨】对于例2这类乘法，若两个括号内的项全部相同或相反，则不可用平方差公式，而可用完全平方公式. 三、课堂训练 1．运用完全平方公式计算 （1）（x +6）2； （2）（－y －5）2；

（3）（－2x +5）2． 2．下面各式的计算错在哪里?应当怎样改正?

（1）（a + b ）2 = a 2 +b 2； （2）（a – b ）2 =a 2 – b 2

． 3．拓展应用。

已知x +y =8，xy =12，求x 2+y 2的值．

4．()92

2++=+nx x m x ,则m = ，n = . 5．若,4,3==-ab b a 则=+2

2b a . 6．若2)4(2=+m ，则)5)(3(++m m =_________. 四、小结归纳 完全平方公式特征的口诀：首平方，尾平方，二倍乘积在中央。

（1）左边为两个数的和或差的平方；

（2）右边为两个数的平方和再加或减这两个数的积的2倍．

五、作业设计

习题 15．2 第2、3、4、5、6、7、8、9题．

学生认真总结并适

当练习。

教师适当讲解，学

生要理解解题过程。

学生独立思考，自

主完成练习。教师

给予讲评，教师要重点关注学生是否

掌握完全平方公式

的结构特征。

学生要学会应用完全平方公式特征的口诀进行解题。

让学生掌握添括号法则。

正确的将平方差公式和完全平方公式结合起来应用。 有意识地培养学生的创新能力．

学生通过练习，巩固刚刚学习的新知识，在此基础上，加深知识的应用。

()()9124)32(32322

22

2-+-=--=+--+y y x y x y x y x

板书设计

15.2.2完全平方公式

1、探究规律

2、归纳完全平方公式的特征

3、例题讲解

4、学生练习

教学反思

完全平方公式练习题一

完全平方公式为： 注：1.完全平方公式和平方差公式不同： 形式不同． 结果不同：完全平方公式的结果是三项，即 （a ?b ）2＝a 2 ?2ab+b 2 ; 平方差公式的结果是两项， 即（a+b ）（a?b ）＝a 2?b 2. 2. 解题过程中要准确确定a 和b ，对照公式原形的两边, 做到不丢项、 不弄错符号、2ab 时不少乘2。 3. 口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央，加减看前方，同加异减。 例1 用完全平方公式计算： （1）(2x ?3)2 ； (2) (4x +5y )2 ; (3) (mn ?a )2 练习： 1、计算：2 )221 (y x - (n +1)2－n 2 (2x 2－3y 2)2 2、下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算 （1）()()x y y x +-+ （2）()()a b b a -- （3）()()ab x x ab +--33 （4）()()n m n m +-- 例2.计算： （1）(-1-2x )2 （2）()()n m n m +--22 （3）)432)(432(-++-y x y x （4）22)32 1()321(b a b a +-

练习： (1)()2c b a -+ (2) (-2x +1) 2 （3))4)(2)(2(22y x y x y x --+ （4）??? ??+-??? ??-b a b a 32132 1 拓展：1.已知31=+ x x ，则=+221x x ________________ 2. 已知131-=x y ，那么2323122-+-y xy x 的值是________________ 3、已知2216)1(2y xy m x +-+是完全平方公式，则m = 4、若22()12,()16,x y x y xy -=+=则=

完全平方公式经典题型 (1)

完全平方（和、差）公式： 1． 公式：()2222a b a ab b ±=±+ 逆用：()2 222a ab b a b ±+=± 文字叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的２倍． 口诀：首平方加尾平方，乘积二倍在中央。 其中,a b 可以是数字、单项式和多项式。其中22,a b 称为二次项，均为正项；2ab 为中间项，符号由括号里的符号确定。 扩展：()222222ax by a x abxy b y ±=±+ a,b 为x 、y 系数，那么展开式的中间项系数为2ab 。 例：1.229124a ab b -+= 2. 2244a ab b -+= 3. 2(23)x -= 4. 221()32x y -= 4. 2102= 6. 299= 题型解析： 一、添括号运用乘法公式计算： （1）2)(b a -- (2)2)(c b a ++ （4） ()()22 225x 4y 5x 4y --+ （5）2)12(-+b a （6）2)12(--y x 二、展开式系数的判断：公式逆用 1、要使k x x +-62是完全平方式，则k=________ 2、要使42++my y 成为完全平方式，那么m=________ 3、将多项式92+x 加上一个整式，使它成为完全平方式，这个整式可以是_______________ 4、多项式()2249a ab b -+是完全平方差公式，则括号里应填 。 5、将下列式子补充完整: （1）24x - xy +216y =( ) 2 （2）225a +10ab + =( )2 （3） -4ab + =(a - )2 （4）216a + + =( +)22b （5）2916x - + =( 223y ?-?? 三、利用公式加减变形 例.已知5=+b a 3ab =，求22b a +和 2)(b a -的值 1. 若a+b=0，ab=11，求a 2﹣ab+b 2的值。 2.已知 x + y = 8，xy = 12，求 x 2 + y 2 的值 3. 已知，（x+y ）2=16，（x ﹣y ）2=8，那么xy 的值是多少？ 4. 如果，求和1a-a 的值。 5. 已知x 2+y 2=13，xy=6，则x+y 的值是多少？

完全平方公式——配方法

完全平方公式——配方法 一．选择题（共2小题） 1．（2018?宜宾模拟）已知x2+mx+25是完全平方式，则m的值为（）A．10 B．±10 C．20 D．±20 2．（2017秋?凉州区期末）若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于（） A．3 B．﹣5 C．7 D．7或﹣1 二．填空题（共1小题） 3．（2017秋?资中县期末）小丽在计算一个二项式的平方时，得到正确结果m2﹣10mn+■，但最后一项不慎被墨水污染，这一项应是． 三．解答题（共7小题） 4．（2016秋?卢龙县期末）将多项式4x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方．则添加单项式的方法共有多少种？请写出所有的式子及演示过程． 5．（2012秋?仪征市校级月考）小明在做作业时，不慎把墨水滴在纸上，将一个三项式前后两项污染得看不清楚了，中间项是12xy，请帮他把前后两项补充完整，使它成为完全平方式，有几种方法？（至少写出三种不同的方法） 三项式：■+12xy+■=2． （1）； （2）； （3）．

6．（2012春?都江堰市校级期中）如果a2﹣2（k﹣1）ab+9b2是一个完全平方式，那么k=． 7．已知4x2﹣100x+m是完全平方式，求m的值并说明理由． 8．已知x2﹣（m﹣1）xy+49y2是一个完全平方式，求m的值． 9．将下列式子配成完全平方式： （1）1﹣0.5 （2）8+4． 10．若9（x﹣y）2+M+4是一个完全平方公式，求M的表达式．

完全平方公式——配方法 参考答案与试题解析 一．选择题（共2小题） 1．B． 2．D． 二．填空题（共1小题） 3．25n2． 三．解答题（共7小题） 4．解：添加的方法有5种，其演示的过程分别是（1分） 添加4x，得4x2+1+4x=（2x+1）2；（2分） 添加﹣4x，得4x2+1﹣4x=（2x﹣1）2；（3分） 添加4x4，得4x2+1+4x4=（2x2+1）2；（4分） 添加﹣4x2，得4x2+1﹣4x2=12；（5分） 添加﹣1，得4x2+1﹣1=（2x）2．（6分） 5．解：（1）4x2+12xy+9y2=（2x+3y）2； （2）4x2y2+12xy+9=（2xy+3）2； （3）x2y2+12xy+36=（xy+6）2； 故答案为：（1）4x2+12xy+9y2=（2x+3y）2；（2）4x2y2+12xy+9=（2xy+3）2；（3）x2y2+12xy+36=（xy+6）2 6．解：∵a2﹣2（k﹣1）ab+9b2=a2﹣2（k﹣1）ab+（3b）2， ∴﹣2（k﹣1）ab=±2×a×3b， ∴k﹣1=3或k﹣1=﹣3， 解得k=4或k=﹣2． 即k=4或﹣2． 7．解：m=25．理由如下： ∵4x2﹣100x+m是完全平方式， ∴100x=2×2x×，

平方差公式和完全平方公式基础拔高练习(含答案)汇编

学习-----好资料 1. _______________________ ( a 2+b 2) (a 2- b 2) = ( ) 2-( ) 2= . 2. ________________________________________ (-2x 2-3y 2) (2x 2-3y 2) = (__))-( ) 2= . 3. ________________ 20X 19= (20+ ______ ) (20- __ ) = ___ - = . 4. 9.3 X 10.7= ( ____ — ____ ) ( ____ + ___ ) = ____ — ___ . 5. 20062 — 2005X 2007 的计算结果为( )A . 1 B . - 1 C . 2 D . - 2 6. 在下列各式中，运算结果是 b 2- 16a 2的是()A. (-4a+b ) (-4a -b ) B . (-4a+b ) (4a - b ) 7. 运用平方差公式计算. (8) (a -1) (a -2) (a+1) (a+2) (1) 102X 98 3 1 (2) 2-X 3 4 4 (3)— 2.7 X 3.3 1007X 993 (5) 121 X 112 3 3 (6)— 19- X 201 5 5 C. (b+2a ) (b -8a ) .(—4a - b ) (4a - b )

学习-----好资料 (9) (a+b ) (a — b ) + (a+2b ) (a — 2b ) (10) (x+2y ) (x — 2y ) — ( 2x+5y ) (2x — 5y ) (12) (a+b ) (a — b ) — ( a — 3b ) (a+3b ) + (— 2a+3b ) (— 2a — 3b ) 8. _____________ ( 3a+b ) ( ) =b 2— 9a 2; (a+b — m )( 1 9. 先化简，再求值：(3a+1) (3a —1) — ( 2a — 3) (3a+2)，其中 a=—-. (11) (2m- 5) (5+2m ) + ( — 4m — 3) (4m — 3) )=b 2—( a — m ) 2.

完全平方公式(完整知识点)

完全平方公式 完全平方公式即(a±b)2=a2±2ab+b2 该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解）。 必须注意的： ①漏下了一次项 ②混淆公式（与平方差公式） ③运算结果中符号错误 ④变式应用难于掌握。 学会用文字概述公式的含义: 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。

这两个公式的结构特征： 1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方 和，加上或减去这两项乘积的2倍； 2、左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接；左边两项符号相反时，右 边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）. 完全平方公式口诀 前平方，后平方，二倍乘积在中央。 同号加、异号减，符号添在异号前。（可以背下来） 即 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2（注意：后面一定是加号） 公式变形（习题） 变形的方法 （一）、变符号： 例1：运用完全平方公式计算： （1）(-4x+3y)2（2）(-a-b)2 分析：本例改变了公式中a、b的符号，以第二小题为例，处理该问题最简单的方法是将这个式子中的(-a)看成原来公式中的a，将(-b)看成原来公式中的b，即可直接套用公式计算。 解答： (1)原式=16x2-24xy+9y2 (2)原式=a2+2ab+b2 （二）、变项数：

配完全平方公式

配完全平方及应用 姓名： 日期： 【知识要点】 1.配完全平方,即利用公式2222222()2()a b ab a b a b ab a b ++=++-=-及把一个展开了的多项式配成另一个多项式的平方的形式,有些多项式可以刚好配成,则称之为完全平方式. 2.配方的作用一般有： ①求最小值：如果一个式子配成了形如22()()(,.,.)m a b n c d k m n k ++++其中为常数,且m,n 同正的形式，则其可取的最小值为k . ②降次：将一个复杂的等量关系本转化为几个简单的等量关系，如一个复杂的多项式可以配成形如22()()0(.),0,0m a b n c d m n a b c d +++=+=+=为常数,且m,n 同号则可以得出． 3.配方的方法就在于利用两项来确定第三项来配（如有22a b +了则第三项一定是 2ab 或2ab -，有了22a ab +或22a ab -则第三项一定是2b ） ．不过，在某些较为复杂的题目中，还需要利用一些分拆的技巧，需要注意． 【课前热身】 1．填空：x 2+( )+ 4 1=( )2； 4x 2+12xy+( ) =( )2； 21x 2-6xy+( ) =( )2； 2x 2+( )+18y 2 =( )2； 2．如果(x+y)2—4(x+y)+4=0，则x+y=_____________ 3．已知(x+y)2-2x-2y+1=0，则x+y=__________ 4．已知2216x ax ++是一个完全平方式，则a 的值等于 5．如果4x 2—axy+9y 2是一个完全平方式，则a 的值是 【典型例题】

例1．（1）已知0122 =--a a ，求841a a +的值． （2）已知()21a b +=，()225a b -=．求22a b ab ++． 例2．当a ,b 为何值时，多项式224618a b a b +-++有最小值？并求出这个最小值。 例3．求多项式222451213x xy y y -+-+的最小值。 例4．已知x 、y 满足不等式2x 2+3y 2+5≤4x+6y,求x+y 的值. 例5．若a 、b 、c 为正数，且满足444222222,a b c a b b c c a ++=++那么a 、b 、c 之间有什么关系？为什么？ 【经典练习】 1．已知(x+y)2-2x-2y+1=0，则x+y=__________ 2．如果x 2+y 2-2x+6y+10=0，则x+y= 3．如果22530a ab m -+是一个完全平方式，那么m = 。 4.将下列各式配成完全平方与一个常数的和。 （1）23x x -+ （2）2459x x +- 5.如果(a 2+b 2)(a 2+b 2-6)+9=0，求a 2+b 2 6.（1）如果x 2+y 2-4x-6y+13=0，求xy （2）已知0444522=+--+b ab b a ，求a+b 7．已知的值则ca bc ab c b a c b b a ---++=--=-222,5,2。 8．已知22242221,032y y xy x x y x ++--=--求的值。 9．可取的最小值为多少则若222,3 2211z y x z y x ++-=+=-？ 10（思考题）．若1003722=+b a ，1007322=+d c ，10037=+bc ad ，求c d b a - 的值. 课后作业

完全平方公式常考题型(经典)

完全平方公式典型题型 一、公式及其变形 1、 完全平方公式：222()+2a b a ab b +=+ （1）222()2a b a ab b -=-+ （2） 公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。 注意： 222)()]([)(b a b a b a +=+-=-- 222)()]([)(b a b a b a -=--=+- 完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。 2、公式变形 (1)+（2）得:22 22 ()()2a b a b a b ++-+= (12)-）（得: 22 ()()4 a b a b ab +--= ab b a ab b a b a 2)(2)(2222-+=-+=+，ab b a b a 4)()(22-+=- 3、三项式的完全平方公式：bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++ 二、题型 题型一、完全平方公式的应用 例1、计算（1）（－ 21ab 2－3 2c ）2； （2）（x －3y －2）（x ＋3y －2）； 练习1、(1)（x －2y ）（x 2－4y 2）（x ＋2y ）；（2）、（a －2b ＋3c －1）（a ＋2b －3c －1）； 题型二、配完全平方式 1、若k x x ++22是完全平方式，则k = 2、.若x 2－7xy +M 是一个完全平方式，那么M 是 3、如果4a 2－N ·ab ＋81b 2 是一个完全平方式，则N = 4、如果224925y kxy x +-是一个完全平方式，那么k = 题型三、公式的逆用 1．（2x －______）2＝____－4xy ＋y 2． 2．（3m 2＋_______）2＝_______＋12m 2n ＋________．

41完全平方公式(基础)知识讲解

完全平方公式（基础） 【学习目标】 1. 能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解. 2. 会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式； 3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯. 【要点梳理】 要点一、公式法——完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即()2222a ab b a b ++=+，()2 222a ab b a b -+=-. 形如222a ab b ++，222a ab b -+的式子叫做完全平方式. 要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或 减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以 是单项式或多项式. 要点二、因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 要点三、因式分解注意事项 （1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 【典型例题】 类型一、公式法——完全平方公式 1、（2016?普宁市模拟）下列各式中，能利用完全平方公式分解因式的是（ ）． A ．221x x -++ B ．221x x -+- C ．221x x -- D ．2 24x x -+ 【思路点拨】根据完全平方公式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍，对各项分析判断后利用排除法求解. 【答案】B ； 【解析】A 、221x x -++其中有两项-x 2、12不能写成平方和的形式，不符合完全平方公式特点，故本选项错误； B 、2221(1)x x x -+-=--，符合完全平方公式特点，故本选项正确； C 、221x x --其中有两项x 2、-12不能写成平方和的形式，不符合完全平方公式特点，故本选项错误；

完全平方公式

完全平方公式 一、教学目的要求： 1、使学生掌握完全平方公式，并能熟练的进行乘法运算。 2、通过例题的讲解，习题的练习，使学生掌握代换的思想方法，并培养学生灵活 的运用公式解决问题的能力。 二、重点、难点 1、掌握完全平方公式的特点，牢固的记住住公式 2、解答具体问题会运用公式，关键是正确的计算公式中两个数乘积的两倍的项。 三、教学方法 观察、探讨法 四、教具计算机 五、教学过程 复习提问 1、运用多项式的乘法法则计算：（结果用计算机展示） （1）（a+b）(a+b); (2)(a-b)(a-b). 2、叙述平方差公式 导入新课 上一节课，我们学习了第一个乘法公式------(a+b)(a-b)=a2-b2 ,这一节课，我们在学习两个很重要的乘法公式，就是完全平方公式。（计算机展示课题：完全平方公式）

（1）从刚才板演的结果，引导学生得出公式： (a+b)2=a2+2ab+b2; (a-b)2=a2-2ab+b2 ; 这里，第一个公式是基本的，第二个公式可以由第一个公式导出。如(a-b)2=[a+(-b)]2 =a2+2a(-b)+(-b)2 =a2-2ab+b2 （2）语言叙述，让学生用语言叙述公式内容，经过教师补充修正，把完整准确的叙述写在黑板上： 两数和（或差）的平方，加上（或减去）它们的积的两倍。 .

首方加尾方，两倍平方中间放。 注意：公式的字母可以是数，也可以单项式或多项式。 例题1 运用完全平方公式计算。（计算机展示） （1）（4a2-b2） (2)(y+o.5)2 练习（1）课本第127页第1，2，3题（指生板演，共同订正） 例题2 运用完全平方公式计算。（计算机展示） （1）1022 （2）1992 练习（2）课本第130 页（A）第1 题（1）、（3）、（5）、（7）（指生板演，共同订正） 达标测试： 1．（a+b）2= 用语言叙述为：。2．（a-b）2=a2+b2+ 。 3．判断：（1）(a-b)2=(b-a)2( ) (2) (a+b)2-(a-b)2=4ab ( ) 4. 选择：（1）对任意自然数n，多项式（n+7）2-n2能够（） （A）被2整除（B）被7整除

完全平方公式(一)

1.6完全平方公式(一) ●教学目标 (一)教学知识点 1.完全平方公式的推导及其应用. 2.完全平方公式的几何背景. (二)能力训练要求 1.经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力. 2.重视学生对算理的理解，有意识地培养他们有条理的思考和表达能力. (三)情感与价值观要求 1.了解数学的历史，激发学习数学兴趣. 2.鼓励学生自己探索算法的多样化，有意识地培养学生的创新能力. ●教学重点 1.完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释. 2.完全平方公式的应用. ●教学难点 1.完全平方公式的推导及其几何解释. 2.完全平方公式结构特点及其应用. ●教学方法 自主探索法 学生在教师的引导下自主探索完全平方公式的几何解释、代数运算角度的推理，揭示其结构特点，然后达到合理、熟练地应用. ●教具准备 投影片四张 第一张：试验田的改造，记作(§1.6.1 A) 第二张：想一想，记作(§1.6.1 B) 第三张：例题，记作(§1.6.1 C) 第四张：补充练习，记作(§1.6.1 D) ●教学过程 Ⅰ.创设问题情景，引入新课 ［师］去年，一位老农在一次“科技下乡”活动中得到启示，将一块边长为a米的正方形农田改成试验田，种上了优质的杂交水稻，一年来，收益很大.今年，又一次“科技下乡”活动，使老农铁了心，要走科技兴农的路子，于是他想把原来的试验田，边长增加b米，形成四块试验田，种植不同的新品种. 同学们，谁来帮老农实现这个愿望呢？ (同学们开始动手在练习本上画图，寻求解决的途径) ［生］我能帮这位爷爷. ［师］你能把你的结果展示给大家吗？ ［生］可以.如图1－25所示，这就是我改造后的试验田，可以种植四种不同的新品种.

苏教版七年级下册数学[完全平方公式(基础)知识点整理及重点题型梳理]

苏教版七年级下册数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 完全平方公式（基础） 【学习目标】 1. 能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解. 2. 会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式； 3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯. 【要点梳理】 要点一、公式法——完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即()2222a ab b a b ++=+，()2 222a ab b a b -+=-. 形如222a ab b ++，222a ab b -+的式子叫做完全平方式. 要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或 减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以 是单项式或多项式. 【400108 因式分解之公式法 知识要点】 要点二、因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 要点三、因式分解注意事项 （1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 【典型例题】 类型一、公式法——完全平方公式 1、（2016?普宁市模拟）下列各式中，能利用完全平方公式分解因式的是（ ）． A ．221x x -++ B ．221x x -+- C ．221x x -- D ．2 24x x -+ 【思路点拨】根据完全平方公式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍，对各项分析判断后利用排除法求解.

《完全平方公式》

课题：§1·6 完全平方公式（第1课时） 【北师大版七年级下学期】 内容分析 1．课标要求 数学课标要求在数学课程中，应该当注重发展学生的符号意识、运算能力、推理能力和模型思想．而学生已经学习并掌握了有理数的运算，合并同类项，多项式与多项式相乘等知识，通过学习本节课的学习，能够进一步发展学生的符号意识，运算能力和归纳能力等，同时利用完全平方公式进行运算过程中，有助于学生理解运算的算理，为下一节课解决有些类型的简便运算的问题打下坚实的基础． 2．教材分析 （1）知识技能：学生在已经学习了有理数的运算，整式及其加减，幂的有关运算，整式的乘法等知识之后，自然过渡到多项式与多项式的乘法的特殊情况即两个相同的多项式相乘，本节课所学知识对今后学习因式分解，分式的计算以及解一元二次议程也奠定了坚实的基础． （2）数学能力：学生已经具备了合并同类项法则，幂的有关计算法则，多项式乘以多项式的法则等有关整式计算的能力，也从以往的学习过程中累积了一定的归纳与推理能力．本节课是继“平方差公式”之后学习的另一个公式．对于这个公式的学习，本质上还是归纳与推理的一个过程，通过例子总结归纳出完全平方公式的含义，继而运用完全平方公式进行准确计算． （3）数学思想：本节课的学习让学生经历从特殊到一般的推理过程，掌握推理过程中的归纳思想．并让学生用几何图形理解完全平方公式中，渗透数形结合的思想，体会模型的作用．3．学情分析 学习本节课知识应该具备的知识和能力有：有关有理数的运算，整式的加减，整式的乘法等计算能力．而学生对于本节课要学习的知识已经具备的有：学生已经具备了多项式乘以多项式的能力，能够整理出公式的右边形式，主要是让学生在学习学习过程中归纳出从特殊到一般的规律，从而总结出完全平方公式，并能正确的使用公式． 教学目标 1．知识技能：经历探索完全平方公式的过程，并能运用公式进行简单的计算．

完全平方公式教材分析

一、重点、难点分析 本节教学的重点是完全平方公式的熟记及应用．难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)．完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础。 1．两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．即：这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的． 这两个公式的结构特征是：左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二中两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍；公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等代数式． 2．只要符合这一公式的结构特征，就可以运用这一公式． 在运用公式时，有时需要进行适当的变形，例如可先变形为或或者，再进行计算．在运用公式时，防止发生这样错误． 3．运用完全平方公式计算时，要注意： （1）切勿把此公式与公式混淆，而随意写成． （2）切勿把“乘积项” 中的2丢掉． （3）计算时，要先观察题目特点是否符合公式的条件，若不符合，应先变形为符合公式的条件的形式，再利用公式进行计算，若不能变为符合公式条件的形式，则应运用乘法法则进行计算． 4．与都叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式． 二、教法建议 1．在公式的运用上，与平方差公式的运用一样，应着重让学生掌握公式的结构特征和字母表示数的广泛意义，教科书把公式中的字母同具体题目中的数或式子，用“ ”连结起来，逐项比较、对照，步骤写得完整，便于学生理解如何正确地使用完全平方公式进行计算．2．正确地使用公式的关键是确定是否符合使用公式的条件．重要的是确定两数，然后再看是否两数的和（或差），最后按照公式写出两数和（或差）的平方的结果． 3．如何使学生记牢公式呢？我们注意了以下两点． （1）既讲“法”，又讲“理” 在教学中要讲法则、公式的应用，也要讲公式的推导，使学生在理解公式、法则道理的基础上进行记忆．我们引导学生借助面积图形对完全平方公式做直观说明，也是对说理的重视．在“明白道理”这个前提下的记忆，即使学生将来发生错误也易于纠正．

完全平方公式练习题30道

1 (a-2b)2 2 (a-b)2 3 ( -2)2＝ -21 x+ 4. (3x+2y)2-(3x-2y)2 5 (3a 2-2a+1)(3a 2+2a+1) 6. (a-b)2＝a 2-ab+b 2 7. (a+3b)2 8. (x+9)(x-9)＝x 2-9 9 (a+3b)2-(3a+b) 10. (5x 2-4y 2)(-5x 2+4y 2) 11. (3y+2x)2 12. -(-21x 3n+2-32 x 2+n )2 13. (3a+2b)2-(3a-2b)2 14. (x 2+x+6)(x 2-x+6)

15． (a+b+c+d)2 16. (9-a 2)2-(3-a)(3-a)(9+a)2 . 17. (x 3+2)2-2(x+2)(x-2)(x 2+4)-(x 2-2)2，其中x=-21 . 18. 20012 19. 9992 20.证明：(m-9)2-(m+5)2是28的倍数，其中m 为整数.(提示：只要将原式化简后各项 均能被28整除) 21.解方程：(x 2-2)(-x 2+2)=(2x-x 2)(2x+x 2)+4x 22. (x ＋2)(x －3)＋(x ＋2)(x ＋4) 23. 2(a-3)(a-3)-a+3 24. (x + a)2 – (x – a)2 25. 1990×29－1991×71＋1990×71－29×1991 26. 2)2 332 (y x - 27. 2)2(n m +- 28. )1)(1)(1(2--+m m m 29. 22)()(y x y x +- 30. )2)(2(z y x z y x --++

完全平方公式

年级八年级课题完全平方公式课型新授教学媒体多媒体 教学目标知识 技能 1．经历探索完全平方公式的过程，使学生感受从一般到特殊的研究方法，进一 步发展符号感和推理能力． 2．会推导完全平方公式，能说出公式的结构特征，并能运用公式进行简单计算．过程 方法 进一步培养学生用数形结合的方法解决问题的能力． 情感 态度 了解数学的历史，激发学习数学的兴趣．鼓励学生自己探索算法的多样化，有意 识地培养学生的创新能力． 教学重点(a±b)2＝a2±2ab＋b2的推导及应用． 教学难点完全平方公式的推导和公式结构特点及其应用． 教学过程设计 教学程序及教学内容师生行为设计意图一、复习旧知 探究，计算下列各式，你能发现什么规律？ （1）（p＋1）2 =（p＋1）（p＋1）＝_________； （2）（m＋2）2=（m＋2）（m＋2）＝_________； （3）（p－1）2 =（p－1）（p－1）＝_________； （4）（m－2）2=（m－2）（m－2）＝_________． 答案：（1）p2+2p+1；（2）m2+4m+4；（3）p2－2p+1；（4）m2－4m+4． 二、探究新知 1.计算:（a+b）2 和（a－b）2 ；并说明发现的规律。（a+b）2=（a+b）（a+b）= a（a+b）+b（a+b）=a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2． （a－b）2=（a－b）（a－b）=a（a－b）－b（a－b）=a2－ab －ab+b2=a2－2ab+b2． 2.归纳完全平方公式 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍，即学生利用多项式与 多项式相乘的法则 进行计算，观察计算 结果，寻找一般性的 结论，并进行归纳 教师让学生利用多 项式的乘法法则进 行推理. 教师让学生用自己 的语言叙述所发现 的规律，允许学生之 间互相补充，教师不 急于概括． 这里是对前边 进行的运算的 复习，目的是 让学生通过观 察、归纳，鼓 励他们发现这 个公式的一些 特点，如公式 左右边的特 征，便于进一 步应用公式计 算 公式的推导既 是对上述特例 的概括，更是 从特殊到一般 的归纳证明， 在此应注意向 学生渗透数学

巧用完全平方公式解题例析

巧用完全平方公式解题例析 完全平方公式“(a±b)2＝a2±2ab+b2”是整式运算中非常重要的一个公式，灵活运用完全平方公式的一些变形和技巧，可以使运算化繁为简，化难为易。为帮助大家及早掌握完全平方公式的有关用法，现结合实例对完全平方公式的应用技巧作如下分类小结. 一、对号入座，直接应用 例1．计算：()2 22 +。 x y 32 简析：上式括号内是两个单项式（2 3x与2 2y）的和，括号外是这两个单项式和的完全平方，因此可将2 3x与2 2y分别看作a、b而直接套用完全平方公式进行计算。 解：原式=()2 222222224224 +=+??+=++。 32(3)232(2)9124 x y x x y y x x y y 二、适当变换，间接应用 1、符号变换 例2．计算：2 --。 (2) x y 简析：上式括号内的两项均带负号，计算时可先逆用乘法分配律，将负号变换到括号外，待处理好符号后再应用完全平方公式进行计算。 解：原式=[]222222 -+=+=+??+=++。 x y x y x x y y x xy y (2)(2)(2)2244 2、系数变换 例3．计算：(32)(96) m n m n --。 简析：因上式后一个括号内的两项9m与-6n含有公因数3，（逆用乘法分配律）将3作为公因式提取后，可得(32) -，与前一个括号相同，所以本题可先 m n 变换第二个括号内的系数，然后再套用完全平方公式进行计算。 解：原式=22222 m n m n m n m mn n m mn n --=-=-+=-+。 3(32)(32)3(32)3(9124)273612 3、指数变换 例4．计算：22 -+ ()() m n m n 简析：上式若按运算顺序先用完全平方公式展开再相乘，则较麻烦，但若逆

平方差公式和完全平方公式基础+提高练习题

平方差公式和完全平方公式基础+提高 A卷：基础题 1．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ） A．（a+b）（b+a） B．（－a+b）（a－b） C．（a+b）（b－a） D．（a2－b）（b2+a）2．下列计算中，错误的有（ ） ①（3a+4）（3a－4）=9a2－4；②（2a2－b）（2a2+b）=4a2－b2； ③（3－x）（x+3）=x2－9；④（－x+y）·（x+y）=－（x－y） （x+y）=－x2－y2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．若x2－y2=30，且x－y=－5，则x+y的值是（ ） A．5 B．6 C．－6 D．－5 4、判断下列各式是否正确 ，如果错误，请改正在横线上 （1）（a＋b）=a＋b( )________________ (2) （a＋b）=a+2ab＋b( )______________ (3) （a-b）=a-b( )________________ (4)（a-2）=a-4( )________________ 5．（－2x+y）（－2x－y）=______． 6．（－3x2+2y2）（______）=9x4－4y4． 7．（a+b－1）（a－b+1）=（_____）2－（_____）2． 8．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_____． 9．利用平方差公式计算：20×21． 10．计算：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a－2）． 完全平方式常见的变形有: B卷: 提高题 1、已知x－y＝9，x·y＝5，求x＋y的值.

2、已知a＋b＝5 ，ab＝－2 ，求a＋b的值 3、m＋＝（m＋）－ . 4、若x－y＝9，.则x＋y＝91， x·y＝ . 5．已知求与的值。 6．已知求与的值。 7、已知求与的值。 8、已知(a+b)2=60，(a-b)2=80，求a2+b2及ab的值 9、已知，求的值。 10、已知，求的值。 11、，求（1）（2） 12、试说明不论x,y取何值，代数式的值总是正数。 13、已知m2+n2-6m+10n+34=0，求m+n的值 14、已知，都是有理数，求的值。 15、已知 求与的值。 16、若x＋mx＋4是一个完全平方公式，则m的值为（ ）

完全平方公式练习50题

完全平方公式专项练习 知识点： 姓名： 完全平方公式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。 1、完全平方公式也可以逆用，即a 2+2ab+b 2=(a+b)2 a 2-2ab+b 2=(a-b)2 2、能否运用完全平方式的判定： ① 两数和（或差）的平方 即：(a+b)2或 (a-b)2或 (-a-b)2或 (-a+b)2 ② 两数平方，加上（或减去）它们的积的2倍，且两数平方的符号相同。 即：a 2+2ab+b 2或a 2-2ab+b 2 -a 2-2ab-b 2或 -a 2+2ab-b 2 专项练习： 1．（a ＋2b ）2 2.（3a －5）2 3.．（－2m －3n ）2 4. （a 2－1）2－（a 2＋1）2 5.（－2a ＋5b ）2 6.（－21ab 2－3 2c ）2 7.（x －2y ）（x 2－4y 2）（x ＋2y ） 8.（2a ＋3）2＋（3a －2）2 9.（a －2b ＋3c －1）（a ＋2b －3c －1）； 10.（s －2t ）（－s －2t ）－（s －2t ）2； 11.（t －3）2（t ＋3）2（t 2＋9）2． 12. 972； 13. 20022； 14. 992－98×100； 15. 49×51－2499； 16.（x －２y ）（x ＋２y ）－（x ＋２y ）2 17.（a ＋b ＋c ）（a ＋b －c ） 18. (a+b+c+d)2 19.（２a ＋１）2－（１－２a ）2 20.（３x －y ）2－（２x ＋y ）2＋５x （y －x ）

完全平方公式解

完全平方公式讲解 第一部分概念导入 1．问题：根据乘方的定义，我们知道：a2=a·a，那么（a+b）2应该写成什么样的形式呢？（a+b）2的运算结果有什么规律？计算下列各式，你能发现什么规律？ （1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=_______；（m+2）2=_______； （2）（p-1）2=（p-1）（p-1）=________；（m-2）2=_______； 2．学生计算 3．得到结果：（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=p2+2p+1 （m+2）2=（m+2）（m+2）= m2+4m+4 （2）（p-1）2=（p-1）（p-1）= p2-2p+1 （m-2）2=（m-2）（m-2=m2-4m+4 4．分析推广：结果中有两个数的平方和，而2p=2·p·1，4m=2·m·2，恰好是两个数乘积的二倍。（1）（2）之间只差一个符号。 推广：计算（a+b）2=_____ ___ （a-b）2=_____ ___ 【2】 得到公式，分析公式 （1）．结论：(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 即： 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍． （2）公式特征 左边：二项式的平方 右边：二项式中每一项的平方与这两项乘积2倍的和． 注意：公式右边2ab的符号取决于左边二项式中两项的符号．若这两项同号，则2ab取“＋”，若这两项异号，则2ab的符号为“－”． （3）公式中字母可代表的含义 公式中的a和b可代表一个字母，一个数字及单项式． （4）几何解释 图1－5 图1－5中最大正方形的面积可用两种形式表示：①（a＋b）2②a2＋2ab＋b2，由于这两个代数式表示同一块面积，所以应相等，即（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 因此，用几何图形证明了完全平方公式的正确性． 【学习方法指导】 ［例1］计算 （1）（3a＋2b）2（2）（mn－n2）2 点拨：运用完全平方式的时候，要搞清楚公式中a，b在题目中分别代表什么，在展开的过程中要把它们当作整体来做，适当的地方应打括号，如：进行平方的时候．同时应注意公式中2ab的符号．解：（1）（3a＋2b）2＝（3a）2＋2·（3a）·（2b）＋（2b）2＝9a2＋12ab＋4b2

完全平方公式经典习题

完全平方公式练习题 一、点击公式 1、2 a b = ，2 a b = ，a b b a = . 2、222a b a b + =2a b + . 3、22a b a b = . 二、公式运用 1、计算化简 （1）2222x y x y x y （2）2)())((y x y x y x (3)2 )21(1x （4）z y x z y x 3232（5）2121 a b a b 2、简便计算： （1）（-69.9）2 （2）472-94×27+272 3、公式变形应用： 在公式（a ±b ）2=a 2±2ab+b 2中，如果我们把a+b ，a-b ，a 2+b 2，ab 分别看做一个整体，那么只要知道其中两项的值，就可以求出第三项的值． （1）已知a+b =2，代数式a 2-b 2+2a+8b+5的值为，已知11 25 ,,7522x y 代数式 （x+y ）2-（x-y ）2的值为，已知2x-y-3=0，求代数式12x 2-12xy+3y 2的值是，已知x=y +4，求代数式2x 2-4xy+2y 2-25的值是. （2）已知3b a ，1ab ，则22b a ＝，44a b = ；若5a b ，4ab ，则2 2b a 的值为______；28a b ，2 2a b ，则ab=_______. （3）已知：x+y =-6，xy=2，求代数式（x-y ）2的值．

（4）已知x+y =-4，x-y=8，求代数式x 2-y 2的值．（5已知a+b =3，a 2+b 2 =5，求ab 的值. （6）若222315x x ，求23x x 的值. （7）已知x-y=8，xy=-15，求的值. （8）已知：a 2+b 2=2，ab=-2，求：（a-b ）2 的值．4、配方法（整式乘法的完全平方公式的反用） （1）如果 522x x y ，当x 为任意的有理数，则y 的值为（）A 、有理数 B 、可能是正数，也可能是负数 C 、正数 D 、负数（2）多项式192x 加上一个单项式后成为一个整式的完全平方，那么加上的这个单项式是 ．(填上所有你认为是正确的答案)（3）试证明：不论 x 取何值，代数x 2+4x+92的值总大于0．（4）若2x 2-8x+14=k ，求k 的最小值．