2021-2022年高二期末考试数学(理科)
2021年高二期末考试数学（理科）
注意事项：
1．本试卷分为必答部分与选答部分．考试时间120分钟．
2．必答部分分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共4页，满分120分． 3．请将必答部分中的第Ⅰ卷的答案填涂在答题卡上，第Ⅱ卷的解答写在答题卷上．在本试卷上答题无效．
4．选答部分在四个模块中选两个模块作答．共2页，满分40分．
必答部分
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1． 复数的共轭复数是 A ． B ． C ． D ．
2． 下面是一个算法的伪代码．如果输入的x 的值是20，则输出的y 的值是
A ．200
B ．150
C ．20
D ．15 3． 已知向量a = (2，-1，3)，b = (-4，2，x )，且，则实数x 的值为
A ．-2
B ．2
C ．
D ． 4． 已知m ，n ∈R ，则“”是“方程表示双曲线”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件 5． 用0，1，2，3，4五个数字，可组成无重复数字的三位偶数的个数是
A ．48
B ． 30
C ．18
D ．
12
6．已知，，若向区域内随机投一点，则点落入区域的概率为
A．B．C．D．
7．设则等于
A．B．C．D．
8．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若点P到直线BC的距离等于点P到直线C1D1的距离，则动点P的轨迹
是
A．线段B．圆的一部分
C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分
第Ⅱ卷（非选择题，共80分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答卷相应位置上．
9．命题“R，”的否定是
▲．
10．在的展开式中，项的系数是▲．（用数字作答）11．观察下列等式：
1 = 12，
2 +
3 +
4 = 32，
3 +
4 +
5 +
6 +
7 = 52，
4 +
5 +
6 +
7 +
8 +
9 + 10 = 72，
……
由此归纳，可得到一般性的结论是▲．12．在如下程序框图中，输入，则输出的是▲．
D1
P
C1
B1
A1
D
C A
三、解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13．（本小题满分15分，第一小问满分7分，第二小问满分4分，第三小问满分4分）
从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数．（Ⅰ）求的分布列；（Ⅱ）求的数学期望；（Ⅲ）求“所选3人中女生人数”的概率．
14．（本小题满分15分，第一小问满分6分，第二小问满分9分）
如图，在三棱锥中，侧面底面，且，，．
（Ⅰ）求证SA⊥SC；
（Ⅱ）在平面几何中，推导三角形内切圆的半径公式（其
中l是三角形的周长，S是三角形的面积），常用如下方法（如
右图）：
①以内切圆的圆心O为顶点，将三角形ABC分割成三
个小三角形：△OAB，△OAC，△OBC．
②设△ABC三边长分别为a，b，c．由，
得，则．
类比上述方法，请给出四面体内切球半径的计算公式（不要求说明类比过程），并利用该公式求出三棱锥内切球的半径．
C B
A
S
O
C B
A
15．（本小题满分15分，第一小问满分6分，第二小问满分9分）
设椭圆C：的左焦点为F1（-2，0），左准线l1与x轴交于N（-3，0），过点N 作倾斜角为30°的直线l 交椭圆于两个不同的点A，B．
（Ⅰ）求直线l 及椭圆C的方程；
（Ⅱ）求证：点F1在以线段AB为直径的圆上．
16．（本小题满分15分，第一小问满分7分，第二小问满分8分）
已知函数，．
（Ⅰ）若，求证：；
（Ⅱ）求实数k的取值范围，使得方程有四个不同的的实数根．
选答部分（共40分）
从下面4组问题中任意选择2组作答，3组或4组都答的只计算前2组的得分．每小题5分．
请在答题卷上答题．在本试卷上答题无效．
1． 如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点， AE 交BC 于F ，则的值等于 A ． B ． C ． D ．
2． 等边△DEF 内接于△ABC ，且DE ∥BC ，已知AH ⊥BC 于点H ，BC = 4，AH =，则△DEF 的边长为 A ．2 B ． C ． D ．
3． 如图，P 是⊙O 的直径AB 延长线上一点，PC 与⊙O 相切
于点C ，∠APC 的角平分线交AC 于点Q ，则∠AQP 的大小为___▲___． 4． 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 外一点，且AC ＝AB ，BC 交⊙O 于点D ．已
知BC ＝4，AD ＝6，则四边形ABDE 的周长为___▲___．
5． 矩阵A ＝的逆矩阵为 A ． B ． C ． D ．
6． 圆在矩阵A =对应的变换下，得到的曲线的方程是 A ． B ． C ． D ．
7． 已知矩阵M 有特征值及对应的一个特征向量e 1＝，并有特征值及对应的一个特征向量
e 2＝，则矩阵M ＝ ▲ ．
8． 设a ，b ∈R ，若M ＝所定义的线性变换把直线l ：2x ＋y －7＝0变换成另一直线l ′：x ＋y
－3＝0，则a ＋b ＝ ▲ ．
9． 参数方程（θ为参数）表示的曲线为 A ．圆的一部分 B ．椭圆的一部分 C ．双曲线的一部分 D ．抛物线的一部分
10．在x 轴正向到y 轴正向的角为60°的斜坐标系中，点A ，B 的坐标分别为A ，B ，则线段AB
的长度为 A ． B ． C ．6 D ． 3
11．若直线 x + y = m 与圆 (φ为参数，m >0)相切，则m 为 ▲ ． 12．在极坐标系中，已知曲线C 的方程是，过极点作直线l 与极轴成60°角，设直线l 交曲线C
于P ，Q 两点，则线段PQ 的长等于 ▲ ．
F
E
D
C B A
H F E
D C
B A
O Q
P
C B A
E
O D
C B A
13．利用数学归纳法证明不等式（n>1，n N*）的过程中，用n = k+1时左边的代数式减去n = k时左边的代数式的结果为
A．B．C．D．
14．已知，设，，，则下列不等式正确的是
A．B．C．D．
15．已知x，y均为正实数，且，则的最小值等于▲．
16．已知(其中k > 0)且的最大值是7，则k = ▲．
苏州市xx －xx 学年度第二学期高二期末考试（理科）参考答案
一、选择题
二、填空题
9．,
10．21
11．2(1)(2)(32)(21)n n n n n +++++
+-=-
12．． 三、解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 13．（本小题满分15分，第一小问满分7分，第二小问满分4分，第三小问满分4分） 解：（Ⅰ）可能取的值为0，1，2．
由题意：， ．
所以，的分布列为：
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），的数学期望为． （Ⅲ）解：由（Ⅰ），“所选3人中女生人数”的概率为
134
(1)(0)(1)555
P P
P ξξξ==+==+=≤．
14．（本小题满分15分，第一小问满分6分，第二小问满分9分） （Ⅰ）过S 作SO ⊥AB ，垂足为O ， ∵侧面底面，∴底面． ∵SA = SB ，∴O 为AB 中点． 以O 为坐标原点，OA 为x 轴，OS 为z 轴，建立空间直角坐标系如图所示． ∵，，， ∴，，
∴A ，C ，S ． ∴，． 则．
∴SA ⊥SC ．
（Ⅱ）三棱锥内切球的半径公式为
（其中V 为三棱锥的体积，S 为三棱锥的表面积）． 在Rt △SAB 中，SA = SB = 2，∴． 在Rt △ABC 中，AB = 2，AC =，∴BC = 2．∴．
在Rt △SAC 中，SA = 2，AC =，∴SC =．∴． ，，，
C
∴，则BC ⊥SB ．
在Rt △SBC 中，SB = 2，BC = 2．∴．
又． ∴．
15．（本小题满分15分，第一小问满分6分，第二小问满分9分）
（Ⅰ）由题意，22222,
3,
,c a
c a b c =???=???=+?
∴
则椭圆C 的方程为．
直线l 的方程为．
（Ⅱ）椭圆C 的方程即为， 由得． 设A ，B ， 则 ∵，， ∴=． ∵，， ∴= ==．
∴．∴点F 1在以线段AB 为直径的圆上．
16．（本小题满分15分，第一小问满分7分，第二小问满分8分） （Ⅰ）令=， ． 当时，> 0 恒成立，∴在（1，+∞）上是增函数． ∵在x = 1 处连续，∴>． ∵= 0，∴当x ∈（1，+∞）时，> 0 恒成立． ∴． （Ⅱ）原方程化为, 令，则． ∵，∴是偶函数． 当x ≥0时，（x ≥0）， 则． ∵x ≥0，∴令，得． 当x ∈[0，1)，，G (x )单调递减； 当x ∈(1，+∞)，，G (x )单调递增． ∴x ≥0时，在x = 1处G (x )取得极小值为G (1) =． 又G (0) = 0，∴当k ∈(,0)时函数（x ≥0）与y = k 有两个不同的交点． ∵是偶函数， ∴=k 在k ∈(,0)时有四个不同的实数根． 选答部分
从下面4组问题中任意选择2组作答，3组或4组都答的只计算前2组的得分．每小题5分．
2．C3．135°4．
6．C．7．8．
9．D10．C11．2 12．
13．C14．D．15．3 16．9