考研概率论复习
二维随机变量及概率分布
一、 二维随机变量的联合概率分布表示 (一). 二维随机变量的联合概率分布函数 1. 概念
设),(Y X 为一个二维随机变量，y x ,为任两个实数，则称
),(),(y Y x X P y x F ≤≤=为),(Y X 的联合概率分布函数。
2. 性质
(1). ≤0),(y x F 1≤
(2). ),(y x F 关于x 或y 单调递增
(3). =-∞-∞),(F =-∞),(x F 0),(=-∞y F ，1),(=+∞+∞F (4). ),(y x F 关于x 或y 右连续，
即=+),0(y x F ),(y x F ，=+)0,(y x F ),(y x F 。
(5). 对于任意4个实数d c b a ,,,，其中d c b a <<,，均有
),(d b F ),(c b F -),(d a F -),(b a F +0≥
如有),(y x F 满足(1) ～ (5)，则),(y x F 一定可成为某一个二维随机变量),(Y X 的联合概率分布函数。
例：问),(y x F ???<+≥+=101
1y x y x ，能否作为某二维随机变量),(Y X 的联合概率
分布函数？
解：取)5.0,5.0(),5.0,4(),4,4(),4,5.0(D C B A ，
因)(B F )(A F -)(C F -)(D F +010111<-=+--=，不能 (二). 二维离散型随机变量的联合概率分布表 1.概念
设),(Y X 为一个二维随机变量，且),(Y X 的取值仅有有限对数或可列对数，
则称
),(Y X 为二维离散型随机变量。
二维离散型随机变量),(Y X 可用联合概率分布表或联合概率分布列表示。
),(Y X ～
或),(Y X ～ ,2,1,,),(====j i p y Y x X P ij j i 2.性质
(1). 0≥ij p (2). 1,=∑j
i ij p
(三). 二维连续型随机变量的联合概率密度函数 1.概念
设),(Y X 为一个二维随机变量，),(y x f 为一非负函数，若对任意实数
,,,,d c b a 其中),(d c b a <<，事件),(d Y c b X a ≤≤≤≤的概率
),(d Y c b X a P ≤≤≤≤dy y x f dx d
c
b
a
??=),(，
则称),(Y X 为二维连续型随机变量，称),(y x f 为),(Y X 的联合概率密度函数。 2.性质
(1). 0),(≥y x f
(2). 1),(=?
?∞+∞
-+∞∞
-dy y x f dx
3. 二维连续型随机变量的联合概率密度函数与联合概率分布函数的关系 若),(Y X 的概率分布函数为),(y x F ，),(Y X 的概率密度函数为),(y x f ，则
(1). ),(),(y x f y x F xy
='' (2). ),(y x F dv v u f du v x ?
?∞
-∞
-=),(
4. 设),(21X X X =的概率密度为),(21x x f X ，
若???==),(),(21222111x x g y x x g y 具有唯一的反函数，???==),()
,(2122
2111y y h x y y h x
且),(211y y h ，),(212y y h ，),(211x x g ，),(212x x g 都有一阶连续偏导数，
记 2
2122
1
1
1
y x y x y x y
x J ????????=，???==),(),(21222111X X g Y X X g Y , 则设),(21Y Y Y =的概率密度为
),(21y y f Y =J y y h y y h f X ?)],(),,([212211
例：设二维随机变量),(V U ～),21,1,4;2,2(N ???=-=V
Y bV
U X ,问?=b 时，Y X ,独立？
解：??
?=-=V Y bV
U X ，且01101≠=-=b J ，所以),(Y X ～二维正态分布，因此Y X , 独立等价于Y X ,不相关，从而等价于Cov ),(Y X =0 Cov ),(Y X =Cov ),(V bV U -= Cov ),(V U - b Cov ),(V V
= Cov ),(V U - b DV 02
1=-=
b ，.21
=?b
二、 二维随机变量的边缘概率分布表示 (一). 二维随机变量的边缘概率分布函数
若),(Y X ～),(y x F ，则X ～),()(+∞=x F x F X ，Y ～),()(y F y F Y +∞=。
(二). 二维离散型随机变量的边缘概率分布表
若),(Y X ～
或),(Y X ～ ,2,1,,),(====j i p y Y x X P ij j i 则X ～ ,2,1,)(===∑i p x X P j
ij i
Y ～ ,2,1,)(===∑j p y Y P i
ij j
(三). 二维连续型随机变量的边缘概率密度函数 若),(Y X ～),(y x f ，则X ～=
)(x f X ?
∞+∞
-dy y x f ),(，
Y ～=)(y f Y ?
∞+∞
-dx y x f ),(。
三、 两个随机变量的独立性的判断
1．若Y X ,的联合概率分布函数为),(y x F ，边缘概率分布函数分别为)(x F X ，
)(y F Y ，则Y X ,相互独立的充要条件为：),(y x F =)(x F X )(y F Y 。
2. 若Y X ,的联合概率分布列为 ,2,1,,),(====j i p y Y x X P ij j i 边缘概率分布列为
X ～
,2,1,)(====∑?i p p x X P j
i ij i
Y ～ ,2,1,)(====?∑j p p y Y P j i
ij j
则Y X ,相互独立的充要条件为：
),(j i y Y x X P ==)(i x X P == ,2,1,,)(==j i y Y P j
3. 若Y X ,的联合概率密度函数为),(y x f ，边缘概率密度函数分别为)(x f X ，
)(y f Y ，则Y X ,相互独立的充要条件为：),(y x f =)(x f X )(y f Y 。
四. 常用的二维随机变量 1. 二维均匀分布)(D U
),(Y X ～)(D U ， ),(Y X 的概率密度函数为D
S y x f 1
),(=
， D y x ∈),( 2. 二维正态分布),,,,(2
2
2121ρσσμμN (1). ),(Y X ～),,,,(2
2
2121ρσσμμN ， ),(Y X 的概率密度函数为),(y x f =
]})())((2)[()
1(21
exp{12122222112112
2
21σμσμσμρσμρρσπσ-+------
-y y x x (2).若),(Y X ～),,,,(22
2121ρσσμμN ，则X ～),(211σμN ，Y ～),(222σμN 。 五．条件概率分布
例1. 设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为
??
?<<=-其它
0),(x
y e y x f x
求(1). 条件概率密度函数)(x y f X Y ，(2). 条件概率)11(≤≤Y X P 解：(1). X 的密度函数为
X ～=
)(x f X ?
∞+∞
-dy y x f ),(，
当0≤x ，=
)(x f X ?
∞+∞
-dy y x f ),(=00=?∞+∞
-dy ，
当0>x 时，=
)(x f X ?∞+∞
-dy y x f ),(x x
x xe dy e --==?0
，
所以X ～)(x f X ??
?≤>=-0
x x xe x
， 所以，当0>x 时，)(x y f X Y )(),(x f y x f X =
??
?
??≤<<=0
01
x x y x
(2). Y 的密度函数为 Y ～=
)(y f Y ?
∞+∞
-dx y x f ),(??
?≤>=-0
y y e y
， )11(≤≤Y X P )
1()
1,1(≤≤≤=
Y P Y X P ?
?
?
∞
-∞
-∞
-=1
1
1
)(),(dy
y f dy
y x f dx Y ??
?--=
1
1
dy
e
dy
e dx y
x
x 1
2
--=
e e 例2. 设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为
2
2
22),(y xy x
Ae y x f -+-=，+∞<<∞-y x ,
求(1).A ，(2).条件概率密度函数)(x y f X Y 解：
(1). X 的密度函数为
X ～=)(x f X ?∞+∞-dy y x f ),(?∞
+∞--+-=dy e A y xy x 2
222
?∞
+∞----=dy e
A x y x 2
2)(?
∞+∞
----=dy e Ae
x y x 22
)(2
x e A -=π 又?∞+∞
-dx x f X )(?∞+∞
--=dx e
A x 2
ππ
A =?
∞+∞
--dx e
x 2
1=πA ，
所以π
1
=
A
(2). )(x y f X Y )(),(x f y x f X =2
2
222x y xy x e
A Ae --+-=
π22
2x xy y -+-= 六实例
例1. 设随机变量X 和Y 的联合分布是正方形}3,1),{(≤≤=y x y x G 上的均
匀分布，试求随机变量Y X U -=的概率密度)(u f 。
解： 据题意，),(Y X ～?????≤≤=其它0
3
,141
),(y x y x f 。
先求Y X U -=的概率分布函数)(u F 。显然20≤≤U ，所以 (1).0
≤-=≤=)()()(u Y X P u U P u F ??≤-u
y x dxdy y x f ),(
])2(4[412
u --=，所以)(u f ?????<≤-=其它0
20)2(21u u 。
例2. 设随机变量i X ～???
? ??-25.05.025.0101，2,1=i ，
且满足1)0(21==X X P ，求)(21X X P =。
解：先求),(21X X 的联合概率分布列
因1)0(21==X X P 0)0(21=≠?X X P
由联合分布和边缘分布的关系得
所以0)(21==X X P 。
例3. 设随机变量X 和Y 的联合分布是矩形}10,20),{(≤≤≤≤=y x y x G 上
的均匀分布，试求以Y X ,为边长的矩形面积S 的概率密度)(s f 。
解： 据题意，),(Y X ～???
??≤≤≤≤=其它
1
0,202
1),(y x y x f 。
先求XY S =的概率分布函数)(s F 。显然20≤≤S ，所以 (1).0
(3).20<≤s ，=≤=≤=)()()(s XY P s S P s F )(1s XY P >-
??>-
=u
xy dxdy y x f ),(1dy dx x s s ??-=12211)ln 2ln 1(2s s -+=， 所以)(s f ??
???<≤-=其它02
0)ln 2(ln 21
s s 。
例4. 设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为
??
?<<=-其它
0),(y
x e y x f y (1). 求随机变量X 的概率密度函数)(x f X (2). 求概率）
（1≤+Y X P 。
解： 据题意，),(Y X ～?????≤≤=其它0
3
,141),(y x y x f 。
先求Y X U -=的概率分布函数)(u F 。显然20≤≤U ，所以 (1).0
≤-=≤=)()()(u Y X P u U P u F ??≤-u
y x dxdy y x f ),(
])2(4[412
u --=，所以)(u f ?????<≤-=其它0
20)2(21u u 。
例5. 设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为
?
?
?≤≤=其它01
,04),(y x xy y x f 求随机变量),(Y X 的概率分布函数),(y x F 。
解： ?
??≤≤=其它01
,04),(v u uv v u f ，),(y x F dv v u f du y x ??∞-∞-=),(
(1).0 ?∞ -∞ -=),(00==??∞ -∞ -dv du y x (2).1,0≤≤y x ，),(y x F dv v u f du y x ? ?∞-∞ -=),(220 4y x dv uv du y x ==?? (3).10≤≤x 且1>y ，),(y x F dv v u f du y x ? ?∞-∞-=),(21 4x dv uv du x ==?? (4).10≤≤y 且1>x ，),(y x F dv v u f du y x ? ?∞ -∞-=),(20 10 4y dv uv du y ==?? (5). 1,>y x ，),(y x F dv v u f du y x ? ?∞ -∞ -=),(141 1 ==??dv uv du 例6.设一电路装有三个同种电器元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为0>λ的指数分布，当三个电器元件都无故障时，电路正常工作，否则电路不能正常工作，求电路正常工作的时间T 的概率分布。 解： 以i X 表示第i 个电器元件无故障工作的时间，则 321,,X X X 相互独立,其分布函数均为?? ?<≥-=-0 1)(x x e x F x λ 且 T ),,m in(321X X X = T 的概率分布函数为)()(t T P t F ≤=}),,{m in(321t X X X P ≤= (1).0 }),,{m in(1321t X X X P >-=),,(1321t X t X t X P >>>-= )()()(1321t X P t X P t X P >>>-==3)](1[1t F --t e λ31--= 故T ～)3(λE 。 例7.已知随机变量),(Y X 的联合概率密度函数),(y x f ?? ?≥=--其它 ,y x e y x 求随机变量Y X Z +=的概率密度函数)(z f 。 解：Z ～)()(z Z P z F ≤=)(z Y X P ≤+=??≤+= z y x dxdy y x f ),( (1).0 y x dxdy y x f ),(=0 (2).0≥z ，)()(z Z P z F ≤=)(z Y X P ≤+=??≤+= z y x dxdy y x f ),( dy e dx x z y x z ? ?---=0 ?---=z z x x dx e e 0)1(?---=z z x dx e e 0)(?-=z x dx e 0z ze --， 所以当0≥z ，=')(z F ?-z x dx e 0 ()'--z ze =z ze - 所以 Z ～)(z f ?? ?<≥=-0 00 z z ze z 利用卷积公式也可做： 已知随机变量),(Y X 的联合概率密度函数),(y x f 则Y X Z +=的概率密度函数 )(z f (,)f z y y dy ∞-∞ =-? ，或)(z f (,)f x z x dx ∞ -∞ =-? 推导： Z ～)()(z Z P z F ≤=)(z Y X P ≤+=??≤+= z y x dxdy y x f ),((,)z y dy f x y dx ∞--∞ -∞ =?? 令x u y =-，所以)()(z Z P z F ≤=(,)z dy f u y y dx ∞ -∞ -∞ =-?? (,)z dx f u y y dy ∞ -∞ -∞ =-?? [(,)]z f u y y dy dx ∞ -∞ -∞ =-?? 所以)(z f (,)f z y y dy ∞-∞ =-? 。 另解：利用卷积公式)(z f (,)f z y y dy ∞-∞ =-? ， 00z y y -≥??≥?，(,)0f z y y -≠，即0z y y ≥??≥?，(,)0f z y y -≠， 所以当0z ≥时， )(z f (,)f z y y dy ∞-∞ =-? (,)z f z y y dy =-?()0 z z y y e dy ---=?0 z z e dy -=?z ze -=。 例8.已知随机变量),(Y X 在单位圆122<+y x 内服从均匀分布，研究Y X ,是否独立？ 解： ),(Y X 的联合概率密度函数),(y x f ??? ??<+=其它 11 22y x π X ～= )(x f X ? ∞+∞ -dy y x f ),(， 当1-≤x 或1≥x 时，=)(x f X ? ∞+∞ -dy y x f ),(=00=?∞ +∞-dy ， 当11<<-x 时，= )(x f X ? ∞+∞ -dy y x f ),(21112 1 22 x dy x x -= =? ---π π ， 所以X ～)(x f X ?? ???<<--=其它 01112 2 x x π ， 同理 Y ～= )(y f Y ? ∞+∞ -dx y x f ),(?? ???<<--=其它 01112 2 y y π 因≠),(y x f )(x f X )(y f Y ，所以Y X ,不独立！ 例9.已知随机变量Y X ,独立，且X ～)1,0(N ，Y ～??? ? ??5.05.010 ，记)(z F Z 为 随机变量 XY Z =的分布函数，求)(z F Z 的间断点的个数。 解： ?? ?===1 00 Y X Y Z )(z F Z )(z Z P ≤= (1).0 1 z Φ= (2).0=z 时，)(z F Z )0(≤=Z P )0(==Y P )1,0(=≤+Y X P )0(21 21Φ+=， (3).0>z 时，)(z F Z )(z Z P ≤=)0(==Y P )1,(=≤+Y z X P )(21 21z Φ+=， 可见)(z F Z 仅在0=x 处间断，仅1个间断点. 例10.袋中有1个红球，2个黑球，3个白球，现有放回地从袋中取2个，以 Z Y X ,,表示两次所取得的红球，黑球，白球的个数，求 (1).)01(==Z X P (2).),(Y X 的分布 解：(1).)01(==Z X P )0()0,1(====Z P Z X P 94)2 1(6261212=? ?= C (2). 例11. 设随机变量Y X ,相互独立，X ～3 1 )(= =i x P ，)1,0,1(-=i ， Y ～???≤≤=其它01 01)(y y f Y 记Y X Z += 求(1). 求)02 1 (=≤X Z P (2). Z 的概率密度函数。 解： (1). )02 1 (=≤ X Z P ) 0()0,21(==≤ =X P X Z P )0()0,21 (==≤+=X P X Y X P )0()21 ,0(=≤==X P Y X P )2 1(≤=Y P ?∞-=21 )(dy y f Y 21210==?dy . (2). Z 的概率分布函数 Z ～)()(z Z P z F Z ≤=)(z Y X P ≤+= =)11()1(-=+≤?-=X z Y P X P )0()0(=≤?=+X z Y P X P )11()1(=-≤?=+X z Y P X P [31 =)11(-=+≤X z Y P )0(=≤+X z Y P )]11(=-≤+X z Y P [3 1 =)1(+≤z Y P )(z Y P ≤+)]1(-≤+z Y P 当1- 1 =)1(+≤z Y P )(z Y P ≤+)]1(-≤+z Y P =0 当01<≤-z ，)(z F Z [3 1 =)1(+≤z Y P )(z Y P ≤+)]1(-≤+z Y P 31=)1(+≤z Y P 31=?+∞-1)(z Z dy z f 31=3 1 10+= ?+z dy z 。 当10<≤z ，)(z F Z [3 1 =)1(+≤z Y P )(z Y P ≤+)]1(-≤+z Y P 31=[)1(+≤z Y P )(z Y P ≤+]31=?+∞ -1 )([z Z dy z f ])(?∞-+z Z dy z f 31=?10[dy 31 ]0+=+?z dy z 当21<≤z ，)(z F Z [3 1 =)1(+≤z Y P )(z Y P ≤+)]1(-≤+z Y P 31=?+∞ -1 )([z Z dy z f ?∞-+z Z dy z f )(])(1?-∞-+z Z dy z f 31=?10[dy ?+10dy 3 1 ]10+= +?-z dy z 当2≥z ，)(z F Z [3 1 =)1(+≤z Y P )(z Y P ≤+)]1(-≤+z Y P 31=?+∞ -1 )([z Z dy z f ?∞-+z Z dy z f )(])(1?-∞-+z Z dy z f 31=?1 [dy ?+10dy 1]10=+?dy 所以Z ～?????>≤≤-+-<=21 213 110)(z z z z z F Z Z ～)(z f Z ?????≤≤-=其它0 2 13 1x 。 例12.设二维随机变量),(Y X 的概率密度为???<<<<=其它,0 20,10,1),(x y x y x f (1) 求Y X ,的边缘概率分布)(x f X ，)(y f Y 。 (2) 求Y X Z -=2的概率分布)(z f Z 。 (3) }2 1 21{≤≤X Y P 解： (1) )(x f X ?? ?<<=其它,0,10,2x x )(y f Y ?????<<- =其它 ,0,20,21y y （2）)(z f Z ?????<<-=其它,0 , 20,21z z (3) 4 3}2121{=≤≤ X Y P 例13.. 设随机变量X 在区间)1,0(上服从均匀分布，在)10(<<=x x X 的条件下， 随机变量Y 在区间),0(x 上服从均匀分布， 求：（1）二维随机变量),(Y X 的联合概率分布；（2）Y 的概率密度；(3) 概率 ) 1(>+Y X P 解：(1)X 的概率密度为?? ?<<=其它 ,01 0,1)(x x f X 在)10(<<=x x X 的条件下， Y 的概率密度为??? ??<<<=其它 ,0 10,1)(x y x x y f X Y ， 当10<< x x y f x f y x f X y X 1 )()(),(= ?=， 在其余各点0),(=y x f 所以=),(y x f ??? ??<<<其它 ,0 10,1x y x （2）当10< dx y x f y f y Y ln 1 ),()(1 -=== ? ? ∞ ∞ -， 当10≥≤ory y 时， 0)(=y f Y (3) 概率)1(>+Y X P = 2ln 11 11 2 1-=? ? -x x dy x dx . 2020年 《概率统计》 第1页 共2页 桂林理工大学2020年硕士研究生入学考试试题（A 卷） 考试科目代码：874 考试科目名称：概率统计 （总分150分，三小时答完） 考生注意：1．请将答题写在答卷纸上，写在试卷上视为无效。 2．考试需带 用具 一 、填空题（本大题共9小题，每小题5分，共45分） 1．有两个袋子，每个袋子都装有a 只黑球，b 只白球。从第一个袋子中任取1只球放入第二个袋子中，充分混合后再从第二个袋子中任意取出1只球。则从第二个袋子中取得的是黑球的概率p = 。（注：每个袋子中的球只有颜色差别，其它特征均相同） 2．已知()0.7P A =，()0.4P B =，(0.5P AB =，则((|)P A B B = 。 3．已知X 为连续型随机变量，概率密度函数为,02()20,x x f x ?<-= 。 4．已知随机变量X 的概率密度函数为|| (),x k f x e μσσ--=x -∞<<+∞，其中参数μ-∞<<+∞， 0σ>。则常数k = ；X 的期望()E X = 。 5．设随机变量~(1,1)X N ，~(1,2)Y N -且X 与Y 相互独立。则(2)P X Y -<= 。 6．设随机变量X 服从均匀分布(1,2)U ，2X Y e -=，则Y 的概率密度函数()Y f y = 。 7．某厂要从供应商处购进元件，双方协商的验货规则是：每批货随机地抽取5只进行检验，若抽检的5只中的不合格品数不超过1，则该厂应接收这批货，其它情况则作退货处理。若一批元件中有20%的为不合格品，则该厂接收这批货的概率为 。（结果保留4位小数） 8．某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p (0 历年考研概率真题集锦（2000-2019） ——对应茆诗松高教出版社“概率论与数理统计” 第一章 §1.1 1、（2001数学四）（4）对于任意二事件A 和B ，与A B B ?=不等价的是（ ） A 、A B ? B 、B A ? C 、AB =Φ D 、AB =Φ 2、（2000数学三、四）（5）在电炉上安装4 个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度0t ，电炉就断电。以E 表示事件“电炉断电”，而(1)(2)(3)(4)T T T T ≤≤≤为4 个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E 等于（ ） (A ) {}(1)0T t ≥ (B ) {}(2)0T t ≥ (C ) {}(3)0T t ≥ (D ) {} (4)0T t ≥ §1.2 1、（2007数学一、三）(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于1 2 的概率为________. §1.3 1、（2009数学三）（7）设事件A 与事件B 互不相容，则( ) (A )()0P AB = (B )()()()P AB P A P B = (C )()1()P A P B =- (D )()1P A B ?= 2、（2015数学一、三）(7) 若A ,B 为任意两个随机事件，则( ) (A ) ()()()≤P AB P A P B (B ) ()()()≥P AB P A P B (C ) ()()()+2≤ P A P B P AB (D ) ()()() +2 ≥P A P B P AB 3、（2019数学一、三）（7）设A 、B 为随机事件，则()()P A P B =的充分必要条件是（ ） （A ）()()()P A B P A P B =+U （B ） ()()()P AB P A P B = （C ）()()P AB P B A = （D ）()()P AB P AB = §1.4 2017考研数学：概率论重要知识点梳理 来源：文都图书 概率论在历年考研数学真题中特点比较明显。概率论与数理统计对计算技巧的要求低一些，一些题目，尤其是文字叙述题要求考生有比较强的分析问题的能力。所以考生应在这门中尽量做到那全分，这样才能保证数学的分数，下面我们整理了一些概率论的重要知识点： 第一部分：随机事件和概率 (1)样本空间与随机事件 (2)概率的定义与性质(含古典概型、几何概型、加法公式) (3)条件概率与概率的乘法公式 (4)事件之间的关系与运算(含事件的独立性) (5)全概公式与贝叶斯公式 (6)伯努利概型 其中：条件概率和独立为本章的重点，这也是后续章节的难点之一，考生务必引起重视， 第二部分：随机变量及其概率分布 (1)随机变量的概念及分类 (2)离散型随机变量概率分布及其性质 (3)连续型随机变量概率密度及其性质 (4)随机变量分布函数及其性质 (5)常见分布 (6)随机变量函数的分布 其中：要理解分布函数的定义，还有就是常见分布的分布律抑或密度函数必须记好且熟练。 第三部分：二维随机变量及其概率分布 (1)多维随机变量的概念及分类 (2)二维离散型随机变量联合概率分布及其性质 (3)二维连续型随机变量联合概率密度及其性质 (4)二维随机变量联合分布函数及其性质 (5)二维随机变量的边缘分布和条件分布 (6)随机变量的独立性 (7)两个随机变量的简单函数的分布 其中：本章是概率的重中之重，每年的解答题定会有一道与此知识点有关，每个知识点都是重点，务必重视! 第四部分：随机变量的数字特征 (1)随机变量的数字期望的概念与性质 (2)随机变量的方差的概念与性质 (3)常见分布的数字期望与方差 (4)随机变量矩、协方差和相关系数 其中：本章只要清楚概念和运算性质，其实就会显得很简单，关键在于计算 第五部分：大数定律和中心极限定理 (1)切比雪夫不等式 (2)大数定律 (3)中心极限定理 其中：其实本章考试的可能性不大，最多以选择填空的形式，但那也是十年前的事情了。 第六部分：数理统计的基本概念 (1)总体与样本 (2)样本函数与统计量 (3)样本分布函数和样本矩 其中：本章还是以概念为主，清楚概念后灵活运用解决此类问题不在话下 第七部分：参数估计 (1)点估计 (2)估计量的优良性 (3)区间估计 2016考研数学概率论零基础入门讲 目录 第一讲随机事件与概率 (1) 第二讲一维随机变量及其概率分布 (7) 第三讲随机变量的数字特征 (12) 【注】（1）数二的考生不需要学习这部分内容。 （2）老师没有完全按照讲义的顺序讲课，而是打乱了顺序，重新整合授课体系，但是老师所讲的内容多数是包含在讲义中的，讲义中没有的内容需要同学们自己做笔记. 第一讲随机事件与概率 一、从古典概型讲起 1.随机试验与随机事件 称一个试验为随机试验，如果满足： （1）同条件下可重复 （2）所有试验结果明确可知且不止一个 （3）试验前不知哪个结果会发生 【注】①在一次试验中可能出现，也可能不出现的结果称为随机事件，简称为事件，并用大写字母A, B, C 等表示，为讨论需要，将每次试验一定发生的事件称为必然事件，记为Ω．每次试验一定不发生的事件称为不可能事件，记为φ． ②随机试验每一最简单、最基本的结果称为基本事件或样本点，记为ωi . 2.古典概率 称随机试验(随机现象)的概率模型为古典概型，如果其基本事件空间(样本空间)满足: (1)只有有限个基本事件(样本点)； (2)每个基本事件(样本点)发生的可能性都一样． 【注】①等可能：对于可能结果: ω1,ω2 , ,ωn ，我们找不到任何理由认为其中某一结果ωi 更易发生，则只好（客观）认为所有结果在试验中发生的可能性一样. ②如果古典概型的基本事件总数为n ，事件A 包含k 个基本事件，即有利于A 的基本事件k 个．则A 的概率定义为 P( A) =k = 事件A所含基本事件的个数n 由上式计算的概率称为A 的古典概率． 3.计数方法 基本事件总数 1 考研概率论部分历年真题（总结） 数学一： 1（87，2分） 设在一次试验中A 发生的概率为p ，现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为 ；而事件A 至多发生一次的概率为 。 2（87，2） 三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球5个白球。现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出1个球，这个球为白球的概率等于 。已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为 。 3（88，2分） 设三次独立试验中，事件A 出现的概率相等，若已知A 至少出现一次的概率等于2719，则事件A 在一次试验中出现的概率为 。 4（88，2分） 在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于56”的概率为 。 5（89，2分） 已知随机事件A 的概率P （A ）=0.5，随机事件B 的概率P （B ）=0.6及条件概率P （B | A ）=0.8，则和事件A B 的概率P （A B ）= 。 6（89，2分） 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 。 7（90，2分） 设随机事件A ，B 及其和事件A B 的概率分别是0.4, 0.3和0.6，若B 表示B 的对立事件，那么积事件A B 的概率P （A B ）= 。 8（91，3分） 随机地向半圆0 第3章 数字特征 1． （1987年、数学一、填空） 设随机变量X 的概率密度函数,1 )(1 22 -+-= x x e x f π 则 E(X)=( ),)(X D =( ). [答案 填：1； 2 1.] 由X 的概率密度函数可见X ～N(1, 21 ),则E(X)=1，)(X D =2 1. 2． （1990年、数学一、填空） 设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且Z=3X-2, 则E(X)=( ). [答案 填：4] 3． （1990年、数学一、计算） 设二维随机变量(X,Y)在区域D:0 4． （1991年、数学一、填空） 设X ～N(2，2 σ）且P{2 清华大学2000年概率统计研究生入学考试试题 一、设(|)0.5P A B =，(|)0.4P B A =，()0.6P A =。求()P A B ?，并问事件A 与事件B 是否独立，为什么？ 二、设随机向量(,)X Y 服从二维正态分布2 2 1212(,,,,)N a a σσρ。试证明：U X Y =+和 V X Y =-独立。 三、设（12,,,n X X X ）是正态总体2 (,)X N μσ 的一个简单样本，X 为样本均值，求 1 (||)n i i E X X =-∑。 四、设12,,,n X X X 是总体X 的简单样本，而总体101X q r p -?? ? ?? （ 表示遵从），其中01,01,1p q p q r <<<<++=， 1） 求12,,,n X X X 最大值M 的分布。 2） 设0r =。当n 充分大时，利用极限定理求样本均值X 的近似分布。 五、设总体X 的概率密度函数为 (),()0, x e x f x λμλμμ --?>=? ≤?x 。 这里μ和λ（>0）都是参数。又设12,,,n X X X 为该总体的简单样本，而12,,,n x x x 为其样本观察值。 1） 设λ已知，求μ的极大似然估计 L μ 2） 设μ已知，求λ的矩估计 M λ 。 六、设网络中在(0,]t 时段内到某个网站访问的次数(0,]t ξ，0t ≥，是强度为λ（>0）的 Poisson 流。 （1）试求第k 次访问次网站的时间k η的分布，k 为正整数； （2）求比 1 2 ηη的分布和120(|)E t ηη=，00t >； （3）利用Poisson 流的性质，证明Poisson 的可加性，即若随机变量1X ，2X 独立，且()i i X p λ （服从参数为i λ的Poisson 分布），1,2i =。则12X X +12()P λλ+ 。 清华大学2001年概率统计研究生入学考试试题 一、某项福利彩票的抽奖活动中有n 个号码（1,,n ），中奖的号码定为k 个，采用无放回 随机抽样。求k 个中奖号码算术平均值的期望。 二、12,,,n X X X 为独立2 (,)N μσ分布样本，X 为样本均值， 1） 求(||)i E X X -； 2） 用 1 ||n i i c X X σ==-∑作为σ的估计，确定c 使得次估计是无偏的。 三、1212,,;,,X X Y Y ，为两串随机变量序列。 1） 设当n →∞，n Y 依分布收敛到常数a ，证明n Y 依概率收敛到a 。 2） 设当n →∞，n X 依概率收敛到随机变量X ，n Y 依概率收敛到随机变量Y ，证明 n n X Y +依概率收敛到X Y +。 四、设X 和Y 为两个独立的随机变量，都服从期望值为θ的指数分布。 （1）求在已知X Y t +=的条件下，Y 的条件分布； （2）求 Y X Y +的分布。 五、12,,,n X X X 为独立(,1)N μ分布随机变量，记12(,,,)T n X X X X = ，A 为n 阶对 称矩阵。证明，当下列的三条件: （1）2 A A = （2）()tr A k = （3）AI =0，其中I 为所有元素为1的n 阶向量，0为所有元素为0的n 阶向量 全部满足时，T X AX 服从自由度为k 的2 χ分布。 历年考研概率论填空题汇总（2004—2013年） （含答案和解析） （2013Ⅰ，14）设随机变量Y 服从参数为1的指数分布，a 为大于零的常数，则(1|)P Y a Y a ≤+>=． 【详解】这是一个条件概率． 11(1,)(1)a x a a P Y a Y a e dx e e +-≤+>= =- ? ，()x a a P Y a e dx e +∞->= =? ， 从而(1,) 1(1|)1() P Y a Y a P Y a Y a P Y a e ≤+>≤+>= =- >． （2013Ⅲ，14）设随机变量X 服从标准正态分布(0,1)X N ，则2()X E Xe =． 【答案】22e （2012ⅠⅢ，14）设A ，B ，C 是随机事件，A ，C 互不相容，11(),()23 P AB P C == ， 则(|)P AB C =． 【答案】 34 【解析】由条件概率的定义，()(|)() P AB C P AB C P C =． （2011，14）设二维随机变量22(,)~(,,,,0)X Y N μμσσ，则2()E XY =． 【答案】32μμσ+ 【考点分析】本题考查二维正态分布的性质． 【解析】由于0ρ=，由二维正态分布的性质可知随机变量,X Y 独立．因此 2 2 ()E XY EX EY =?． 由于(,)X Y 服从22(,;,;0)N μμσσ，可知()2 222,EX EY DY EY μμσ==+=+，则 ()2 2 2 3 2 ()E XY μμσ μ μσ=+=+． （2010Ⅰ，14）设随机变量X 概率分布为{}(0,1,2,...)! C P X k k k ===，则2 E X =． 【答案】2 【解析】由归一性得 {}1k P X k ∞ ===∑，即0 11! k C C e k ∞ ===∑ ，所以1C e -= 即随机变量X 服从参数为 1的泊松分布，于是1DX EX ==， 2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(一) 一、填空题 (5)()2D X =,则根据车贝晓夫不等式有估计≤≥-}2)({X E X P _____________. 二、选择题 (5)将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X 和Y 相关系数为 (A) -1 (B)0 (C)1 2 (D)1 十一、(本题满分7分) 设某班车起点站上客人数X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为(01),p p <<且中途下车与否相互独立.Y 为中途下车的人数,求: (1)在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 人下车的概率. (2)二维随机变量(,)X Y 的概率分布. 十二、(本题满分7分) 设2~(,)X N μσ抽取简单随机样本122,,,(2),n X X X n ≥ 样本均值∑==n i i X n X 2121,∑=+-+=n i i n i X X X Y 12)2(,求().E Y 2002年全国硕士研究生入学统一考试 一、填空题 (5)设随机变量),(~2 σμN X ,且二次方程042=++X y y 无实根的概率为0.5,则μ=_____________. 二、选择题 (5)设X 和Y 是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为)(x f X 和)(y f Y ,分布函数分别为)(x F X 和)(y F Y ,则 (A))(x f X ＋)(y f Y 必为密度函数 (B) )(x f X )(y f Y 必为密度函数 (C))(x F X ＋)(y F Y 必为某一随机变量的分布函数 (D) )(x F X )(y F Y 必为某一随机变量的分布函数. 十一、(本题满分7分) 设维随机变量X 的概率密度为 ()f x = 1c o s 0220 x x x ≤≤其它 对X 独立地重复观察4次,用Y 表示观察值大于 3π的次数,求2Y 的数学期望. 十二、(本题满分7分) 设总体X 的概率分布为 其中θ(1 02θ<<)是未知参数,利用总体X 的如下样本值 ，则可作图长方形内的点的范围。这样一来即易看出事件包含关系的定义 可作图，则，对于这个大图形中的任意一点来说，不是属于 至少有一个发生”的定义；同理，事件可以借助右图表示公式左端的三个圆形各自互不相交的三部分再加上a 代表的区域包括、)(C P A B ，比左端多加了一次)22d c + 很多题利用这三个公式间的相互转化关系很容易求得答案。这三个公式的含义从直观上就能理解：公式（1）表示事件、同时发生的概率等于发生的概率减去发生而A B A A 不发生的概率；（2）式表示事件、同时发生的概率等于发生的概率乘以在B A B A 发生的条件下也发生的概率；当、相互独立时，也就是指事件与事件A B A B A 的发生互不影响，此时应该有、所以B )()|(B P A B P =)()|(A P B A P =由（2）式即可得出（3）式。出题人)()()|()()(B P A P A B P A P AB P ==从这三个公式意义上的相通性出发可以很灵活地构造题目，在后面的评题中会对这个知识点作更具体的讨论。 1.3第二章《随机变量及其分布》、第三章《随机变量的数字特征》、第四章《大数定律和 中心极限定理》 对于这一部分的复习可说的东西不多，因为在考试中出现的概率题目其实有相当大一部分难度是被解题所用的繁杂公式“分走”了，既然理解、掌握和牢记公式本身就不容易，那么题目的结构相对而言就要简单一些，我们甚至会发现历年真题中的有的题就像是课本上的例题一样。 这种情况有点像我们在英语考试中作阅读理解题，问题本身的含义并不复杂，难就难在文章中的单词“似曾相识”和句子看不懂上。而英国学生考“语文”时做的阅读理解问题肯定要比我们遇到的题目要复杂深入的多——因为考察的重点不一样。所以对于概率部分的复习，有两个步骤即可：首先是牢记公式，然后是把题做熟,在练习过程中透彻理解概念公式和性质定理。 陈文灯复习指南概率第二、三章把知识点列成了大表格，所有东西一目了然，复习时用来记忆和对比很方便。对于第二章的大表格也可以利用各部分之间的联系来对照复习，比如说二维分布的性质基本上与一维分布的性质一一对应（类似于二重积分和定积分性质之间的关系），二维边沿分布的内容与一维分布本质上也是相通的，离散型和连续型分布的各知识点也可互相对比、区别记忆。也就是“一维和二维相联系、离散和连续相对比、随机变量分布和随机变量函数的分布相区别”。 同时对于重要分布如二项、泊松、正态、均匀、指数分布必需记得非常牢，因为考试时会直接拿这些分布做题干来考察各章知识点，万一出现“由于题干中的分布函数不会写或写错而导致整道大题知道怎么做也没法做”的情况将是非常可惜的。 本章的一维连续分布和二维离散分布在历年真题中出现频率最高，最常考分布是均匀、指数和正态分布。对于一维连续型分布的性质可借助图像理解 考研数学：概率论与数理统计考试大纲 的深度解析 2015年9月18日由教育部考试中心的发布的2016年硕士研究生入学统一考试大纲已经与大家见面，考生最关心的考试大纲当中的概率论与数理统计部分考试内容与考试要求没有任何变化。基本包含随机事件与概率、一维随机变量及其分布、二维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律与中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计和假设检验等七章内容。概率与数理统计这门课程从试卷本身的难度的话，在三门课程中应该算最低的，但是从每年得分的角度来说，这门课程是三门课中得分率最低的。这主要是由三方面造成的：一方面是时间不充裕，概率解答题位于试卷的最后，学生即使会，也来不及解答；另一方面是概率本身学科的特点，导致很多学生觉得概率非常难，第三方面是学生对概率统计这门学科不够重视，给予的复习时间少。 一概率与数理统计学科的特点： 1、研究对象是随机现象。高数是研究确定的现象，而概率研究的是不确定的，是随机现象。对于不确定的，大家感觉比较头疼。 2、题型比较固定，解法比较单一，数学三计算技巧要求低一些，数学一稍微高一点点。比如概率的解答题基本上就围绕在随机变量函数的分布，二维随机变量，随机变量的数字特征，特别是统计量的数字特征包括几个重要的感念，例如无偏性，有效性，相合性等，参数的矩估计和最大似然估计这几块。 3、高数和概率相结合。求随机变量的分布和数字特征运用到高数的理论与方法，这也是考研所要求考生所具备的解决问题的综合能力。很多考生因为积分计算不过关，导致概率失分。所以考生应该加强自己的积分计算能力。在复习概率与数理统计的过程中，把握住这门课程的特点，并且能够结合历年考试试题规律，概率一定能取得好成绩。下面，我通过各章节来给大家具体分析。 二概率与数理统计学科的命题特点： 1、随机事件和概率 “随机事件”与“概率”是概率论中两个最基本的概念。“独立性”与“条件概率”是概率论中特有的概念。条件概率在不具有独立性的场合扮演了一个重要角色，它是一种概率。正确地理解并会应用这4个概念是学好概率论的基础。对于公式，家要熟练掌握并能准确运算。而大家比较头疼的古典概型与几何概型的计算问题，考纲只要求掌握一些简单的概率计算，特别是抽样问题。事件、概率与独立性是本章给出的概率论中最基本、最重要的三个概念。事件关系及其运算是本章的重点和难点，概率计算是本章的重点。注意事件与概率之间的关系。本章主要考查随机事件的关系和运算，概率的性质、条件概率和五大公式，注意事件的独立性。近几年单独考查本章的试题相对较少，但是大多数考题中将本章的内容作为基本知识点来考查。相当一部分考生对本章中的古典概型感到困难。大纲只要求对古典概率和几何概率会计算一般难度的题型就可以。考生不必可以去做这方面的难题，因为古典型概率和几何型概率毕竟不是重点。应该将本章重点中的有关基本概念、基本理论和基本方法彻底理解和熟练掌握。 考研数学概率论总结 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020. 考研数学概率论部分重难点总结 概率论是考研数学必须全得的分数，其实概率论也是考验数学三驾马车中最简单的一门，代数是最难的一门，因此，学好概率论是考验数学的必须部分。下面进行总结 概率这门课的特点 与线性代数一样，概率也比高数容易，花同样的时间复习概率也更为划算。但与线代一样，概率也常常被忽视，有时甚至被忽略。一般的数学考研参考书是按高数、线代、概率的顺序安排的，概率被放在最后，复习完高数和线代以后有可能时间所剩无多；而且因为前两部分分别占60%和20的分值，复习完以后多少会有点满足心理；这些因素都可能影响到概率的复习。 概率这门课如果有难点就应该是“记忆量大”。在高数部分，公式、定理和性质虽然有很多，但其中相当大一部分都比较简单，还有很多可以借助理解来记忆；在线代部分，需要记忆的公式定理少，而需要通过推导相互联系来理解记忆的多，所以记忆量也不构成难点；但是在概率中，由大量的概念、公式、性质和定理需要记清楚，而且若靠推导来记这些点的话，不但难度大耗时多而且没有更多的用处（因为概率部分考试时对公式定理的内在推导过程及联系并没有什么要求，一般不会在更深的层次上出题）。 记得当初看到陈文灯复习指南概率部分第二章《随机变量及其分布》、第三章《随机变量的数字特征》中在每章开始列出的那些大表格时，感觉其中必然会有很多内容是超纲的、不用细看；但后来复习时才发现，可以省略不看的内容少之又少，由大量的内容需要记忆。所以对于概率部分相当多的内容都只能先死记硬背，然后通过足量做题再来牢固掌握，走一条“在记忆的基础上理解”的路。 记牢公式性质，同时保证足够的习题量，考试时概率部分20%的分值基本上就不难拿到了。 概率第一章《随机事件和概率》 本章内容在历年真题中都有涉及，难度一般不大。虽然对于本章中的古典概型可以出很难的题目，但大纲的要求并不高，考试时难题很少。填空、选择常考关于事件概率运算的题目，大多围绕形如)() (B A P AB P =、)|()|(A B P A B P =、 )(C B A P ++这样的式子利用各种概率运算公式求解；其它内容如全概率公式和 贝叶斯公式在小题中和大题中都有可能考到。 在“概率事件的关系及运算”部分有很多公式可以借助画集合运算图来辅助做 题，比如事件 A 若与事件 B 有包含关系A B ?，则可作图 长方形内 的点都属于B 的范围，圆形则代表A 的范围。这样一来即易看出事件包含关系的定 义“ A 发生时 B 必发生，B 发生时A 不一定发生”； 山东科技大学2009—2010学年第 二 学期 《概率论与数理统计》（A 卷）考试试卷 班级 姓名 学号 一、填空题（每题5分，共15分） 1、设(),31=A P ()2 1=B A P ，且B A ,互不相容，则()_____________=B P . 2、设()()4.0,10~,6,0~21b X U X ，且21,X X 相互独立，则=-)2(21X X D . 3、设n X X X ,,,21 为总体),(~2 σμN X 的一个样本，则 ~)(1 2 2 ∑ =-n i i X σμ____________. 二、选择题（每题5分，共15分） 1、设总体)4,(~μN X ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的容量为n 的样本，则均值μ的置信水平为α-1的置信区间为（） （A ）)2(αz n X ± (B) )2(2 αz n X ± (C) ))1((-± n t n S X α(D) ))1((2 -± n t n S X α 2、设随机变量),2(~2 σN X ，若3.0}42{=< 第一章：87： (1)设在一次实验中,事件A 发生的概率为,p 现进行n 次独立试验,则A 至少发生一次的 概率为____________;而事件A 至多发生一次的概率为____________. (2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________. 88： (1)设在三次独立试验中,事件A 出现的概率相等,若已知A 至少出现一次的概率等于 19 ,27 则事件A 在一次试验中出现的概率是____________. (2)若在区间(0,1)内任取两个数,则事件”两数之和小于6 5 ”的概率为____________. 89： (1)已知随机事件A 的概率()0.5,P A =随机事件B 的概率()0.6P B =及条件概率(|)0.8,P B A =则和事件A B U 的概率()P A B U =____________. (2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为____________. 90： (2)设随机事件A 、B 及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若B 表示B 的对立事件,那么积事件AB 的概率()P AB =____________. 91： (2)随机地向半圆0y a << 为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的 概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4 π的概率为____________. 92： (1)已知11 ()()(),()0,()(),46 P A P B P C P AB P AC P BC === ===则事件A 、B 、C 全不发生的概率为____________. 93： (1)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为____________. 94： (1)已知A 、B 两个事件满足条件()(),P AB P AB =且(),P A p =则()P B =____________. 95： (1)设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4, 考研数学概率论部分重难点总结 概率论是考研数学必须全得的分数，其实概率论也是考验数学三驾马车中最简单的一门，代数是最难的一门，因此，学好概率论是考验数学的必须部分。下面进行总结 1.1 概率这门课的特点 与线性代数一样，概率也比高数容易，花同样的时间复习概率也更为划算。但与线代一样，概率也常常被忽视，有时甚至被忽略。一般的数学考研参考书是按高数、线代、概率的顺序安排的，概率被放在最后，复习完高数和线代以后有可能时间所剩无多；而且因为前两部分分别占60%和20的分值，复习完以后多少会有点满足心理；这些因素都可能影响到概率的复习。 概率这门课如果有难点就应该是“记忆量大”。在高数部分，公式、定理和性质虽然有很多，但其中相当大一部分都比较简单，还有很多可以借助理解来记忆；在线代部分，需要记忆的公式定理少，而需要通过推导相互联系来理解记忆的多，所以记忆量也不构成难点；但是在概率中，由大量的概念、公式、性质和定理需要记清楚，而且若靠推导来记这些点的话，不但难度大耗时多而且没有更多的用处（因为概率部分考试时对公式定理的内在推导过程及联系并没有什么要求，一般不会在更深的层次上出题）。 记得当初看到陈文灯复习指南概率部分第二章《随机变量及其分布》、第三章《随机变量的数字特征》中在每章开始列出的那些大表格时，感觉其中必然会有很多内容是超纲的、不用细看；但后来复习时才发现，可以省略不看的内容少之又少，由大量的内容需要记忆。所以对于概率部分相当多的内容都只能先死记硬背，然后通过足量做题再来牢固掌握，走一条“在记忆的基础上理解”的路。 记牢公式性质，同时保证足够的习题量，考试时概率部分20%的分值基本上就不难拿到了。 1.2 概率第一章《随机事件和概率》 本章内容在历年真题中都有涉及，难度一般不大。虽然对于本章中的古典概型可以出很难的题目，但大纲的要求并不高，考试时难题很少。填空、选择常考关于事件概率运算的题目，大多围绕形如 ) ()(B A P AB P =、 ) |()|(A B P A B P =、 )(C B A P ++这样的式子利用各种概率运算公式求解；其它内容如全概率公式和贝叶 斯公式在小题中和大题中都有可能考到。 在“概率事件的关系及运算”部分有很多公式可以借助画集合运算图来辅助做题，比 如事件 A 若与事件 B 有包含关系A B ?，则可作图 长方形内的点都属 于B 的范围，圆形则代表A 的范围。这样一来即易看出事件包含关系的定义“A 发生时 B 必发生，B 发生时A 不一定发生”； 考研数学概率论部分重难点总结 概率论就是考研数学必须全得得分数,其实概率论也就是考验数学三驾马车中最简单得一门，代数就是最难得一门,因此，学好概率论就是考验数学得必须部分。下面进行总结 1.1概率这门课得特点 与线性代数一样,概率也比高数容易,花同样得时间复习概率也更为划算。但与线代一样，概率也常常被忽视,有时甚至被忽略。一般得数学考研参考书就是按高数、线代、概率得顺序安排得,概率被放在最后,复习完高数与线代以后有可能时间所剩无多;而且因为前两部分分别占60%与2０得分值,复习完以后多少会有点满足心理;这些因素都可能影响到概率得复习。 概率这门课如果有难点就应该就是“记忆量大”。在高数部分，公式、定理与性质虽然有很多,但其中相当大一部分都比较简单，还有很多可以借助理解来记忆;在线代部分，需要记忆得公式定理少,而需要通过推导相互联系来理解记忆得多,所以记忆量也不构成难点；但就是在概率中,由大量得概念、公式、性质与定理需要记清楚，而且若靠推导来记这些点得话,不但难度大耗时多而且没有更多得用处（因为概率部分考试时对公式定理得内在推导过程及联系并没有什么要求,一般不会在更深得层次上出题)。 记得当初瞧到陈文灯复习指南概率部分第二章《随机变量及其分布》、第三章《随机变量得数字特征》中在每章开始列出得那些大表格时,感觉其中必然会有很多内容就是超纲得、不用细瞧;但后来复习时才发现，可以省略不瞧得内容少之又少,由大量得内容需要记忆。所以对于概率部分相当多得内容都只能先死记硬背,然后通过足量做题再来牢固掌握,走一条“在记忆得基础上理解”得路。 记牢公式性质,同时保证足够得习题量，考试时概率部分20%得分值基本上就不难拿到了。 1.2概率第一章《随机事件与概率》 本章内容在历年真题中都有涉及,难度一般不大。虽然对于本章中得古典概型可以出很难得题目,但大纲得要求并不高,考试时难题很少。填空、选择常考关于事件概率运算得题目,大多围绕形如、、这样得式子利用各种概率运算公式求解;其它内容如全概率公式与贝叶斯公式在小题中与大题中都有可能考到。 在“概率事件得关系及运算”部分有很多公式可以借助画集合运算图来辅助做题,比 如事件若与事件有包含关系,则可作图长方形内得点都属于得范围，圆形则代表得范围。这样一来即易瞧出事件包含关系得定义“发生时必发生,发生时不一定发生”； 事件与得并可作图,则就是、两个圆形(包含相交部分),对于这个桂林理工大学874概率统计2020年考研真题
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