高中数学常用公式及定理

高中数学常用公式及定理

1．熟悉这些解题小结论，启迪解题思路、探求解题佳径，防止解题易误点的产生，对提升数

学成绩将会起到很大的作用。

2．所有定义、概念、公式、解题方法都须熟记，且应在弄清它们的来龙去脉后再熟记。

1.元素与集合的关系：U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??.

2.德摩根公式：();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.

3.包含关系

A B A A B B =?=U U A B C B C A ????U A C B ?=Φ()U C A B R ?= 4.容斥原理

()()card A B cardA cardB card A B =+-

()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-

()()()()card A B card B C card C

A card A

B

C ---+.

5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n －1个；非空子集有2n －1个；非

空的真子集有2n －2个. 6.二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠； (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠； (3)两根式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠.

7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式：()N f x M <

“0)()(21

2211k k a

b k +<-<”或“0)(2=k f 且22122k a

b k

k <-<+”

9.闭区间上的二次函数的最值

二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在a

b

x 2-

=处及区间的两端点处取得，具体如下：

(1)当a>0时，若[]q p a b

x ,2∈-

=，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a =-=； 若[]q p a b

x ,2?-=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =.

(2)当a<0时，若[]q p a b

x ,2∈-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =；

若[]q p a

b

x ,2?-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =.

10.一元二次方程的实根分布

依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设2()f x x px q =++，则

（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为()0f m <或2402()0

p q p m f m ?-≥?

?->??≥?? .

（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2

()0

()0402

f m f n p q p m n >??>???-≥?

?<-

()0()02f m f n p m n ??=?

>???<-

()02

f n f m p m n ?

?=?>???<-

（3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f

n <或240

2()0

p q p

n f n ?-≥??-

11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据：

(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∈.

(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≤(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∈.

(3)4

2

()0(0)f x ax bx c a =++>>恒成立的充要条件是020b

a c ?-≤???>?或20240

b a b a

c ?->??

?-

. 12.真值表

13.常见结论的否定形式

14.四种命题的相互关系

原命题 互逆 逆命题

否 否 逆 逆 否 否

否命题 逆否命题 若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ 15.充要条件

（1）充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件.

（2）必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件.

（3）充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性

(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么

[]1212()()()0x x f x f x -->?[]b a x f x x x f x f ,)(0)

()(2121在?>--上是增函数；

[]1212()()()0x x f x f x --

[]b a x f x x x f x f ,)(0)

()(2

121在?<--上是减函数.

(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.

17.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数；如果

函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函

数.

18．奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．

19.若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；

若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+，并且()y f x =关于x a =对称. 20.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2

b

a x +=

;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2

b a

x -=

对称. 21.若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2

(a

对称；若)()(a x f x f +-=,则函数

)(x f y =为周期为a 2的周期函数.

22．多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=++

+的奇偶性

多项式函数()P x 是奇函数?()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数?()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数()y f x =的图象的对称性

(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ?+=-(2)()f a x f x ?-= (2)函数()y f x =的图象关于直线2a b x m

+=对称()()f a mx f b mx ?+=-()()f a b mx f mx ?+-=

24.两个函数图象的对称性

(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m

+=对称.

(3)函数)(x f y =和)(1

x f

y -=的图象关于直线y=x 对称.

25.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象； 若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.

26．互为反函数的两个函数的关系：a b f b a f =?=-)()(1.

27.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f k

y -=-，并不是1()y f kx b -=+，而

函数1()y f kx b -=+是])([1

b x f k

y -=的反函数. 28.几个常见的函数方程

(1)正比例函数()f x cx =,具有性质：()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.

(2)指数函数()x f x a =,具有性质：()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.

(3)对数函数()log a f x x =,具有性质：()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠. (4)幂函数()f x x α=,具有性质：'()()(),(1)f xy f x f y f α==.

(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，具有性质：()()()()()f x y f x f y g x g y -=+，

()

(0)1,lim

1x g x f x

→==. 29.几个函数方程的周期(约定a>0)

（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期a =T ； （2）()()f x a f x +=-或)0)(()(1)(≠=

+x f x f a x f 或1

()()

f x a f x +=-

(()0)f x ≠,则)(x f 的周期a 2T =； (3)1

(),(()1)1()

f x a f x f x +=

≠-，则)(x f 的周期a 3T =；

(4))

()(1)

()()(212121x f x f x f x f x x f -+=

+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =?≠<-<，

则)(x f 的周期a 4T =；

(5)()()()f x a f x f x a +=--，则)(x f 的周期a 6T =. 30.分数指数幂

(1)m

n

a =0,,a m n N *

>∈，且1n >）；(2)1m n

m n

a

a

-

=

（0,,a m n N *>∈，且1n >）.

31．根式的性质

（1

）n a =.（2）当n

a =； 当n

,0

||,0a a a a a ≥?==?-

32．有理指数幂的运算性质

(1)(0,,)r s r s a a a a r s Q +?=>∈；(2)()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈；(3)()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈ 33.指数式与对数式的互化式

log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>.

34.对数的换底公式

log log log m a m N

N a

=

(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >). 推论 log log m n a a n

b b m

=

(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). 35．对数的四则运算法则

若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则

(1)log ()log log a a a MN M N =+;(2) log log log a a a M M N N

=-;(3)log log ()n a a M n M n R =∈.

36.设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ，记ac b 42-=?.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且

0a ，且0≥?.【对于0=a 的情形，需要单独检验.】 37.平均增长率的问题

如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)x y N p =+.

38.数列的通项公式n a 与前n 项的和n S 的关系11,1,2n n n S n a S S n -=?=?-≥? .

39.等差数列的通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；

其前n 项和n S 公式为：1()2n n n a a S +=

1(1)2n n na d -=+211

()22

d n a d n =+-. 40.等比数列的通项公式：1*11()n n

n a a a q q n N q

-==

?∈；