浙江省宁波市九校2016-2017学年高二下学期期末联考数学试卷-含答案
宁波市九校联考高二数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.
1.设集合2
{|13}{|320}A x x B x x x =-≤≤=-+<,,则=
)(B C A R
（ ）
A.[1,1)(2,3)-U
B.]3,2[]1,1[ -
C. )2,1(
D.R 2.已知i 是虚数单位，则
i
i
-+11= （ ） A.1 B.1- C. i - D.i 3.已知曲线x x f ln )(=在点))2(,2(f 处的切线与直线01=++y ax 垂直，则实数a 的值为 ( )
A.
21 B.2- C. 2 D.21-
4.下面四个条件中，使a b >成立的必要而不充分的条件是 （ ） A.1a b -> B.1a b +> C.a b > D.33a b >
5.已知函数1
ln 1
)(--=
x x x f ，则)(x f y =的图像大致为 （ ）
A. B. C. D.
6.从1,2,3,,9L 这九个整数中同时取四个不同的数，其和为偶数，则不同取法共有 （ ）
A.62
B.64
C.65
D.66 7.已知n m b n a
m b a a b ,,,,111
则--==<<的大小关系为 （ ）
A. n m <
B. n m =
C. n m >
D. n m ,的大小关系不确定，与b a ,的取值有关 8.已知下列各式：①1)1|(|2
+=+x x f ；②x x f =+)1
1
(
2
；③||)2(2x x x f =-； ④第二学期
学年
2016
x x x f -+=33|)(|.其中存在函数)(x f 对任意的R x ∈都成立的是 （ ）
A.①④
B.③④
C.①②
D.①③
9.设函数)0(log )(2>++=a b ax x x f ,若存在实数b ,使得对任意的[])0(2,>+∈t t t x 都有a x f +≤1|)(|，
则t 的最小值是 （ ） A.2 B.1 C.
43 D.3
2
10.定义在R 上的可导函数)(x f 满足3
2)()(x x f x f =--,当(]0,∞-∈x 时,3)(2
x x f <'
实数a 满足1332)()1(2
3
+-+-≥--a a a a f a f ,则a 的取值范围是 （ ）
A.??????∞+，
23 B.??? ??∞-23, C. ??????∞+，21 D.???
?
?∞-21, 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11.若,3log ,2log n m a a ==则=+n m a 2 ,用n m ,表示6log 4为 . 12.已知n
x
x )212(-
的展开式中二项式系数和为64，则=n ,该展开式中常数项 为 . 13.已知函数10,2
,122,4)(≠>??
?>++≤+-=a a x a a x x x f x
且其中.若21
=a 时方程b x f =)(有两 个不同的实根，则实数b 的取值范围是 ；若)(x f 的值域为[)∞+，
2，则实数a 的
取值范围是 . 14.函数x
x
e
e x x x
f --+-=2)(3
的奇偶性为 ,在R 上的增减性为 (填
“单调递增”、“单调递减”或“有增有减”）.
15.小明和爸爸妈妈、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排.若小 明的父母至少有一人与小明相邻，则不同的坐法总数为 . 16.已知a
x a x x a x x x f 22|1||1|)(-+--+-+
=）（0>x 的最小值为2
3，则实数=a . 17.已知函数）R b a b ax x x f ∈++=,()(2
在区间(]1,0上有零点0x ，则)3
1
914(00-+x x ab 的最大值是 .
三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.已知*
∈N n ，(1)(2)(),n S n n n n =+++L 213(21)n
n T n =????-L .
(Ⅰ)求 321321,,,,,T T T S S S ；
(Ⅱ)猜想n S 与n T 的关系，并用数学归纳法证明.
19.(Ⅰ)已知10
2
10
01210(21)(1)(1(1)
x a a x a x a x -=+-+-++-L ），
其中
,1,2,10i a R
i ∈=L .（i ）求01210a a a a ++++L ；（ii ）求7a .
(Ⅱ)2017年5月,北京召开“一带一路”国际合作高峰论坛.组委会将甲、乙、丙、 丁、戊五名志愿者分配到翻译、导游、礼仪、司机四个不同的岗位，每个岗位至 少有一人参加，且五人均能胜任这四个岗位. （i ）若每人不准兼职，则不同的分配方案有几种？
（ii)若甲乙被抽调去别的地方，剩下三人要求每人必兼两职，则不同的分配方案 有几种？
20.已知R a ∈,函数)(x f 满足.12)2(2
2
-+-=a ax x f x
(Ⅰ)求)(x f 的解析式,并写出)(x f 的定义域； (Ⅱ)若)(x f 在]2,2[2
21
2
+--a a
a 上的值域为[]0,1-，求实数a 的取值范围.
21.已知函数()1e
1x
f x x
-=-
+. (Ⅰ)证明 当[]0,3x ∈时,x
e x 911
+≥-. (Ⅱ)证明 当[]2,3x ∈时, 0)(7
2
<<-x f .
22.已知1- 3 R x ax x x x f ∈++-=. (Ⅰ)求函数)(x f 的最小值； (Ⅱ)已知存在实数),1(,≤ 使得)()(2)(210t f t f t f ==-，求证：27 4≤-m n . 2016学年第二学期宁波市九校联考高二数学参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） B D C B A D C A D D 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11.12 ， 2m n m + 12.6，60 13.）（49,2 ,),1()1,2 1 [+∞? 14.奇，单调递增 15.84 16. 45 17. 1441 0)31914( )(,170002≥-+=--=x x x g ax x b 题： 20000()() ()a b g x a x a x g x ?=--[])()(000x g a x a x --≤ 3432 00000()1() 44439x g x x x x ?≤=-+ 求导知其在11220,,,,,13333 ?????? ??????????? 上分别递增、递减、递增，故 1441)}1(),31(max{=??≤g ab g ab 其.) 21 ,21,1(0时等号成立-=-==b a x 方法2： 三、解答题：本大题共5小题，共74分 18.（本小题满分14分） 解：(Ⅰ)120,12,2332211======T S T S T S ； ……（3分） (Ⅱ)猜想：n n S T =（*n N ∈） ……（4分） 证明：(1)当1n =时，11S T =； ……（6分） （2）假设当( )* 1n k k k N =≥∈且时，k k S T =， 即(1)(2)()213(21)k k k k k k +++=???-L L ，……（8分） 则当1n k =+时 111)(12)(11)(1)(11)k S k k k k k k k k += ++++++-+++++L （ =(2)(3)(2)(21)(22)k k k k k ++++L = 213(21) (21)(22)1 k k k k k ???-?+++L =1 12 13(21)(21)k k k k T ++???-+=L . ……（13分） 即1+=k n 时也成立, 由（1）（2）可知* n N ∈，n n S T =成立 ……（14分） 19.（本小题满分15分） 2 00002002 222200000011( )493 113=92 ()11313131(1)(1)942362362144 ax b x x ab x ax b x ax b x x x x x +=-+-+??≤=-=-≤????g 可得则（-）（-） 解：(Ⅰ)（i ）令,2=x 则10012103(59049)a a a a ++++=L 即.……（3分) (ii)令10210 012101,(12),x y y a a y a y a y -=+=+++L 则 得77 710215360.a C == …… （7分） (Ⅱ)（i ）. 2404 425=?A C ……（11分） (ii) ()114)))(((2332334243 2 4 =-+-C C C C C ……（15分） 20.（本小题满分15分） 解：(Ⅰ)令20,x t =>则,log 2t x =则,1log 2)(log )(2 222-+-=a t a t t f 即.1log 2)(log )(2 22 2-+-=a x a x x f ……（5分） 定义域为()+∞,0 ……（7分） (Ⅱ))(x f 在]2,2[2212 +--a a a 上的值域为[]0,1- 等价于12)(2 2 -+-=a ax x x g 在区间]22,1[2 +--a a a 上的值域为].0,1[- ……（9分） 101+1 y x a y x a x a =-?==?=-=令或 由图可得 2221a a a a ≤-+≤+ ……（13分） 12a a ≤≤≤≤或 ……（15分） 21.（本小题满分15分） 解(Ⅰ)证明 要证1e 19x x -≥ +, 也即证e 19x x ≤+. ……（2分） 令()e 91x F x x =--, 则()'e 9x F x =-. 令()'0F x >, 则2ln3x >. 因此, 当 02ln3x ≤<时, 有()'0F x <, 故()F x 在[]0,2ln3上单调递减; 当2ln33x <≤时, 有()'0F x >, 故()F x 在[]2ln3,3上单调递增. ……（5分） 所以, ()F x 在[]0,3上的最大值为()(){} max 0,3F F . 又()00F =,()3 3e 280F =-<. 故()[]0, 0,3F x x ≤∈成立, 即[] e 19, 0,3x x x ≤+∈成立. 原命题得证. ……（7分） (Ⅱ) 证明 由 (I) 得 当[]2,3x ∈时, ()111e 1191x f x x x x -=- ≥- +++ 令()11 191t x x x = -++, 则 ()()()()()()()()() ()() []22 2 2 2222 2 22 19911 9 '1991119191728 0, 2,3. 191x x t x x x x x x x x x x x --+-+=-+?++=-=++++-= ≥∈++（9分） 所以, ()t x 在[]2,3上单调递增，即()()[]16162 2, 2,357567t x t x ≥=->-=-∈ 所以()f x 7 2 ->得证. ……（12分） 下证0)( 令),1()(+-=x e x h x 则01)(>-='x e x h ，所以)(x h 在[]32， 上单调递增, 所以，03)1()(2 >-≥+-=e x e x h x ，得证. ……（15分） 另证：要证 7 2 11911->+-+x x ，即证011892>+-x x ， 令8)19(1189)(22--=+-=x x x x m 在[]32， 上递增，所以01)2()(>=≥m x m 得证. 22.（本小题满分15分） 解：（1）?? ?≥-+<+=++-=1 ,121,1|1|)(3 3 3 x ax x x ax ax x x x f 记)1(12)(),1(1)(3 21≥-+=<+=x ax x x f x ax x f 则a x x f +=2 '26)( , 因为 1- ,0)(' 2a x x f - ±==得 ……（2分） （i ）时，即1616 -<≤-≤- a a ，上递增，在上递减，在),1[)()1,()(21+∞-∞x f x f 所以1)1()]([min +==a f x f ……（4分） （ii ）时，即616 -<>- a a ,上递减，在)1,()(1-∞x f 递增，上递减，在在)6 [)6,1[)(2∞+-- a a x f , 所以1632)6()(2min --=- =a a a f x f 综上，??? ??-<≤-+-<--=16,16,16 32)(min a a a a a x f ……（6分） （2）不妨设,21t t <则由（1）知，若,16-<≤-a 则)(2x f 在),1(+∞上递增， 不满足题意，所以6- ∈a t a t ，且 16 32)6()(2min --=-=a a a f x f （i ）> -+21a 1632--a a ，即???<<--<1 )1(2)(227 21x f x f a 时，由即 ???<+<-+1 121x a ax ，解得121<<+x a ，即)1,21(0 a t +∈ 所以)1,21(),(a n m + ?，所以1,21≤+≥n a m ，所以27 4 2< -≤-a m n ……（11分） （ii ）≤-+21a 1632--a a ，即??? ??->-<--<≤-) 6(2)()1(2)(62272121a f x f f x f a 时，由 即?? ? ??--> -++<-+1632211 21a a ax a ax ，解得63221a x a -<<+， 所以)632,21(),(a a n m -+ ?，所以6 32,21a n a m -≤+≥ 所以a a m n 21632---≤ - 令]23,1(6∈=- u a ，则23113221632u u a a +-=--- 令231132)(u u u +-= ?，则0)1 1(32)(3'>-=u u ? 所以 231132)(u u u +-= ?在]2 3 ,1(∈u 递增， 所以 274)23()(=≤??u ，所以 27 4)(≤≤-u m n ?. ……（15分）